课题：柱、锥体的结构特征
课 型：新授课 教学目标：
通过实物模型，观察大量的空间图形，认识柱体、锥体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
教学重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出柱体、锥体的结构特征. 教学难点：柱、锥的结构特征的概括. 教学过程： 一、新课导入：
在现实生活中，我们的周围存在着各种各样的物体，它们具有不同的几何形状。 由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体。
下面请同学们观察课本P2图1.1-1的物体，它们具有什么样的几何结构特征？你能对它们进行分类吗？分类的依据是什么？
学生观察思考，最后归类总结。 上图中的物体大体可分为两大类：
（一）由若干个平面多变形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
（二）由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴。
这节课我们主要学习多面体——柱、锥的结构特征。 二、讲授新课：
1. 棱柱的结构特征：
请同学们根据刚才的分类，再对比一下图1.1-1中(2)(5)(7)(9)中的几何体，并寻找它们的
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共同特征。（师生共同讨论，总结出棱柱的定义及其相关概念）
（1）定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相
平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
（2）棱柱的有关概念：（出示右图模型，边对照模型边介绍）
棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面（简称底），其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
（3）棱柱的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 （4）棱柱的表示
用底面各顶点的字母表示，如右图的六棱柱可表示为“棱柱ABCDEFA'B'C'D'E'F'” 思考1：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？
解答：不是棱柱。据反例。如右图几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱。
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2．棱锥的结构特征：
请同学们根据刚才的分类，再对比一下图1.1-1中(14)(15)中的物体，并寻找它们的共同特征。
（师生共同讨论，总结出棱柱的定义及其相关概念）
（1）定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一公共点的三角形， 由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
（2）棱锥的有关概念：（出示右图模型，边对照模型边介绍）
棱锥中，这个多边形面叫做棱锥的底面或底，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 （3）棱锥的分类：
按底面的多边形的边数分，有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。 （4）棱锥的表示
用底面各顶点的字母表示，如右图的四棱锥可表示为“棱锥SABCD” 讨论：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？有什么共同的性质？
棱柱：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形
棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.
3．圆柱、圆锥的结构特征：
（1）观察图1.1-1中的（1）（3）（6）（8）的物体，并思考：圆柱、圆锥如何形成？
（2） 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱；以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥. （3）圆柱、圆锥的有关概念：（ 参照课本图1.1-7和1.1-8的模型，边对照模型边介绍）
在圆柱中，旋转的轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
圆锥中的轴、底面、侧面、母线，请学生自己仿照圆柱的定义归纳总结。
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（4）圆柱、圆锥的表示方法：
圆柱、圆锥都用表示它的轴的字母表示，例如图1.1-7中的圆柱表示为圆柱O’O，图1.1-8中的圆锥表示为圆锥SO.
(5)讨论：棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征？ 圆柱和棱柱统称为柱体；棱锥和圆锥统称为锥体.
三、巩固练习：
1. 练习：教材P7 1、2题.
2. 已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为 5cm,,面积为12cm,求圆锥的底面半径. 3.已知圆柱的底面半径为3cm,,轴截面面积为24cm,求圆柱的母线长.
四、归纳小结：
棱柱、棱锥及圆柱、圆锥的结构特征。
五、作业布置：
教材P8 习题1.1，第1题
课后记：
课题：台、球体及简单几何体的结构特征
课 型：新授课 教学目标：
通过实物模型，观察大量的空间图形，认识台体、球体及简单组合体的结构特征，并能运用
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这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
教学重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出台体、球体及简单几何体的结构特征。 教学难点：台、球体及简单几何体的结构特征的概括. 教学过程： 一、复习准备：
1. 结合棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的几何图形，说出：定义、分类、表示。 2. 结合棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的几何图形，说出各几何体的一些几何性质？
二、讲授新课：
1. 棱台与圆台的结构特征：
（1）思考：用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体，所得几何体有何特征？
（2）定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台；用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台. 列举生活中的实例，并找出图1.1-1中哪些物体是棱台和圆台？
（3）结合课本图1.1-6认识：
棱台的上、下底面、侧面、侧棱、顶点. 结合课本图1.1-9认识：
圆台的上、下底面、侧面、母线、轴。
（4）棱台的分类及表示：
由三棱锥、四棱锥、五棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台等；
棱台用表示底面各顶点的字母表示，例如图1.1-6中的棱台表示为棱台ABCD-A’B’C’D’.
(5) 圆台的表示:
圆台用表示它的轴的字母表示，例如图1.1-9的圆台表示为圆台O’O.
（6）讨论：棱台、圆台分别具有一些什么几何性质？
棱台：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点.
圆台：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一点；母线长都相等.
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棱台与圆台统称为台体。 2．球体的结构特征：
（1） 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体，叫球体，简称球.
列举生活中的实例，并找出图1.1-1中哪些物体是球体？ （2）结合课本图1.1-10认识：球心、半径、直径.
在球中，半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。 （3） 球的表示：
球常用表示球心的字母表示，例如图1.1-10中的球表示为球O。 （4） 讨论：球与圆柱、圆锥、圆台有何关系？（旋转体）
棱台与棱柱、棱锥有什么共性？（多面体）
3. 简单组合体的结构特征：
（1）讨论：现实世界中物体表示的几何体，除了柱体、锥体、台体、球体等简单几何体外，还有哪些物体存在？
例如矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？
（2） 定义：由简单几何体（如柱、锥、台、球等）组合而成的几何体叫简单组合体. 列举生活中的实例。
（3）简单组合体的构成形式：
一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图1.1-11中（1）（2）物体表示的几何体； 一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图1.1-11中（3）（4）物体表示的几何体。
三、巩固练习：
1. 练习：课本P8 A组 2～5题.
2. 已知长方体的长、宽、高之比为4∶3∶12，对角线长为26cm, 则长、宽、高分别为多少？ 3. 棱台的上、下底面积分别是25和81，高为4，求截得这棱台的原棱锥的高 4. 若棱长均相等的三棱锥叫正四面体，求棱长为a的正四面体的高.
四、归纳小结：
本节课学习了台、球体及简单几何体的定义、表示；并探究了它们的性质及分类，重点要把握它们的结构特征。 五、作业布置：
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习题1.1 B组 第1- 2题 课后记：
课题：中心投影与平行投影 及简单几何体的三视图
课 型：新授课 教学目标：
1、了解中心投影和平行投影的原理；
2、能利用正投影绘制空间图形的三视图，并根据所给的三视图识别该几何体。 教学重点：投影的概念及三视图的画法。 教学难点：识别三视图所表示的空间几何体. 教学过程： 一、新课导入：
1. 讨论：能否熟练画出上节所学习的几何体？工程师如何制作工程设计图纸？
2. 引入：从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。” 对于我们所学几何体，常用三视图和直观图来画在纸上. 三视图：观察者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形； 直观图：观察者站在某一点观察几何体，画出的空间几何体的图形. 用途：工程建设、机械制造、日常生活.
二、讲授新课：
1. 中心投影与平行投影：
我们知道，物体在灯光或日光的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子，这是一种自然现象。投影就是由这类自然现象抽象出来的。所谓投影，是光线（投射线）通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该面上得到图形的方法。生活中有许多利用投影的例子，如手影表演，
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皮影戏等。
我们把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影。
中心投影的优缺点：它能非常逼真的反映原来的物体，主要应用于绘画领域，也常用来概括的描绘一个结构或一个产品的外貌。由于投影中心，投影面和物体的相对位置改变时，直观图的大小和形状亦将改变，因此在另外的一些领域，比如工程制图或技术图样，一般不采用中心投影。
我们把在一束平行光线照射下形成的投影，称为平行投影。平行投影按照投射方向是否正对着投影面，可以分为斜投影和正投影两种。（如图）
我们所讲的视图就是将物体按正投影向投影面投射所得到的图形。三视图就是从三个不同的视角看空间物体的结构，只有这样才能客观的反映物体。所以我们在现实生活中，也要从多个角度看待问题，否则就如瞎子摸象。
现在我们比较详细的了解了三视图，接下来，我们就来画物体的三视图。
2. 柱、锥、台、球的三视图： （1）三视图的定义：
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图； 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图； 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
（2）讨论：三视图与平面图形的关系？
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画出长方体的三视图（教师在讲台上给出模型，并在黑板上画出三视图） 注意：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边。
讨论：三视图中反应的长、宽、高的特点？ “长对正”，“高平齐”，“宽相等”
（3） 结合球、圆柱、圆锥的模型，从正面（自前而后）、侧面（自左而右）、上面（自上而下）
三个角度，分别观察，画出观察得出的各种结果. 即正视图、侧视图、俯视图：
（4）试画出：棱柱、棱锥、棱台、圆台的三视图. （学生自己动手画图）
（5）讨论：
三视图，分别反应物体的哪些关系（上下、左右、前后）？哪些数量（长、宽、高）？ 正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
（6） 讨论：根据以上的三视图，如何逆向得到几何体的形状. （试变化以上的三视图，说出相应几何体的摆放）
三、巩固练习：
（1） 画出正四棱锥的三视图. （2）画出右图所示几何体的三视图.
