2021年湖南省岳阳市高考数学(二模)质检试卷(解析版)

一、单项选择题（共8小题）.

1．如图，矩形表示实数集R，集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|0≤x≤2}，则阴影部分表示的集合为（ ）

A．{x|2＜x≤3} B．{x|2≤x＜3} C．{x|0≤x＜1} D．{x|x＜0或x≥1}

2．若复数z满足z（3+4i）＝25，则z在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

3．已知sinα+2cosα＝0，则sin2α＝（ ） A．

B．

C．

D．

4．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑．某园林建筑为六角攒尖，如图所示，它主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥．设这个正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面外接圆半径的比为（ ）

A． B． C． D．

5．已知a，b∈R，且a＜b＜0，则下列结论正确的是（ ） A．

B．a2＜b2

＝m，

C．2a＞2b ＝n，

＝p，

D．lnb2＜lna2

＝q，则（ ）

6．如图，正五边形ABCDE中，

A．m＞n＞p＞q B．n＞m＞p＞q C．m＞p＞n＞q D．n＞p＞m＞q

7．《周髀算经》中给出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论．已知某地立春与雨水两个节气的日影长分别为10.5尺和9.5尺，现在从该地日影长小于9尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计，则所选取这2个节气中恰好有1个节气的日影长小于5尺的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

恒成立，则a的最

8．设实数a＞0，若对任意的x∈[e，+∞），不等式大值为（ ） A．

B．

C．

D．e

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．下列结论正确的是（ ）

A．若a，b为正实数，a≠b，则 a3+b3＞a2b+ab2 B．若a，b，m为正实数，a＜b，则C．若a，b∈R，则“a＞b＞0”是“D．当x∈（0，+∞）时，10．设函数

A．f（x）＝f（x+π） B．f（x）在C．f（x）在D．

上单调递增 上有最大值

”的充分不必要条件

的最小值是，则（ ）

是f（x）的一条对称轴

11．已知三棱锥A﹣BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两垂直，其长度分别为a，b，c．点A在底面BCD内的射影为O，点A，B，C，D所对面的面积分别为SA，SB，SC，SD．在下列所给的命题中，正确的有（ ） A．

B．SA2＜SB2+SC2+SD2

C．若三个侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则sin2α+sin2β+sin2γ＝2 D．三棱锥A﹣BCD的外接球表面积为（a2+b2+c2）π

12．如图，与圆柱底面成60°的平面α截此圆柱，其截面图形为椭圆．已知该圆柱底面半径为2，则（ ）

A．椭圆的离心率为B．椭圆的长轴长为

C．椭圆的面积为32π

D．椭圆内接三角形的面积最大值为

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若（1+x）（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a2+a3+…+a8的值是 ． 14．数列{an}中，a1＝3，a9＝9，且任意连续三项的和都是18，则a2021＝ ． 15．已知抛物线x2＝4y上存在相异两点关于直线y＝x+m对称，请写出一个符合条件的实数m的值 ． 16．已知函数f（x）＝

，若实数a，b，c，d互不相等且|f（a）|＝|f

（b）|＝|f（c）|＝|f（d）|，则abcd的取值范围为 ．

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．设数列{an}满足a1＝1，an+1﹣an＝2•3n﹣1．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn＝（2n+1）an，求数列{bn}的前n项和Sn． 18．在①acosB+bcosA＝2ccosC；②

；

③sin（C﹣A）＝sinB﹣sinA这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______． （1）求C；

（2）若c＝2，求a2+b2的取值范围．

19．如图，在四棱椎P﹣ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC＝90°，AD∥BC，∠ABC＝90°，2AB＝2AD＝

CD＝BC＝2．

（1）求证：CD⊥平面PBD；

（2）若直线PD与底面ABCD所成的角的余弦值为

，求二面角B﹣PC﹣D的正切值．

20．一个口袋中装有n个红球（n≥5且n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．

（Ⅰ）试用n表示一次摸奖中奖的概率p；

（Ⅱ）若n＝5，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；

P最大？ （Ⅲ）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P．当n取多少时，21．已知双曲线C的焦点到其渐近线y＝±2x的距离为2． （1）求双曲线C的标准方程；

