平面向量高考真题精选（一）
一．选择题（共20小题）
1．（2017•新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（ ） A．⊥
B．||=||
C．∥
D．||＞||
2．（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则
•（
+
）的最小值是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1
3．（2017•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=
•
，I2=
•
，I3=
•
，则（ ）
A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3
4．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若A．3
5．（2016•四川）已知正三角形ABC的边长为2足|A．
|=1， B．
=
，则|
，平面ABC内的动点P，M满
B．2
C．
=λ D．2
+μ
，则λ+μ的最大值为（ ）
|2的最大值是（ ） D．
C．
6．（2016•新课标Ⅱ）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（ ）
A．﹣8 B．﹣6 C．6
7．（2016•天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、
D．8
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BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则A．﹣ B． C． D．
•的值为（ ）
8．（2016•山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（ ） A．4
B．﹣4 C． D．﹣
=，则|
=
，
9．（2016•四川）在平面内，定点A，B，C，D满足•
=
•
=
•
=﹣2，动点P，M满足
=1，
=
|2的最大值
是（ ） A．
B．
C．
D．
=（，
），=（
，），则∠ABC=（ ）
10．（2016•新课标Ⅲ）已知向量A．30° B．45° C．60° D．120°
11．（2015•新课标Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，A．C．
B． D．
，则（ ）
12．（2015•新课标Ⅰ）已知点A（0，1），B（3，2），向量向量
=（ ）
=（﹣4，﹣3），则
A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）
13．（2015•四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（ ） A．2
B．3
C．4
D．6
=（ ）
14．（2015•山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则A．﹣a2 B．﹣a2 C．a2 D．a2
15．（2015•四川）设四边形ABCD为平行四边形，|
|=6，|
|=4，若点M、N
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满足，，则D．6
=（ ）
A．20 B．15 C．9
16．（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2+，则下列结论正确的是（ ） A．||=1 B．⊥
C．•=1 D．（4+）⊥
=2，
17．（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形 ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），A．5
B．4
=（2，1）则
D．2
||，且（﹣）⊥（3+2），
•
=（ ）
C．3
18．（2015•重庆）若非零向量，满足||=则与的夹角为（ ） A．
B．
C．
D．π
19．（2015•重庆）已知非零向量的夹角为（ ） A．
B．
C．
D．
满足||=4||，且⊥（）则
20．（2015•福建）设=（1，2），=（1，1），=+k，若等于（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D． 二．填空题（共8小题）
，则实数k的值
21．（2017•新课标Ⅰ）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ． 22．（2017•天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若（λ∈R），且
=﹣4，则λ的值为 ．
=2
，
=λ
﹣
23．（2017•北京）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则
•
的最大值为 ．
， 是互相垂直的单位向量，若
﹣
与
+λ
24．（2017•山东）已知
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的夹角为60°，则实数λ的值是 ．
26．（2017•新课标Ⅰ）已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m= ．
27．（2016•新课标Ⅰ）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m= ．
28．（2016•山东）已知向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t+），则实数t的值为 ． 三．解答题（共2小题）
29．（2017•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，﹣6，S△ABC=3，求A和a．
30．（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（cosx），x∈（0，
）．
，﹣
），=（sinx，
=
（1）若⊥，求tanx的值； （2）若与的夹角为
，求x的值．
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平面向量高考真题精选（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共20小题）
1．（2017•新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（ ） A．⊥
B．||=||
C．∥
D．||＞||
【解答】解：∵非零向量，满足|+|=|﹣|， ∴解得∴
=0， ．
，
故选：A．
2．（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则
•（
+
）的最小值是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1
【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点， 则A（0，
），B（﹣1，0），C（1，0），
=（﹣x，
﹣y），
=（﹣1﹣x，﹣y），
）2﹣]
=（1﹣x，﹣y），
设P（x，y），则则
•（
+
）=2x2﹣2
y+2y2=2[x2+（y﹣
∴当x=0，y=故选：B
时，取得最小值2×（﹣）=﹣，
