考研数学三(线性代数)模拟试卷96(题后含答案及解析)

考研数学三（线性代数）模拟试卷96 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． AB=0，A，B是两个非零矩阵，则

A．A的列向量组线性相关．B的行向量组线性相关． B．A的列向量组线性相关．B的列向量组线性相关． C．A的行向量组线性相关．B的行向量组线性相关． D．A的行向量组线性相关．B的列向量组线性相关．

正确答案：A 涉及知识点：线性代数

2． 设α1,α2，…，αs都是n维向量，A是m×n矩阵，下列选项中正确的是( )．

A．若α1,α2，…，αs线性相关，则Aα1,Aα2，…，Aαs线性相关． B．若α1,α2，…，αs线性相关，则Aα1,Aα2，…，Aαs线性无关． C．若α1,α2，…，αs线性无关，则Aα1,Aα2，…，Aαs线性相关． D．若α1,α2，…，αs线性无关，则Aα1,Aα2，…，Aαs线性无关．

正确答案：A

解析：本题考的是线性相关性的判断问题，可以用定义说明(A)的正确性，做法如下：因为α1,α2，…，αs线性相关，所以存在不全为0的数c1，c2，…，cs使得c1α1+c1α2+…+csαs=0，用A左乘等式两边，得c1Aα1+c1Aα2+…+csAαs=0，于是Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．但是用秩来解此题，则更加简单透彻．只要应用两个基本性质，它们是：1．α1,α2，…，αs线性无关r(α1,α2，…，αs)=s．2．r(AB)≤r(B)．矩阵(Aα1，Aα2，…，Aαs)=A(α1,α2，…，αs)，因此r(Aα1，Aα2，…，Aαs)≤r(α1,α2，…，αs)．于是，若α1,α2，…，αs线性相关，有r(α1,α2，…，αs)＜s，从而r(Aα1，Aα2，…，Aαs)＜s，Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关． 知识模块：线性代数

3． α1,α2,α3，β线性无关，而α1,α2,α3，γ线性相关，则 A．α1,α2,α3，β+γ线性相关． B．α1,α2,α3，cβ+γ线性无关． C．α1,α2,α3，γ+cγ线性相关． D．α1,α2,α3，β+cγ线性无关．

正确答案：D

解析：由于α1,α2,α3，β线性无关，α1,α2,α3是线性无关的．于是根据定理3．2，α1,α2,α3，cβ+γ(或α+cγ)线性相关与否取决于cβ+γ(或β+cγ)可否用α1,α2,α3线性表示．条件说明β不能由α1,α2,α3线性表示，而γ可用α1,α2,α3线性表示．cβ+γ可否用α1,α2,α3线性表示取决于c，当

c=0时cβ+γ=γ可用α1,α2,α3线性表示；c≠0时cβ+γ不可用α1,α2,α3线性表示．c不确定，(A)，(B)都不能选．而β+cγ总是不可用α1,α2,α3线性表示的，因此(C)不对，(D)对． 知识模块：线性代数

4． 设α1,α2,α3线性无关，则( )线性无关： A．α1+α2，α2+α3，α3一α1． B．α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3． C．α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1．

D．α1+α2+α3，2α1一3α2+22α3，3α1+5α2—5α3．

正确答案：C 解析：容易看出A中的向量组的第2个减去第1个等于第3个，所以相关．B组的前两个之和等于第3个，也相关．于是A和B都可排除．现在只用判断C组是否相关(若相关，选D，若无关，选

C．)α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1对α1,α2,α3的表示矩阵为C可逆，于是r(α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1)=r(C)=3，因而(C)组向量线性无关． 知识模块：线性代数

填空题

5． 已知α1，α2，α3线性无关α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα1线性相关.则实数t等于__________．

正确答案：t=一1／2．

解析：本题可以用定义做，但是表述比较哕嗦，用秩比较简单，证明α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα1线性相关就是要证明其秩小于3．记矩阵A=(α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα1)．用矩阵分解，有记由于α1,α2,α3线性无关，(α1,α2,α3)是列满秩的，于是根据矩阵秩的性质⑥，r(α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα1)=r(A)=r(C)．于是α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα1线性相关甘r(c)｜C｜=0．求出｜C｜=1+8t3，于是得8t3=一1，t=一1／2． 知识模块：线性代数