右图是一个物体的正视图、左视图和俯视图，试描述该物体的形状.
四、归纳小结：
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今天我们学习了中心投影和平行投影，三视图的画法以及由三视图说实物。三视图画法里面要注意“长对正”，“高平齐”，“宽相等”。
五、作业布置：
1、画出右图三棱柱的三视图。
2．已知某物体的三视图如图所示，那么这个物体的形状是_______________.
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正视图 侧视图 俯视图
课后记：
课题：简单组合体的三视图
课 型：新授课 教学目标：
能利用正投影绘制简单组合体的三视图，并根据所给的三视图说出该几何体由哪些简单几何体构成。
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教学重点：简单组合体三视图的画法。 教学难点：识别三视图所表示的空间几何体. 教学过程： 一、复习回顾：
1．中心投影与平行投影的概念：
中心投影：光由一点向外散射形成的投影。 平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影。 2．三视图的概念：
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图； 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图； 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 在三视图中要注意：
（1）要遵守“长对正”，“高平齐”，“宽相等”的规律；
（2）要注意三视图的主视图反映上下、左右关系，俯视图反映前后、左右关系，左视图反映前后、上下关系，方位不能错。
二、讲授新课：
1．简单组合体的三视图：
例1：画出下列几何体的三视图。
分析：画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚。
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例2：如图：设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图（单位：cm）。 （与学生一起观察物体，给于必要的阐述）
主视图左视图俯视图正前方
现在，我们已经学会了画物体的三视图，反过来，由三视图，你能说出是什么物体吗？
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例3：根据下列三视图，说出立体图形的形状。
(1)(2)(3)
解：（1）圆台；（2）正四棱锥；（3）螺帽。
例4：下图是一个物体的三视图，试说出物体的形状。
主视图左视图
俯视图
三、巩固练习：
课本第15页练习 第1—4题。
四、归纳小结：
今天我们学习了三视图的画法以及由三视图说实物。重点要通过三视图识别所表示的几何体。
五、作业布置：
课本第20-21页 习题1．2的第1、2题。
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课后记：
课题：空间几何体的直观图
课 型：新授课 教学目标：
（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。
（2）采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。
教学重点：用斜二测画法画空间几何体直观图。
教学难点：用斜二测画法画空间几何体直观图的画法原理。 教学过程： 一、新课导入：
1. 提问：何为三视图？（正视图：自前而后；侧视图：自左而右；俯视图：自上而下） 2. 讨论：如何在平面上画出空间图形？
3. 引入：定义直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形. 把空间图形画在平面内，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形
二、讲授新课：
1. 水平放置的平面图形的斜二测画法：
（1）讨论：水平放置的平面图形的直观感觉？以六边形为例讨论. 例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。 （师生共练，注意取点、变与不变 → 小结：画法步骤） 画法：
① 如图1.2-10(1)，在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O。在图1.2-10(2)中，画相应的x’轴与y’轴，两轴相交于点O’，
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''使X'OY=450。
② 在图1.2-10(2)中，以O’为中点，在x’轴上取A’D’=AD，在y’轴上取M’N’
1MN。以点N’为中点，画B’C’平行于x’轴，并且等于BC；再以M’为中点，画E’F’2平行于x’轴，并且等于EF。
=
③连接A’B’，C’D’,D’E’,F’A’,并檫去辅助线x’轴和y’轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A’B’C’D’E’F’（图1.2-10(3)）。
（2）给出斜二测画法的基本步骤：
①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；
''②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O’X’,O’Y’,使X'OY=450
（或1350），它们确定的平面表示水平平面；
③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；
④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。
(3) 练习： 用斜二测画法画水平放置的正五边形.
(4) 讨论：水平放置的圆如何画？（正等测画法；椭圆模板）
2. 空间图形的斜二测画法：
(1) 讨论：如何用斜二测画法画空间图形？
例2 用斜二测画法画长4cm、宽3cm、高2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图. （师生共练，建系→取点→连线，注意变与不变； 小结：画法步骤） 画法：
① 画轴。如图1.2-12，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=450,∠xOz=900. ② 画底面。以点O为中点，在x轴上取线段MN,使MN=4cm;在y轴上取线段PQ,使
3PQ=cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交
2点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD. ③ 画侧棱。过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别取2cm长的线段AA’,BB’,CC’,DD’.
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④ 成图。顺次连接A’,B’,C’,D’，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图。
（2）思考：如何根据三视图，用斜二测画法画它的直观图？
例3 如图1．2-13，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图。
分析：有几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体。它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合。我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥。
画法：
① 画轴。如图1.2-14(1)，画x轴、z轴，使∠xOz=900。
② 画圆柱的下底面。在x轴上取A,B两点，使AB的长度等于俯视图中圆的直径，且OA=OB。选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两点，使它为圆柱的下底面。
③ 在Oz上截取点O’，使OO’等于正视图中OO’的长度，过点O’作平行于轴Ox的轴O’x’，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面。
④ 画圆锥的顶点。在Oz上截取点P，使PO’等于正视图中相应的高度。
⑤ 成图。连接PA’,PB’,AA’,BB’，整理得到三视图表示的几何体的直观图（图1.2-14(2)） 强调：用斜二测画法画图，注意正确把握图形尺寸大小的关系。 （3）讨论：三视图与直观图有何联系与区别？
空间几何体的三视图与直观图有密切联系. 三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视图可以得到一个精确的空间几何体，得到广泛应用（零件图纸、建筑图纸）. 直观图是对空间几何体的整体刻画，根据直观图的结构想象实物的形象. 三、巩固练习：
1．探究P19 奖杯的三视图到直观图. 2． 练习：P19 1～5题
3. 画出一个正四棱台的直观图.尺寸：上、下底面边长2cm、4cm; 高3cm
四、归纳小结：
让学生回顾斜二测画法的关键与步骤。
五、作业布置：
课本P21 第4、5题。
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课后记：
课题： 柱体、锥体、台体的表面积与体积（一）
课 型：新授课 教学目标 1、知识与技能
（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。 （3）培养学生空间想象能力和思维能力。 2、过程与方法
（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。 （2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积的关系。 3、情感与价值
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通过学习，使学生感受到几何体面积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。
教学要求：了解柱、锥、台的表面积计算公式；能运用柱锥台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.
教学重点：运用公式解决问题. 教学难点：理解计算公式的由来. 教学过程： 一、复习准备：
1. 讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→ 正方体、长方体的表面积计算公式？ 2. 讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？ → 圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？ 二、讲授新课：
1. 教学表面积计算公式的推导：
① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和） ② 练习：1.已知棱长为a，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC的表面积.(教材P24页例1) 2.一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.
③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图
圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽
S圆柱侧=2rl，S圆柱表=2r(rl)，其中为r圆柱底面半径，l为母线长。
圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为3600，S圆锥侧=rl， S圆锥表=r(rl)，中为r圆锥底面半径，l为母线长。
圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，侧面展开图扇环中心角为S圆台表=(r2rlRlR2).
④ 练习：一个圆台，上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°，求圆台的表面积.
（变式：求切割之前的圆锥的表面积）
Rr3600，l→侧→表）
是圆柱的高（母线），
rl其
周长，外弧长等于圆台下底S
圆台侧=(rR)l，
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2. 教学表面积公式的实际应用：
① 例2P25：一圆台形花盆，盘口直径20cm，盘底直径15cm，底部渗水圆孔直径1.5cm，盘壁长15cm.. 为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂200个这样的花盘要多少油漆？
讨论：油漆位置？→ 如何求花盆外壁表面积？ 列式 → 计算 → 变式训练：内外涂
② 练习：粉碎机的上料斗是正四棱台性，它的上、下底面边长分别为80mm、440mm，高是200mm, 计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积.
三、巩固练习：
1. 已知底面为正方形，侧棱长均是边长为5的正三角形的四棱锥S-ABCD，求其表面积. 2. 圆台的上下两个底面半径为10、20, 平行于底面的截面把圆台侧面分成的两部分面积之比为1：1，求截面的半径. （变式：r、R；比为p:q）
3、已知圆锥的表面积为 a ㎡，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为 。
（答案：
233am）
4. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，求这个圆锥的表面积.
5. 圆锥的底面半径为2cm，高为4cm，求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值.
6. 面积为2的菱形，绕其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少？
四 小结：表面积公式及推导；实际应用问题
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五、作业：P28 1、2 P30习题 2题 课后记
课题：柱体、锥体、台体的表面积与体积（二） 课 型：新授课 教学目标 1、知识与技能
（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。 （3）培养学生空间想象能力和思维能力。 2、过程与方法
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让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的体积的关系。 3、情感与价值
通过学习，使学生感受到几何体体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。
教学要求：了解柱、锥、台的体积计算公式；能运用柱锥台的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题.
