1988年全国统一高考数学试卷(理科)

1988年全国统一高考数学试卷（理科）

一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分） 1．（3分）（2008•海淀区一模）

的值等于（ ）

A ．1 B．﹣ 1 C．i D．﹣ i 2．（3分）设圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=2，直线L的方程为x+y﹣3=0，点P的坐标为（2，1），那么（ ） A ．点 P在直线L B 点P在圆M上，但不在直线L上 上，但不在圆． M上 C ．点 P既在圆MD点P既不在直线L上，也不在圆M上 上，又在直线L． 上 3．（3分）集合{1，2，3}的子集共有（ ） A ．7 个 B．8 个 C．6 个 D．5 个 4．（3分）已知双曲线方程，那么双曲线的焦距是（ ） A ．1 0 B．5 C． D． 5．（3分）在

的展开式中，x6的系数是（ ）

A ．﹣ 27C106 B．2 7C104 C．﹣ 9C106 D．9 C104 6．（3分）（2012•北京模拟）函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期是（ A ． B．π C．2 π D．4 π 7．（3分）方程的解集是（ ）

A ． B． C ． D． 8．（3分）极坐标方程所表示的曲线是（ ）

A ．圆 B．双 曲线右支 C．抛 物线 D．椭 圆 9．（3分）如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是（ ）

） A ．相交直线 B．平 行直线 C ． 互相垂直的D．不互 相垂直的异异面直线 面直线 10．（3分） A ．4 B． 的值等于（ ） C． D．8 11．（3分）设命题甲：△ABC的一个内角为60°，命题乙：△ABC的三内角的度数成等差数列．那么（ ） A ．甲是乙的充分条件，但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件，但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 12．（3分）在复平面内，若复数z满足|z+1|=|z﹣i|，则z所对应的点Z的集合构成的图形是（ ） A ．圆 B．直 线 C．椭圆 D．双 曲线 13．（3分）如果曲线x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0经过平移坐标轴后的新方程为x'2﹣y'2=1，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（ ） A ．（1，1） B．（ ﹣1，﹣1） C．（﹣1，1） D． （ 1，﹣1） 14．（3分）（2007•杭州一模）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（ ） A ．C32C1973种 B． C 32C1973+C33C1972种 C ．C2005﹣C1975D． C 2005﹣C31C1974种 种 15．（3分）已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角，C是平面α内一点（它不在棱AB上），点D是点C在面β上的射影，点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任一点，那么（ ）

A ．∠CEB＞ B．∠ CEB=∠DEB ∠DEB C ．∠CEB＜ D．∠ CEB与∠DEB的大小关系不能确定 ∠DEB 二、解答题（共5小题，满分0分） 16．（20分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面，并且SB=α表示∠ASD，求sinα的值．

，用

17．（10分）已知tgx=a，求

的值．

18．（10分）如图，正三棱锥S﹣ABC的侧面是边长为a的正三角形，D是SA的中点，E是BC的中点，求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积．

19．（12分）给定实数a，a≠0，且a≠1，设函数y=

（x∈R，且x≠）．

证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行 于x轴；

（2）这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形． 20．（12分）某中学在一次健康知道竞赛活动中，抽取了一部分同学测试的成绩，绘制的成绩统计图如图所示，请结合统计图回答下列问题： （1）本次测试中，抽取了的学生有多少人？

（2）若这次测试成绩80分以上（含80分）为优秀，则请你估计这次测试成绩的优秀率不低于百分之几？．

21．（11分）21、设

的大小，并证明你的结论．

1988年全国统一高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分） 1．（3分）（2008•海淀区一模） A ．1 考点： 专题： 分析： 解答： 解：根据复数的计算方法，可得则=（﹣i）2=﹣1， ==﹣i， B．﹣ 1 C．i 的值等于（ ）