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3．（2017•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=
•
，I2=
•
，I3=
•
，则（ ）
A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3
【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3， ∴AC=2
，
∴∠AOB=∠COD＞90°， 由图象知OA＜OC，OB＜OD， ∴0＞
•
＞
•
，
•
＞0，
即I3＜I1＜I2， 故选：C．
4．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若A．3
B．2
C．
=λ D．2
+μ
，则λ+μ的最大值为（ ）
【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，
则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2）， ∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，
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设圆的半径为r， ∵BC=2，CD=1， ∴BD=
=
∴BC•CD=BD•r， ∴r=
，
∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=， 设点P的坐标为（∵∴（∴∴λ+μ=
=λ
+μ
，
sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， sinθ+2=2μ，
sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2， cosθ+1，
sinθ+2），
cosθ+1，cosθ+1=λ，
cosθ+
∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3， 故λ+μ的最大值为3， 故选：A
5．（2016•四川）已知正三角形ABC的边长为2足|A．
|=1， B．
=
，则|
，平面ABC内的动点P，M满
|2的最大值是（ ） D．
C．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．
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B（0，0），CA
． |=1，
．
∵M满足|
∴点P的轨迹方程为：令x=又∴|∴|
=
+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）． ，则M|2=
|2的最大值是
．
+
=1，
， =
+3sin
≤
．
故选：B．
6．（2016•新课标Ⅱ）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（ ）
A．﹣8 B．﹣6 C．6
D．8
【解答】解：∵向量=（1，m），=（3，﹣2）， ∴+=（4，m﹣2）， 又∵（+）⊥， ∴12﹣2（m﹣2）=0， 解得：m=8， 故选：D．
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7．（2016•天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则A．﹣ B． C． D．【解答】解：如图，
•的值为（ ）
∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF， ∴===
故选：C．
8．（2016•山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（ ） A．4
B．﹣4 C． D．﹣ •
=
==．
=
=
【解答】解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+）， ∴•（t+）=t•+2=t||•||•+||2=（解得：t=﹣4， 故选：B．
9．（2016•四川）在平面内，定点A，B，C，D满足
=
=
，
）||2=0，
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•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值
是（ ） A．
B．
C．
==
•
D．=，可得 •（
﹣
）=0，
【解答】解：由又
••（即即有
•
=﹣=⊥
•，•
，可得D为△ABC的外心，
）=0，=0， ⊥
，可得D为△ABC的垂心，
则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形． 由
•
=﹣2，即有|
|•|
|cos120°=﹣2，
，
解得||=2，△ABC的边长为4cos30°=2
以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy， 可得B（3，﹣由由则|=
=
），C（3，
），D（2，0），
=1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π）， ，可得M为PC的中点，即有M（|2=（3﹣
+
）2+（
=
+
）2
，），
=
当sin（θ﹣故选：B．
， ）=1，即θ=
时，取得最大值，且为
．
文档
10．（2016•新课标Ⅲ）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（ A．30° B．45° C．60° D．120° 【解答】解：，；
∴
；
又0°≤∠ABC≤180°； ∴∠ABC=30°． 故选A．
11．（2015•新课标Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，，则（ ）A． B． C．
D．
【解答】解：由已知得到如图 由=
=
=
；
故选：A．
）
文档
12．（2015•新课标Ⅰ）已知点A（0，1），B（3，2），向量向量
=（ ）
B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）
=（3，1），向量
=（﹣4，
=（﹣4，﹣3），则
A．（﹣7，﹣4）
【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到﹣3）， 则向量
=
=（﹣7，﹣4）；
故答案为：A．
13．（2015•四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（ ） A．2
B．3
C．4
D．6
【解答】解；因为向量=（2，4）与向量=（x，6）共线， 所以4x=2×6，解得x=3； 故选：B．
14．（2015•山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则A．﹣a2 B．﹣a2 C．a2 D．a2
【解答】解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°， ∴则故选：D
=a2，=（
=a×a×cos60°=）•
=
， =
=（ ）
文档
15．（2015•四川）设四边形ABCD为平行四边形，|满足
，
，则D．6
=（ ）
|=6，||=4，若点M、N
A．20 B．15 C．9
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足∴根据图形可得：=∴∵
2=
2
，，
=，
+=，
=
=
=
， •（
）=
2，
2﹣，
=|∴故选：C
|=6，|
=
22
，
