混沌现象研究

实验二十九 混沌现象研究

长期以来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法， 即确定的运动有一个完美确定的解析解。但是自然界在相当多情况下，非线性现

象却起着很大的作用。1963年美国气象学家Lorenz在分析天气预报模型时，首

先发现空气动力学中的混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。于是，1975年混沌作为一个新的科学名词首次出现在科学文献中。从此，非线性动力学迅速

发展，并成为有丰富内容的研究领域。该学科涉及非常广泛的科学范围，从电子

学到物理学，从气象学到生态学，从数学到经济学等。混沌通常相应于不规则或

非周期性，这是由非线性系统本质产生的。本实验将引导学生自己建立一个非线

性电路，该电路包括有源非线性负阻、LC振荡器和RC移相器三部分；采用物理实验方法研究LC振荡器产生的正弦波与经过RC移相器移相的正弦波合成的

相图（李萨如图），观测振动周期发生的分岔及混沌现象；测量非线性单元电路

的电流—电压特性，从而对非线性电路及混沌现象有一深刻了解；学会自己制作

和测量一个实用带铁磁材料介质的电感器以及测量非线性器件伏安特性的方法。

1、非线性电路与非线性动力学

实验电路如图30-1所示，图30-1中只有一个非线性元件R，它是一个有源非线性负阻器件。电感器L和电容器C2组成一个损耗可以忽略的谐振回路；可

变电阻R和电容器C串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。本实验所用的非01

线性元件R是一个五段分段线性元件。图30-2所示的是该电阻的伏安特性曲线，

可以看出加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。由于加在此元

件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。

R0 IR C R 1C VR L 2

图29-1 非线性电路原理图 图29-2 非线性元件伏安特性 实验二十九 混沌现象研究

图30-1电路的非线性动力学方程为： dUC1C=G(U-U)-gU 1C2C1C1dt dUC2C=G(U-U)+i30-1 2C1C2L dt diLL=-U C2dt

式中，U、U是C、C上的电压，ｉ是电感L上的电流，G=1/R是电、C1C212L0导，在图5中，ｇ为U的函数，如果R是线性的，g是常数，电路就是一般的振荡

电路，得到的解是正弦函数，电阻R的作用是调节C和C的位相差，把、012C和C两端的电压分别输入到示波器的x，y轴，则显示的图形是椭圆。如果R12

是非线性的，会看到什么现象呢？

电路中的R是非线性元件，它的伏安特性如图4所示，是一个分端线性的电阻，整体呈现出非线性。gU是一个分段线性函数。由于g总体是非线性函C1

数，三元非线性方程组（1）没有解析解。若用计算机编程进行数据计算，当取

适当电路参数时，可在显示屏上观察到模拟实验的混沌现象[见参考资料（6）]。

除了计算机数学模拟方法之外，更直接的方法是用示波器来观察混沌现象， 实验电路如图5所示，图5中，非线性电阻是电路的关键，它是通过一个双运算

放大器和六个电阻组合来实现的。电路中，LC并联构成振荡电路，R的作用是0分相，使J1和J2两处输入示波器的信号产生位相差，可得到x,y两个信号的合成图形，双运放LF353的前级和后级正、负反馈同时存在，正反馈的强弱与比

值R/R，R/R有关，负反馈的强弱与比值R/R，R/R有关。当正反馈大于负30602155反馈时，振荡电路才能维持振荡。若调节R，正反馈就发生变化，LF353处于0

振荡状态，表现出非线性，从C，D两点看，LF353与六个电阻等效一个非线性电阻，它的伏安特性大致如图30-4所示。

I

R3 R6 8 3 6 + + 7 1 LF353 LF353 2 5 - - R5 0 U 4 R2 R4 R1

图29-4 双运放非线性元件的伏安特性 图29-3 有源非线性器件

2、有源非线性负阻元件的实现 实验二十九 混沌现象研究

有源非线性负阻元件实现的方法有多种，这里使用的是一种较简单的电路 采用两个运算放大器（一个双运放LF353）和六个配制电阻来实现，其电路如图

3所示，它的伏安特性曲线如图4所示，实验所要研究的是该非线性元件对整个

电路的影响，而非线性负阻元件的作用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列非

线性现象。实际非线性混沌实验电路如图30-5所示 J(CH) J(CH) 2211scope x-y C y x

R0 R6 R3 8 6 3 + + 1 7 LF353 LF353 5 2 - - C C 12L R5 4 R2 R1 R4

图29-5 非线性电路混沌实验电路 3、名词解释

本名词解释引自参考资料2中的附录3 “简明词汇”。这些定义是描述性的，并非是标准数学定义，但有助于初学者对这些词汇的理解。这些词汇定义多数是

按相空间作出的。

分岔：在一族系统中，当一个参数值达到某一临界值以上时，系统长期行 为的一个突然变化。

混沌：?表征一个动力系统的特征，在该系统中大多数轨道显示敏感依赖 性，即完全混沌。 ?有限混沌；表征一个动力系统的特征，在该系统中某些特 殊轨道是非周期的，但大多数轨道是周期或准周期的。