（2）设双曲线C的焦点在x轴上，过点P（0，2）的直线l交C双曲线的左右两支分别于A，B，交渐近线分别于M，N，证明：AM＝BN． 22．已知函数f（x）＝ex﹣ax+sinx﹣1．

（Ⅰ）当a＝2时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）当1≤a＜2时，证明：函数f（x）有2个零点．

参

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．如图，矩形表示实数集R，集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|0≤x≤2}，则阴影部分表示的集合为（ ）

A．{x|2＜x≤3} B．{x|2≤x＜3} C．{x|0≤x＜1} D．{x|x＜0或x≥1}

解：矩形表示实数集R，

集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}＝{x|x＜1或x＞3}，B＝{x|0≤x≤2}， A∪B＝{x|x≤2或x＞3}． ∴阴影部分表示的集合为： ∁R（A∪B）＝{x|2＜x≤3}． 故选：A．

2．若复数z满足z（3+4i）＝25，则z在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

，

解：由z（3+4i）＝25，得z＝

∴z在复平面内对应的点的坐标为（3，﹣4），在第四象限． 故选：D．

3．已知sinα+2cosα＝0，则sin2α＝（ ） A．

B．

C．

D．

解：∵sinα+2cosα＝0，即sinα＝﹣2cosα， ∴tanα＝﹣2， 则sin2α＝2sinαcosα ＝

＝＝＝﹣． 故选：A．

4．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑．某园林建筑为六角攒尖，如图所示，它主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥．设这个正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面外接圆半径的比为（ ）

A． B． C． D．

解：底面是正六边形，分为六个等边三角形，设边长为a， 则正六边形的外接圆半径为a，

在侧面等腰三角形中，顶角为2θ，两腰为侧棱，底边为a， 所以侧棱长为

，

故侧棱与底面外接圆半径的比为故选：C．

．

5．已知a，b∈R，且a＜b＜0，则下列结论正确的是（ ） A．

B．a2＜b2

C．2a＞2b

D．lnb2＜lna2

解：因为a＜b＜0，所以＞，故A错误； ﹣a＞﹣b＞0，所以a2＞b2，故B错误； 由指数函数的性质可得2a＜2b，故C错误； 由a2＞b2，函数y＝lnx为增函数， 所以lnb2＜lna2，故D正确．

故选：D．

6．如图，正五边形ABCDE中，

＝m，

＝n，

＝p，

＝q，则（ ）

A．m＞n＞p＞q B．n＞m＞p＞q C．m＞p＞n＞q D．n＞p＞m＞q

解：根据题意，正五边形ABCDE中，设AB＝BC＝CD＝DE＝EA＝a，BD＝CA＝b， 则∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB＝则m＝

•

＝a2，

＝108°，

△ABC中，∠ABC＝108°，∠BAC＝36°，b＝2acos36°， n＝p＝q＝

＝abcos36°＝2a2cos236°， ＝abcos72°＝2a2cos36°cos72°＝＝a2cos108°＝﹣a2cos72°，

a2＝

，

又由cos236°＞cos245°＝， 则有n＞m＞q，而q＜0 则有n＞m＞p＞q， 故选：B．

7．《周髀算经》中给出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论．已知某地立春与雨水两个节气的日影长分别为10.5尺和9.5尺，现在从该地日影长小于9尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计，则所选取这2个节气中恰好有1个节气的日影长小于5尺的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

解：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次成等差数列，

某地立春与雨水两个节气的日影长分别为10.5尺和9.5尺，

设这个等差数列的首项为a1，公差为d， 则

，解得a1＝13.5，d＝﹣1，

an＝13.5+（n﹣1）×（﹣1）＝14.5﹣n＜9， 解得n＞5.5，

∴该地日影长小于9尺的节气有惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，共7个，由an＝14.5﹣n＜5，得n＞9.5，

