上海2012年高考数学文科试卷及答案

注意：1 •答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚.

2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.

一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写 结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分•

1. _____________________________________________________________ 已知函数f(x) x2 1(x 0)的反函数为f 1(x)，贝V f 1(5) _____________________________ .

2 2

2. 椭圆 ——1的焦点坐标为 ___________________ .

9 5

u

3. _________________________________________________________ 方向向量为d (3, 4)，且过点A(1,1)的直线I的方程是 ______________________________________ . 4. 若lim (1 a)n 0,则实数a的取值范围是 _____________ .

n

1 0 2

5.

为(a,b)，则行列式

一

某个线性方程组的增广矩阵是 ，此方程组的解记

0 1 1

2 1 2

3 2b的值是 ____________ .

a 1

0

6.某校师生共 1200人，其中学生 1000人，教师200人.为了调查师生的健康状况，采用

60人的样本，应抽取学生人数为 分层抽样的方法抽取一个容量为 a 9 3

7.若(x -)的二项展开式中x的系数为 84，则实数a ___________________ .

r r r

& 已知向量 a (sin ,1) , b (1,cos )，若 a

x

r

b，贝V _______ .

9.从集合｛1,2,3,4,5｝中随机选取一个数 a，从｛1,2,3｝中随机选一个数b，则

a b的概率为 _______ .

10.已知函数f(x) 1 loga(x 1)(a

0, a 1)的图像恒过定点 P，又点P的坐标满足

方程mx ny 1，则mn的最大值为 _________ . 11. 在三棱锥 O ABC 中，OA AB , OA AC , OA 2,

AB AC 1, BAC 60，则此三棱锥的体积为 __________________ .

4 12. 已知函数f(x) |x| ，当x [ 3,

|x|

1]时，记f (x)的最大值为

m，最小值为n ,贝U m n _______ .

13. _______________________________________________________ 函数f(x) sinn x(n N* , x R)的最小正周期为 ________________________________________________ . 14.若X是 :一个非空集

, M、①X 合

②对于 ③对

于

X的任意子集

M是「个X的某些子集为兀素的集合，且满足:

;

以

A、 B 当A M且B

,

M时，有AU B M ； M时，有AI B M ；

B 当A M且B X的任意子集 A、 ,

则称M是集合X的一个“ M —集合类” • 例如：M ｛

,｛ a , b｝｝是集合X ｛a,b｝的一个“ M —集合类”.

已知集合X ｛a,b,c｝，写出一个同时含｛b｝和｛Q的“ M —集合类” ______________ 、选择题(本大题满分 20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在

答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 15 •“ X 1 ”是“ X2 X 0 ”的

A .充分非必要条件

B .必要非充分条件

到点M（

5分，否则一律得零分.

（）

16. h , I2 , I3是空间二条不同的直线，下列命题正确是

A. I1

I2 , 12 13 I1 //13

I1//I3

B. I1 I2 , I2

13 h 13

C. I1//I2 , I2//I3

h〃l2〃l3 1

角,

11 , ,13共面

1 3

的终边关于

17.动点P从点（1,0）出发，在单位圆上逆时针旋转

的始边在x轴的正半轴，顶点在（0,0），且终边与角 面结论错误的是 A. sin

2,2 3

2 2

B . sin

2三 3 2.2

1

C. tan

已知共有6 项的数列{an} , a1 若 |G 1 |dn |，则满足条件的数列

A. 2

C.充要条件

D. ta n ID

2 ,定义向量cn (an >

{an}的个数为

C.

a

）、

u

(n , n 1) (n N ),

()

15

B. 6

2

5

D .既非充分也非必要条件

D. 2

三、解答题（本大题满分 74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规 定的区域内

写出必要的步骤. 19. （本题满分12分）

设复数z满足z| ：：10，且1 2i z（ i是虚数单位）在复平面上对应的点在直线 上，求z .

y x

)

20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8 分. 18.

切面 向右水平平移后形成的封闭体. 01、O2、O2分别为 中点.

（1） 求这个几何体的表面积；

（2） 求异面直线FO1与GO2所成的角的大小

（结果用反三角函数值表示）.

如图所示的几何体，是将高为 2、底面半径为1 的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿

AB、BC、DE的中点，F为弧AB的中点，G为 弧BC的

21. （本大题满分14分）本大题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满8分.

ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cosA - , a -,

5

(1 )当 B (2)设 B

5

—时，求边b的值；

3

x 0 x ，求函数f(x) b 2 3cosx的值域.

22. (本大题满分16分)本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3 小题满6分.

设满足条件P：an an 2 2an 1 (n N*)的数列｛a.｝组成的集合为 A，而满足条件

Q : an an 2 2an i(n N*)的数列｛a.｝组成的集合为B .

(1)

判断数列｛an｝: an 1 2n和数列｛bn｝ :bn 1 2n是否为集合 A或B中的元素？

3

(2) 已知数列｛an｝: an (n k),研究｛a.｝是否为集合A或B中的元素；若是，求出 实数k的

取值范围；若不是，请说明理由.

i

*

(3) 已知数列｛an｝: an 31( 1) log 2 n(i Z , n N )，若｛a.｝为集合B中的元素， 求满足不等

式| 2n an | 60的n的值组成的集合.

23. (本大题满分18分)本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3

小题满8分.