教学重点：运用公式解决问题. 教学难点：理解计算公式之间的关系. 教学过程： 一、复习准备：
1. 提问：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式？
2. 练习：正六棱锥的侧棱长为6, 底面边长为4, 求其表面积. 3. 提问：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？ 二、讲授新课：
1. 教学柱锥台的体积计算公式：
① 讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖暅(gèng，祖冲之的儿子)原理，教材P30） ② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？
→给出柱体体积计算公式：V柱Sh （S为底面面积，h为柱体的高）→V圆柱Shr2h
③ 讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？ 等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系？ ④ 根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式？
→给出锥体的体积计算公式：V锥Sh S为底面面积，h为高）
⑤ 讨论：台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由此如何计算切割前的锥体的高？ → 如何计算台体的体积？
1311 → V圆台(S'S'SS)h(r2rRR2)h （r、R分别为圆台上底、下底半径）
3313⑥ 给出台体的体积公式：V台(S'S'SS)h （S，S'分别上、下底面积，h为高）
⑦ 比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？
从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式
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讨论：侧面积公式是否也正确？ 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一？
公式记忆：V锥Sh
131V台(S'S'SS)h
311V圆台(S'S'SS)h(r2rRR2)h
332. 教学体积公式计算的运用：
例1、一堆铁制六角螺帽，共重11.6kg, 底面六边形边长12mm，内空直径10mm，高10mm，估算这堆螺帽多少个？（铁的密度7.8g/cm3）
讨论：六角螺帽的几何结构特征？ → 如何求其体积？ → 利用哪些数量关系求个数？ → 列式计算 → 小结：体积计算公式
② 练习：将若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形容器中，量得水面高度为6cm；若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形容器中，求水面的高度. .
三、巩固练习：
1. 把三棱锥的高分成三等分，过这些分点且平行于三棱锥底面的平面，把三棱锥分成三部分，求这三部分自上而下的体积之比。
2、棱台的两个底面面积分别是245c㎡和80ｃ㎡，截得这个棱台的棱锥的高为35cm，求这个棱台的体积。 （答案：2325cm3）
3. 已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，它的轴截面的面积为4，求圆锥的体积.
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4. 高为12cm的圆台，它的中截面面积为225πcm2,体积为2800cm3，求它的侧面积。
5. 仓库一角有谷一堆，呈1/4圆锥形，量得底面弧长2.8m，母线长2.2m，这堆谷多重？720kg/m3
四、小结：柱锥台的体积公式及相关关系；公式实际运用
五、作业：P28 2、3题； 课后记
习题 3题.
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P30
课题： 球的体积和表面积
课 型：新授课 一. 教学目标 1.知识与技能
⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。 ⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。 ⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。 2.过程与方法
通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝
4πR3和面积公式Ｓ3＝４πR2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。 3.情感与价值观
通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。 二. 教学重点、难点
重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。 三. 学法和教学用具 １．
学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值
的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。
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２． 教学用具：多媒体课件
四. 教学设计 （一） 创设情景
⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。
⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。 （二） 探究新知
1．球的体积：
如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。 步骤： 第一步：分割
如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面
R的平面把半球切割成n个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为，底面是“小圆片”的底面。
n如图： 得
RR3i12Viri[1()] (i1、２n)
nnn2第二步：求和
1(11n)(2n)Ｖ半球＝v1v2v3vnR[1]
63第三步：化为准确的和 当n→∞时，
1n→0 （同学们讨论得出）
3所以 Ｖ半球＝R(1122)R3 63Ｖ球得到定理：半径是Ｒ的球的体积
4R3 3第 26 页 （共 170页）
练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm3) 2．球的表面积：
球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。
思考：推导过程是以什么量作为等量变换的？ 半径为R的球的表面积为 Ｓ＝４πR2
练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 。 （答案50元）
（三）体积公式的实际应用：
例①：一种空心钢球的质量是142g，外径是5.0cm，求它的内径. （钢密度7.9g/cm3） 讨论：如何求空心钢球的体积？ → 列式计算 → 小结：体积应用问题.
② 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，
③ 探究阿基米德的科学发现：图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球。在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的 ，球的表面积也是圆柱全面积的.
五、课堂小结：
本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题，了
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容器内放入一个半径为R求此时容器中水的深度.
2323
解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”的解题方法。 六、作业：1、P28 练习1、2、3
2、⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为 ，表面积比为 。
（答案：33:1 ； 3 ：1）
⑵在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积。 （答案：2500πcm2）
七、课后记：
课题：平面
课 型：新授课 一、教学目标： 1、知识与技能
（1）利用生活中的实物对平面进行描述； （2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图； （3）掌握平面的基本性质及作用； （4）培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法
（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；
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（2）让学生归纳整理本节所学知识。 3、情感与价值
使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。 二、教学重点、难点
重点：1、平面的概念及表示；
2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
难点：平面基本性质的掌握与运用。 三、学法与教学用具
1、学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板 四、教学过程
（一）实物引入、揭示课题
师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。与此同时，教师对学生的活动给予评价。
师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。 （二）研探新知 1、平面含义
师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。
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2、平面的画法及表示
师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画）
之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）
平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）
α
α
β β A
D α B
C
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课本P41 图 2.1-4 说明
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。 点A在平面α内，记作：A∈α 点B在平面α外，记作：B α
2.1-4 3、平面的基本性质
·B
α
·B ·A
教师引导学生思考教材P41的思考题，让学生充分发表自己的见解。
师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出以下公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 （教师引导学生阅读教材P42前几行相关内容，并加以解析） 符号表示为
A∈L
B∈L => L α A∈α B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等……
A α ·
L
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引导学生归纳出公理2
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 α · C ·
·
A B
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的含义。 引导学生阅读P42的思考题，从而归纳出公理3
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
β 符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
α · L P 4、教材P43 例1 用符号表示下列图形中点、线、面之间的位置关系
通过例子，让学生掌握图形中点、线、面的位置关系及符号的正确使用。
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三、课堂练习：课本P43 练习1、2、3、4 四、课时小结：（师生互动，共同归纳）
（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）三个公理的内容及作用是什么？ 五、作业布置
（1）复习本节课内容；
（2）预习：同一平面内的两条直线有几种位置关系. 课后记：
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课题：空间中直线与直线之间的位置关系
课 型：新授课 一、教学目标： 1、知识与技能
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理；
（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。 2、过程与方法
（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；
（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。 3、情感与价值
让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 二、教学重点、难点 重点：1、异面直线的概念；
2、公理4及等角定理。
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难点：异面直线所成角的计算。 三、学法与教学用具
1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板 四、教学思想
（一）创设情景、导入课题
1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）讲授新课
1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：
共面直线 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：
2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？
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组织学生思考：
长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，BB'与DD'平行吗？ 生：平行
再联系其他相应实例归纳出公理4
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1、 空间四边形ABCD，E 、F、H、G分别是边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形
EFGH是平行四边形
3 让学生观察、思考右图：
∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ 生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800 教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理
=>a∥c
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等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。 4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。
（1）师：如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。
（2）强调：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；
2② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 （3）例2（教材P47页例3） （三）课堂练习 练习1、2
（四）课堂小结在师生互动中让学生了解： （1）本节课学习了哪些知识内容？ （2）计算异面直线所成的角应注意什么？ （五）课后作业
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1、判断题：
（1）a∥b c⊥a => c⊥b （ ） （2）a⊥c b⊥c => a⊥b （ ）
2、填空题：在正方体ABCD-A'B'C'D'中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。 课后记：
课题：空间直线与平面、平面与平面之间的
位置关系
课 型：新授课 一、教学目标： 1、知识与技能
（1）了解空间中直线与平面的位置关系； （2）培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法
（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握； （2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。 二、教学重点、难点 重点：空间直线与平面 难点：用图形表达直线与平面 三、学法与教学用具
第 38 页 （共 170页）
1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型 四、教学过程： （一）复习引入： 1 空间两直线的位置关系
（1）相交；（2）平行；（3）异面
2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：a//b,b//ca//c．
3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.
