2021-2022学年河南省安阳市林州市八年级(上)期中数学试题及答案解析

2021-2022学年河南省安阳市林州市八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下面是部分汽车标志图形，其中不是轴对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

2. 已知三角形的两边分别为4和10，则此三角形的第三边可能是( )

A. 4 B. 5 C. 9 D. 14

3. 如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1=20°，则∠2的度数是( )

A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°

4. 如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，则∠𝐸的度数为( )

A. 80° B. 40° C. 62° D. 38°

∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐷𝐵𝐴，5. 如图，再添加一个条件，不能判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐴𝐷的是( )

A. 𝐴𝐶=𝐵𝐷 C. ∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐶𝐵𝐴

B. 𝐴𝐷=𝐵𝐶 D. ∠𝐶=∠𝐷

6. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．

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如图：一把直尺压住射线𝑂𝐵，另一把直尺压住射线𝑂𝐴并且与第一把直尺交于点𝑃，小明说：“射线𝑂𝑃就是∠𝐵𝑂𝐴的角平分线．”他这样做的依据是( )

A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确

7. 如图，𝑂𝑃是∠𝐴𝑂𝐵的平分线，点𝐶，𝐷分别在角的两边𝑂𝐴，𝑂𝐵上，添加下列条件，不能判定△𝑃𝑂𝐶≌△𝑃𝑂𝐷的选项是( )

A. 𝑃𝐶⊥𝑂𝐴，𝑃𝐷⊥𝑂𝐵 B. 𝑂𝐶=𝑂𝐷 C. ∠𝑂𝑃𝐶=∠𝑂𝑃𝐷 D. 𝑃𝐶=𝑃𝐷

8. 等腰三角形的一个角是70°，它的底角的大小为( )

A. 70° B. 40° C. 70°或40° D. 70°或55°

𝐵𝑃是∠𝐴𝐵𝐶的平分线，𝐴𝑃⊥𝐵𝑃于𝑃，9. 如图，连接𝑃𝐶，若△𝐴𝐵𝐶的面积为1𝑐𝑚2，则△𝑃𝐵𝐶的面积 ( )

A. 0.4𝑐𝑚2 B. 0.5𝑐𝑚2 C. 0.6𝑐𝑚2 D. 不能确定

10. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90°，直角∠𝐸𝑃𝐹的顶点𝑃是𝐵𝐶的中点，两边 𝑃𝐸，𝑃𝐹分别交𝐴𝐵，𝐴𝐶于点𝐸，𝐹，𝐵重合).现给出当∠𝐸𝑃𝐹在△𝐴𝐵𝐶内绕顶点𝑃旋转时(点𝐸不与𝐴，以下四个结论： (1)𝐴𝐸=𝐶𝐹；

(2)△𝐸𝑃𝐹是等腰直角三角形； (3)𝑆四边形𝐴𝐸𝑃𝐹=2𝑆△𝐴𝐵𝐶；

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(4)𝐸𝐹=𝐴𝑃．

上述结论中始终正确的结论有( )

A. 1个

B. 2个 C. 3个 D. 4个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 若点𝐴(5,𝑏)与点𝐵(𝑎+1,3)关于𝑥轴对称，则(𝑎+𝑏)2021=______．

12. 若一个多边形的内角和为1800°，则从这个多边形的一个顶点引出的对角线有______条． 13. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷𝐸垂直平分𝐴𝐵，交𝐴𝐵于点𝐷，交𝐵𝐶于点𝐸，∠𝐵=15°，∠𝐶𝐴𝐸=60°.若𝐴𝐶=2，则𝐵𝐸=______．

14. 一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角∠3=80°，则∠1+∠2=______．

15. 如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，𝐸是𝐴𝐶的中点，𝑃是𝐴𝐷上的一个动点，∠𝐶𝑃𝐸的度数是______．当𝑃𝐶与𝑃𝐸的和最小时，

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. (本小题8.0分)

𝑏、𝑐为△𝐴𝐵𝐶的三边长，𝑐满足(𝑏−5)2+√𝑐−7=0，𝑎为方程|𝑎−3|=2的解，已知𝑎、且𝑏、求△𝐴𝐵𝐶的周长，并判断△𝐴𝐵𝐶的形状．

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17. (本小题9.0分)