D．﹣ i 复数代数形式的混合运算． 计算题． 根据复数的计算方法，可得的值，进而可得=（﹣i）2，可得答案． 点评： 2．（3分）设圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=2，直线L的方程为x+y﹣3=0，点P的坐标为（2，1），那么（ ） A ．点P在直线LB． 点 P在圆M上，但不在圆上，但不在直M上 线L上 C ．点P既在圆MD． 点 P既不在直上，又在直线线L上，也不L上 在圆M上 考点： 点与圆的位置关系． 分析： 点P代入直线方程和圆的方程验证即可． 解答： 解：点P坐标代入直线方程和圆的方程验证，点P的坐标为（2，1），适合L的方程，即2+1﹣3=0；点P的坐标为（2，1），满足圆M的方程，即（2﹣3）2+（1﹣2）2=2．显然A、B、D不正确． 选项C正确． 故选C． 点评： 本题是基础题，考查点的坐标适合方程． 3．（3分）集合{1，2，3}的子集共有（ ） A ．7个 B．8 个 C．6个 D．5 个 考点： 子集与真子集． 分析： 集合{1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集． 解答： 解：集合{1，2，3}的子集有： ∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}…{1，2，3}共8个． 故选B． 点评： 本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个． 故选B． 本题考查复数的混合运算，解本题时，注意先计算括号内，再来计算复数平方．

4．（3分）已知双曲线方程 A ．10 考点： 专题： 分析： 解答： B．5 ，那么双曲线的焦距是（ ） C． D． 点评： 5．（3分）在

双曲线的简单性质． 计算题． 根据题设条件求出c2，然后求出c，就能得到双曲线的焦距2c． 解：c2=25，c=5， ∴双曲线的焦距2c=10． 故选A． 本题比较简单，解题时注意不要和椭圆弄混了． 的展开式中，x6的系数是（ ）

A ．﹣27C106 B．2 7C104 C．﹣9C106 D．9 C104 考点： 二项式定理的应用． 专题： 计算题． 分析： 利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为6求出x6的系数． 解答： 解：展开式的通项为 令10﹣r=6得r=4 ∴展开式中x6的系数是9C104 故选项为D 本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具． 点评： 6．（3分）（2012•北京模拟）函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期是（ ） A ． B．π C．2π D．4 π 考点： 分析： 解答： 点评： 同角三角函数基本关系的运用． 观察题目条件，思路是降幂，先用平方差公式，再逆用二倍角公式，式子变为能判断周期等性质的形式，即y=Asin（ωx+φ）的形式． 解：∵y=cos4x﹣sin4x =cos2x﹣sin2x =cos2x， ∴T=π， 故选B 对于和式的整理，基本思路是降次、消项和逆用公式，本题就是逆用余弦的二倍角公式．另外还要注意切割化弦，变量代换和角度归一等方法． 的解集是（ ）

B． D． 7．（3分）方程 A ． C ． 考点： 分析： 解答： 正弦函数的图象． 令t=cosx代入后转化为一元二次方程后即可解． 解：令t=cosx 则∴cosx=∴x=± 可转化为：4t2﹣4t+3=0∴t= 点评： 故选C． 本题主要考查解关于三角函数的二次方程问题．一般通过换元法转化为一元二次方程的问题后再处理． 所表示的曲线是（ ）

D．椭 圆 8．（3分）极坐标方程 A ．圆 考点： 分析： B．双 曲线右支 C．抛物线 简单曲线的极坐标方程． 圆锥曲线的统一的极坐标方程是程，其中e表示曲线的离心率，欲判断极坐标方所表示的曲线，只须将它化成统一的形式后看其离心率即可． ， 解答： 解：∵∴， ∴其离心率e=点评： ，是椭圆． 故选D． 本题主要考查了圆锥曲线的统一的极坐标方程，属于基础题． 9．（3分）如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是（ ） A ．相交直线 B．平 行直线 C ．不互相垂直的D． 互 相垂直的异面直线 异面直线 考点： 空间中直线与直线之间的位置关系． 分析： 首先由“直线平行于平面，则该直线与平面内任一直线异面”判定A'D'与BB′异面； 然后通过A'D'与BB′的夹角是等腰梯形的内角，确定A'D'与BB′不垂直． 解答： 解：在正四棱台中，A'D'∥B′C′，又A'D'⊄平面BCC′B′， 所以A'D'∥平面BCC′B′，又BB′⊂平面BCC′B′， 所以A'D'与BB′异面； 又因为四边形BCC′B′是等腰梯形， 所以BB′与B′C′不垂直，即BB′与A'D'不垂直． 故选C． 点评： 10．（3分） A ．4 考点： 专题： 分析： 解答： 本题考查异面直线的定义及其夹角． 的值等于（ ）