|=4，
2
2=12﹣3=9
16．（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2+，则下列结论正确的是（ ） A．||=1 B．⊥
C．•=1 D．（4+）⊥
=2，
【解答】解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足又所以
，∴的方向应该为，
，
的方向．
=2，=2+，
文档
所以4
=2，=1×2×cos120°=﹣1，
=4，所以；
=0，即（4
）
=0，即
=4×1×2×cos120°=﹣4，
=0，所以
故选D．
17．（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形 ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），A．5
B．4
=（2，1）则
D．2
=
=（3，﹣1）．
•
=（ ）
C．3
【解答】解：由向量加法的平行四边形法则可得，∴
=3×2+（﹣1）×1=5．
故选：A．
18．（2015•重庆）若非零向量，满足||=则与的夹角为（ ） A．
B．
C．
D．π
||，且（﹣）⊥（3+2），
【解答】解：∵（﹣）⊥（3+2）， ∴（﹣）•（3+2）=0， 即32﹣22﹣•=0， 即•=32﹣22=
2，
∴cos＜，＞===，
即＜，＞=故选：A
，
文档
19．（2015•重庆）已知非零向量的夹角为（ ） A．
B．
C．
D．
满足||=4||，且⊥（）则
【解答】解：由已知非零向量个非零向量所以•（所以故选C．
；
的夹角为θ， ）=0，即2
满足||=4||，且⊥（），设两
=0，所以cosθ=，θ∈[0，π]，
20．（2015•福建）设=（1，2），=（1，1），=+k，若等于（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【解答】解：∵=（1，2），=（1，1）， ∴=+k=（1+k，2+k） ∵
，∴•=0，
，则实数k的值
∴1+k+2+k=0，解得k=﹣ 故选：A
二．填空题（共8小题）
21．（2017•新课标Ⅰ）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= 2 ．
【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1， ∴
=
+4•+4
=22+4×2×1×cos60°+4×12
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=12， ∴|+2|=2
．
【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形
=
+
=+2；
在△OAC中，由余弦定理得 |
|=
． ．
=2
，
即|+2|=2故答案为：2
22．（2017•天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若（λ∈R），且
=﹣4，则λ的值为
．
=2，=λ﹣
【解答】解：如图所示，
△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2， =2∴===又∴
++（+=λ=， +
﹣， ﹣
）
（λ∈R）， +•
﹣）•（λ
+λ
﹣
=（）
=（λ﹣）
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=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4， ∴
λ=1，
．
．
解得λ=
故答案为：
23．（2017•北京）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则
•
的最大值为 6 ．
=（2，0），
=（cosα+2，sinα）．
【解答】解：设P（cosα，sinα）.则
•
=2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号．
故答案为：6．
24．（2017•山东）已知
， 是互相垂直的单位向量，若
．
﹣
与
+λ
的夹角为60°，则实数λ的值是 【解答】解：∴|又∴（即
|=|﹣﹣
，
是互相垂直的单位向量， •
=0；
的夹角为60°， +λ
）=|
•
﹣
|×|
+λ=
|×cos60°，
×
|=1，且 与
+λ
）•（
+（﹣1）×，
﹣λ
文档
化简得即
﹣λ=
﹣λ=×，
×，
解得λ=．
．
故答案为：
25．（2017•新课标Ⅲ）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且【解答】解：∵向量=（﹣2，3），=（3，m），且∴
=﹣6+3m=0，
，
，则m= 2 ．
解得m=2． 故答案为：2．
26．（2017•新课标Ⅰ）已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m= 7 ．
【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（m，1）， ∴
=（﹣1+m，3），
∵向量+与垂直， ∴（
）•=（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，
解得m=7． 故答案为：7．
27．（2016•新课标Ⅰ）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m= ﹣2 ．
【解答】解：|+|2=||2+||2， 可得•=0．
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向量=（m，1），=（1，2）， 可得m+2=0，解得m=﹣2． 故答案为：﹣2．
28．（2016•山东）已知向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t+），则实数t的值为 ﹣5 ．
【解答】解：∵向量=（1，﹣1），=（6，﹣4）， ∴t+=（t+6，﹣t﹣4）， ∵⊥（t+），
∴•（t+）=t+6+t+4=0， 解得t=﹣5， 故答案为：﹣5．
三．解答题（共2小题）
29．（2017•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，﹣6，S△ABC=3，求A和a． 【解答】解：由
=﹣6可得bccosA=﹣6，①，
=
由三角形的面积公式可得S△ABC=bcsinA=3，② ∴tanA=﹣1， ∵0＜A＜180°， ∴A=135°， ∴c=
=2
，
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=9+8+12=29 ∴a=
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30．（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（cosx），x∈（0，
）．
，﹣），=（sinx，
（1）若⊥，求tanx的值； （2）若与的夹角为
，求x的值．
【解答】解：（1）若⊥， 则•=（即
sinx=
，﹣cosx
）•（sinx，cosx）=
sinx﹣
cosx=0，
sinx=cosx，即tanx=1； （2）∵||=﹣
）•（sinx，cosx）=
， =，
sinx﹣
，||=cosx，
=1，•=（
，
∴若与的夹角为则•=||•||cos即
sinx﹣
cosx=， ）=， ）．
，
）．
则sin（x﹣∵x∈（0，∴x﹣则x﹣即x=
+
∈（﹣==
．
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