6． 设A为3阶正交矩阵，它的第一行第一列位置的元素是1，又设β=(1，0，0)T，则方程组AX=β的解为__________．

正确答案：(1，0，0)T．

解析：设A=(α1,α2,α3)．A为正交矩阵，列向量是单位向量．于是α1是(1，0，0)T．则β=α1=A(1，0，0)T，解为(1，0，0)T。 知识模块：线性代数

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

7． 已知β可用α1,α2，…，αs线性表示，但不可用α1,α2，…，αs-1线性表示.证明(1)αs不可用α1,α2，…，αs-1线性表示；(2)αs可用α1,α2，…，αs-1，β线性表示．

正确答案：用秩说明，条件说明，r(α1,α2，…，αs，β)=r(α1,α2，…，αs)，r(α1,α2，…，αs-1，β)=r(α1,α2，…，αs-1)+1于是有r(α1,α2，…，αs),r(α1,α2，…，αs，β)≥r(α1,α2，…，αs-1，β)r(α1,α2，…，αs-1)+1≥r(α1,α2，…，αs)从而其中两个“≥”号都为等号．于是r(α1,α2，…，αs-1)+1=r(α1,α2，…，αs)因此，αs不可用α1,α2，…，αs-1线性表示．r(α1,α2，…，αs，β)=r(α1,α2，…，αs-1，β)，因此，αs可用α1,α2，…，αs-1，β线性表示． 涉及知识点：线性代数

8． 已知(2，1，1，1)T，(2，1，a，a)T，(3，2，1，a)T，(4，3，2，1)T线性相关，并且a≠1，求a．

正确答案：因为这4个向量线性相关，所以以它们为列向量的4阶行列式为0．求出此行列式的值：得a=1／2． 涉及知识点：线性代数

9． 设α1=(1，1，1，3)T，α2=(一1，一3,5，1)T，α3=(3，2，一1，p+2)T，α4=(一2，一6，1 0，p)T.P为什么数时，α1,α2,α3,α4线性相关?此时求r(α1,α2,α3,α4)和写出一个最大无关组．

正确答案：计算r(α1,α2,α3,α4)则当P=2时，r(α1,α2,α3,α4)=3，α1,α2,α3,α4线性相关，α1,α2,α3是一个最大无关组．当P≠2时，r(α1,α2,α3,α4)=4，α1,α2,α3,α4线性无关． 涉及知识点：线性代数

10． 已知α1，α2都是3阶矩阵A的特征向量，特征值分别为一1和1，又3维向量α3满足Aα3=α2+α3．证明α1,α2,α3线性无关．

正确答案：根据特征向量的性质，α1,α2都是A的特征向量，特征值不相等，于是它们是线性无关的．根据定理3．2，只用再证明α3不可用α1,α2线性表示．用反证法．如果α3可用α1,α2表示，设α3=c1α1+c2α2，用A左乘等式两边，得α2+α3=一c1α1+c2α2，减去原式得α2=一2c1α1，与α1，α2线性无关矛盾，说明α3不可用α1，α2线性表示． 涉及知识点：线性代数

11． 设n维向量组α1，α2，…，αs线性相关，并且α1≠0，证明存在1＜k≤s，使得αk可用α1，…，αk-1线性表示．

正确答案：因为α1,α2，…，αs线性相关，所以存在不全为0的数c1，c2，…，cs，使得c1α1+c2α2+…+csαs=0．设ck是c1，c2，…，cs中最后一个不为0的数，即ck≠0，但i＞k时，ci=0．则k≠l(否则α1=0，与条件矛盾)，并且有c1α1+c2α2+…+ckαk=0．则于 涉及知识点：线性代数

12． 设A为n阶矩阵，α0≠0，满足Aα0=0，向量组α1，α2满足Aα1=α0，A2α2=α0．证明α0，α1，α2线性无关．

正确答案：用定义证明．即要说明当c1，c2，c3满足c1α0+c2α1+c3α2=0

时它们一定都是0．记此式为(1)式，用A乘之，得c2α0+c3Aα2=0 (2)再用A乘(2)得c3α0=0．由α0≠0，得c3=0．代入(2)得c2=0．再代入(1)得c1=0． 涉及知识点：线性代数