5.空间两条异面直线的画法
abbaabA1AD1B1DBC1C
6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 第 39 页 （共 170页）
推理模式：A,B,l,BlAB与l是异面直线 7．异面直线所成的角：已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O作直线a//a,b//b，a,b所成的角的大小与点O的选择无关，把a,b所成的锐角（或直角）叫异面直线a,b所成的角（或夹角）．为了简便，点O通常取在异面直线的一条上 8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线a,b 垂直，记作ab． （二）研探新知
1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
a α a∩α=A a∥α
例1下列命题中正确的个数是（ ）
⑴若直线L上有无数个点不在平面内，则L∥
(2)若直线L与平面平行，则L与平面内的任意一条直线都平行
（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 （4）若直线L与平面平行，则L与平面内任意一条直线都没有公共点
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（A）0 (B) 1 (C) 2 (D)3 教学平面与平面的位置关系：
① 以长方体为例，探究相关平面之间的位置关系？ 联系生活中的实例找面面关系. ② 讨论得出：相交、平行。 →定义：平行：没有公共点； 相交：有一条公共直线。
→符号表示：α∥β、 α∩β＝b
→举实例：…
③ 画法：相交：……
平行：使两个平行四边形的对应边互相平行
④ 练习： 画平行平面；画一条直线和两个平行平面相交；画一个平面和两个平行平面相交 探究：A. 分别在两平行平面的两条直线有什么位置关系？
B. 三个平面两两相交，可以有交线多少条？
C. 三个平面可以将空间分成多少部分？ D. 若//，//，则//
三、巩固练习
1．选择题
第 41 页 （共 170页）
（1）以下命题（其中a，b表示直线，表示平面）
①若a∥b，b，则a∥ ②若a∥，b∥，则a∥b ③若a∥b，b∥，则a∥ ④若a∥，b，则a∥b 其中正确命题的个数是 （ ）
（A）0个
（B）1个
（C）2个
（D）3个
（2）已知a∥，b∥，则直线a，b的位置关系
①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交. 其中可能成立的有 （ ）
（A）2个
（B）3个
（C）4个
（D）5个
（3）如果平面外有两点A、B，它们到平面的距离都是a，则直线AB和平面的位置关系一
定是（ ）
（A）平行
（B）相交 （C）平行或相交 （D）AB
（4）已知m，n为异面直线，m∥平面，n∥平面，∩=l，则l （ ）
（A）与m，n都相交 （B）与m，n中至少一条相交 （C）与m，n都不相交 （D）与m，n中一条相交
教材P51 练习 学生独立完成后教师检查、指导 （四）归纳整理、整体认识
教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他们掌握知识的层次。 （五）作业
1、让学生回去整理这三节课的内容，理清脉络。 2、教材P51 习题2.1 A组第5题
第 42 页 （共 170页）
课后记
课题：直线与平面平行的判定
课 型：新授课 一、教学目标： 1、知识与技能
（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理；
（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力； 2、过程与方法
学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行的判定定理。 3、情感、态度与价值观
（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性； （2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。 二、教学重点、难点
第 43 页 （共 170页）
重点、难点：直线与平面平行的判定定理及应用。 三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实例，通过观察、思考、交流、讨论等，理解判定定理。 2、教学用具：投影仪（片） 四、教学思想
（一）创设情景、揭示课题
引导学生观察身边的实物，如教材第55页观察题：封面所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？如何去确定这种关系呢？这就是我们本节课所要学习的内容。 （二）研探新知
1. 教学线面平行的判定定理：
① 探究:有平面和平面外一条直线a,什么条件可以得到a//？
分析:要满足平面内有一条直线和平面外的直线平行。
判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.
a 符号语言: ba//
a//b例1求证：:空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面.
→改写：已知：空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点，求证：EF//平面BCD. → 分析思路 → 学生试板演
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例2在正方体ABCD- A’B’C’D’中，E为DD’中点，试判断BD’与面AEC的位置关系，并说明理由.
→ 分析思路 →师生共同完成 → 小结方法 → 变式训练：还可证哪些线面平行 练习： Ⅰ、判断对错
直线a与平面α不平行，即a与平面α相交． （ ） 直线a∥b，直线b
平面α，则直线a∥平面α． （ ）
平面α，则直线a∥b． （ ）
直线a∥平面α，直线b
Ⅱ 在长方体ABCD- A’B’C’D’中，判断直线与平面的位置关系（解略）
（三）自主学习、发展思维 练习：教材第56页 1、2题
让学生独立完成，教师检查、指导、讲评。
（四）归纳小结整理
1、同学们在运用该判定定理时应注意什么？
2、在解决空间几何问题时，常将之转换为平面几何问题。 （五）作业
1、教材第64页 习题2.2 A组第3题； 2、预习：如何判定两个平面平行？ 课后记
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课题：平面与平面平行的判定
课 型：新授课 一、教学目标： 1、知识与技能
理解并掌握两平面平行的判定定理。 2、过程与方法
让学生通过观察实物及模型，得出两平面平行的判定。 3、情感、态度与价值观
进一步培养学生空间问题平面化的思想。 二、教学重点、难点
重点：两个平面平行的判定。 难点：判定定理、例题的证明。 三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考、探讨，教师予以启发，得出两平面平行的判定。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型 四、教学思想
（一）创设情景、引入课题
引导学生观察、思考教材第57页的观察题，导入本节课所学主题。
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（二）研探新知
① 讨论：两个平面平行，其中一个平面内的直线和另一个平面有什么位置关系？一个平面内有两条直线平行于一个平面，这两个平面有什么位置关系？
② 将讨论的结论用符号语言表示：aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥α，则β∥α。 ③ 以长方体模型为例，探究面面平行的情况.
④ 提出判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
a,b,abA☆ 图形语言、文字语言、符号语言//；
a∥，b∥☆ 思想：线面平行→面面平行.
⑤ 讨论：水准器判断水平平面的方法及其原理。 ⑥ 出示例：平行于同一个平面的两个平面互相平行。
分析结果→以后待证→结论好处 → 变问：垂直于同一条直线的两个平面呢？
⑦ 讨论：A. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面是否平行？
B. 平面α上有不在同一直线上的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系是怎样的？试证明你的结论。
2. 教学例题：
① 例1：在长方体ABCD-A1B1C1D1 , 求证： 分析：如何找线线平行→线面平行→面面平 师生共练，强调证明格式
第 47 页 （共 170页）
平面AB1D1∥平面C1BD. 行？
变式：还可找出一些什么面面平行的例子？并说证明思路. 小结：证明思想.
两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 教师指出：判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 （三）自主学习、加深认识 练习：教材第59页1、2、3题。 学生先独立完成后，教师指导讲评。 （四）归纳整理、整体认识
1、判定定理中的线与线、线与面应具备什么条件？
2、在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方，请向老师提出。 （五）作业布置
第62页习题2.2 A组第7题。
课题：直线与平面、平面与平面平行的性质
课 型：新授课 一、教学目标： 1、知识与技能
（1）掌握直线与平面平行的性质定理及其应用； （2）掌握两个平面平行的性质定理及其应用。
第 48 页 （共 170页）
2、过程与方法
学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。 3、情感、态度与价值观
（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力； （2）进一步体会类比的作用； （3）进一步渗透等价转化的思想。 二、教学重点、难点 重点：两个性质定理 。 难点：（1）性质定理的证明；
（2）性质定理的正确运用。 三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。 2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型 四、教学思想
1. 教学线面平行的性质定理：
① 讨论：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线的位置关系如何？
② 给出线面性质定理及符号语言：l//,l,③ 讨论性质定理的证明：
∵ l//，∴l和没有公共点， 又∵m，∴l和m没有公共点； 即l和m都在内，且没有公共点，∴④ 讨论：如果过平面内一点的直线平行于与有何位置关系？ 教学例题：
α a c ml//m．
β b l//m．
此平面平行的一条直线，那
么这条直线是否在此平面内？ 如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条与平面
第 49 页 （共 170页）
例1：已知直线a∥直线b，直线a∥平面α,bα， 求证：b∥平面α
分析：如何作辅助平面？ → 怎样进行平行的转 → 师生共练 → 小结：作辅助平面；
转化思想“线面平行→线线平行→线线平行→线面
② 练习：一条直线和两个相交平面平行，求证：它和这两个平面的交线平行。（改写成数学符号语言→试证）
已知直线a∥平面，直线a∥平面，平面
例2：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′．要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？所画的线和面AC有什么关系？
例3：已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。
讨论：存在怎样的线线平行或线面平行？ 怎样画
如何证明所画就是所求？
变式：如果AD∥BC，BC∥面A′C′，那么，AD都有怎样的位置关系．为什么？
教学面面平行性质定理：
① 讨论：两个平面平行，其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？两个平面内的
和面BC′、面BF、面A′C′线？
平面=b，求证a//b.
bcad化？ 平行”
第 50 页 （共 170页）
直线有什么位置关系？当第三个平面和两个平行平面都相交，两条交线有什么关系？为什么？ ② 提出性质定理：两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
∥ ③ 用符号语言表示性质定理：
＝a，＝b④ 讨论性质定理的证明思路. 教学例题：
例4已知平面,,满足//,a,b,求证：a//b
例5：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个平面也相交. 讨论：如何将文字语言转化为图形语言和符号语言？ → 如何作辅助平面？ → 师生共同完成
例6：求证夹在两个平行平面间的两条平行线的长相等.
→首先要将文字语言转化为符号语言和图形语言：
已知：//，AB,CD是夹在两个平行平面,间的平行线段，求证：ABCD. → 分析：利用什么定理？（面面平行性质定理） 关键是如何得到第三个相交平面
② 练习：若//，//，求证：//．
（试用文字语言表示 → 分析思路 → 学生板演） 在平面内取两条相交直线a,b，
分别过a,b作平面,，使它们分别与平面交于两相交直线a,b， ∵//，∴a//a,b//b，
又∵//，同理在平面内存在两相交直线a,b，使得a//a,b//b， ∴a//a,b//b， ∴//.
