线性代数试题集

全国2010年10月高等教育自学考试

线性代数(经管类)试题 课程代码：04184

说明:在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,r(A)表示矩A的秩. 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A为3阶矩阵,|A|=1,则|-2AT|=( ) A.-8 B.-2 C.2

D.8

2.设矩阵A=11,B=(1,1),则AB=( )

A.0 B.(1,-1) C. 1D. 111

11

3.设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA

4.设矩阵A的伴随矩阵A*=12-1

34

,则A= ( )

A.1 43112211221 B. 2 34 C. 2 34 D. 1 24231 5.下列矩阵中不是．．

初等矩阵的是( ) 101

A.010

 B. 001

010100

 C. 100030 D. 000100010 001201

6.设A,B均为n阶可逆矩阵,则必有( )

A.A+B可逆 B.AB可逆 C.A-B可逆 D.AB+BA可逆 7.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( )

A. α1, α2,β线性无关 B. β不能由α1, α2线性表示

C. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一 D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一

8.设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( A.0 B.1 C.2

D.3

2x1x2x309.设齐次线性方程组x1x2x30有非零解,则为( )

x1x2x30A.-1 B.0 C.1

D.2

10.设二次型f(x)=xTAx正定,则下列结论中正确的是( )

A.对任意n维列向量x,xTAx都大于零 B.f的标准形的系数都大于或等于零 C.A的特征值都大于零 D.A的所有子式都大于零 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

) 2 / 19

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.行列式

0112的值为__-1_______.

1212.已知A=23,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_____1____.

11133

13.设矩阵A=,P=01,则AP=_______. 2414.设A,B都是3阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|A-1B|=____--1_____.

15.已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________.

132516.已知Ax=b为4元线性方程组,r(A)=3, α1, α2, α3为该方程组的3个解,且1,13,则该线性方程组的通解是

3749_________.

1117.已知P是3阶正交矩,向量3,0,则内积(P,P)_________.

2218.设2是矩阵A的一个特征值,则矩阵3A必有一个特征值为_________.

1219.与矩阵A=03相似的对角矩阵为_________.

12T

20.设矩阵A=2k,若二次型f=xAx正定,则实数k的取值范围是_________.

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共分)

0121.求行列式D=

201012210102的值. 1001012022.设矩阵A=100,B210,求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X.

001000112223.若向量组11,21,36,40的秩为2,求k的值.

13k2k232224.设矩阵A110,b1.

1210 3 / 19

(1)求A-1;

(2)求解线性方程组Ax=b,并将b用A的列向量组线性表出. 25.已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A2+2A-E,求 (1)矩阵A的行列式及A的秩.

(2)矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵.

x12y12y2y326.求二次型f(x1,x2,x3)=- 4 x1x2+ 2x1x3+2x2x3经可逆线性变换x22y12y2y3所得的标准形.

x2y33四、证明题(本题6分)

27.设n阶矩阵A满足A2=E,证明A的特征值只能是1.

全国2010年7月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；r(A)表示矩阵A的秩；| A |表示A的行列式；E表示单

位矩阵。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设3阶方阵A=（α1，α2，α3），其中αi（i=1,2,3）为A的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=( ) A.-12 B.-6 C.6 D.12

2.计算行列式

3 0 2 0 2 10 5 0 0 0 2 02 3 2 3=( )

A.-180 B.-120 C.120 D.180 3.若A为3阶方阵且| A-1 |=2，则| 2A |=( ) A.

1 B.2 C.4 D.8 24.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( ) A.α1，α2，α3，α4线性无关 C.α1可由α2，α3，α4线性表示

B.α1，α2，α3，α4线性相关 D.α1不可由α2，α3，α4线性表示

5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 6.设A、B为同阶方阵，且r(A)=r(B)，则( )

A.A与B相似 B.| A |=| B | C.A与B等价 D.A与B合同 7.设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A+2E |=( )

4 / 19

A.0 B.2 C.3 D.24 8.若A、B相似，则下列说法错误的是( ) ．．

A.A与B等价 B.A与B合同 C.| A |=| B | D.A与B有相同特征值 9.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t)正交，则t=( ) A.-2 B.0 C.2 D.4 10.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则( )

A.A正定 B.A半正定 C.A负定 D.A半负定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

3 22 1 111.设A=0 1,B=，则AB=_________________.