13． 设A为n阶矩阵，α1为AX=0的一个非零解，向量组α1,α2，…，αs满足Ai-1αi=α1(j=2，3，…，s)．证明α1,α2，…，αs线性无关．

正确答案：设c1α1+c2α2+…+csαs=0(1)，要推出系数ci都为0．条件说明Aiαi=Aα1=0(i=1，2，3，…，s)．用As-1乘(1)的两边，得csα1=0，则cs=0．冉用As-2乘(1)的两边，得cs-1α1=0，则cs-1=0．这样可逐个得到每个系数都为0． 涉及知识点：线性代数

14． 设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组AkX=0的一个解，但是Ak-1α≠0．证明α，Aα，…，Ak-1α线性无关．

正确答案：用定义证明．用反证法．如果α，Aα，…，Ak-1α线性相关，则存在不全为0的c1，c2，…，ck，使得c1α+c2Aα+…+ckAk-1α=0，设其中第一个不为0的系数是ci，则ciAi-1α+…+ckAk-1α=0，用Ak-i乘之，得ciAk-1α=0．从而Ak-1α=0，与条件矛盾． 涉及知识点：线性代数

15． 设α1,α2，…，αs线性无关，βi=αI+αI+1，i=1，…，s—1，βs=αS+α1．判断β1β2，…，βs线性相关还是线性无关?

正确答案：β1β2，…，βs对α1,α2，…，αs的表示矩阵为于是当s为偶数时，｜C｜=0，r(C)＜s，从而r(β1β2，…，βs)＜s，β1β2，…，βs线性相关．当s为奇数时，｜C｜=2，r(C)=s，从而r(β1β2，…，βs)=s，β1β2，…，βs线性无关． 涉及知识点：线性代数

设α1,α2,α3,α4线性无关，β1=2α1+α3+α4，β2=2α1+α2+α3，β3=α2一α4，β4=α3+α4，β5=α2+α3．

16． 求r(β1，β2，β3，β4，β5)；

正确答案：β1，β2，β3，β4，β5对α1,α2,α3,α4的表示矩阵为用初等行变换化为阶梯形矩阵：则r(β1，β2，β3，β4，β5)=r(C)=3． 涉及知识点：线性代数

17． 求β1，β2，β3，β4，β5的一个最大无关组．

正确答案：记C的列向量组为γ1，γ2，γ3，γ4，γ5．则由(1)的计算结果知γ1，γ2，γ4是线性无关的．又(β1，β2，β4) =(α1,α2,α3,α4)(γ1，γ2，γ4)得到r(β1，β2，β4)=r(γ1，γ2，γ4)=3，β1，β2，β4线性无关，是β1，β2，β3，β4，β5的一个最大无关组．

解析：实际上β1，β2，β3，β4，β5与γ1，γ2，γ3，γ4，γ5．有相同的线性关系。 知识模块：线性代数

18． 设α1,α2,α3都是n维非零向量，证明：α1,α2,α3线性无关对任何数s，t，α1+sα3，α2+tα3都线性无关．

正确答案：“→”用定义法也不麻烦(请读者自己做)，但是用C矩阵法更加简单．α1+sα3，α2+tα3对α1,α2,α3的表示矩阵为显然对任何数s，t，C的秩都是2，于是α1+sα3，α2+tα3的秩为2，线性无关． “←”在s=t=0时，得α1，α2线性无关，于是(根据定理3．2)只要再证明α3不可用α1，α2线性表示．用反证法．如果α3可以用α1，α2线性表示，设α3=c1α1+c2α2，则因为α3不是零向量，c1，c2不能全为0．不妨设c1≠0，则有于是，α2线性相关，即当时α1+sα3，α2+tα3相关，与条件矛盾． 涉及知识点：线性代数

19． 设α1,α2，…，αs，β都是n维向量，证明：

正确答案：把α1,α2，…，αs的一个最大无关组放在α1,α2，…，αs，β中考察，看它是否也是α1,α2，…，αs，β的最大无关组．设(I)是α1,α2，…，αs的一个最大无关组，则它也是α1,α2，…，αs，β中的一个无关组．问题是：(I)增添β后是否相关?若β可用α1,α2，…，αs表示，则β可用(I)表示(因为α1,α2，…，αs和(I)等价!)，于是(I)增添β后相关，从而(I)也是α1,α2，…，αs，β的最大无关组，r(α1,α2，…，αs，β)=r(α1,α2，…，αs)．若β不可用α1,α2，…，αs表示，则β不可用(1)表示，(I)增添β后无关，从而(I)不是α1,α2，…，αs，β的最大无关组，此时(I)，β是α1,α2，…，αs，β的最大无关组，r(α1,α2，…，αs，β)=r(α1,α2，…，αs，)+1． 涉及知识点：线性代数