如图，点𝐶，𝐸，𝐹，𝐵在同一直线上，点𝐴，𝐷在𝐵𝐶异侧，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐸=𝐷𝐹，∠𝐴=∠𝐷． (1)求证：𝐴𝐵=𝐶𝐷；

(2)若𝐴𝐵=𝐶𝐹，∠𝐵=40°，求∠𝐷的度数．

18. (本小题9.0分)

如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷是𝐵𝐶的中点，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，垂足分别是𝐸，𝐹，𝐵𝐸=𝐶𝐹． 求证：𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线．

19. (本小题9.0分)

如图，已知△𝐴𝐵𝐶的顶点分别为𝐴(−2,2)、𝐵(−4,5)、𝐶(−5,1)和直线𝑚(直线𝑚上各点的横坐标都为1)．

(1)作出△𝐴𝐵𝐶关于𝑥轴对称的图形△𝐴1𝐵1𝐶1，并写出点𝐴1的坐标； (2)作出点𝐶关于直线𝑚对称的点𝐶2，并写出点𝐶2的坐标；

(3)在𝑥轴上找一点𝑃，使𝑃𝐴+𝑃𝐶的值最小，请直接写出点𝑃的坐标．

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20. (本小题9.0分)

如图1，将一块等腰直角三角板𝐴𝐵𝐶的直角顶点𝐶置于直线𝑙上，图2是由图1抽象出的几何图形，过𝐴、𝐵两点分别作直线𝑙的垂线，垂足分别为𝐷、𝐸． (1)△𝐴𝐶𝐷与△𝐶𝐵𝐸全等吗？说明你的理由． (2)若𝐴𝐷=2，𝐷𝐸=3.5，求𝐵𝐸的长．

21. (本小题10.0分)

如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐸𝐹垂直平分𝐴𝐶，交𝐴𝐶于点𝐹，交𝐵𝐶于点𝐸，且𝐴𝐸=𝐴𝐵． (1)若∠𝐵𝐴𝐸=40°，求∠𝐶的度数；

(2)若△𝐴𝐵𝐶周长26𝑐𝑚，𝐴𝐶=10𝑐𝑚，求𝐷𝐶长．

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22. (本小题10.0分)

在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，点𝐷是射线𝐶𝐵上的一动点(不与点𝐵、𝐶重合)，以𝐴𝐷为一边在𝐴𝐷的右侧作△𝐴𝐷𝐸，使𝐴𝐷=𝐴𝐸，∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐶，连接𝐶𝐸．

(1)如图1，当点𝐷在线段𝐶𝐵上，且∠𝐵𝐴𝐶=90°时，那么∠𝐷𝐶𝐸=______度； (2)设∠𝐵𝐴𝐶=𝛼，∠𝐷𝐶𝐸=𝛽．

①如图2，当点𝐷在线段𝐶𝐵上，∠𝐵𝐴𝐶≠90°时，请你探究𝛼与𝛽之间的数量关系，并证明你的结论；

②如图3，当点𝐷在线段𝐶𝐵的延长线上，∠𝐵𝐴𝐶≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时𝛼与𝛽之间的数量关系(不需证明)．

23. (本小题11.0分)

如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐴𝐶=12𝑐𝑚，现有两点𝑀、𝑁分别从点𝐴、点𝐵同时出发，沿三𝑀、角形的边运动，已知点𝑀的速度为1𝑐𝑚/𝑠，点𝑁的速度为2𝑐𝑚/𝑠.当点𝑁第一次到达𝐵点时，𝑁同时停止运动．

(1)点𝑀、𝑁运动几秒后，𝑀、𝑁两点重合？

(2)点𝑀、𝑁运动几秒后，可得到等边三角形△𝐴𝑀𝑁？

(3)当点𝑀、𝑁在𝐵𝐶边上运动时，能否得到以𝑀𝑁为底边的等腰三角形𝐴𝑀𝑁？如存在，请求出此时𝑀、𝑁运动的时间．

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答案和解析

1.【答案】𝐷

【解析】解：𝐴.是轴对称图形，故本选项不合题意； B.是轴对称图形，故本选项不合题意； C.是轴对称图形，故本选项不合题意； D.不是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：𝐷．