∴该地日影长小于5尺的节气有立夏、小满、芒种，共3个，

现在从该地日影长小于9尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计， 基本事件总数N＝

＝21，

＝

所选取这2个节气中恰好有1个节气的日影长小于5尺包含的基本事件个数m＝12，

则所选取这2个节气中恰好有1个节气的日影长小于5尺的概率为P＝＝故选：B．

8．设实数a＞0，若对任意的x∈[e，+∞），不等式大值为（ ） A．

B．

C．

D．e 恒成立，

＝．

恒成立，则a的最

解：因为对任意的x∈[e，+∞），不等式

所以，

即lnx•elnx，

令f（x）＝xex，x＞0， 则f′（x）＝（x+1）ex＞0， 故f（x）在（0，+∞）上单调递增， 由题意得f（lnx）≥f（），

所以lnx≥，即a≤xlnx对任意的x∈[e，+∞）恒成立，

故只需a≤（xlnx）min，

易得g（x）＝xlnx在∈[e，+∞）上单调递增， 故g（x）min＝g（e）＝e， 所以a≤e． 故选：D．

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．下列结论正确的是（ ）

A．若a，b为正实数，a≠b，则 a3+b3＞a2b+ab2 B．若a，b，m为正实数，a＜b，则C．若a，b∈R，则“a＞b＞0”是“D．当x∈（0，+∞）时，

”的充分不必要条件

的最小值是

解：对于A，因为a，b为正实数，

所以 a3+b3＞a2b+ab2⇔（a+b）（ a2+b2﹣ab）＞ab（a+b）⇔a2+b2﹣ab＞ab⇔a2+b2﹣2ab＞0⇔（a﹣b）2＞0⇔a≠b，所以A对； 对于B，因为a，b，m为正实数，所以＜a，但a＜b，所以B错； 对于C，因为a＞b＞0，则＞0不成立， 所以“a＞b＞0”是“

”的充分不必要条件，所以C对；

≥2

＝4

，于是

≤

，

，反之未必，如a＜0，b＞0时，满足

，但a＞b

⇔b（a+m）＜a（b+m）⇔bm＜am⇔b

对于D，因为x∈（0，+∞），所以即

的最大值是

，所以D错．

故选：AC． 10．设函数

A．f（x）＝f（x+π） B．f（x）在

上单调递增 ，则（ ）

C．f（x）在D．

上有最大值

是f（x）的一条对称轴

＝

＝﹣

，

解：A：∵f（x+π）＝∴A错误． B：设t＝sinx+cosx＝∴f（x）＝g（t）＝当x∈（﹣

，

），x+

sin（x+

），∴sinx•cosx＝，

＝（t﹣）， ∈（0，

），∴t∈（0，

），

∵y＝t，y＝﹣ 在t∈（0，∴g（t）在 t∈（0，C：当x∈（﹣

，

）上递增，

）递增，∴B正确．

]，

）递增，即 f（x）在t∈（0，），x+

∈（0，π），∴t∈（0，]上递增，

∵y＝t，y＝﹣ 在t∈（0，∴g（t）在t∈（0，∴t＝

]递增，即f（x）在t∈（0，

（

﹣

]递增，

，∴C正确．

时，f（x）取得最大值为 ）＝

D：∵f（﹣x）＝＝＝f（x），∴D正确．

故选：BCD．

11．已知三棱锥A﹣BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两垂直，其长度分别为a，b，c．点A在底面BCD内的射影为O，点A，B，C，D所对面的面积分别为SA，SB，SC，SD．在下列所给的命题中，正确的有（ ） A．

B．SA2＜SB2+SC2+SD2

C．若三个侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则sin2α+sin2β+sin2γ＝2 D．三棱锥A﹣BCD的外接球表面积为（a2+b2+c2）π 解：因为AB，AC，AD两两垂直，所以AB⊥平面ACD， 设AS⊂平面ACD，可得AS⊥CD，

由等积法可得AS＝，AO＝，所以AO2＝，

即＝++，故A正确；

因为AB，AC，AD两两垂直，所以SB＝bc，SC＝ac，SD＝ab， 又因为在直角三角形ACD中，AS⊥CD，可得AC2•AD2＝AS2•CD2， 即b2c2＝AS2（b2+c2），①

SB2+SC2+SD2＝（a2b2+b2c2+a2c2）＝a2（b2+c2）+b2c2，②

将①代入②可得，SB2+SC2+SD2＝（b2+c2）BS2＝CD2BS2＝SA2，故B错误； 设a＝b＝c＝1，P，Q分别为BC，BD的中点，即有AP⊥BC，AQ⊥BD， 所以sin2α+sin2β+sin2γ＝