如图所示，在平面直角坐标系 xOy上放置一个边长为1的正方形PABC，此正方形沿x

轴滚动(向左或向右均可)，滚动开始时，点 P位于原点处，设顶 占 八、、

P x, y的纵坐标与横坐标的函数关系是

相邻两个零点之间的距离为 m .

y f (x), x R，该函数

(1) 写出m的值，并求出当0 x m时，点P运动路径的 长度I ;

(2) 写出函数y f(x),x 2,2的表达式；研究该函数的 性质并填写下面表格：

函数性质 奇偶性 单调性 结论 递增区间 递减区间 (3)写出方程f(x) 实数根的个数并说明理由.

零点 2sinx ,

、

（本大题满分i分）

1562 2 . (2,0), (2,0)

3. 4x 3y 1 0 4. (0, 2)

5.

.

1

2

7.

&

k

, k Z

1

3

4

9.

10.

—

11.

12. 9

5 86

1n3n为奇数时,2 ;n为偶数时 或写成：

3

( 1)

2

(nN) . J

.

1

4

{

,{ a},{ b},{ c},{ a , b},{ b , c},{ :c, a},{ a , b , c}},

参

15. A 16. C 17. D 18. C

三、解答题(本大题满分 74分) 6. 50

19.(本题满分12分)

解：设 z x yi ( x、y R),

.......................................... 1 分

••• |z| .10 ,••• x2 y2 10 , .................................................................3 分

而(1 2i)z (1 2i)(x yi) (x 2y) (2x y)i ,

....................................... 6 分

又••• 1 2i z在复平面上对应的点在直线

y x上，

{ ,{ b},{ • x 2y 2x y,

c},{ b , c},{ .......................................................................................a, b, c}},8 分{ ,{ b},{ x y 10 2 2

{ ,{ b},{ 即

c},{ x3^.x3c},{ '

a , b},{

b , c},{ ，•b , c},{ a

,b , c}}, c, 或

10 分

c}}.

x 3y

y 1 y 1a},{ a , b ,

； ............................... 即 z (3 i). ............................................................................................................. 12

分20.(本题满分14分)

解: (1) s表 S侧 S底 2 rh 2 2rh 2

6 8;

....... 6 分

(2)连结 QF、GO2、O2O2，则 O1F PGO2 ,

所以 O2GO2为异面直线FO1与GO2所成的角 ....... 9分 在 Rt O2O2G 中，O2O2 2 , GO2 1,

...... 12分

所以 tan O2GO2

°2°2

2，所以 O2GO2 arctan 2.

所以，异面直线FO1与GO2所成的角的大小为arctan2 . 14

21.（本大题满分 14分) 分

解：(1) si nA

3

5， b a sin B sin A (2

b a )由 si nB si nA

2

，得 b

GO2

5

10分

2

3

2

12分

f (x) 2sinx 2、3cosx 4sin(x —),

sin x —

••• f（x）的值域为（2,4] .

22.（本大题满分16分）

....................... 14 分

⑴ an an 2

…an 集合

1 2n 1 2(n 2)

4n 2 , 2an 1 2 1 2(n 1)

4n 2

an 2 2an 1

•- ｛an｝为A中的兀素，即｛an｝ A. .....................

••…2 分

bn bn 2

--bn bn 2

1 2 1 2 2

2bn 1

nn 2

5 2n, 2bn 1

2 1 2n 1

4

2 2n

…｛bn｝为集合B中的兀素，即｛bn｝ B. .................... (2) an an 2 2an 1 (n k)

当k 2时，

3

……4

分

(n 2

k) 2(n 1 k)

33

an an 2 2an 1 对 n

6(

N*恒成立，此时，｛an｝

1 k),

A

;

…7 分

当k 2时， 令 n 1, n 1 k 0 设k为不超过k的最大整数，令 n 此时，｛an｝ A, {an} B

3)

,an

a

n 2

2a

n 1 ；

[k] 1 , n 1 [k]

.

0, an an 2

2a

n

1

,

1分

QB B , an 31log2 n,

令 Cn 1 | 2n an | | 2n 31log2 n | 2n 31log 2 n ,

C3 55.13 60, c4 70 60,… .................... 1 3分 T数列｛5｝是递增数列

• n的值组成集合｛1,2,3｝ .

分

............... 16分

...... 10分

23.（本大题满分18分）

解：（1） m 4 , ............... 2 240 x 242

0,

J

■2? 2 x

1)2

1

•…7分

⑵ f (x)

J (x

(X

1 x 0 ；\"

0 x 1 2)2

1 x 2

结论 偶函数

.2 (x

函数性质 奇偶性 递增区间 单调性

0, 2 递减区间 2,0 x 0 零点 厂

(3) (i)令 g(x) —^|x，联立方程组

12

恵x

y 12 x 得：25x2 y J1 (x 5)2

I

2

24 x

■. 6

(4,5)，故f(x) ' x在区间(4,5)上有且只有一个解； ............... 1 2分 5 12

6

(ii) f(2) g(2) J 6 0, f (4) g(4) 0,

6 3

又由于函数f(x)在区间(2,4)上单调递减，

—lx 5 ■- 6

，f(6)

g(6)

区间(2,4)上有且只有一个解; 6

故方程在f (x)

12丨

)f (5) g(5)

g(8) f(8)

⑴

1 p 2*6 3

0—

2

(5,6)上单调递增，在区间(6,8)上单

0又由于函数f (x)分别在区间 、6

|x在区间(5,8)上有两个解; 12

调递减，故方程 f(x) .6 所以方程f (x)

12

f(x) 16

12 x在区间

在区间(0,8)上有且只有4个解，由对称性可知，方程

(

8,0)上有且只有4个解•又x 0是方程f(x)当

x的解,