根据轴对称图形的概念判断即可．

本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

2.【答案】𝐶

【解析】解：设此三角形第三边的长为𝑥，则10−4<𝑥<10+4，即6<𝑥<14，四个选项中只有9符合条件． 故选：𝐶．

设此三角形第三边的长为𝑥，根据三角形的三边关系求出𝑥的取值范围，找出符合条件的𝑥的值即可．

本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

3.【答案】𝐶

【解析】 【分析】

本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质．先根据三角形外角的性质求出∠𝐵𝐸𝐹的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数． 【解答】

解：如图，∵∠𝐵𝐸𝐹是△𝐴𝐸𝐹的外角，∠1=20°，∠𝐹=30°， ∴∠𝐵𝐸𝐹=∠1+∠𝐹=50°，

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∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，

∴∠2=∠𝐵𝐸𝐹=50°， 故选：𝐶．

4.【答案】𝐷

【解析】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，∠𝐴=80°，∠𝐶=62°， ∴∠𝐹=∠𝐶=62°，∠𝐷=∠𝐴=80°，

∴∠𝐸=180°−∠𝐷−∠𝐹=180°−80°−62°=38°， 故选：𝐷．

∠𝐷=∠𝐴=80°，根据全等三角形的性质得出∠𝐹=∠𝐶=62°，根据三角形的内角和定理求出∠𝐸的度数即可．

本题考查了对全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．

5.【答案】𝐵

【解析】解：𝐴、∵𝐴𝐶=𝐵𝐷，∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐷𝐵𝐴，𝐴𝐵=𝐵𝐴，利用𝑆𝐴𝑆能判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐴𝐷，不符合题意；

B、∵𝐴𝐷=𝐵𝐶，∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐷𝐵𝐴，𝐴𝐵=𝐵𝐴，利用𝑆𝑆𝐴不能判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐴𝐷，符合题意； C、∵∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐶𝐵𝐴，𝐴𝐵=𝐵𝐴，∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐷𝐵𝐴，利用𝐴𝑆𝐴能判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐴𝐷，不符合题意； D、∵∠𝐶=∠𝐷，∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐷𝐵𝐴，𝐴𝐵=𝐵𝐴，利用𝐴𝐴𝑆能判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐴𝐷，不符合题意； 故选：𝐵．

全等三角形的判定定理有𝑆𝐴𝑆，𝐴𝑆𝐴，𝐴𝐴𝑆，𝑆𝑆𝑆，根据以上内容判断即可． 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的各判定定理是解题的关键．

6.【答案】𝐴

【解析】 【分析】

此题主要考查了角平分线的判定，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．过两把直尺的交点𝑃作𝑃𝐸⊥𝐴𝑂，𝑃𝐹⊥𝐵𝑂，根据题意可得𝑃𝐸=𝑃𝐹，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵． 【解答】

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解：如图所示：过两把直尺的交点𝑃作𝑃𝐸⊥𝐴𝑂，𝑃𝐹⊥𝐵𝑂，

因为两把完全相同的长方形直尺， 所以𝑃𝐸=𝑃𝐹，

所以𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵，(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上)， 故选：𝐴．

7.【答案】𝐷

𝐴.𝑃𝐶⊥𝑂𝐴，𝑃𝐷⊥𝑂𝐵得出∠𝑃𝐶𝑂=∠𝑃𝐷𝑂=90°，【解析】解：根据𝐴𝐴𝑆，能判定△𝑃𝑂𝐶≌△𝑃𝑂𝐷， B.𝑂𝐶=𝑂𝐷，根据𝑆𝐴𝑆，能判定△𝑃𝑂𝐶≌△𝑃𝑂𝐷， C.∠𝑂𝑃𝐶=∠𝑂𝑃𝐷，根据𝐴𝑆𝐴，能判定△𝑃𝑂𝐶≌△𝑃𝑂𝐷， D.𝑃𝐶=𝑃𝐷，𝑆𝑆𝐴，无此判定定理，不能判定△𝑃𝑂𝐶≌△𝑃𝑂𝐷， 故选：𝐷．