ADCB第 51 页 （共 170页）
三、巩固练习：
1. 两条直线被三个平行平面所截，得到四条线段. 求证：这四条线段对应成比例.
2. 已知l,m是两条异面直线，l//平面，l//平面，m//面，m//平面，求证：//． *3. 设P,Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心， 如图：（1）证明：PQ//平面AA1B1B； （2）求线4. 课堂作业：书P69 B组2、3题。 5. 如图，b∥c，求证：a∥b∥c
（试用文字语言表示 → 分析思路 → 学生板6. 设平面α、β、γ，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，（//,aa//）；转化思想四、 五. 作业：P62 4、5、6题. 课后记：
演）
且a//b. 求证：a∥b∥c. 段PQ的长。
四. 小结：线面平行的性质定理，转化思想；面面平行的性质定理及其它性质
第 52 页 （共 170页）
课题：直线与平面垂直的判定
课 型：新授课 一、教学目标 1、知识与技能
（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理； （2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；
（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。 2、过程与方法
（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程； （2）探究判定直线与平面垂直的方法。 3、情态与价值
培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。 二、教学重点、难点
直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。 三、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。
2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。 （二）研探新知
1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。并对画示表示进行说明。
L
p α
第 53 页 （共 170页）
图2-3-1
2、老师提出问题，让学生思考：
（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？
（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？
A
B D C
图2.3-2
（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 老师特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 （三）实际应用,巩固深化
例1：如图，已知a//b,a，求证：b （分析：线面垂直线线垂直线面垂直）
例2在正方体ABCDA'B'C'D'中，求直线A'B和平面A'B'C'D'所成的角.
（讨论老师引导学生版书）
巩固练习： 1. 平行四边形ABCD所在平面外有一点证：点P与平行四边形对角线交点O的连线PO垂直2. 如图，已知APO所在平面，AB为O的直径，作AEPC于点E. 求证：AE平面PBC.
P，且PA=PB=PC=PD，求于AB、AD C是圆周上的任意，过点A
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（四）归纳小结，课后思考
小结：采用师生对话形式，完成下列问题：
①请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。②直线与平面垂直的判定定理，体现的教学思想方法是什么？ 课后作业: ①课本P69练习
②求证：如果一条直线平行于一个平面，那么这个平面的任何垂线都和这条直线垂直。 思考题：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线就和这个平面垂直，这个结论对吗？为什么？ 课后记：
课题：直线和平面垂直（2）
一、教学目标：1．进一步掌握线面垂直的定义和判定定理；
2．熟练应用定理解决有关问题．
二、教学重、难点：定理应用． 三、教学过程：
（一）复习：1．直线与平面垂直的定义；
2．直线与平面垂直的判定定理；
3．练习：平行四边形ABCD所在平面外有一点P，且PAPBPCPD，求证：
点P和平行四边形对角线交点O的连线PO垂直于BC和AB． （二）新课讲解：
例1．过一点和已知平面垂直的直线只有一条． 已知：平面和一点P
求证：过点P与垂直的直线只有一条．
P第 55 页 （共 170页）
ABa
AB
Pa
证明：不论P在平面内或外，设直线PA，垂足为A（或P）若另一直线PB，设PA,PB确定的平面为，且∴PAa,PBa
又∵PA,PB在平面内，与平面几何中的定理矛盾 所以过点P与垂直的直线只有一条。
例2．定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．（线面垂直的性质定理） 已知：如图，a,b 求证：a//b
abb'a
证明：（反证法）假定b不平行于a，则b与a相交或异面； （1）若a与b相交，设abA， ∵a,b
∴过点A有两条直线与平面垂直，
此与“过一点有且只有一条直线垂直于已知平面”矛盾， ∴a与b不相交；
（2）若a与b异面，设bO，过O作b//a， ∵a ∴b 又∵b且bbO，
∴过点O有直线b和b垂直于与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾，
O第 56 页 （共 170页）
∴b与a不异面，综上假设不成立， ∴a//b．
说明：例1和例2结论可直接应用于其他的解题过程中．
例3．已知直线l平面，垂足为A，直线APl，求证：AP在平面内． 证明：设AP与l确定的平面为， 如果AP不在内，则可设lAPMAM，
∵l，∴lAM，又∵APl，
于是在平面内过点A有两条直线垂直于l， 这与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾， 所以AP一定在平面内．
点到平面的距离：从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足间线段的长，叫做点到平面的距离。 四、课堂小结：直线与平面垂直的判定定理和性质定理．
五、作业：补充：如图，AB是圆O的直径，C是圆周上的一点，PA垂直于O所在的平面，
AFPC，求证：FA平面PBC．
P73 5、6
课后记
第 57 页 （共 170页）
P F A C O B
课题：平面与平面垂直的判定
课 型：新授课 一、教学目标 1、知识与技能
（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用； （3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。 2、过程与方法
（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。 3、情态与价值
通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。 二、教学重点、难点。
重点：平面与平面垂直的判定； 难点：如何度量二面角的大小。 三、学法与教学用具。
1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。 2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板） 四、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人
第 58 页 （共 170页）
造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。
（二）研探新知 1、二面角的有关概念
老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）
角 A 图形 边 顶点 O 边 B 定义 构成 表示 2、二面角的度量
二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
教师特别指出：
（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L” ，OB⊥L； （2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；
（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？ 承上启下，引导学生观察，类比、自主探究， 获得两个平面互相垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 （三）应用举例，强化所学
例1：如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：平面PAC平面PBC.
（讨论师生共析学生试写证明步骤归纳：线线垂直线面垂直面面垂直）
从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形 射线 — 点（顶点）一 射线 ∠AOB 二面角 A 梭 l β B α 从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 半平面 一 线（棱）一 半平面 二面角α-l-β或α-AB-β 第 59 页 （共 170页）
练习：教材P69页探究题
例2：已知空间四边形ABCD的四条边和对角线都相BCD所在二面角的大小. (分析学生自练)
练习：如图，已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且ABAC3,BC2，求以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小？
（四）小结归纳，整体认识
（1）二面角以及平面角的有关概念；
（2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？
（五）课后巩固，拓展思维
1、课后作业：自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二两角的平面角互补。
2、课后思考问题：在表示二面角的平面角时，为何要求“OA⊥L、OB⊥L”？为什么 ∠AOB 的大小与点O在L上的位置无关？
课后记：
等，求平面ACD和平面
第 60 页 （共 170页）
课题：直线与平面垂直、平面与平面
垂直的性质
课 型：新授课 一、教学目标 1、知识与技能
（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理； （2）能运用性质定理解决一些简单问题；
（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。
第 61 页 （共 170页）
2、过程与方法
（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识； （2）性质定理的推理论证。 3、情态与价值
通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。
二、教学重点、难点 两个性质定理的证明。 三、学法与用具
（1）学法：直观感知、操作确认，猜想与证明。 （2）用具：长方体模型。 四、教学设计 （一）、复习准备：
1.直线、平面垂直的判定，二面角的定义、大小及求法.
2.练习：对于直线m,n和平面,，能得出的一个条件是（ ）①mn,m//,n//②
mn,m,n③m//n,n,m④m//n,m,n.
3.引入：星级酒店门口立着三根旗杆，这三根旗杆均与地面垂直，这三根旗杆所在的直线之间具有什么位置关系？ （二）、讲授新课：
1. 教学直线与平面垂直的性质定理：
①定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直线线平行）
②练习：a,b,c表示直线，M表示平面，则a//b的充分条件是（ ）A、ac且bc B、a//M且b//M C、aM且bM D、a,b与c所在的角相等
例1：设直线a,b分别在正方体ABCDA'B'C'D'中两个不同的平面内，欲使a//b，a,b应满足什么条件？（分组讨论师生共析总结归纳）
（判定两条直线平行的方法有很多：平行公理、同位角相等、内错角相等、同旁内角互补、中位线定理、平行四边形等等） 2.教学平面与平面垂直的性质定理：
①定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.（面面垂直线面
第 62 页 （共 170页）
垂直）
探究：两个平面垂直，过其中一个平面内一点作另一个平面的垂线有且仅有一条. ②练习：两个平面互相垂直，下列命题正确的是（ ）
A、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 B、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 C、一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面
D、过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.
例2、如图，已知平面,,，直线a满足a,a，试判断直线a与平面的位置关系.
④练习：如图，已知平面平面，平面平面，a，求证：a. .
(三)、巩固练习：
1、下列命题中，正确的是（ ）
A、过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直B、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直C、若a,b异面，过a一定可作一个平面与b在a,b上的点M，一定可以作一个平面和a,b都2、如图，P是ABC所在平面外一点，
PAPB,CB平面PAB,M是PC的中点，N是AB垂直D、a,b异面，过不垂直.
