文科立体几何大题训练
1．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．
（1）证明：直线BC∥平面PAD； （2）若△PCD面积为2
2．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点． （1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．
，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
3．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点． （Ⅰ）证明MN∥平面PAB； （Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．
4．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点． （1）求证：DE∥平面PBC； （2）求证：AB⊥PE；
（3）求三棱锥P﹣BEC的体积．
5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，E为PA的中点，∠BAD=60°． （Ⅰ）求证：PC∥平面EBD； （Ⅱ）求三棱锥P﹣EDC的体积．
6．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；
（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求四面体F﹣DBC的体积．
7．如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面ABE，AF∥BE，AB⊥BE，AB=BE=2，AF=1． （Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE； （Ⅱ）求证：AC∥平面DEF； （III）求三棱锥D﹣FEB的体积．
8．如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，其对角线的交点
为O，且SA=SC，SA⊥BD． （1）求证：SO⊥平面ABCD；
（2）设∠BAD=60°，AB=SD=2，P是侧棱SD上的一点，且SB∥平面APC，求三棱锥A﹣PCD的体积．
文科立体几何大题训练 参考答案与试题解析
一．解答题（共8小题）
1．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．
（1）证明：直线BC∥平面PAD； （2）若△PCD面积为2
，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【解答】（1）证明：四棱锥P﹣ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=90°．∴BC∥AD，∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD， ∴直线BC∥平面PAD；
（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．设AD=2x， 则AB=BC=x，CD=
，O是AD的中点，
连接PO，OC，CD的中点为：E，连接OE， 则OE=
，PO=
，PE=，可得：
=2
=，
．
=4
．
，
△PCD面积为2即：
，解得x=2，PO=2
则V P﹣ABCD=×（BC+AD）×AB×PO=
2．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点． （1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．
【解答】解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC， AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC=B， 可得PA⊥平面ABC， 由BD⊂平面ABC， 可得PA⊥BD；
（2）证明：由AB=BC，D为线段AC的中点， 可得BD⊥AC，
由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC， 可得平面PAC⊥平面ABC， 又平面PAC∩平面ABC=AC， BD⊂平面ABC，且BD⊥AC， 即有BD⊥平面PAC， BD⊂平面BDE，
可得平面BDE⊥平面PAC；
（3）PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC， 且平面PAC∩平面BDE=DE， 可得PA∥DE， 又D为AC的中点，
可得E为PC的中点，且DE=PA=1， 由PA⊥平面ABC， 可得DE⊥平面ABC，
可得S△BDC=S△ABC=××2×2=1，
则三棱锥E﹣BCD的体积为DE•S△BDC=×1×1=．
3．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点． （Ⅰ）证明MN∥平面PAB； （Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．
【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM， ∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线
∴NE∥PB，
又∵AD∥BC，∴BE∥AD，
∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD， ∴BE=BC=AM=2，
∴四边形ABEM是平行四边形， ∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB， ∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB． 解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF， ∵NF是△PAC的中位线， ∴NF∥PA，NF=
=2，
又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，
如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM， ∵AM
CG，∴四边形AGCM是平行四边形，
∴AC=MG=3， 又∵ME=3，EC=CG=2， ∴△MEG的高h=∴S△BCM=
， =
=2
，
=
=
．
∴四面体N﹣BCM的体积VN﹣BCM=
4．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点． （1）求证：DE∥平面PBC；
（2）求证：AB⊥PE；
（3）求三棱锥P﹣BEC的体积．
【解答】证明：（1）∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE∥BC，
又DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， ∴DE∥平面PBC． （2）连接PD，
∵DE∥BC，又∠ABC=90°， ∴DE⊥AB，
又PA=PB，D为AB中点， ∴PD⊥AB，
又PD∩DE=D，PD⊂平面PDE，DE⊂平面PDE， ∴AB⊥平面PDE，又PE⊂平面PDE， ∴AB⊥PE．
（3）∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PD⊥AB，PD⊂平面PAB， ∴PD⊥平面ABC，
∵△PAB是边长为2的等边三角形，∴PD=∵E是AC的中点， ∴
．
，
5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，E为PA的中点，∠BAD=60°． （Ⅰ）求证：PC∥平面EBD； （Ⅱ）求三棱锥P﹣EDC的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：连接AC，BD，设AC与BD相交于点O，连接OE． 由题意知，底面ABCD是菱形，则O为AC的中点， 又E为AP的中点，∴OE∥CP， ∵OE⊂平面BDE，PC⊄平面BDE， ∴PC∥平面BDE；
（Ⅱ）解：∵E为PA的中点， ∴
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD， 又∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BD，
又PA∩AC=A，∴DO⊥平面PAC，
，
即DO是三棱锥D﹣PCE的高，DO=1， 则
．
6．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；
（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求四面体F﹣DBC的体积．
【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥DE， 又F为AB的中点，DA=DB，∴AB⊥DF，DE，DF⊂平面DEF，DE∩DF=D， ∴AB⊥平面DEF，
又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF．
（Ⅱ）∵DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，
∴线段DA、DB、DC在平面ABC的投影EA，EB，EC满足EA=EB=EC ∴△ABC为直角三角形，即AB⊥BC 由AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，
∴AB=BC=2∴S△FBC=
，DE=2，
=2，
=
．
∴四面体F﹣DBC的体积VF﹣DBC=VD﹣FBC=
7．如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面ABE，AF∥BE，AB⊥BE，AB=BE=2，AF=1． （Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE； （Ⅱ）求证：AC∥平面DEF； （III）求三棱锥D﹣FEB的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
又∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AB⊥BE，BE⊂平面ABEF， ∴BE⊥平面ABCD． 又∵AC⊂平面ABCD． ∴BE⊥AC， 又BE∩BD=B， ∴AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）证明：取DE的中点G，连结OG，FG，
∵四边形ABCD为正方形，∴O为BD的中点． 则OG∥BE，且由已知AF∥BE，且
．
，则AF∥OG且AF=OG，
∴四边形AOGF为平行四边形，则AO∥FG， 即AC∥FG．
∵AC⊄平面DEF，FG⊂平面DEF， ∴AC∥平面DEF；
（Ⅲ）解：∵平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形， 平面ABEF∩平面ABCD=AB， ∴AD∥BC，AD⊥AB．
由（Ⅰ）知，BE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD， ∴BE⊥AD ∴AD⊥平面BEF． ∴
．
8．如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，其对角线的交点为O，且SA=SC，SA⊥BD．
（1）求证：SO⊥平面ABCD；
（2）设∠BAD=60°，AB=SD=2，P是侧棱SD上的一点，且SB∥平面APC，求三棱锥A﹣PCD的体积．
【解答】解：（1）证明：∵底面ABCD是菱形； ∴对角线BD⊥AC； 又BD⊥SA，SA∩AC=A；
∴BD⊥平面SAC，SO⊂平面SAC； ∴BD⊥SO，即SO⊥BD； 又SA=SC，O为AC中点； ∴SO⊥AC，AC∩BD=O； ∴SO⊥平面ABCD； （2）如图，连接PO；
∵SB∥平面APC，SB⊂平面SBD，平面SBD∩平面APC=PO； ∴SB∥PO；
在△SBD中，O是BD的中点，PO∥SB，∴P是SD的中点； 取DO中点，并连接PE，则PE∥SO，SO⊥底面ACD； ∴PE⊥底面ACD，且PE=
；
根据已知条件，Rt△ADO中AD=2，∠DAO=30°，∴DO=1； ∴在Rt△SDO中，SD=2，SO=∴又
∴V三棱锥A﹣PCD=V三棱锥P﹣ACD=
；
；
． ；
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