20． 设A是m×n矩阵．证明： r(A)=1存在m维和n维非零列向量α和β，使得A=αβT．

正确答案：“→”记A的列向量组为α1,α2，…，αn，则因为r(A)=1，所以r(α1,α2，…，αn)=1．于是A一定有非零列向量，记α为一个非零列向量，则每个αi都是α的倍数．设αi=biα，i=1，2，…，n．记β=(b1，b2，…，bn)T，则β≠0，并且A=(α1,α2，…，αn)=(b1α，b2α，…，bnα)=αβT．“←”设A=αβT，则r(A)≤r(α)=1．由于α，β都不是零向量，可设α的第i个分量ai≠0，β的第j个分量bj≠0．则A的(i，j)位元素为aibj≠0，因此A≠0，从而r(A)＞0．得r(A)=1． 涉及知识点：线性代数

21． ①设α1,α2，…，αs和β1β2，…，βt都是n维向量组，证明r(α1,α2，…，αs，β1β2，…，βt)≤r(α1,α2，…，αs)+r(β1β2，…，βt)．②设A和B是两个行数相同的矩阵，r(A｜B)≤r(A)+r(B)．③设A和B是两个列数相同的矩阵，表示A在上，B在下构造的矩阵．证明

正确答案：这是3个互相等价的命题：①是②的向量形式；③是②的转置形式．因此对其中之一的证明就完成了这3个命题的证明．证明①．取{α1,α2，…，αs，β1β2，…，βt}的一个最大无关组(I)，记(I)，是(I)中属于α1,α2，…，αs中的那些向量所构成的部分组，(I)2是(I)中其余向量所构成的部分组．于是(I)，和(I)2分别是属于α1,α2，…，αs和β1β2，…，βt的无关部分组，因此它们包含向量个数分别不超过r(α1,α2，…，αs)和r(β1β2，…，βt)．从而r(α1,α2，…，αs，β1β2，…，βt)=(I)中向量个数=(I)1中向量个数+(I)2中向量个数)≤r(α1,α2，…，αs)+r(β1β2，…，βt)． 涉及知识点：线性代数

22． 证明r(A+B)≤r(A)+r(B)．

正确答案： r(A+B)≤r(A+B｜B)．对矩阵(A+B｜B)进行初等列变换：左边A+B各列都减去右边B的对应列，化为(A｜B)．于是r(A+B)≤r(A+B｜B)=r(A｜B)≤r(A)+r(B)． 涉及知识点：线性代数

23． 设A是n阶矩阵，满足(A一aE)(A—bE)=0，其中数a≠b．证明：r(A—aE)+r(A—bE)=n．

正确答案：一方面，根据矩阵秩的性质⑦，由(A—aE)(A一bE)=0得到r(A一aE)+r(A—bE)≤n．另一方面，用矩阵的秩的性质③，有r(A一aE)+r(A—bE)≥r((A—aE)一(A—bE))=r((b一a)E)=n．两个不等式结合，推出r(A—aE)+r(A—bE)=n． 涉及知识点：线性代数

24． 设A是n阶矩阵，证明

正确答案：当r(A)=凡时，A可逆，从而A*也可逆，秩为n．当r(a)＜n一1时，它的每个余子式Mij(是n一1阶子式)都为0，从而代数余子式Aij也都为0．于是A*=0，r(A*)=0．当r(A)=n—1时，｜A｜=0，所以AA*=0．于是r(A)+r(A*)≤n．南于r(A)=n一1，得到r(A*)≤1．又由r(A)=n—1知道A有n一1阶非0子式，从而存在代数余子式Ahk不为0，于是A*≠0，r(A*)＞0．于是r(A*)=1． 涉及知识点：线性代数

