2015-2016学年北京市东城区初三二模数学试卷(含答案)

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

1．我国最大的领海是南海，总面积有3 500 000平方公里，将数3 500 000用科学记数法表示应为（ ） A．3.5106 B．3.5107 C．35105 D． 0.35108

2．如图，已知数轴上的点A，O，B，C，D分别表示数﹣2，0，1，2，3，则表示数22的点P应落在线段（ ）

A．AO上 B． OB上 C． BC上 D． CD上 3．一个不透明的盒子中装有6个除颜色外完全相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是（ ）

A．

1212 B． C． D． 3523

4. 下列图案中 ，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）

5．如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是（ ）

6 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD等于（ ）

18° A．36° B． ° C． 1

° D．

7．某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（ ） 3 3.5 4 4.5 劳动时间（小时） 1 1 2 1 人 数 A．B． 众数是4，平均数是3.75 中位数是4，平均数是3.75 C．D． 中位数是4，平均数是3.8 众数是2，平均数是3.8 8．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是（ ） A．4 B．3 C．2 D． 1

9. 如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省（ ）

A．1元 B．2元 C．3元 D．4元

10. 某班有20位同学参加乒乓球、羽毛球比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人.”乙说：“两项都参加的人数小于5人.”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是（ ） A.若甲对，则乙对 B.若乙对，则甲对 C.若乙错，则甲错 D.若甲错，则乙对 二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．分解因式：2ax4ax2a= ．

12．关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 13. 如图，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件，使得△ABP∽△ACB，这个条件可以

是 ．

2

14. 九年级（3）班共有50名同学，如图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方图（满分为30分，成绩均为整数）．若将不低于23分的成绩评为合格，则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是 ．

2

15．定义运算“*”，规定x*y=a（x+y）+xy，其中a为常数，且1*2=5，则2*3= ．

16．在平面直角坐标系中，小明玩走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…，依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第8步时，棋子所处位置的坐标是 ；当走完第2016步时，棋子所处位置的坐标是 ．

三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．计算：2sin6012(3π)().

0141aba4b218．已知0，求代数式的值． 223a2ba2ab

19．如图，已知∠ABC=90°，分别以AB和BC为边向外作等边△ABD和等边△BCE，连接AE，CD.

求证：AE=CD．

3

20．列方程或方程组解应用题：

为迎接“五一劳动节”，某超市开展促销活动，决定对A，B两种商品进行打折出售．打折前，买6件A商品和3件B商品需要108元，买3件A商品和4件B商品需要94元.问：打折后，若买5件A商品和4件B商品仅需86元，比打折前节省了多少元钱？

21. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的等腰三角形．（要求：画出三个大小不同，符合题意的等腰三角形，只要画出示意图，并．．在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）

ADADAD

BCBCBC

22．如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD于点E． （1）求证：∠BAM=∠AEF；

（2）若AB=4，AD=6，cosBAM4，求DE的长. 5

4

23.如图，四边形ABCD是平行四边形，点A(1，，0)B(31)，，C(3，3)．反比例函数y过点D.

（1）求反比例函数的解析式；

m(x0)的图象经x（2）经过点C的一次函数ykxb(k0)的图象与反比例函数的 图象交于P点，当k＞0时，确

定点P横坐标的取值范围（不必写出过程）.

24.阅读下列材料：

2013年是北京市正式执行新《环境空气质量标准》的第一年.这一年，北京建立起35个覆盖全市的监测站点，正式对PM2.5、二氧化硫、二氧化氮等六项污染物开展监测.2013年全年,本市空气质量一级优的天数有41天；二级良天数135天.本市主要大气污染物PM2.5年均浓度为.5微克/立方米，单就PM2.5的浓度而言，全年共有204天达到一级优或二级良水平.

2014年全年， PM2.5年均浓度为85.9微克/立方米.，PM2.5优良天数总计204天，其中PM2.5一级优天数达到93天，比2013年的71天增加了22天.