B． C． D．8 反三角函数的运用． 计算题． 应用两角和的正切公式直接化简，以及公式tg（arctgx）=x直接求解即可． 解：= 点评： 11．（3分）设命题甲：△ABC的一个内角为60°，命题乙：△ABC的三内角的度数成等差数列．那么（ ） A ．甲是乙的充分条件，但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件，但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 考点： 等差关系的确定． 分析： 根据三角形内角和180°，△ABC的一个内角为60°，另外两个角的和是120°，满足等差中项的特点，△ABC的三内角的度数成等差数列，等差中项是60°． 解答： 解：∵△ABC的一个内角为60°， ∴另外两个角的和是120°， ∴三个角满足等差数列； ∵△ABC的三内角的度数成等差数列， ∴等差中项是60°， 故选C 点评： 本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质．以便利于区分等差和等比． 12．（3分）在复平面内，若复数z满足|z+1|=|z﹣i|，则z所对应的点Z的集合构成的图形是（ ） A ．圆 B．直 线 C．椭圆 D．双 曲线 考点： 复数的代数表示法及其几何意义． 分析： 本题考查的是复数的模的几何意义．|z1﹣z2|表示点Z1到Z2距离． 先明确几何意义，再数形结合就可以给出解答． 解答： 解：|z+1|，|z﹣i|的几何意义分别是点Z到﹣1所对应的点A（﹣1，0）和点Z到i所对应的点B（0，1）的距离． 由|ZA|=|ZB|，则点Z的轨迹是线段AB的垂直平分线． 点评： 本题考查的是复数的模的几何意义．注意掌握|z1﹣z2|表示点Z1到Z2距离． 13．（3分）如果曲线x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0经过平移坐标轴后的新方程为x'2﹣y'2=1，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（ ）

故选D． 本题考查反三角函数的运算，两角和的正切公式，是基础题． A ．（1，1） B．（ ﹣1，﹣1） C．（﹣1，1） D． （ 1，﹣1） 考点： 函数的图象与图象变化． 分析： 先将方程x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0配方，再看此方程可由什么样的平移方式得到新方程为x'2﹣y'2=1，从而新坐标系的原点在原坐标系中的坐标． 解答： 解：将方程x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0配方得： （x﹣1）2﹣（y+1）2=1， 其中心在（1，﹣1）， 故新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（1，﹣1）， 故选D． 点评： 本题主要考查了函数的图象的图象变化，属于基础题． 14．（3分）（2007•杭州一模）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（ ） A ．C32C1973种 B． C 32C1973+C33C2197种 C ．C2005﹣C1975D． C 2005﹣种 C31C1974种 考点： 组合及组合数公式． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案． 解答： 解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况， “有2件次品”的抽取方法有C32C1973种， “有3件次品”的抽取方法有C33C1972种， 则共有C32C1973+C33C1972种不同的抽取方法， 故选B． 点评： 本题考查组合数公式的运用，解题时要注意“至少”“至多”“最少”“最少”等情况的分类讨论． 15．（3分）已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角，C是平面α内一点（它不在棱AB上），点D是点C在面β上的射影，点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任一点，那么（ ）

A ．∠CEB＞ B．∠ CEB=∠DEB ∠DEB C ．∠CEB＜ D．∠ CEB与∠DEB的大小关系不能确定 ∠DEB 考点： 三垂线定理． 专题： 作图题；综合题；压轴题． 分析： 作出图形，利用三垂线定理和直角三角形，推出∠CEB、∠DEB的正切值的大小，推出结论．解答： 解：过C向AB做垂线交AB于F，连接DF，因为CD⊥AB又CF⊥AB， 所以AB⊥面CDF，所以CF垂直于AB 在直角三角形CDF中，CF为斜边DF为直角边，所以CF＞DF 易知tan∠CEF=tan∠DEB= 由CF＞DF知，∠CEB＞∠DEB 故选A． 点评： 二、解答题（共5小题，满分0分） 16．（20分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面，并且SB=α表示∠ASD，求sinα的值．

本题考查三垂线定理，考查学生逻辑思维能力，是基础题． ，用

考点： 专题： 分析： 解答： 三垂线定理． 作图题；证明题． 利用三垂线定理说明DA⊥SA，求出SD，解三角形SAD，即可得到sinα的值． 解：因为SB垂直于底面ABCD，所以斜线段SA在底面上的射影为AB，由于DA⊥AB 所以DA⊥SA从而连接BD，易知BD=所以因此， 由于SB⊥BD， 点评： 本题考查三垂线定理，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题． 的值．