要得到△𝑃𝑂𝐶≌△𝑃𝑂𝐷，现有的条件为有一对角相等，一条公共边，缺少角，或着是边，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．于是答案可得．

本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．

8.【答案】𝐷

【解析】解：①当这个角是顶角时，底角=(180°−70°)÷2=55°； ②当这个角是底角时，另一个底角为70°，顶角为40°． 故选：𝐷．

题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解． 此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．

9.【答案】𝐵

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【解析】 【分析】

延长𝐴𝑃交𝐵𝐶于𝐸，根据已知条件证得△𝐴𝐵𝑃≌△𝐸𝐵𝑃，根据全等三角形的性质得到𝐴𝑃=𝑃𝐸，得出𝑆△𝐴𝐵𝑃=𝑆△𝐸𝐵𝑃，𝑆△𝐴𝐶𝑃=𝑆△𝐸𝐶𝑃，推出𝑆△𝑃𝐵𝐶=𝑆△𝐴𝐵𝐶，代入求出即可．

本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 【解答】

解：如图，延长𝐴𝑃交𝐵𝐶于𝐸，

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∵𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝑃=∠𝐸𝐵𝑃， ∵𝐴𝑃⊥𝐵𝑃，

∴∠𝐴𝑃𝐵=∠𝐸𝑃𝐵=90°， ∴△𝐴𝐵𝑃≌△𝐸𝐵𝑃(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝐴𝑃=𝑃𝐸，

∴𝑆△𝐴𝐵𝑃=𝑆△𝐸𝐵𝑃，𝑆△𝐴𝐶𝑃=𝑆△𝐸𝐶𝑃， ∴𝑆△𝑃𝐵𝐶=𝑆△𝐴𝐵𝐶=×1=0.5(𝑐𝑚2)， 故选B．

121210.【答案】𝐶

【解析】解：∵△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝑃是𝐵𝐶中点，

∴∠𝐵=∠𝐶=∠𝐵𝐴𝑃=∠𝐶𝐴𝑃=45°，𝐴𝑃=𝑃𝐶=𝑃𝐵，∠𝐴𝑃𝐶=∠𝐸𝑃𝐹=90°， ∴∠𝐸𝑃𝐹−∠𝐴𝑃𝐹=∠𝐴𝑃𝐶−∠𝐴𝑃𝐹， ∴∠𝐴𝑃𝐸=∠𝐶𝑃𝐹，

∠𝐸𝐴𝑃=∠𝐶=45°

在△𝐴𝑃𝐸和△𝐶𝑃𝐹中{𝐴𝑃=𝐴𝑃，

∠𝐴𝑃𝐸=∠𝐶𝑃𝐹∴△𝐴𝑃𝐸≌△𝐶𝑃𝐹(𝐴𝑆𝐴)，

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∴𝐴𝐸=𝐶𝐹，𝐸𝑃=𝑃𝐹，

∴△𝐸𝑃𝐹是等腰直角三角形，∴①正确；②正确； ∵△𝐴𝑃𝐸≌△𝐶𝑃𝐹 ∴𝑆𝐴𝑃𝐸=𝑆△𝐶𝑃𝐹，

∴𝑆四边形𝐴𝐸𝑃𝐹=𝑆△𝐴𝐸𝑃+𝑆△𝐴𝑃𝐹=𝑆△𝐶𝑃𝐹+𝑆△𝐴𝑃𝐹=𝑆△𝐴𝑃𝐶=2𝑆△𝐴𝐵𝐶，∴③正确； ∵△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，𝑃是𝐵𝐶的中点， ∴𝐴𝑃=𝐵𝐶，