2015年全年，本市空气质量达标天数为186天，即空气质量优良的好天儿占了一半，比2014年增加了14天. 本市主要大气污染物PM2.5年均浓度为80.6微克/立方米，单就PM2.5的浓度而言，2015年PM2.5优良天数累计达到223天，其中一级优天数首次突破100达到105天，二级良天数累计为118天. 根据以上材料解答下列问题：

（1）北京市2014年空气质量达到优良的天数为 天；单就PM2.5的浓度而言，北京市2013年全

年达到二级良的天数为 天；

（2）选择统计表或统计图，将2013—2015年北京市PM2.5的年均浓度和PM2.5的优良天数表示出来.

5

25. 如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F．

（1）求证：∠ABC=2∠CAF； （2）若AC=210，sinCAF10，求BE的长． 10

26. 阅读下列材料：

在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AB =1，∠A=，求sin2（用含sin，cos的式子表示）．

聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB的中点O，连接OC，过点C作CD⊥AB于点D，则∠COB= 2，然后利用锐角三角函数在Rt△ABC中表示出AC，BC，在Rt△ACD中表示出CD，则可以求出

sin2=

CDsinACsincos===2sincos．

11OC22

图1 图2

阅读以上内容，回答下列问题： 在Rt△ABC中，∠C =90°，AB =1. (1)如图3，若BC=

1，则 sin= ， sin2= ； 3图3

的表达式（用含sin，cos的式子表示）．

(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2

6

27.二次函数C1:yx2bxc的图象过点A（-1,2），B（4,7）. （1）求二次函数C1的解析式；

（2）若二次函数C2与C1的图象关于x轴对称，试判断二次函数C2的顶点是否在直线AB上； （3）若将C1的图象位于A，B两点间的部分（含A，B两点）记为G，则当二次函数yx22x1m与G有且只有一个交点时，直接写出m满足的条件.

7

28. 【问题】

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点E在直线BC上（B,C除外），分别经过点E和点B做AE和AB的垂线，两条垂线交于点F，研究AE和EF的数量关系. 【探究发现】

某数学兴趣小组在探究AE，EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E是BC的中点时，只需要取AC边的中点G（如图1），通过推理证明就可以得到AE和EF的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE和EF的数量关系；

【数学思考】

那么当点E是直线BC上（B，C除外）（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E在线段BC上”；“点E在线段BC的延长线”；“点E在线段BC的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；

【拓展应用】

1）当点E在线段CB的延长线上时，若BE=nBC（0＜n＜，请直接写出S△ABC：S△AEF的值．

8

29. 定义：y是一个关于x的函数，若对于每个实数x，函数y的值为三数x2，2x1，5x20中

的最小值，则函数y叫做这三数的最小值函数.

（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A（1， 3）是否为这个最小值函数图象上的点； （2）设这个最小值函数图象的最高点为B，点A（1, 3），动点M（m，m）.

①直接写出△ABM的面积，其面积是 ；

②若以M为圆心的圆经过A,B两点，写出点M的坐标；

③以②中的点M为圆心，以2为半径作圆. 在此圆上找一点P，使PA2PB的值最小，直接写出此最小值.

9

2

北京市东城区2015-2016学年第二学期统一练习（二） 初三数学参及评分标准 2016.6

一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题号 答案 题号 1 A 11 2 B 3 D 12 k1且4 A 13 5 A 6 C 14 7 C 15 8 C 9 B 16 10 B 二、填空题（本题共18分，每小题3分） ABDC(9,2)；92% 11 答案 2a(x1)2 k0 答案不唯一 (2016,672)

三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．计算：2sin6012(3π)().

