考研数学三(线性代数)模拟试卷8(题后含答案及解析)

考研数学三（线性代数）模拟试卷8 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵(1/3 A2 )-1 有一个特征值等于

A．4/3 B．3/4 C．1/2 D．1/4

正确答案：B 涉及知识点：线性代数

2． 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A的属于特征值A的特征向量，则矩阵(P-1 AP)T 属于特征值A的特征向量是

A．P-1α． B．PT α． C．Pα．

D．(P-1 )Tα．

正确答案：B 涉及知识点：线性代数

3． 设A，B，A+B，A-1+B-1均为n阶可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1等于 A．A+ B．

B．A-1+B-1． C．A(A+B)-1 B．

D．(A+B)-1．

正确答案：C 涉及知识点：线性代数

4． 设向量β可由向量组α1，α2，...，αm线性表示，但不能由向量组(I)：α1，α2，...，αm-1线性表示，向量组(Ⅱ):α1，α2，...，αm-1,β，则

A．αm可由(I)线性表示，也不可由(Ⅱ)线性表示． B．αm不能由(I)线性表示，也可能由(Ⅱ)线性表示． C．αm可由(I)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示．

D．αm不能由(I)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．

正确答案：B 涉及知识点：线性代数

5． 若向量组α，β，γ线性无关；α，β，δ线性相关，则 A．δ必不可由α，β，γ线性表示． B．β必不可由α，γ，δ线性表示． C．δ必可由α，β，γ线性表示． D．α必可由β，y，δ线性表示．

正确答案：C 涉及知识点：线性代数

6． 设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能南α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有

A．α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关． B．α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关． C．α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关． D．α1，α2，α3，kβ1+kβ2线性相关．

正确答案：A 涉及知识点：线性代数

7． 设A，B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有 A．A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关． B．A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关． C．A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关． D．A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关．

正确答案：A 涉及知识点：线性代数 8． 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是

A．λ1≠0 B．λ2≠0 C．λ2=0 D．λ1=0

正确答案：B 涉及知识点：线性代数

9． 设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m × n矩阵，下列选项正确的是

A．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs。线性相关．

B．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关． C．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关． D．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．

正确答案：A 涉及知识点：线性代数

10． 设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是 A．α1-α2，α2-α3,α3-α1． B．α1+α2，α2+α3,α3+α1． C．α1+2α2，α2+2α3,α3+2α1． D．α1-2α2，α2-2α3,α3-2α1．

正确答案：A 涉及知识点：线性代数

填空题 11． 设A，B均为n阶矩阵，｜A ｜=2，｜ B｜=-3，则｜2A*B-1｜=_______．

正确答案：-22n-1/3 涉及知识点：线性代数

12． 若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式｜B-1-E ｜ =_________.

正确答案：24 涉及知识点：线性代数

13． 设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是________.

正确答案：λn-λn-1 涉及知识点：线性代数

14． 设A为2阶矩阵，α1，α2为线性无关的2维列向量，Aα1=0，Aα2=2α1+α2，则A的非零特征值为________.

正确答案：1 涉及知识点：线性代数

15． 设n维向量a=(a，0，…，0，a)T，a<0，E是n阶单位矩阵，A=E-aaT B=E+1/aaaT .其中A的逆矩阵为B，则a=_________．

正确答案：-1 涉及知识点：线性代数

16． 微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为__________.

正确答案：2/x 涉及知识点：线性代数

17． 微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=________.

正确答案：1/x 涉及知识点：线性代数

18． 微分方程y”-2y’+2y=ex的通解为________.

正确答案：ex(C1cosx+C2sinx+1) 涉及知识点：线性代数

19． 微分方程y”-4y=e2x的通解为________.

正确答案：C1e2x+C2e-2x+x/4e2x 涉及知识点：线性代数

20． 二阶常系数非齐次线性微分方程y”-4y’+3y=2e2x的通解为y=_______.

正确答案：C1ex+C2e3x+2e2x 涉及知识点：线性代数

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

21． 设向量α=(α1，α2，…，αn)T ，β=(b1，b2，…，bn)T 都是非零向量，且满足条件αT β=0，记n阶矩阵A=αβT ．求：A2 ．

正确答案：由A=αβT和αTβ=0，有A2=(αβT)(αβT)=a(βTα)βT=OαβT=0． 涉及知识点：线性代数

22． 已知向量组(I)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α4，α5．如果各向量组的秩分别为r(I)=r(II)=3，r(Ⅲ)=4．证明向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．

正确答案：因为r(I)=r(II)=3，所以α1，α2，α3线性无关，而α1，α2，α3，α4线性相关，因此α4可由α1，α2，α3线性表出，设为α4=lα1+lα2+lα3．若k1α1+k2α2+k3α3+k4(α5-α4)=0，即(k1-l1k4)α1+(k2-l2k4)α2+(kα3-l3k44)α3+k4α5=0，由于r(Ⅲ)=4，即α1，α2，α3，α5线性无关．故必有解出k4=0，k3=0，k2=0，k1=0．于是α1，α2，α3，α5-α4的秩为4． 涉及知识点：线性代数

23． 设矩阵A满足A2+A-4层=0，其中E为单位矩阵，则(A-E)-1=________.

正确答案：1/2(A+2E) 涉及知识点：线性代数

设A=E-ξξT，其中层为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：

24． A2=A的充要条件是ξTξ=1；

正确答案：A2=(E-ξξT)(E-ξξT)=E-2ξξT+ξξTξξT=E-ξξT+ξ(ξTξ)ξT-ξξT=A+(ξTξ)ξξT-ξξT，那么A2=A≡(ξTξ-1)ξξT=0．因为ξ是非零列向量，ξξT≠0，故A2=A≡ξTξ-1=0即ξTξ=1． 涉及知识点：线性代数

25． 当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．

正确答案：反证法．当ξTξ=1时，由(1)知A2=A，若A可逆，则A=A-1A2=A-1A=E．与已知A=E-ξξT≠E矛盾． 涉及知识点：线性代数

26． 求微分方程y”-2y’-e2x=0满足条件y(0)=1，y’(0)=1的解．

正确答案：齐次方程y”-2y’=0的特征方程为λ2-2λ=0．由此求得特征根λ1=0，λ2=2.对应齐次方程的通解为y=C1+C2e2x．设非齐次方程的特解为y”=Axe2x，则(y*)’=(A+2Ax)e2x，(y*)”=4A(1+x)e2x代入原方程，可得A=1/2，从而y*=1/2xe2x．于是，原方程的通解为y=y+y*=C1+(C2+1/2x)e2x.将y(0)=1和y’(0)=1代入通解，求得C1=3/4，C2=1/4．从而，所求解为y=3/4++1/4(1+2x)e2x． 涉及知识点：线性代数