+

+

＝（

）2[

+

+

]＝

，故C错误；

AC，AD为相邻的三条棱的长方体的对角线长， 三棱锥A﹣BCD的外接球的直径是以AB，设半径为R，可得4R2＝a2+b2+c2，

所以外接球的表面积为4πR2＝π（a2+b2+c2），故D正确． 故选：AD．

12．如图，与圆柱底面成60°的平面α截此圆柱，其截面图形为椭圆．已知该圆柱底面半径为2，则（ ）

A．椭圆的离心率为B．椭圆的长轴长为

C．椭圆的面积为32π

D．椭圆内接三角形的面积最大值为解：A中，b＝r＝2，a＝

＝

＝4，所以c＝

＝

＝2

，

所以离心率e＝＝＝，所以A正确；

B中，长轴长2a＝2×4＝8，所以B不正确；

C中，椭圆的面积S＝πab＝2×4π＝8π，所以C不正确； D中，椭圆方程为x＝m（m＞0）上， 此时另两点的距离为：2b

，

，椭圆内接三角形一个顶点在长轴左顶点，另两点在直线

三角形的面积为：＝

＝•

≤

＝当且仅当∴S△max＝

＝，

，即m＝时，取等号． ＝

＝6

，所以D正确，

故选：AD．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若（1+x）（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a2+a3+…+a8的值是 ﹣3 ． 解：∵（1+x）（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8， 令x＝1得：（1+1）（1﹣2）7＝a0+a1+a2+…+a7+a8＝﹣2， 令x＝0得：a0＝1， ∴a1+a2+…+a7+a8＝﹣3， 故答案为：﹣3

14．数列{an}中，a1＝3，a9＝9，且任意连续三项的和都是18，则a2021＝ 6 ． 解：数列{an}中，a1＝3，a9＝9，且任意连续三项的和都是18， ∴由题意可得an+an+1+an+2＝18， 将n换为n+1，得an+1+an+2+an+3＝18， ∴an+3＝an，

∴数列{an}是周期为3的数列． ∵a1＝3，a9＝9，∴a9＝a3＝9， ∴a2＝18﹣3﹣9＝6， ∴a2021＝a3×673+2＝a2＝6． 故答案为：6．

15．已知抛物线x2＝4y上存在相异两点关于直线y＝x+m对称，请写出一个符合条件的实数m的值 ﹣2 ．

解：设抛物线x2＝4y上存在相异两点P，Q关于直线y＝x+m对称， 则设P（x1，

），Q（x2，

），

因为点P，Q关于直线y＝x+m对称，

所以，

所以，

所以x1，x2为方程x2+4x+16﹣4m2＝0的根， 所以△＝（4）2﹣4（16﹣4m2）＝16m2﹣48＞0， 解得m的取值范围为（﹣∞，﹣故答案为：﹣2． 16．已知函数f（x）＝

，若实数a，b，c，d互不相等且|f（a）|＝|f

）∪（

，+∞），

（b）|＝|f（c）|＝|f（d）|，则abcd的取值范围为 （0，16） ． 解：∵实数a，b，c，d互不相等且|f（a）|＝|f（b）|＝|f（c）|＝|f（d）|， ∴|f（x）|＝m有四个不同的根a，b，c，d，不妨设a＜b＜c＜d， 作出函数y＝m与函数y＝|f（x）|的图象如图所示， 则有a和b为y＝m与f（x）＝|x+4|交点的横坐标， c和d为y＝m与f（x）＝|lnx|交点的横坐标， 可得﹣（a+4）＝b+4，即a+b＝﹣8， 又﹣lnc＝lnd，即lncd＝0，∴cd＝1， 由图象可知，﹣4＜b＜0，

∴abcd＝（﹣b﹣8）b＝﹣b2﹣8b＝﹣（b+4）2+16∈（0，16）． 故答案为：（0，16）．

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．设数列{an}满足a1＝1，an+1﹣an＝2•3n﹣1． （1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn＝（2n+1）an，求数列{bn}的前n项和Sn． 解：（1）a1＝1，an+1﹣an＝2•3n﹣1，

