三角函数练习(含答案)

三角函数

副标题

题号 得分 一 二 三 总分 一、填空题（本大题共2小题，共6.0分） 1. 若sinA=，则锐角∠A的度数为______． 【答案】30°

【解析】解：∵sinA=，

∴锐角∠A的度数为30°． 故答案为：30°．

根据锐角三角函数值即可确定锐角的度数． 本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．

2. 如图所示，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻

的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为20m，则电梯楼的高BC为______米（精确到0.1）．（参考数据：）

【答案】.6

【解析】解：作AD⊥BC于点D． ∵∠DAC=45°， ∴CD=AD=20． ∵∠BAD=60°，

tan60°=20≈34.6． ∴BD=AD×

∴BC=BD+CD=34.+20≈.6（米）． 故答案为：.6．

易得CD=AD=20，利用60°的正切值可求得BD长．BD+CD即为电梯楼的高．

本题考查了解直角三角形的知识，构造仰角和俯角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．

二、计算题（本大题共4小题，共24.0分） 3. 阅读材料：

β为任意角时，tan一般地，当α、（α+β）与tan（α-β）的值可以用下面的公式求得：

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tan（α±β）=．

=

=

=tan（45°-30°例如：tan15°）==

=

=2-．

根据以上材料，解决下列问题：

（1）求tan75°的值；

（2）都匀文峰塔，原名文笔塔，始建于明代万历年间，系五层木塔．文峰塔的木塔年久倾毁，仅存塔基．1983年，拨款维修文峰塔，成为今天的七层六面实心石塔（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，已知小华站在离塔底中心A处5.7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.72米，请帮助小华求出文峰塔AB的高度．（精确到1米，参考数据≈1.732，≈1.414）

=tan（45°+30°【答案】解：（1）tan75°）=（2）如图2，易得DE=CA=5.7，AE=CD=1.72， 在Rt△BDE中，∵tan∠BDE=，

=5.7×∴BE=DEtan75°（2+）≈21.2724，

∴AB=BE+AE=21.2724+1.72≈23（m）． 答：文峰塔AB的高度约为23m．

【解析】（1）利用题中的公式和特殊角的三角函数值计算75度的正切值；

（2）如图2，先在Rt△BDE中利用正切的定义计算出BE，然后计算BE+AE即可． 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．

4. 计算：【答案】解：=2

+2-4×-3

×+|-2|-4sin45°-（）-1． ×+|-2|-4sin45°-（）-1

=

=

=2+

；

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=2+2-2=-1．

-3

【解析】本题涉及特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式化简5个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、二次根式等考点的运算．

0

|-（）-1+5. 计算：2017+|1-sin30°

．

0

|-（）-1+【答案】解：2017+|1-sin30°

=1+|1-|-3+4 =1+-3+4 =2．

【解析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂、二次根式

化简5个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂、二次根式等考点的运算．

-1

+（-1）2017 6. （1）（-1）+-6sin45°

2

（2）解方程：4x-3=12x（用公式法解） 【答案】解：（1）原式==+1+2=0；

-3

-1

+1+2

-6×+（-1）

2

（2）4x-3=12x， 4x2-12x-3=0，

2

4×△=（-12）-4×（-3）=192， x=x1=

， ，x2=

．

【解析】（1）先求出每一部分的值，然后计算即可； 2

（2）先求出b-4ac的值，再代入公式求出即可．

本题考查了负整数指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，能求出每一部分的值是解（1）的关键，能熟记公式是解（2）的关键．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

-3

7. 计算：-2-

．

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【答案】解：原式=--2+4×-2=--2+2=-．

-2

【解析】分别根据负整数指数幂的计算法则、数的开方法则及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．

本题考查的是实数的运算，熟知负整数指数幂的计算法则、数的开方法则及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．