上的点，AN3NB.求
证：MNAB. 3、教材P71、72页
第 63 页 （共 170页）
（四）巩固深化、发展思维
思考1、设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系？
（答：直线a必在平面α内）
思考2、已知平面α、β和直线a，若α⊥β，a⊥β，a α，则直线a与平面α具有什么位置关系？
五、归纳小结,课后巩固
小结：（1）请归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容各是什么？ （2）类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？ 六、作业：（1）求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直； （2）求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。 课后记：
第 64 页 （共 170页）
课题：三垂线定理（1）
课 型：新授课 一、课题：三垂线定理
二、教学目标：1．掌握科学的概念，了解射影、斜线的定义；
2．掌握三垂线定理及其逆定理，利用三垂线定理及其逆定理解决有关线线垂直问题。
三、教学重、难点：三垂线定理及其逆定理；三垂线定理及其逆定理中各条直线之间的关系． 四、教学过程：
AB（一）复习：平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质： BBAA
（二）新课讲解： 1．射影的有关概念：
BAAA0A0A0ABA0(B0)A0B0A(A0)B0A0B0B0 （1）点的射影：自一点P向平面引垂线，垂足P叫做P在平面内的正射影（简称射影）。
第 65 页 （共 170页）
（2）图形的射影：如果图形F上所有点在一个平面内的射影构成图形F，则F叫做F在 这个平面内的射影． 2．斜线的有关概念：
（1）斜线：如果一条直线和一个平面相交但不垂直，那么这条直线叫做平面的斜线； A（2）斜足：斜线和平面的交点；
（3）斜线段：斜线上一点和斜足间的线段叫做斜线段． 由此，斜线段AB在平面内的射影仍为线段， 即为线段A0B．
3．三垂线定理：
定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，
那么它也和这条斜线垂直。
已知：PO,PA分别是平面的垂线和斜线，OA是PA在平面内的射影，a，且aOA
PA0B 求证：aPA；
OAa 证明：∵PO∴POa，又∵aOA,POOAO ∴a平面POA， ∴aPA．
说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；
PO,O（2）推理模式：PAAaPA．
a,aOA第 66 页 （共 170页）
4．三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。（证明 略）
PO,O 推理模式： PAAaAO．
a,aAP 练习：RtABC在平面内，C90,PC,CDAB于点D，请指出图形中的直角三角形。
PRtABC,RtADC,RtBDCRtPDA,RtPDB RtPCA,RtPCB,RtPCDACDB
三．例题分析：
例1．已知：点O是ABC的垂心，PO平面ABC，垂足为O，
求证：PABC．
证明：∵点O是ABC的垂心， ∴ADBC
PAODC又∵PO平面ABC，垂足为O，PA平面ABCA 所以，由三垂线定理知，PABC．
B例2． 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角
的角平分线上．
P已知：BAC在平面内，点P,PEAB,PFAC,PO，垂足分别为E,F,O,PEPF，
第 67 页 （共 170页） AEOFCB
求证：BAOCAO．
证明：∵PEAB,PFAC,PO，
∴ABOE,ACOF（三垂线定理逆定理） ∵PEPF,PAPA，∴RtPAERtAOF， ∴AEAF，又∵AOAO， ∴RtAOERtAOF ∴BAOCAO．
例3．如图，道路两旁有一条河，河对岸有电塔AB，高15m，只有量角器和 尺作测量工具，能否测出电塔顶与道路的距离？
解：在道路边取点C，使BC与道路边所成的水平角等于90， 再在道路边取一点D，使水平角CDB45， 测得C,D的距离等于20m，
∵BC是AC在平面上的射影，且CDBC ∴CDAC（三垂线定理） 因此斜线段AC的长度就是塔顶与道路的距离， ∵CDB45,CDBC,CD20m，∴BC20m， 在RtABC中得|AC|AB2BC215220225(m)， 答：电塔顶与道路距离是25m． 四、课堂小结：
1．射影和斜线的有关概念； 2．三垂线定理及其逆定理．
第 68 页 （共 170页）
五、作业：
AB1D1． 1．在正方体AC1中，求证：正方体的对角线A1C垂直于平面P2．如图，ABCD是矩形，PA平面ABCD，点
M,N分别是AB,PC的中点，
AMND
CB求证：ABMN．
3．已知：如图若直角ABC的一边BC//平面，另一边AB和平面斜交于点A，求证：ABC在平面上的射影仍为直角。
课后记：
第 69 页 （共 170页）
课题：三垂线定理（2）
课 型：新授课
一、课题：三垂线定理（2）
二、教学目标：1．进一步明确三垂线定理及逆定理的内容；
2．能在新的情景中正确识别定理中的“三垂线”，并能正确应用．
三、教学重、难点：三垂线定理的应用。
A1D1B1C1四、教学过程：
DCB（一）复习：
A第 70 页 （共 170页）
1．三垂线定理及其逆定理的内容； 2．练习：
已知：在正方体AC1中，求证：（1）BD1AC（2）BD1B1C． 11；（二）新课讲解：
例1．点A为BCD所在平面外的一点，点O为点A在平面BCD内的射影，若ACBD,ADBC，
A求证：ABCD． 证明：连结OB,OC,OD， ∵AO平面BCD，且ACBD ∴BDOC（三垂线定理逆定理） 同理ODBC，∴O为ABC的垂心， ∴OBCD， 又∵AO平面BCD， ∴ABCD（三垂线定理）
【练习】：BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的射影O为BCD的垂心，
求证：点B在ACD内的射影P是ACD的垂心．
例2．已知：四面体SABC中，SA平面ABC,ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC 上的
射影，求证：H不可能是SBC的垂心．
SSC， 证明：假设H是SBC的垂心，连结BH，则BHBOCD∵BH平面SBC
∴BH是AB在平面SBC内的射影， ∴SCAB（三垂线定理）
HACB又∵SA平面ABC，AC是SC在平面ABC内的射影
第 71 页 （共 170页）
∴ ABAC（三垂线定理的逆定理）
∴ABC是直角三角形，此与“ABC是锐角三角形”矛盾 ∴假设不成立，所以，H不可能是SBC的垂心．
例3．已知：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是CC1的中点，
F是AC,BD的交点，求证：A1F平面BED．
证明：AA1平面ABCD，AF是A1F在面ABCD上的射影 A1D1C1B1E又∵ACBD，∴A1FBD 取BC中点G，连结FG,B1G， ∵A1B1平面BCC1B1,FG平面BCC1B1， ∴B,G为A1F在面BCC1B1上的射影，
ADFBGC又∵正方形BCC1B1中，E,G分别为CC1,BC的中点，∴BEB1G， ∴A1FBE（三垂线定理）又∵EBBDB，∴A1F平面BED．
五、课堂小结：三垂线定理及其逆定理的应用． 六、作业：
1．已知P是ABC所在平面外一点，PA,PB,PC两两垂直，H是ABC的垂心， 求证：PH平面ABC．
BFCA2．已知P是ABC所在平面外一点，PA,PB,PC两两垂直， 求证：P在平面ABC内的射影O是ABC的垂心．E 3．如图，ABC是正三角形，F是BC的中点，
D
DF平面ABC，四边形ACDE是菱形，
求证：ADBE．
第 72 页 （共 170页）
A4．如图，过直角三角形BPC的直角顶点P作线段PA平面BPC，
求证：P在平面ABC内的射影H是ABC的垂心． PHCB
课后记：
本章复习（一）
课 型：复习课 一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识； （2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。 2、过程与方法
利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系。
第 73 页 （共 170页）
3情态与价值
学生通过知识的整合、梳理，理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题能力。 二、教学重点、难点
重点：各知识点间的网络关系；
难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。 三、教学设计
（一）知识回顾，整体认识 1、本章知识回顾
（1）空间点、线、面间的位置关系； （2）直线、平面平行的判定及性质； （3）直线、平面垂直的判定及性质。 2、本章知识结构框图 直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系 空间直线、平面的位置关系 平面（公理1、公理2、公理3、公理4） 平面与平面的位置关系 （二）整合知识，发展思维
1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。
第 74 页 （共 170页）
公理1——判定直线是否在平面内的依据； 公理2——提供确定平面最基本的依据； 公理3——判定两个平面交线位置的依据； 公理4——判定空间直线之间平行的依据。
2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题； 3、空间平行、垂直之间的转化与联系： 直线与直线垂直 4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。 （三）应用举例，深化巩固
1、P.73 A组第1题
2、P.74 A组第6、8题
（四）、课堂练习：
P直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行 直线与平面垂直 平面与平面垂直 1．选择题
A （1）如图BC是Rt⊿ABC的斜边，过A作⊿ABCBDC所在平面垂线AP，连
第 75 页 （共 170页）
PB、PC，过A作AD⊥BC于D，连PD，那么图中直角三角形的个数是 （A）4个
（B）6个 （C）7个 （D）8个
（ ）
（2）直线a与平面斜交，则在平面内与直线a垂直的直线（ ） （A）没有 （B）有一条 （C）有无数条 答案：（1）D (2) C
2．填空题
（1）边长为a的正六边形ABCDEF在平面内，PA⊥，PA=a，则P到CD的距离为 ，P到BC的距离为 .