实验用仪器如图6所示。非线性电路混沌实验仪由四位半电压表（量程0～

19.999V，分辩率1ｍV）、-15V~0~+15V稳压电源和非线性电路混沌实验线路板三

部分组成。观察倍周期分岔和混沌现象用双踪示波器。 一、必做内容 1、测量有源非线性电阻的伏安特性并画出伏安特性图

（1）由于非线性电阻是含源的，测量时不用电源，用电阻箱调节，伏安表 实验二十九 混沌现象研究

并联在非线性电阻两端，再和电阻箱串联在一起构成回路。 (2) 尽量多测数据点。

图29-6 实验装置

2、倍周期现象、周期性窗口、单吸引子和双吸引子的观察、记录和描述 将电容C和C上的电压输入到示波器的X，Y轴，先把R调到最小，示波120器上可以观察到一条直线，调节R，直线变成椭圆，到某一位置，图形缩成一点。0

增大示波器的倍率，反向微调R，可见曲线作倍周期变化，曲线由一周期增为二0

周期，由二周期增为四周期„„直至一系列难以计数的无首尾的环状曲线，这是

一个单涡旋吸引子集，再细微调节R，单吸引子突然变成了双吸引子，只见环状0

曲线在两个向外涡旋的吸引子之间不断填充与跳跃，这就是混沌研究文献中所描

述的 “蝴蝶”图象，也是一种奇怪吸引子，它的特点是整体上的稳定性和局域

上的不稳定性同时存在。利用这个电路，还可以观察到周期性窗口，仔细调节 R，有时原先的混沌吸引子不是倍周期变化,却突然出现了一个三周期图象，再0

微调R，又出现混沌吸引子，这一现象称为出现了周期性窗口。混沌现象的另一0

个特征是对于初值的敏感性。

观察并记录不同倍周期时UC--t图和R的值。 10 二、选做内容

测量一个铁氧体电感器的电感量，观测倍周期分岔和混沌现象。 1、按图5所示电路接线。其中电感器L由实验者用漆包铜线手工缠绕。可 在线框上绕75—85圈，然后装上铁氧体磁芯，并把引出漆包线端点上的绝缘漆

用刀片刮去，使两端点导电性能良好。也可以用仪器附带铁氧体电感器。 2、串联谐振法测电感器电感量。把自制电感器、电阻箱（取30.00Ω）串联，并与低频信号发生器相接。用示波器测量电阻两端的电压，调节低频信号发

生器正弦波频率，使电阻两端电压达到最大值。同时，测量通过电阻的电流值I。

实验二十九 混沌现象研究

要求达到I=5mA（有效值）时，测量电感器的电感量

1.1、按图5接好实验面板图，将方程（1）中的1/G即RV1+RV2值放到较大某值，这时示波器出现李萨如图，如图7-a所示，用扫描档观测为二个具有一

定相移（相位差）的正弦波。

1.2、逐步减小1/G值，开始出现二个“分列”的环图，出现了分岔现象， 即由原来1倍周期变为2倍周期，示波器上显示李萨如图，如图7-b所示。 1.3、继续减小1/G值，出现4倍周期（如图7-c所示）、8倍周期、16倍周期与阵发混沌交替现象，阵发混沌见图7-d。

1.4、再减小1/G值，出现了3倍周期，如图7-e所示，图象十分清楚稳定。 根据Yorke的著名论断“周期3意味着混沌”，说明电路即将出现混沌。 1.5、继续减小1/G，则出现单个吸引子，如图7-f 所示。 1.6、再减小1/G，出现双吸引子，如图7-g所示。

由于在本实验中制作线圈时使用了磁芯，因而线圈的电感对电流的变化非 常明显，以下测量到的数据可以很清楚地说明这一点，但由于本实验对混沌现象

只用于定性半定量的观察，因而对实验影响并不大。 L

CH2测量R两端电压。保持信号发生器输出电压不变，调节频率，当CH2测得的电压最大时，RLC串联电路达到谐振。

CH2 L C R CH1

图30-8 测量电感的电路 电感谐振时有

LCωL=1/ωC f=1/2π 0

22实验二十九 混沌现象研究 2L=1/4πCf U=U/2，回路中电流的有效值I=UR/R 0RCH2

其中f为谐振频率，UCH2表示CH2波形的峰-峰电压，UR表示电阻R两端0 输出的电压。

测量的实验数据记录表如表1所示 1

f/kH I/mA L/mH 0Z

双运算放大器中2个对称放大器各自的配置电阻相差100倍，这就使得2 个放大器输出电流的总和，在不同的工作电压段，输出总电流随电压变化关系不

相同（其中一个放大器达到电流饱和，另一个尚未饱和），因而出现了非线性的

伏安特性。测量结果如表2，实验电路如图11所示。

’R有源非线性负阻(接通电源的双运放) ’ V RR R为外接电阻箱 图29-9 有源非线性负阻元件伏安特性原理图

有源非线性负阻元件一般满足“蔡氏电路”的特性曲线。实验中，将电路 的LC振荡部分与非线性电阻直接断开，图8的伏特表用来测量非线性元件两端的电压。由于非线性电阻是有源的，因此回路中始终有电流流过，R使用的是电阻箱，其作用是改变非线性元件的对外输出。使用电阻箱可以得到很精确的电阻，

尤其可以对电阻值做微小的改变，因而微小地改变输出。

实验二十九 混沌现象研究 实验测得数据记录见表2（仅供参考）： 2

电压/V 电流/mA 电压/V 电流/mA 电压/V 电流/mA

1、实验中需自制铁氧体为介质的电感器，该电感器的电感量与哪些因素有 关？此电感量可用哪些方法测量？

2、非线性负阻电路（元件），在本实验中的作用是什么？

3、为什么要采用RC移相器，并且用相图来观测倍周期分岔等现象？如果 不用移相器，可用哪些仪器或方法？

4、通过做本实验请阐述倍周期分岔、混沌、奇怪吸引子等概念的物理含义。