解：原式=32314 …………4分 =33. …………5分

0141a4b2218. 解：

a2ba2aba24b2 = a(a2b)a(a2b)a2b …………3分 aab0， 23=

设a2k,b3k. …………4分

∴ 原式=-2 . …………5分 19. 证明：△ABD和△BCE为等边三角形， ∠ABD=∠CBE=60°，BA=BD，BC=BE. …………2分

∠ABD+∠ABC =∠CBE+∠ABC，

即

∠CBD=∠ABE. …………3分 △CBD≌△EBA.（SAS） …………4分

AE=CD. …………5分

10

20.解：设打折前一件商品A的价格为x元，一件商品B的价格为y元. …………1分

依据题意，得

6x3y108. …………3分 3x4y94x10. …………4分 解得：y1610+4×16-86=28（元） 所以5×

答：比打折前节省了28元. …………5分 21. 满足条件的所有图形如图所示：

…………5分

注意：画出一个给2分，二个给4分，三个给5分. 22.解：（1）∵矩形ABCD，

∴∠B=∠BAC=90°. ∵EF⊥AM，

∴∠AFE=∠B=∠BAD=90°.

∴∠BAM+∠EAF=∠AEF+∠EAF=90°. ∴∠BAM=∠AEF. …………2分 （2）在Rt△ABM中，∠B=90°，AB=4，cos∠BAM=

∴AM=5.

∵F为AM中点， ∴AF=

4， 55. 24. 5∵∠BAM=∠AEF， ∴cos∠BAM= cos∠AEF=∴sin∠AEF=

3. 535，sin∠AEF=，

5211

在Rt△AEF中， ∠AFE=90°，AF=

∴AE=

25. 62511=. …………5分 66∴DE=AC-AE=6-

23.解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，点A(1，，0)B(31)，，C(3，3)，

∴BC=2.

∴D（1,2）. ∵反比例函数y∴2m的图象经过点D， xm. 1∴m2.

2∴y. …………3分

x（2）

2xp3. …………5分 324.解：（1）172；133. …………2分 （2）

2013年 2014年 2015年 25.（1）证明：连结BD.

∵AB是O的直径， ∴ADB90.

∴DABDBA90. ∵ABAC，

∴2ABDABC，ADPM2.5的年均浓度（单位：微克/立方米） .5 85.9 80.6 PM2.5的优良天数 204 204 223 …………5分 1AC. 2∵AF为⊙O的切线， ∴∠FAB=90°.

∴FACCAB90. ∴FACABD.

∴ABC2CAF. …………2分

⑵ 解：连接AE.

∴∠AEB=∠AEC=90°.

10，ABDCAFCBDCAE， ∵sinCAF1010∴sinABDsinCAF．

10∵ABD90，AC210，

AD∴AD10，AB10=BC. sinABD∵AEC90，AC210， ∴CEACsinCAE2.

12

∴BEBCCE1028. …………5分

26.解：（1）sin=

13， sin2=429. …………2分 （2）∵AC= cos，BC=sin，

∴CD=

ACBCAB=sincos.

∵∠DCB=∠A，

∴在Rt△BCD中，BD=sin2.

∴OD=

12- sin2. ∴tan2=CDsincos2sincosOD=112. …………5分2sin22sin27.解：（1）∵C1:yx2bxc的图象过点A（-1,2），B（4,7），

∴21bc，7164bc.

∴b2，c1.

∴yx22x1. …………2分

（2）∵二次函数C2与C1的图象关于x轴对称，

∴C2:yx22x1. ∴C2的顶点为（1,2）. ∵A（-1,2），B（4,7）,

∴过A、B两点的直线的解析式：yx3. 令x=1，则y=4.

∴C2的顶点不在直线AB上. …………4分 （3）4m14或m4. …………7分

28.解：

【探究发现】：相等. …………1分 【数学思考】

证明：在AC上截取CG=CE，连接GE.

13

∵∠ACB=90°, ∴∠CGE=∠CEG=45°.

∵AE⊥EF，AB⊥BF，

∴∠AEF=∠ABF=∠ACB=90°,

∴∠FEB+∠AEF=∠AEB=∠EAC+∠ACB. ∴∠FEB=∠EAC. ∵CA=CB，

∴AG=BE，∠CBA=∠CAB=45°. ∴∠AGE=∠EBF=135°. ∴△AGE≌△EBF.

∴AE=EF. 【拓展应用】

S△ABC：S△AEF=1：

（n22n2） 29.解：

（1）图象略；是. （2）①2. ②M（3,3）. ③5.

…………5分 …………7分

…………2分 分

…………6分

…………8分 14

…………4