（2）AC是平面的斜线，且AO=a，AO与成60º角，A
（D）内所有直线
OC，AA＇⊥于A＇，∠A＇OC=45º， 则A到直线OC的距离是 ， ∠AOC的余弦值是 . 答案：（1）2a,7142a; （2）a, 244O A′ C 3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D. 分析：A1C在上底面ABCD的射影AC⊥
A1D1B1C1BD,
A1C在右侧面的射影D1C⊥C1D,
DCB所以A1C⊥BD, A1C⊥C1D,从而有A1C⊥平
课后作业
A面BC1D.
第 76 页 （共 170页）
1、阅读本章知识内容，从中体会知识的发展过程，理会问题解决的思想方法； 2、P.76 B组第2题。
课后记：
本章复习（二）
课 型：复习课 一、复习目标：
1．了解直线和平面的位置关系；掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理． 2．了解平面和平面的位置关系；掌握平面和平面平行的判定定理和性质定理．
3．掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；
第 77 页 （共 170页）
4．会用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直，并会规范地写出解题过程。 二、例题分析：
例1．正方体ABCD—A1B1C1D1中． (1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；
(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD． 证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，
∴B1D1∥BD，
又BD 平面B1D1C，B1D1平面B1D1C， ∴BD∥平面B1D1C． 同理A1D∥平面B1D1C． 而A1D∩BD＝D， ∴平面A1BD∥平面B1CD．
(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G． 从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF． ∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1． ∴平面EB1D1∥平面FBD．
说明 要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证线与线的平行． 小结：
例2．如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点． 求证：(1)线段MP和NQ相交且互相平分；(2)AC∥平面MNP，BD∥平面MNP． 证明：(1) ∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN＝AC．
A 第 78 页 （共 170页）M D1 A1 B1 C1 F
E D A
G B
C
12Q
D
B
∵P、Q是CD、DA的中点，∴PQ∥CA，PQ＝CA． ∴MN∥QP，MN＝QP，MNPQ是平行四边形． ∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．
(2)由(1)，AC∥MN．记平面MNP(即平面MNPQ)为α．显然ACα．
否则，若ACα，
由A∈α，M∈α，得B∈α；
由A∈α，Q∈α，得D∈α，则A、B、C、D∈α， 与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾． 又∵MNα，∴AC∥α，
又AC α，∴AC∥α，即AC∥平面MNP． 同理可证BD∥平面MNP．
2AC， 212例3．四面体ABCD中，ACBD,E,F分别为AD,BC的中点，且EF
BDC90，求证：BD平面ACD
//1AC 证明：取CD的中点G，连结EG,FG，∵E,F分别为AD,BC的中点，∴EG2//1BD，又ACBD,∴FG1AC，∴在EFG中， FG221EG2FG2AC2EF2
2∴EGFG，∴BDAC，又BDC90，即BDCD，ACCDC
∴BD平面ACD 的点，AN3NB
例2．如图P是ABC所在平面外一点，PAPB,CB平面PAB，M是PC的中点，N是AB上（1）求证：MNAB；（2）当APB90，AB2BC4时，求MN的长。 （1）证明：取PA的中点Q，连结MQ,NQ，∵M是PC的中
∴MQ//BC，∵ CB平面PAB ，∴ MQ平面PAB
CNAMP点，
∴QN是MN在平面PAB内的射影 ，取 AB的中点D，
B连结 PD，∵PAPB,∴
第 79 页 （共 170页）
PDAB，又AN3NB，∴BNND
∴QN//PD，∴QNAB，由三垂线定理得MNAB
1 （2）∵APB90，PAPB,∴PDAB2，∴QN1，∵MQ平面PAB.∴MQNQ，且
21MQBC1，∴MN2 2课后作业：
1．在长方体ABCDA1B1C1D1中，经过其对角线BD1的平面分别与棱AA1、CC1相交于E,F两点，则四边形EBFD1的形状为 ．（平行四边形）
2．如图，A，B，C，D四点都在平面，外，它们在内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形．
B A
证明：∵ A，B，C，D四点在内的射影A2，B2，C2， D2 C D 在一条直线上，
∴A，B，C，D四点共面．
B1
又A，B，C，D四点在内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点， ∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1．
∴AB，CD是平面ABCD与平面ABB1A1，平面CDD1C1的交线． ∴AB∥CD，同理AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形． 3．已知直线a、b和平面M、N，且aM，那么（ ）
（A）b∥Mb⊥a
（B）b⊥ab∥M
（C）N⊥Ma∥N （D）aNMN
4．如图，PA矩形ABCD所在的平面，M,N分别是AB,PC的中点， （1）求证：MN//平面PAD； （2）求证：MNCD （3）若PDA
BAMC4，求证：MN平面PCD
PND第 80 页 （共 170页）
5．如图，已知SA,SB,SC是由一点S引出的不共面的三条射线，
ASCASB450,BSC60,SAB90，求证：ABSC
课后记：
SABC课题：直线的倾斜角和斜率(1)
第 81 页 （共 170页）
课 型：新授课 教学目标: 知识与技能
1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念． 2.理解直线的倾斜角的唯一性. 3.理解直线的斜率的存在性.
4.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式． 情感态度与价值观
1.通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．
2.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神． 重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 教学方法：启发、引导、讨论. 教学过程：
1.直线的倾斜角的概念
我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?
第 82 页 （共 170页）
YabcOPX
(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 引入直线的倾斜角的概念:
当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. ．．．问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°.
当直线l与x轴垂直时, α= 90°.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
直线a∥b∥c, 那么它们的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点和一个倾斜角α. ．．．P．．．．．．．．2.直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是
k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
第 83 页 （共 170页）
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 例如, α=45°时, k = tan45°= 1;
α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. 3.直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导.(略) 斜率公式：
对于上面的斜率公式要注意下面四点：
(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90, 直线与x轴垂直； (2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;
(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;
(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 4．例题:
例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.
略解: 直线AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角;
第 84 页 （共 170页）
直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角; 直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角.
例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l. 分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a上的另外一点M. 而M的坐标可以根据直线a的斜率确定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作
45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可.
略解: 设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有 1=(y－0)／(x－0)，所以 x = y
可令x = 1, 则y = 1, 于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点M(1,1), 可作直线a.同理, 可作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程) 5．练习: P86 1. 2. 3. 4. 课堂小结:
(1)直线的倾斜角和斜率的概念． (2) 直线的斜率公式.
课后作业: P89 习题3.1 1. 2. 3.4 课后记:
课题：直线的倾斜角和斜率(2)
课 型：习题课 教学目标：
1.进一步加深理解直线的倾斜角和斜率的定义 2.已知直线的倾斜角，会求直线的斜率
3.已知直线的斜率，会求直线的倾斜角 4.培养学生分析探究和解决问题的能力.
第 85 页 （共 170页）
教学重点：直线的倾斜角和斜率的应用
教学难点：斜率概念理解与斜率公式的灵活运用 教学过程
1．复习：1)说出倾斜角和斜率的概念，它们都反映了直线的什么牲特征？ 2) 斜率的计算公式是什么？ 2.巩固练习：
1)已知直线的倾斜角，口答直线的斜率：
(1) ＝0°；（2）＝60°；(3) ＝90°；（４）150° 2).直线l经过原点和点(－1,－1),则它的倾斜角是 3).过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 4).已知A(2，3)、B(－1，4)，则直线AB的斜率是 . 5).已知M(a,b)、N(a,c)(b≠c),则直线MN的倾斜角是 . 6).已知O(0，0)、P(a,b)(a≠0)，直线OP的斜率是 .
7).已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)，当x1x2时，直线P1P2的斜率k = ；当x1x2且y1y2时，直线P1P2的斜率为 3．例题分析：
1例1.若三点A(2,3)，B(3,2)，C(,m)共线，求m的值
223m321解：kABkAC m132222说明：本题旨在让学生了解斜率也可研究直线的位置关系，为下节课的学习打基础
例2．如果直线l经过A(－1,2m)、B(2，m2)二点，求直线l的斜率K的取值范围。
例3．若直线l的斜率为函数f(a)a24a3(aR)的最小值，判定直线的倾斜角是锐角还是钝角？
例4.已知两点A(－3,4)、B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点.求直线l的斜率
k的取值范围.( k≤－1或k≥3)
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4．提高练习
1.若直线l过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l的斜率为 ,倾斜角为 2.已知直线l1的倾斜角为1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角2为________.
13已知两点A(x,－2),B(3,0),并且直线AB的斜率为，则x=
24斜率为2的直线经过(3，5)、(a,7)、(－1,b)三点，则a、b的值是( ) A.a=4,b=0 B.a=－4,b=－3 C.a=4,b=－3 D.a=－4,b=3
5已知两点M(2，－3)、N(－3，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是( ) 3333A.k≥或k≤－4 B.－4≤k≤ C. ≤k≤4 D.－≤k≤4
4444归纳小结：解题时，要重视数学思想方法的应用.
作业布置：完成全优设置相关练习. 课后记:
课题：两条直线的平行与垂直
课 型：新授课
教学目标：理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直. 教学重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用． 教学难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．
注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这
个问题．
教学过程：
(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直
上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示
第 87 页 （共 170页）
直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．
讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．
(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直
设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?