∵𝐸𝐹不是△𝐴𝐵𝐶的中位线， ∴𝐸𝐹≠𝐴𝑃，故④错误； 即正确的有3个， 故选C．

根据等腰直角三角形的性质得出∠𝐵=∠𝐶=∠𝐵𝐴𝑃=∠𝐶𝐴𝑃=45°，𝐴𝑃=𝑃𝐶=𝑃𝐵，∠𝐴𝑃𝐶=∠𝐸𝑃𝐹=90°，𝐸𝑃=𝑃𝐹，求出∠𝐴𝑃𝐸=∠𝐶𝑃𝐹，证△𝐴𝑃𝐸≌△𝐶𝑃𝐹，推出𝐴𝐸=𝐶𝐹，推出𝑆𝐴𝑃𝐸=𝑆△𝐶𝑃𝐹，求出𝑆四边形𝐴𝐸𝑃𝐹=𝑆△𝐴𝑃𝐶=2𝑆△𝐴𝐵𝐶，求出𝐵𝐸+𝐶𝐹=𝐴𝐸+𝐴𝐹>𝐸𝐹，即可得出答案．

本题考查了等腰三角形性质，直角三角形斜边上中线性质，三角形三边关系定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．

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11.【答案】1

【解析】解：∵点𝐴(5,𝑏)与点𝐵(𝑎+1,3)关于𝑥轴对称， ∴5=𝑎+1，𝑏=−3， 解得：𝑎=4，

故(𝑎+𝑏)2021=(4−3)2021=1． 故答案为：1．

直接利用关于𝑥轴对称点的性质得出𝑎，𝑏的值进而得出答案．

此题主要考查了关于𝑥轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．

12.【答案】9

【解析】解：设此多边形的边数为𝑥，由题意得： (𝑥−2)×180=1800，

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解得𝑥=12，

从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：12−3=9， 故答案为：9．

首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．

此题主要考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式180°(𝑛−2)．

13.【答案】4

【解析】解：∵𝐷𝐸垂直平分𝐴𝐵， ∴𝐸𝐴=𝐸𝐵，

∴∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐵=15°， ∴∠𝐴𝐸𝐶=15°+15°=30°， ∵∠𝐶𝐴𝐸=60°， ∴∠𝐶=90°， ∴𝐸𝐴=2𝐴𝐶=4， ∴𝐵𝐸=4， 故答案为：4．

根据线段垂直平分线的性质得到𝐸𝐴=𝐸𝐵，得到∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐵=15°，根据三角形的外角性质求出∠𝐴𝐸𝐶，根据直角三角形的性质解答即可．

本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

14.【答案】130°

【解析】解：如图，由等边三角形和直角三角形可得∠1+𝛼=120°，∠2+𝛽=90°，

∴∠1+∠2+𝛼+𝛽=90°+120°=210°， 且∠3=𝛼+𝛽， ∴𝛼+𝛽=80°，

∴∠1+∠2=210°−80°=130°， 故答案为：130°．

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∠2+𝛽=90°，由等边三角形和直角三角形可得∠1+𝛼=120°，且∠3=𝛼+𝛽=80°，可求得∠1+∠2．

本题主要考查等边三角形的性质及外角的性质，由条件利用𝛼、𝛽得到∠3和∠1、∠2之间的关系是解题的关键．

15.【答案】60°

【解析】解：如连接𝐵𝐸，与𝐴𝐷交于点𝑃，此时𝑃𝐸+𝑃𝐶最小， ∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶， ∴𝑃𝐶=𝑃𝐵，

∴𝑃𝐸+𝑃𝐶=𝑃𝐵+𝑃𝐸=𝐵𝐸， 即𝐵𝐸就是𝑃𝐸+𝑃𝐶的最小值， ∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形， ∴∠𝐵𝐶𝐸=60°， ∵𝐵𝐴=𝐵𝐶，𝐴𝐸=𝐸𝐶， ∴𝐵𝐸⊥𝐴𝐶， ∴∠𝐵𝐸𝐶=90°， ∴∠𝐸𝐵𝐶=30°， ∵𝑃𝐵=𝑃𝐶，

∴∠𝑃𝐶𝐵=∠𝑃𝐵𝐶=30°， ∴∠𝐶𝑃𝐸=∠𝑃𝐵𝐶+∠𝑃𝐶𝐵=60°， 故答案为60°．

连接𝐵𝐸，则𝐵𝐸的长度即为𝑃𝐸与𝑃𝐶和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠𝑃𝐵𝐶=∠𝑃𝐶𝐵=30°，即可解决问题；