17．（10分）已知tgx=a，求

考点： 分析： 解答： 三角函数中的恒等变换应用． 先用和差化积公式再根据二倍角公式即可化简求值． 解：== 点评： 本题主要考查三角函数的和差化积公式和二倍角公式．三角函数中公式比较多，一定要熟练记忆，能够灵活运用． 18．（10分）如图，正三棱锥S﹣ABC的侧面是边长为a的正三角形，D是SA的中点，E是BC的中点，求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积．

考点： 专题： 分析： 解答： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱锥的结构特征． 计算题． 连接AE，说明ED⊥SA，作DF⊥SE，交SE于点F．所求的旋转体的体积是以DF为底面半径，分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和，求出DF，然后求出几何体的体积． 解：连接AE，因为△SDE和△ABC都是边长为a的正三角形，并且SE和AE分别是它们的中线， 所以SE=AE，从而△SEA为等腰三角形，由于D是SA的中点， 所以ED⊥SA．作DF⊥SE，交SE于点F．考虑直角△SDE的面积，得到，所以，， ． 所求的旋转体的体积是以DF为底面半径，分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和，即． 点评： 本题是基础题，考查空间想象能力，圆锥的体积的求法，考查计算能力以及发现问题解决问题的能力． （x∈R，且x≠）．

19．（12分）给定实数a，a≠0，且a≠1，设函数y=

证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行

于x轴；

（2）这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形． 考点： 反函数． 专题： 证明题． 分析： （1）欲证经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴，设M1（x1，y1），M2（x2，y2）是这个函数图象上任意两个不同的点，可通过证明任意两个不同的点的直线的斜率恒不为0得到； （2）要证这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形，设点P（x'，y'）是这个函数图象上任意一点，证明其对称点（y'，x'）也在此函数的图象上即可． 解答： 解：（1）设M1（x1，y1），M2（x2，y2）是这个函数图象上任意两个不同的点，则x1≠x2，且 =∵a≠1，且x1≠x2，∴y2﹣y1≠0． 从而直线M1M2的斜率， ，因此，直线M1M2不平行于x轴． （2）设点P（x'，y'）是这个函数图象上任意一点，则x'≠，且y'=（1）易知点P（x'，y'）关于直线y=x的对称点P'的坐标为（y'，x'）由（1）式得y'（ax'﹣1）=x'﹣1，即x'（ay'﹣1）=y'﹣1，（2）此得a=1，与已知矛盾，∴，即ax'﹣a=ax'﹣1，由 点评： 这说明点P'（y'，x'）在已知函数的图象上， 因此，这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形． 本题主要考查了等价转化能力和数式的运算能力，属于中档题．对（1）也可用反证法或考查平行x轴的直线y=c与所给函数的图象是否相交及交点数目的情况．由其无交点或恰有一交点，从而得证．对（2）也可先求反函数，由反函数与原函数相同证明其图象关于y=x对称）． 20．（12分）某中学在一次健康知道竞赛活动中，抽取了一部分同学测试的成绩，绘制的成绩统计图如图所示，请结合统计图回答下列问题： （1）本次测试中，抽取了的学生有多少人？

（2）若这次测试成绩80分以上（含80分）为优秀，则请你估计这次测试成绩的优秀率不低于百分之几？．

考点： 专题： 分析： 解答： 频率分布直方图． 压轴题；图表型． （1）由频数直方图的意义，将各组人数相加可得共抽取的学生人数，即答案； （2）读直方图可得：这次测试成绩80分以上的人数，除以总人数即可得优秀率，即答案． 解：（1）由频数直方图可知：本次测试中，抽取了的学生有2+3+41+4=50人； （2）这次测试成绩80分以上（含80分）的人数为41+4=45，则优秀率为点评： 21．（11分）21、设 考点： 专题： 分析： 解答： 对数的运算性质；对数值大小的比较． 压轴题． 先判断与的大小，再由对数函数的单调性可得到答案． ，当且仅当t=1时取“=”号 ，即＞，即＞ 的大小，并证明你的结论．

=90%． 故答案为：（1）50人；（2）90%． 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 解：当t＞0时，由基本不等式可得∴t≠1时，当0＜a＜1时，y=logax是单调减函数，∴当a＞1时，y=logax是单调增函数，∴点评：

本题主要考查对数函数的单调性，即当底数大于1时函数单调递增，当底数大于0小于1时函数单调递减．