﹣

可得an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）＝1+2+6+…+2•3n2＝1+

＝3n﹣1，

上式对n＝1也成立， 所以an＝3n1，n∈N*；

﹣

﹣

（2）bn＝（2n+1）an＝（2n+1）•3n1，

Sn＝3•30+5•31+7•32+…+（2n﹣1）•3n﹣2+（2n+1）•3n﹣1， 3Sn＝3•3+5•32+7•33+…+（2n﹣1）•3n﹣1+（2n+1）•3n， 两式相减可得﹣2Sn＝3+2（31+32+…+3n﹣2+3n﹣1）﹣（2n+1）•3n ＝3+2•则Sn＝n•3n．

18．在①acosB+bcosA＝2ccosC；②

；

﹣（2n+1）•3n，

③sin（C﹣A）＝sinB﹣sinA这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______． （1）求C；

（2）若c＝2，求a2+b2的取值范围． 解：若选①，

（1）因为acosB+bcosA＝2ccosC，

所以sinAcosB+sinBcosA＝2sinCcosC，即sinC＝2sinCcosC， 因为C∈（0，π），sinC≠0， 故cosC＝， 所以C＝

．

（2）由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2abcosC， 所以4＝a2+b2﹣ab≥a2+b2﹣

，

所以a2+b2≤8，当且仅当a＝b时取等号． 又a2+b2＞4，

所以（a2+b2）∈（4，8]． 若选②，

（1）因为所以1﹣cos2x+

，可得1﹣cos2C+2

sin2C＝3，可得sin（2C﹣

∈（﹣

．

，

）＝1， ），

sinCcosC＝3，

因为C∈（0，π），2C﹣所以2C﹣

＝

，可得C＝

（2）由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2abcosC， 所以4＝a2+b2﹣ab≥a2+b2﹣

，

所以a2+b2≤8，当且仅当a＝b时取等号． 又a2+b2＞4，

所以（a2+b2）∈（4，8]． 若选③，

（1）因为sin（C﹣A）＝sinB﹣sinA， 又sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC， 所以2sinAcosC＝sinA， 因为sinA≠0， 可得cosC＝， 因为C∈（0，π）， 所以C＝

．

（2）由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2abcosC， 所以4＝a2+b2﹣ab≥a2+b2﹣

，

所以a2+b2≤8，当且仅当a＝b时取等号． 又a2+b2＞4，

所以（a2+b2）∈（4，8]．

19．如图，在四棱椎P﹣ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC＝90°，AD∥BC，∠ABC＝90°，2AB＝2AD＝

CD＝BC＝2．

（1）求证：CD⊥平面PBD；

（2）若直线PD与底面ABCD所成的角的余弦值为

，求二面角B﹣PC﹣D的正切值．

解：（1）证明：在四边形ABCD中， AD∥BC，∠ABC＝90°，2AB＝2AD＝

，

∴△ABD，△BCD都是等腰直角三角形，即CD⊥DB， ∵平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC＝90°， 平面PBC∩平面ABCD＝BC， ∴直线PB⊥平面ABCD，即PB⊥CD． （2）设BC＝2，则AB＝1，CD＝BD＝

，

，

，PB＝2，

∵直线PD与底面ABCD所成的角的余弦值为∴在Rt△PBD中，cos∠PDB＝

＝

，∴PD＝

设BC的中点为M，连接DM，过点M作PC的垂线交PC于N，连接DN， 则∠DNM就是所求角，

由题意知DM⊥平面PBC，∴DM⊥MN，

∵DM＝AB＝1，MN⊥CN，∠PBC＝90°，BC＝PB＝2， ∴CN＝MN，∴CM＝

MN＝1，∴MN＝

，

设二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ， 则二面角B﹣PC﹣D的正切值为tanθ＝

＝

．

20．一个口袋中装有n个红球（n≥5且n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．

（Ⅰ）试用n表示一次摸奖中奖的概率p；

（Ⅱ）若n＝5，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；

P最大？ （Ⅲ）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P．当n取多少时，解：（Ⅰ）一次摸奖从n+5个球中任选两个，有Cn+52种，它们等可能，其中两球不同色有∁n1C51种，一次摸奖中奖的概率（Ⅱ）若n＝5，一次摸奖中奖的概率摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是

．

，三次摸奖是重复试验，三次摸奖（每次

．

（Ⅲ）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P＝P3（1）＝C31•p•（1﹣p）2＝3p3﹣6p2+3p，0＜p＜1，P'＝9p2﹣12p+3＝3（p﹣1）（3p﹣1），知在最大值．又