本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．

16.【答案】解：∵(𝑏−5)2+√𝑐−7=0，

∴{

𝑏−5=0

，

𝑐−7=0

𝑏=5解得{，

𝑐=7

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∵𝑎为方程|𝑎−3|=2的解， ∴𝑎=5或1，

当𝑎=1，𝑏=5，𝑐=7时，1+5<7， 不能组成三角形，故𝑎=1不合题意； ∴𝑎=5，

∴△𝐴𝐵𝐶的周长=5+5+7=17， ∵𝑎=𝑏=5，

∴△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形．

【解析】依据非负数的性质，即可得到𝑏和𝑐的值，再根据𝑎为方程|𝑎−3|=2的解，即可得到𝑎=5或1，依据三角形三边关系，即可得到𝑎=5，进而得出△𝐴𝐵𝐶的周长，以及△𝐴𝐵𝐶的形状． 本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．

17.【答案】(1)证明：∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，

∴∠𝐵=∠𝐶， 在△𝐴𝐵𝐸和△𝐷𝐶𝐹中， ∠𝐴=∠𝐷{∠𝐵=∠𝐶， 𝐴𝐸=𝐷𝐹

∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐵=𝐶𝐷；

(2)解：∵△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹，

∴𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝐵𝐸=𝐶𝐹，∠𝐵=∠𝐶， ∵∠𝐵=40°，

∴∠𝐶=40°

∵𝐴𝐵=𝐶𝐹， ∴𝐶𝐹=𝐶𝐷，

∴∠𝐷=∠𝐶𝐹𝐷=2(180°−40°)=70°．

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【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的判定求出△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹是解此题的关键．

(1)根据平行线的性质求出∠𝐵=∠𝐶，根据𝐴𝐴𝑆推出△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹，根据全等三角形的性质得出即可；

(2)根据全等得出𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝐵𝐸=𝐶𝐹，∠𝐵=∠𝐶，求出𝐶𝐹=𝐶𝐷，推出∠𝐷=∠𝐶𝐹𝐷，即可求出答案．

18.【答案】证明：∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，

∴𝑅𝑡△𝐵𝐷𝐸和𝑅𝑡△𝐷𝐶𝐹是直角三角形． 𝐵𝐷=𝐷𝐶{， 𝐵𝐸=𝐶𝐹

∴𝑅𝑡△𝐵𝐷𝐸≌𝑅𝑡△𝐷𝐶𝐹(𝐻𝐿)， ∴𝐷𝐸=𝐷𝐹，

又∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶， ∴𝐴𝐷是角平分线．

【解析】首先可证明𝑅𝑡△𝐵𝐷𝐸≌𝑅𝑡△𝐷𝐶𝐹(𝐻𝐿)再根据三角形角平分线的逆定理求得𝐴𝐷是角平分线即可．

此题主要考查了角平分线的逆定理，综合运用了直角三角形全等的判定．由三角形全等得到𝐷𝐸=𝐷𝐹是正确解答本题的关键．

19.【答案】解：(1)如图所示，△𝐴1𝐵1𝐶1即为所求，

其中点𝐴1的坐标为(−2,−2)；

(2)如图所示：，𝐶2(7,1)；

(3)如图所示：点𝑃为所求，𝑃(−4,0)．

(1)直接利用关于𝑥轴对称点的性质得出对应点位置【解析】进而得出答案；

(2)直接利用关于直线对称点的性质得出答案； (3)利用轴对称求最短路线的方法得出答案．

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此题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路线，正确得出对应点位置是解题关键．

20.【答案】解：(1)△𝐴𝐶𝐷≌△𝐶𝐵𝐸，

理由：∵𝐴𝐷⊥𝐶𝐸，𝐵𝐸⊥𝐶𝐸， ∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐶𝐸𝐵=90°， 又∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，

∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐶𝐵𝐸=90°−∠𝐸𝐶𝐵． 在△𝐴𝐶𝐷与△𝐶𝐵𝐸中， ∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐶𝐸𝐵{∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐶𝐵𝐸， 𝐴𝐶=𝐵𝐶

∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐶𝐵𝐸(𝐴𝐴𝑆)； (2)∵△𝐴𝐶𝐷≌△𝐶𝐵𝐸， ∴𝐶𝐷=𝐵𝐸，𝐴𝐷=𝐶𝐸=2， 又∵𝐷𝐸=3.5，

∴𝐶𝐷=𝐶𝐸+𝐷𝐸=5.5， ∴𝐵𝐸=5.5．

【解析】(1)根据𝐴𝐴𝑆可证明△𝐴𝐶𝐷≌△𝐶𝐵𝐸；

(2)由(1)知△𝐴𝐶𝐷≌△𝐶𝐵𝐸，根据全等三角形的对应边相等，得出𝐶𝐷=𝐵𝐸，𝐴𝐷=𝐶𝐸，从而求出线段𝐶𝐷的长，则可得出答案．

本题考查全等三角形的判定与性质，余角的性质，关键是根据𝐴𝐴𝑆证明△𝐴𝐶𝐷≌△𝐶𝐵𝐸．

21.【答案】解：(1)∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐴𝐸=𝐴𝐵，𝐸𝐹垂直平分𝐴𝐶，

∴𝐴𝐵=𝐴𝐸=𝐸𝐶， ∴∠𝐶=∠𝐶𝐴𝐸， ∵∠𝐵𝐴𝐸=40°，

∴∠𝐴𝐸𝐷=2×(180°−40°)=70°， ∴∠𝐶=2∠𝐴𝐸𝐷=35°；

(2)∵△𝐴𝐵𝐶周长26𝑐𝑚，𝐴𝐶=10𝑐𝑚， ∴𝐴𝐵+𝐵𝐶=16(𝑐𝑚)，

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∴𝐴𝐵+𝐵𝐸+𝐸𝐶=16(𝑐𝑚)， 即2𝐷𝐸+2𝐸𝐶=16(𝑐𝑚)， ∴𝐷𝐸+𝐸𝐶=8(𝑐𝑚)， ∴𝐷𝐶=𝐷𝐸+𝐸𝐶=8(𝑐𝑚)．

(1)根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出𝐴𝐵=𝐴𝐸=𝐶𝐸，【解析】求出∠𝐴𝐸𝐵和∠𝐶=∠𝐸𝐴𝐶，即可得出答案；

(2)根据已知能推出2𝐷𝐸+2𝐸𝐶=10𝑐𝑚，即可得出答案．

本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．

22.【答案】解：(1)90；

(2)①数量关系：𝛼+𝛽=180°； 证明如下：

∵∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐷𝐴𝐶=𝛼，∠𝐷𝐴𝐶+∠𝐶𝐴𝐸=𝛼， ∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸， 在△𝐵𝐴𝐷和△𝐶𝐴𝐸中， 𝐴𝐵=𝐴𝐶

{∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸， 𝐴𝐷=𝐴𝐸

∴△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐵，

∵∠𝐵+∠𝐴𝐶𝐵=180°−𝛼，

∴∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐴𝐶𝐸+∠𝐴𝐶𝐵=180°−𝛼=𝛽， ∴𝛼+𝛽=180°； ②作出图形，

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数量关系：𝛼=𝛽． 【解析】 【分析】

(1)易证∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸，即可证明△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，可得∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐵，即可解题；

(2)易证∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸，即可证明△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，可得∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐵，根据∠𝐵+∠𝐴𝐶𝐵=180°−𝛼即可解题；

(3)易证∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸，即可证明△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，可得∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐴𝐷𝐵，根据∠𝐴𝐷𝐸+∠𝐴𝐸𝐷+𝛼=180°，∠𝐶𝐷𝐸+∠𝐶𝐸𝐷+𝛽=180°即可解题；

本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸是解题的关键． 【解答】

解：(1)∵∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐷𝐴𝐶=90°，∠𝐷𝐴𝐶+∠𝐶𝐴𝐸=90°， ∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸， 在△𝐵𝐴𝐷和△𝐶𝐴𝐸中， 𝐴𝐵=𝐴𝐶

{∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸， 𝐴𝐷=𝐴𝐸

∴△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐵， ∵∠𝐵+∠𝐴𝐶𝐵=90°，

∴∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐴𝐶𝐸+∠𝐴𝐶𝐵=90°； 故答案为90． (2)①见答案； ②图形见答案，