-1

+（2-π）0． 8. 计算：3+|-1|-2sin45°【答案】解：原式=+=+=．

【解析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简

得出答案．

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

9. 计算：

-|-2|+（1）tan60°

（2）（1+

）÷

． -2+3

=4

-2

-1-+1

-1-2×+1

【答案】解：（1）原式=（2）原式==

×

×

=x+1

【解析】（1）根据特殊角的锐角三角函数以及二次根式的性质即可求出答案． （2）根据分式的运算法则即可求出答案．

本题考查分式的化简求值，解题的关键熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．

10. 如图，轮船沿正南方向以33海里/时的速度匀速航行，在m处观

测到灯塔p在西偏南69°方向下，航行2小时后到达n处，观测灯塔p在西偏南57°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，求此时轮船离灯塔的距离约为多少海里？（结果精确到整数，参

tan33°≈，sin33°≈，cos33°≈，tan21°≈，sin21°≈，c0s21°≈考数据：）

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MN=33×2=66【答案】解：如图，过点P作PA⊥MN于点A，（海里），设PA=x海里．

-∠CNP=90°-57°=33°∵在Rt△APN中，∠ANP=90°， ∴AN=

≈=x．

-∠BMP=90°-69°=21°∵在Rt△APM中，∠AMP=90°， ∴AM=

≈=x．

∵AM-AN=MN， ∴x-x=66， ∴x=79.2，

∴PA=79.2海里．

故此时轮船离灯塔的距离约为79.2海里．

【解析】过点P作PA⊥MN于点A，则若该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为PA的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可．

本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

11. 如图，小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点

的俯角分别为60°和35°，已知大桥BC的长度为100m，且与地面在同一水平面上．求热气球离地面的高度．

（结果保留整数，参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，

≈1.7）

【答案】解：作AD⊥CB交CB所在直线于点D，由题知， ∠ACD=35°，∠ABD=60°， tan35°=≈， ∵在Rt△ACD中，∠ACD=35°，∴CD=AD．

==∵在Rt△ABD中，∠ABD=60°，tan60°≈1.7， ∴BD=AD，

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∴BC=CD-BD=AD-AD， ∴AD-AD=100，解得AD=119m．

答：热气球离地面的高119m．

【解析】作AD⊥CB交CB所在直线于点D，利用锐角三角函数的定义求出CD及BD的长，利用BC=CD-BD即可得出结论．

本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

12. 周末，小明一家去东昌湖划船，当船划到湖中C点处

时，湖边的路灯A位于点C的北偏西°方向上，路灯B位于点C的北偏东44°方向上，已知每两个路灯之间的距离是50米，求此时小明一家离岸边的距离是多少米？（精确到1米）（参考数据：

sin°≈0.9，cos°≈0.4，tan°≈2.1，sin44°≈0.7，cos44°≈0.7，tan44°≈1.0） 【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，设CDx米， 在Rt△ACD中， ∵∠ACD=°，

=tan°x（米）， ∴AD=CD•tan°

在Rt△BCD中， ∴∠DCB=44°，

=tan44°x（米）， ∴BD=CD•tan44°

∵AB=AD+BD，

x+tan44°x=50×2=100， ∴AB=tan°

解得：x≈32，

答：此时小明一家离岸边的距离约32米．

【解析】过点C作CD⊥AB于点D，设CDx米，在Rt△ACD和Rt△BCD中，根据三角函数分别求出AD和BD，再根据AB=AD+BD，求出x的值即可得出答案．

此题考查了解直角三角形的应用，此类问题比较简单，在解答过程中，正确使用三角函数是解题的关键．

13. 如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与地面的夹角为a

（a=∠BCA），当梯顶下滑1m时，这架梯子与地面的夹角为b（b=∠DEA，A、C、E三点在一条直线上），求梯子的长．

（参考数据：sina=，cosa=，tana=；sinb=，cosb=，tanb=）

【答案】解：在直角△ADE中，∠DEA=b，DE=x，则AD=sinb•x=x． 在直角△ABC中，∠ACB=a，BC=x，则AB=sina•x=x． 依题意得：x-x=1，

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解得x=5．

答：梯子的长度为5m．

【解析】设梯子的长度为x．通过解直角△ADE求得线段AD的长度；通过解直角△ABC得到线段AB的长度；然后结合AB-AD=1列出方程，通过解方程求得x的值．

本题考查了解直角三角形的应用．主要是正弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．

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