上P为增函数，在

，解得n＝20．

上P为减函数，当

时P取得

答：当n＝20时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大． 21．已知双曲线C的焦点到其渐近线y＝±2x的距离为2． （1）求双曲线C的标准方程；

（2）设双曲线C的焦点在x轴上，过点P（0，2）的直线l交C双曲线的左右两支分别于A，B，交渐近线分别于M，N，证明：AM＝BN． 解：（1）因为双曲线C的渐近线为y＝±2x， 当双曲线的焦点在x轴上时，则双曲线（±c，0），

﹣

＝1，渐近线的方程为y＝±x，焦点F

所以，解得a＝1，b＝2，

所以双曲线的方程为x2﹣＝1，

当双曲线的焦点在y轴上时，则双曲线（0，±c），

﹣＝1，渐近线的方程为y＝±x，焦点F

所以，解得a＝4，b＝2，

所以双曲线的方程为﹣＝1．

综上双曲线的方程为x2﹣＝1或﹣＝1．

（2）由（1）知双曲线的方程为x2﹣设直线l：y＝kx+2，

＝1，其渐近线的方程为y＝±2x，

因为直线l交C双曲线的左右两支分别于A，B， 所以﹣2＜k＜2，

联立，得（4﹣k2）x2﹣4kx﹣8＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2）， 所以x1+x2＝联立联立所以|AM|＝

，x1x2＝，解得x＝，解得x＝

|x1﹣

， ，y＝，y＝|，|BM|＝

，则M（，则N（|x2+

|，

）2

，

，

），

），

所以|AM|2﹣|BN|2＝（1+k2）（x1﹣＝（1+k2）[（x1﹣＝（1+k2）[（＝（1+k2）[（﹣＝（1+k2）[（＝0，

）2﹣（x2+﹣x2﹣

）2﹣（1+k2）（x2+）2]

）]，

）2﹣（x2+

）]， ）]，

﹣x2）2﹣（x2++x2）2﹣（x2+

所以|AM|＝|BN|．

22．已知函数f（x）＝ex﹣ax+sinx﹣1．

（Ⅰ）当a＝2时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）当1≤a＜2时，证明：函数f（x）有2个零点．

解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝ex﹣2x+sinx﹣1，则f′（x）＝ex﹣2+cosx， 可得f″（x）＝ex﹣sinx，

故x∈（﹣∞，0]时，可得ex≤1，故f′（x）≤﹣1+cosx≤0， 故f（x）在（﹣∞，0]内单调递减，

当x∈（0，+∞）时，ex＞1，故f″（x）＞1﹣sinx≥0，

故f′（x）在（0，+∞）上单调递增，故f′（x）＞f′（0）＝0， 故f（x）在（0，+∞）上单调递增，

综上，f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增； （Ⅱ）证明：当x＝0时，f（0）＝0，故x＝0是f（x）的一个零点， 由f′（x）＝ex﹣a+cosx，令g（x）＝ex﹣a+cosx，可得g′（x）＝ex﹣sinx， ∵1≤a≤2，

①当x∈（0，+∞）时，g′（x）＝ex﹣sinx＞e0﹣sinx≥0，f′（x）在（0，+∞）单调递增，

则 f′（x）＞f′（0）＝2﹣a＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，f（x）＞f（0）＝0， 故f（x）在（0，+∞）无零点，

②当x∈（﹣∞，﹣π]时，﹣ax≥π，有f（x）≥ex+π+sinx﹣1＞0， 故f（x）在（﹣∞，﹣π]上无零点，

③当x∈（﹣π，0）时，sinx＜0，g′（x）＞0，f′（x）在（﹣π，0）单调递增，

﹣

又f′（0）＝2﹣a＞0，f′（﹣π）＝eπ﹣1﹣a＜0，

故存在唯一x0∈（﹣π，0），使得f′（x0）＝0，

当x∈（﹣π，x0）时，f′（x）＜），f（x）在（﹣π，x0）单调递减， 当x∈（x0，0）时，f′（x）＞0，f（x）在（x0，0）单调递增， 又f（﹣π）＝e﹣π+aπ﹣1＞0，f（x0）＜f（0）＝0， 故f（x）在（﹣π，0）有1个零点， 综上，当1≤a＜2时，f（x）有2个零点．