数量关系：𝛼=𝛽，理由如下：

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∵∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐵𝐴𝐸=𝛼，∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐶𝐴𝐸=𝛼， ∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸， 在△𝐵𝐴𝐷和△𝐶𝐴𝐸中， 𝐴𝐵=𝐴𝐶

{∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸， 𝐴𝐷=𝐴𝐸

∴△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐴𝐷𝐵，

∵∠𝐴𝐷𝐸+∠𝐴𝐸𝐷+𝛼=180°，∠𝐶𝐷𝐸+∠𝐶𝐸𝐷+𝛽=180°， ∠𝐶𝐸𝐷=∠𝐴𝐸𝐶+∠𝐴𝐸𝐷， ∴𝛼=𝛽．

23.【答案】解：(1)设点𝑀、𝑁运动𝑥秒后，𝑀、𝑁两点重合，

𝑥×1+12=2𝑥， 解得：𝑥=12；

(2)设点𝑀、𝑁运动𝑡秒后，可得到等边三角形△𝐴𝑀𝑁，如图①， 𝐴𝑀=𝑡×1=𝑡，𝐴𝑁=𝐴𝐵−𝐵𝑁=12−2𝑡， ∵三角形△𝐴𝑀𝑁是等边三角形， ∴𝑡=12−2𝑡， 解得𝑡=4，

∴点𝑀、𝑁运动4秒后，可得到等边三角形△𝐴𝑀𝑁．

(3)当点𝑀、𝑁在𝐵𝐶边上运动时，可以得到以𝑀𝑁为底边的等腰三角形， 由(1)知12秒时𝑀、𝑁两点重合，恰好在𝐶处， 如图②，假设△𝐴𝑀𝑁是等腰三角形， ∴𝐴𝑁=𝐴𝑀， ∴∠𝐴𝑀𝑁=∠𝐴𝑁𝑀， ∴∠𝐴𝑀𝐶=∠𝐴𝑁𝐵， ∵𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐴𝐶， ∴△𝐴𝐶𝐵是等边三角形， ∴∠𝐶=∠𝐵，

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在△𝐴𝐶𝑀和△𝐴𝐵𝑁中， 𝐴𝐶=𝐴𝐵∵{∠𝐶=∠𝐵， ∠𝐴𝑀𝐶=∠𝐴𝑁𝐵∴△𝐴𝐶𝑀≌△𝐴𝐵𝑁， ∴𝐶𝑀=𝐵𝑁，

设当点𝑀、𝑁在𝐵𝐶边上运动时，𝑀、𝑁运动的时间𝑦秒时，△𝐴𝑀𝑁是等腰三角形， ∴𝐶𝑀=𝑦−12，𝑁𝐵=36−2𝑦，𝐶𝑀=𝑁𝐵， 𝑦−12=36−2𝑦， 解得：𝑦=16.故假设成立．

∴当点𝑀、𝑁在𝐵𝐶边上运动时，𝑁运动的时间为16能得到以𝑀𝑁为底边的等腰三角形𝐴𝑀𝑁，此时𝑀、秒．

【解析】此题主要考查了等边三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．

(1)首先设点𝑀、𝑁运动𝑥秒后，𝑀、𝑁两点重合，表示出𝑀，𝑁的运动路程，𝑁的运动路程比𝑀的运动路程多12𝑐𝑚，列出方程求解即可；

(2)根据题意设点𝑀、𝑁运动𝑡秒后，可得到等边三角形△𝐴𝑀𝑁，然后表示出𝐴𝑀，𝐴𝑁的长，由于∠𝐴等于60°，所以只要𝐴𝑀=𝐴𝑁，三角形𝐴𝑁𝑀就是等边三角形；

(3)首先假设△𝐴𝑀𝑁是等腰三角形，可证出△𝐴𝐶𝑀≌△𝐴𝐵𝑁，可得𝐶𝑀=𝐵𝑁，设出运动时间，表示出𝐶𝑀，𝑁𝐵，𝑁𝑀的长，列出方程，可解出未知数的值．

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