自贡市蜀光中学2010年高中自主招生考试数学试题答案

自贡市蜀光中学2010年高中自主招生考试

数 学 试 题

注意事项

1、全卷满分为150分，考试时间为120分钟。

2、试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷为客观题（选择题），答案用铅笔涂在机读卡上；第Ⅱ卷为主观题，答在试题相应的位置上。

第Ⅰ卷（共３０分）

一、选择题：（共10小题，每题3分，共30分）

2xa0无解，则a的取值范围是（ ）1、

4(1x)2a0A. a1 B. a1 C. a1 D. 1a1 2、已知某商品涨价x成（即1成即10%），销量减少价（ ）成。

A. 1 B.2 C.3 D .4

3、如图AC⊥BC于C，BC＝a, CA=b, AB=c, ⊙O与直线AB、BC、AC都相切，则⊙O的半径为（ ）

abcbcaabcacbA. B. C. D.

2222xya32xy5a4、如果,那么m的取值范围是( )

xyam56x成,若要获得最大销额，则需涨

AOBC3题图A m>－3 B m－3 C m－3 D m<－3 5、如图线段AB,CD将大长方形分成四个小长方形，

C其中S18，S26，S35，则S4（ ） S 1 S 2

A

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BS4DS35题图

A.

203 B.

53 C.10 D.

103

6、如图，矩形ABCG（ABAPE的顶点P在线段BD上移动，使APE

为直角的点P的个数是 ( )

第6题 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

7、已知抛物线y=ax+2ax+4(0A. y1< y2 B. y1= y2 C. y1> y2 D. y1与y2的大小不能确定

8、假期里王老师有一个紧急通知，要用电话尽快通知给他所教两个班的90个同学,假设每通知一个同学 需要1分钟时间，同学接到电话后也可以相互通知，那么要使所有同学都接到通知最快需要的时间为( )

A. 8分钟 B.7分钟 C.6分钟． D.5分钟

9、已知：二次函数y=x2+x+a(a为大于0的常数)，当x=m时的函数值y1<0； 则当x=m+1时的函数值y2与0的大小关系为( ) A. y2>0 B. y2<0 C. y2=O D. 不能确定 10、如图，点A是函数y=

1x2

的图象上的点，点B、C

的坐标分别为B(-2，-2)、C(2，2)。 试利用性质：“函数y=

1x的图象上任意一点A

都满足|AB-AC|=22”求解下面问题：

“作∠BAC的内角平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F，当点A在函数y=上运动时，点F总在一条曲线上运动，则这条曲线为( )

A. 直线 B. 抛物线 C. 圆 D. 反比例函数的曲线

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1x的图象

蜀光中学2010年自主招生考试数学试题 学校 姓名 考号: 第Ⅱ卷(共１２０分) 题 号 二 1 2 3 4 5 6 7 三 总分 得 分 阅卷人 线 二．填空题：（共6题，每题4分，共24分） 1、将分别标有数字0,1,2,3,4的五张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上。随机地抽取一张作为千位上的数字（不放回），再抽取一张作为百位上的数字（不放回），再抽取一张作为十位上的数字，而个位已经为0,这样组成的四位数恰好是“2010”的概率为封 _____________。 2、直角坐标系中，点A(0，0)，B(2，0)，C(0，23)，若有一三角形与△ABC全等，且有一条边与BC重合，那么这个三角形的另一个顶点坐标是 。 3、小明设计了一个电子游戏：一电子跳蚤从横坐标为t(t＞0)的P1点开始，按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线yax(a＞0)上向右跳动，得到点P2、P3，这时△P1P2P3密 的面积为 。 4、实数x、y满足x2－2x－4y＝5，记t＝x－2y，则t的最大值为______________。 25、如图，已知二次函数y=axbxc(a0)的图象， 2①abc>0②c3a③9a3b+c<16a+4b+c ④ab三、解答题：（共7个小题，1、2题每题11分，3题12分，4、5题每题14分，6题16

分，7题18分，共96分） 1、解答下列两题 （1）（5分）计算：(tan45cos6000)2+33cot3090+

(sin45)202(1tan60)

02（2）（6分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，

AB=AD=2，∠A=60°，BC=5，求CD的长。

2、如图，一次函数的图象过点P（1，2），交x轴的正半轴与A，交y轴的正半轴与B，

求△AOB面积的最小值．

OAxBPy 2010年高中自主招生数学试题第4页（共13页）

3..如图,在Rt△ABC内有矩形DEFG,点D在边AB上，G在边AC上，EF在斜边BC上，

已知AB=3,AC=4, 矩形DEFG的面积为，求线段BE的长

35

BEDAG3题图FC4、如图，已知⊙O和⊙O'相交于A,B两点，过点A作⊙O'的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O,⊙O'于E,F,EF与AC相交于点P。 （1）求证：PAPEPCPF；

2PEPF（2）求证： ； 2PCPB（3）当⊙O的面积与⊙O'的面积相等且PC:CE:EP3:4:5时，求PEC与FAP的面积的比值。

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5、已知关于x的方程(m21)x23(3m1)x180有两个正整数根（m是整数）。 △ABC的三边a、b、c满足c23，m2a2m8a0，m2b2m8b0。

求：⑴ m的值；⑵ △ABC的面积。

2010年高中自主招生数学试题第6页（共13页）

6、在直角ABC中，C90，直角边BC与直角坐标系中的x轴重合，其内切圆的圆心坐标为p(0,1)，若抛物线ykx22kx1的顶点为A。求：

⑴ 求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向； ⑵ 用k表示B点的坐标； ⑶ 当k取何值时，ABC60