0 1 02 412.设A为3阶方阵，且| A |=3，则| 3A-1 |=______________. 13.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_______________.

14.设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_________________.

15.设A为5阶方阵，且r(A)=3，则线性空间W={x | Ax=0}的维数是______________. 16.设A为3阶方阵，特征值分别为-2，

1，1，则| 5A-1 |=______________. 217.若A、B为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，则r(AB)=_________________.

 2 1 018.实对称矩阵1 0 1 所对应的二次型f (x1, x2, x3)=________________.

 0 1 11119.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解α1=2，α2= 2且r(A)=2，则Ax=b的通解是_______________.

3 3120.设α=2，则A=ααT的非零特征值是_______________.

3三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共分）

2 0 0 0 1 0 2 0 0 0 21.计算5阶行列式D=

0 0 2 0 0 1 0 0 0 22 0 01 0 01 4 322.设矩阵X满足方程 0 1 0X0 0 1=2 0 1 求X.

0 0 20 1 01 2 0 5 / 19

x1x23x3x4123.求非齐次线性方程组 3x1x23x34x44的通.

x5x9x8x0234124.求向量组α1=（1,2，-1,4），α2=(9,100,10,4)，α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组.

 2 1 225.已知A= 5 a 3的一个特征向量ξ =（1,1，-1）T，求a，b及ξ所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向

1 b 2量.

2 1 1 226.设A= 1 2 1 a，试确定a使r(A)=2.

 1 1 2 2四、证明题（本大题共1小题，6分）

27.若α1，α2，α3是Ax=b(b≠0)的线性无关解，证明α2-αl，α3-αl是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解.

全国2010年4月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184 一、单项选择题（本大题共20小题，每小题1分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.已知2阶行列式

a1b1a2b2=m ,

b1c1b2c2=n ,则

b1b2a1c1a2c2=（ ）

A.m-n B.n-m C.m+n D.-（m+n） 2.设A , B , C均为n阶方阵，AB=BA，AC=CA，则ABC=（ ） A.ACB B.CAB C.CBA D.BCA

3.设A为3阶方阵，B为4阶方阵,且行列式|A|=1，|B|=-2，则行列式||B|A|之值为（ ） A.-8 B.-2 C.2 D.8

100100a11a12a13a113a12a134.已知A=a21a22a23，B=a213a22a23，P=030，Q=310，则B=（ ） aaaa3aa313233313233001001A.PA B.AP C.QA D.AQ 5.已知A是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ）

A.若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩（A）=2 B.若A中存在2阶子式不为0，则秩（A）=2 C.若秩（A）=2，则A中所有3阶子式都为0 D.若秩（A）=2，则A中所有2阶子式都不为0 6.下列命题中错误的是（ ） ．．A.只含有一个零向量的向量组线性相关 C.由一个非零向量组成的向量组线性相关

B.由3个2维向量组成的向量组线性相关 D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关

7.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（ ）

A.α1必能由α2,α3，β线性表出 B.α2必能由α1,α3，β线性表出 C.α3必能由α1,α2，β线性表出 D.β必能由α1,α2,α3线性表出

6 / 19

8.设A为m×n矩阵，m≠n,则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩（ ） A.小于m B.等于m C.小于n D.等于n 9.设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（ ） A.AT B.A2 C.A-1 D.A*

22210.二次型f（x1,x2,x3）=x1x2x32x1x2的正惯性指数为（ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.行列式

2007200820092010的值为_________________________.

11320,则ATB=____________________________. 12.设矩阵A=,B=2010113.设4维向量（3,-1,0,2）T,β=（3,1,-1,4）T，若向量γ满足2γ=3β，则γ=__________. 14.设A为n阶可逆矩阵，且|A|=1,则|A-1|=___________________________. n15.设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则|A|=__________________. 16.齐次线性方程组x1x2x30的基础解系所含解向量的个数为________________.

2xx3x03121117.设n阶可逆矩阵A的一个特征值是-3，则矩阵A2必有一个特征值为_____________.

312218.设矩阵A=2x0的特征值为4，1，-2，则数x=________________________.