25． 设α1,α2，…，αr，和β1β2，…，βs是两个线性无关的n维向量．证明：向量组{α1,α2，…，αr；β1β2，…，βs}线性相关甘存在非零向量r，它既可用α1,α2，…，αr线性表示，又可用β1β2，…，βs线性表示．

正确答案：“→”因为{α1,α2，…，αr；β1β2，…，βs}线性相关，所以存在c1，c2，…，cr，cr+1，…cr+s不全为0，使得 c1α1+c2α2+…+crαr+cr+1β1+c1+2β2+…+cr+sβs=0记γ=c1α1+c2α2+…+crαr=一(cr+1β1+cr+2β2+…+cr+sβs)，则γ≠0(否则由α1,α2，…，αr和β1β2，…，βs都线性无关，推出c1，c2，…，cr，cr+1，…，cr+s全为0)，并且它既可用α1,α2，…，αr表示，又可用β1β2，…，βs表示．“←”设γ≠0，它既可用α1，…，αr，表示，又可用β1，…，βs表示．记γ=c1α1+c2α2+…+crαs=t1

β1+t2β2+…+tsβs，则c1，c2，…，cr和t1，t2，…，ts都不全为0，而c1α1+c2α2+…+crαs一t1β1一t2β2一…一tsβs=0．根据定义，{α1,α2，…，αr；β1β2，…，βs}线性相关． 涉及知识点：线性代数

26． 设A=(α1,α2，…，αn)是实矩阵，证明ATA是对角矩阵α1,α2，…，αn两两正交．

正确答案：ATA的(i，j)位元素为(αi，αj)．于是ATA是对角矩阵当i≠j时，ATA的(i，j)位元素为0当i≠j时，αi，αj正交．α1,α2，…，αn两两正交． 涉及知识点：线性代数

27． 设A为实矩阵，证明r(ATA)=r(A)．

正确答案：通过证明ATAX=0和AX=0同解，来得到结论．ATAX=0和AX=0同解，即对于实向量η，ATAη=0Aη=0．“←”显然．“→”ATAη=0→ηTATAη=0，从而(aη，aη)=ηTATAη=0，得Aη=0． 涉及知识点：线性代数

28． 设α1,α2，…，αn是一组两两正交的非零向量，证明它们线性无关．

正确答案：计算秩．以α1,α2，…，αs为列向量组构造矩阵A=(α1,α2，…，αs)，ATA是对角矩阵，并且对角线上的元素依次为‖α1‖2，‖α2‖2，…，‖αs‖2，它们都不为0．于是r(α1,α2，…，αs)=r(A)=r(ATA)=s，从而α1,α2，…，αs线性无关． 涉及知识点：线性代数

29． 设α1,α2，…，αs和β1β2，…，βt是两个线性无关的n维实向量组，并且每个αi和βj都正交，证明α1,α2，…，αs，β1β2，…，βt线性无关．

正确答案：用定义证明．设c1α1+c2α2+…+csαs+k1β1+k2β2+…+ktβt=0，记η=c1α1+c2α2+…+cssαs=一(k1β1+k2β2+…+ktβt)，则(η，η)=一(c1α1+c2α2+…+csαs，k1β1+k2β2+…+ktβt)=0即η=0，于是c1，c2，…，cs，k1，k2，…，kt全都为0． 涉及知识点：线性代数

30． 设A为n阶正交矩阵，α和β都是n维实向量，证明：(1)内积(α，β)=(Aα，Aβ)．(2)长度‖α‖=‖Aα‖．

正确答案：(1)(Aα，Aβ)=αTATAβ=αTβ=(α，β)．(2)(α，α)=(Aα，Aα)．两边求算术平方根，得‖α‖=‖Aα‖．以下例题是涉及向量内积的． 涉及知识点：线性代数

31． 设A是n阶非零实矩阵(n>2)，并且AT=A*，证明A是正交矩阵．

正确答案：AAT=AA*=｜A｜E，因此只用证明｜A｜=1，就可由定义得出A

是正交矩阵．由于A≠0，有非零元素，设aij≠0．则AAT的(i，i)位元素｜A｜=ai12+ai22+…+aij2+…+ain2>0，从而AAT≠0．对等式AAT=｜A｜E，两边取行列式，得｜A｜2=｜A｜n，即｜A｜n-2=1．又由｜A｜＞0，得出｜A｜=1． 涉及知识点：线性代数