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7、在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线

yx上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线yx于点M，BC边交x轴于点N

（如图1)。

（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；

（2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明

你的结论；

（3）设MN=m，当m为何值时△OMN的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时△BMN内切圆的半径。

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y A B y=x O C x 图1

自贡市蜀光中学2010年高中自主招生考试

数学试题答案

一．BABCD CABAC 二．1. 三．

1．解：连结BD，作DE⊥BC于点E．（如图2）- - - - 1分

∵ AB=AD =2 ，∠A=60°，

∴ △ABD为等边三角形，BD =2，∠ADB=60°． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分 ∵ AD∥BC ，

∴ ∠DBC=60°．- - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分 在Rt△BDE中，∠BED=90°，∠DBE=60°，

142 2. (2，23)或(3，3)或(-1，3)．3.a 4. 5.①②④ 6. 5

ADBE图 C∴ DEBDsin603,BEBDcos601． - - - - - - - -- - - - - 4分 在Rt△CDE中，∠CED=90°，CEBCBE3， ∴ CDDECE2223．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分

2．解：设一次函数解析式为ykxb(k0)，-------1分 则2kb，得b2k，------2分 令y0得xbky>0，则OA＝bk．

BP令x0得yb>0，k<0，则OB＝b．-----4分

OAx 2010年高中自主招生数学试题第9页（共13页）

SAOB12121212(bk)b5分2(2k)kk24k4k27分2)8]9分2k[(k2k

k0，即k亦即k=-2时，-----10分当kS.AOB有最小值8,所以三角形AOB面积的最小值为8------11分3．解：设DE=x，由△BDE～△BCA知:又由△CFG～△CAB知:

FGAB3BEDEABAC434，则BE=

34x---------3分

,则FC=x--------5分

FCAC433425x------7分 EF=BCBEFC=5xx=543125252x)=,化简得5x12x40---------10分 DEEF=x(531225从而x=2或x=所以BE=

34---------11分

32或BE34235104．解：（1）证明：连结AB，CA切⊙O'于A，

2------12分

CABFCABE EF----------2分

AF//CE PEPFPCPAPAPEPCPF ①-----4分

（2）证明：在⊙O中，PBPEPAPC ②------6分

①×②得 PAPEPBPAPCPF PEPC2222PFPB----------8分

（3）连结AE，由（1）知PEC∽PFA，而PC:CE:EP3:4:5 PA:FA:PF3:4:5-------9分

设PC3x,CE4x,EP5x，PA=3y,FA=4y,PF=5y

2010年高中自主招生数学试题第10页（共13页）

EP2PC22CE PF2022PAFA CCAF90--10分

AE为⊙O的直径，AF为⊙O'的直径

当⊙O的面积与⊙O'的面积相等 AEAF4y-------11分 AC2CE22AE (3x3y)(4x)(4y) 即

222 25x218xy7y20 ------12分 即(25x7y)(xy)0

xy725xy22 SECP:SFAP49625----------14分

5．解：（1）方程有两个实数根，则m210，解方程得

x16m1，x23m1．--------2分

m0,1,2,5,m2,4.由题意，得m11,2,3,6,m11,3, 即-------4分

故m2．---------5分

（2）把m2代入两等式，化简得a24a20，b24b20， 当ab时，ab22．-----6分

2当ab时，a、b是方程x4x20的两根，而△＞0，由韦达定理得，

ab4＞0，ab2＞0，则a＞0、b＞0．------7分

2222①ab，c23时，由于ab(ab)2ab16412c

故△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，S△ABC＝②ab22，c23时，因2(212ab1．------9分

2)23，故不能构成三角形，不合

题意，舍去----------11分 ③ab2S△ABC＝

122，c23时，因2(223(22)(3)222)＞23，故能构成三角形．

9122------13分

2010年高中自主招生数学试题第11页（共13页）

综上，△ABC的面积为1或9122．-------14分

6．解：⑴ ∵ykx22kx1 ∴对称轴x1，-----1分

抛物线是以RtABC的直角边AC所在直线为对称轴，由题易得A(1,1k)， 又当x0时，y1即抛物线过P(0,1)，-----4分

故k0开口向下。-----5分

⑵ 如图，AC1K，BCCOOB1OB ABADBDAEOB ACCEOBOBk

在在直角ABC中由勾股定理得(1k)2(1OB)2(OBk)2-----8分

OBk1k1OBk1B,0-----10分 k1k13

k1⑶ ∵ABC60，∴tanABC又在直角ABC中

AC1ktanABCk1BC1 1k1k2k2A y D 2313分E C P · O B x ∴k23k10

∴k132，k232 又∵k0 ∴k32-----16分

7．解：（1）如图，S阴SOABS扇形OBBSOABS扇形OAA =S扇形OBBS扇形OAA45360(2)245360128--------------6分

（2）p值无变化----------------------------8分 证明：延长BA交y轴于E点， 在OAE与OCN中，

AOECON90AON OAEOCN90OAOC所以，OAE≌OCN

所以，OE=ON，AE=CN--------------------------9分 在OME与OMN中

2010年高中自主招生数学试题第12页（共13页）

OEONMOEMON45 所以，OME≌OMN OMOM所以，MN==ME=AM+AE=AM+CN------------------------10分

所以，P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2--------------------11分 （3）设AMn,则BM1n,CNmn,BN1mn， 又OME≌OMN，∴SMONSMOE在RtBMN中，BM2BN2MN2

所以，(1n)2(1mn)2m2n2mn2m0

所以，m24(2m)0m232或m232（舍去）

m的最小值为232--------------15分

12OAEM12m-----------------------12分

所以，当m232时，OMN的面积最小-------------------16分

RtBMN的内切圆半径为

BMBNMN2323----------------18分

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