200a119.已知A=2002b0是正交矩阵，则a+b=_______________________________。

01120.二次型f（x1, x2, x3）=-4x1x2+2x1x3+6x2x3的矩阵是_______________________________。

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共分）

a21.计算行列式D=a2bb2bb3cc2的值。 cc3aa3 7 / 19

22.已知矩阵B=（2，1，3），C=（1，2，3），求（1）A=BTC；（2）A2。

23.设向量组1(2,1,3,1)T,2(1,2,0,1)T,3(-1,1,-3,0)T,4(1,1,1,1)T,求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。

124.已知矩阵A=00210314（2）解矩阵方程AX=B。 2，B=25.（1）求A-1；

131x12x23x3425.问a为何值时，线性方程组2x2ax32有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个

2x2x3x6231特解和导出组的基础解系表示全部解）。

226.设矩阵A=0003a01a的三个特征值分别为1，2，5，求正的常数a的值及可逆矩阵P，使P-1AP=03002000。 5四、证明题（本题6分）

27.设A，B，A+B均为n阶正交矩阵，证明（A+B）-1=A-1+B-1。

8 / 19

全国2010年1月高等教育自学考试 《线性代数（经管类）》试题及答案

课程代码：04184

试题部分

说明：本卷中，AT表示矩阵A的转置，αT表示向量α的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，A-1表示方阵A的逆矩阵，r（A）表示矩阵A的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

2x2y2z41.设行列式4031,则行列式01（ ）

3111111xyzA.

2 3B.1

C.2

8D. 32.设A，B，C为同阶可逆方阵，则（ABC）-1=（ ） A. A-1B-1C-1 C. C-1A-1B-1

B. C-1B-1A-1 D. A-1C-1B-1

3.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A=（α1，α2，α3，α4）.如果|A|=2，则|-2A|=（ ） A.-32 C.4

B.-4 D.32

4.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ ） A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关

B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 D. α1，α2，α3一定线性无关

5.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（ ） A.1 C.3

B.2 D.4

6.设A是4×6矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是（ ）

A.1 C.3

B.2 D.4

7.设A是m×n矩阵，已知Ax=0只有零解，则以下结论正确的是（ ） A.m≥n C.r（A）=m

B.Ax=b（其中b是m维实向量）必有唯一解 D.Ax=0存在基础解系

9 / 19

4525738.设矩阵A=，则以下向量中是A的特征向量的是（ ）

694A.（1，1，1）T C.（1，1，0）T

B.（1，1，3）T D.（1，0，-3）T

3 =

1119.设矩阵A=131的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ

（ ）

111A.4 B.5 C.6

D.7

10.三元二次型f （x1，x2，x3）=x24x2214x1x26x1x3212x2x39x3的矩阵为（ 123143A.246 B.046369 369123C.126246 D.240069 3129

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

12311.行列式459=_________.

6713520012.设A=2100021，则A-1=_________. 0001113.设方阵A满足A3-2A+E=0，则（A2-2E）-1=_________. 14.实数向量空间V={（x1,x2,x3）|x1+x2+x3=0}的维数是_________.

15.设α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的解.则A（5α2-4α1）=_________. 16.设A是m×n实矩阵，若r（ATA）=5，则r（A）=_________. a11x117.设线性方程组1a1x121有无穷多个解，则a=_________.

11ax3218.设n阶矩阵A有一个特征值3，则|-3E+A|=_________.

19.设向量α=（1，2，-2），β=（2，a，3），且α与β正交，则a=_________.

） 10 / 19

2220.二次型f(x1,x2,x3)4x23x34x1x24x1x38x2x3的秩为_________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共分）

23453456.

4567567821．计算4阶行列式D=

231-1

45222.设A=，判断A是否可逆，若可逆，求其逆矩阵A. 57323.设向量α=（3，2），求（αTα）101.

24.设向量组α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）. （1）求该向量组的一个极大线性无关组；

（2）将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合. x1x22x4025.求齐次线性方程组4x1x2x3x40的基础解系及其通解.

3xxx012332226.设矩阵A=010，求可逆方阵P，使P-1AP为对角矩阵.

423

四、证明题（本大题6分）

27.已知向量组α1,α2，α3，α4线性无关，证明：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关.

11 / 19

答案部分

12 / 19

第25—27题 答案暂缺

13 / 19

2010年4月自考线性代数（经管类）历年试卷参

14 / 19

15 / 19

16 / 19

2010年10月全国自考线性代数（经管类）参

17 / 19

18 / 19

19 / 19