首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系) ∴tgα1=tgα2． 即 k1=k2．
由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°， ∴α1=α2．
又∵两条直线不重合， ∴L1∥L2．
反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．
结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并．．．．．．．．不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定. 下面我们研究两条直线垂直的情形．
如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．
设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有 α1=90°+α2．
因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．
第 88 页 （共 170页）
，
可以推出 : α1=90°+α2． L1⊥L2．
结论: 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们．．．．．．．．
的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.
例题分析：
例1 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.
解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,
直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5, 因为 k1=k2=0.5, 所以 直线BA∥PQ.
例2.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.
例3．已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系. 解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3, 直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因为 k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ.
例4.已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.
分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过
计算加以验证.(图略)
第 89 页 （共 170页）
课堂练习
P89 练习 1. 2. 归纳小结：
(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件； (2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直. (3)应用直线平行的条件, 判定三点共线. 作业布置：P89-90 习题3.1：A组 5. 8； 课后记:
课题：直线的点斜式、斜截式方程
课 型：新授课 教学目标： 1、知识与技能
（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围； （2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。 （3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 2、过程与方法
在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。 3、情态与价值观
通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。 教学重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。 教学难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用 教学过程：
问 题 1、在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？ 设计意图 使学生在已有师生活动 学生回顾，并回答。知识和经验的基然后教师指出，直线的础上，探索新知。 方程，就是直线上任意一点的坐标(x,y)满足第 90 页 （共 170页）
的关系式。 2、直线l经过点P0(x0,y0)，直线l上的任意一点，请建立x,y与k,x0,y0之间的关系。 培养学生自主体会直线的方程，就是直线上任意一点的坐标学生根据斜率公式，当xx0时，且斜率为k。设点P(x,y)是探索的能力，并可以得到，kyy0，即 xx0yy0k(xx0) yPP0(x,y)满足的关（1） 系式，从而掌握 教师对基础薄弱的学根据条件求直线生给予关注、引导，使方程的方法。 每个学生都能推导出这个方程。 Ox学生验证，教师引导。 3、（1）过点P0(x0,y0)，斜 使学生了解方率是k的直线l上的点，其坐程为直线方程必标都满足方程（1）吗？ 问 题 须满两个条件。 设计意图 师生活动 学生验证，教师引导。（2）坐标满足方程（1）的 使学生了解方为k的直线l上吗？ 点都在经过P0(x0,y0)，斜率程为直线方程必然后教师指出方程（1）须满两个条件。 由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直线的点斜式方程，简称点斜式（point slope form）. 4、直线的点斜式方程能否表使学生理解直线 学生分组互相讨论，示坐标平面上的所有直线呢？ 是什么？y轴所在直线的方程是什么？ 行于x轴（即垂直于y轴）的直线方程是什么？ （3）经过点P0(x0,y0)且平行于y轴（即垂直于x轴）的直线方程是什么？ O x 的点斜式方程的然后说明理由。 适用范围。 理解直线的点斜图分析，求得问题的解式方程的适用范决。 yP05、（1）x轴所在直线的方程 进一步使学生 教师学生引导通过画（2）经过点P0(x0,y0)且平围，掌握特殊直 线方程的表示形 式。 y OP 0 x第 91 页 （共 170页）
6、例1的教学。(教材93页) 学会运用点斜式教师引导学生分析方程解决问题，要用点斜式求直线方程清楚用点斜式公应已知那些条件？题目式求直线方程必那些条件已经直接给须具备的两个条予，那些条件还有待已件：（1）一个定去求。在坐标平面内，点；（2）有斜率。要画一条直线可以怎样同时掌握已知直去画。 线方程画直线的方法。 7、已知直线l的斜率为 引入斜截式方 学生独立求出直线l程，让学生懂得的方程： 斜截式方程源于k，且与y轴的交点为(0,b)，求直线l的方程。 ykxb （2） 点斜式方程，是 再此基础上，教师给点斜式方程的一出截距的概念，引导学种特殊情形。 生分析方程（2）由哪两个条件确定，让学生理解斜截式方程概念的内涵。 8、观察方程ykxb，它的形式具有什么特点？ 问 题 9、直线ykxb在x轴上的截距是什么？ 深入理解和 学生讨论，教师及时掌握斜截式方程给予评价。 的特点？ 设计意图 师生活动 使学生理解学生思考回答，教师评“截距”与“距价。 离”两个概念的区别。 10、你如何从直线方程的角度认识一次函数体会直线的斜学生思考、讨论，教师截式方程与一次评价、归纳概括。 函数的关系. ykxb？一次函数中k和b的几何意义是什么？你能说出一次函数y2x1,y3x,yx3图象的特点吗？ 第 92 页 （共 170页）
11、例2的教学。(教材94页) 掌握从直线方 教师引导学生分析：程的角度判断两用斜率判断两条直线平条直线相互平行、垂直结论。思考（1）行，或相互垂直；l1//l2时， k1,k2;b1,b2进一步理解斜截有何关系？（2）l1l2式方程中k,b的几何意义。 时，k1,k2;b1,b2有何关系？在此由学生得出结论： l1//l2k1k2,且b1b2； l1l2k1k21 12、课堂练习第95页练习第1，2，3，4题。 13、小结 巩固本节课所学学生独立完成，教师检过的知识。 查反馈。 使学生对本节课教师引导学生概括：（1）所学的知识有一本节课我们学过那些知个整体性的认来龙去脉。 识点；（2）直线方程的特点和适用范围是什么？（3）求一条直线的方程，要知道多少个条件？ 14、布置作业：第106页第巩固深化 1题的（1）、（2）、（3）和第3、5题
例3．如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，求直线l的斜率.( －)
13识，了解知识的点斜式、斜截式的形式学生课后独立完成。 第 93 页 （共 170页）
归纳小结：（1）本节课我们学过那些知识点；（2）直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么？（3）求一条直线的方程，要知道多少个条件？ 作业布置：第100页第1题的（1）、（2）、（3）和第3、5题 课后记:
第 94 页 （共 170页）
课题：直线的两点式和截距式方程
课 型：新授课 教学目标： 1、知识与技能
（1）掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围； （2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。 2、过程与方法
让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。 3、情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化； （2）培养学生用联系的观点看问题。 教学重点：直线方程两点式。 教学难点：两点式推导过程的理解 教学过程： 问 题 下问题： 设计意图 师生活动 教师引导学生：根据已有的知识，不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点求出直线的斜率，从而可求出直线方程： （1）y21、利用点斜式解答如遵循由浅（1）已知直线l经过殊到一般两点P的认知规1(1,2),P2(3,5),求直线l的方程. （2）已知两点其中在已有的上获得新及深，由特要求直线方程，应知道什么条件？能律。使学生的坐标，先判断是否存在斜率，然后P1(x1,x2),P2(x2,y2)知识基础3(x1) 2(x1x2,y1y2)，结论，达到yy1求通过这两点的直线温故知新（2）yy12(xx1) x2x1方程。 的目的。 教师指出：当y1y2时，方程可以写成 yy1xx1(x1x2,y1y2) y2y1x2x1由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form）. 2、若点使学生懂 教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x1x2时，直线与x轴第 95 页 （共 170页）
P1(x1,x2),P2(x2,y2)得两点式
中有x1x2，或的适用范垂直，所以直线方程为：xx1；当y1y2，此时这两点围和当已的直线方程是什么？ 知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式。 问 题 3、例3 教学 已知直线l与x轴设计意图 使学生学会用两点y1y2时，直线与y轴垂直，直线方程为：yy1。 师生活动 教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l的方程？那种方法更为简的交点为A(a,0)，与式求直线y轴的交点为B(0,b)，其中方程；理解捷？然后由求出直线方程： 截距式源xy1 aba0,b0，求直线于两点式，是两点式 教师指出：a,b的几何意义和截距l的方程。 的特殊情形。 式方程的概念。 4、例4教学 已知三角形的三 让学生学 教师给出中点坐标公式，学生根会根据题据自己的理解，选择恰当方法求出边BC所在的直线方程和该边上中线所各自的作法，并进行比较。 个顶点A（-5，0），目中所给求BC边所在直线的方程，以及该边上中5、课堂练习 第97页第1、2、3题。 6、小结 增强学生对直线方种四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）互相之间的联系的理解。 择恰当的直线方程 B（3，-3），C（0，2），的条件，选在直线方程。在此基础上，学生交流线所在直线的方程。 解决问题。 学生独立完成，教师检查、反馈。 教师提出：（1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？ （2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？ 第 96 页 （共 170页）
7、布置作业 巩固深化，学生课后完成 培养学生的独立解决问题的能力。 归纳小结： 1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？ 2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？
作业布置：第100页第1题的（4）、（5）、（6）和第2、4题 课后记:
课题：直线的一般式方程
课 型：新授课 教学目标： 1、知识与技能
（1）明确直线方程一般式的形式特征；
（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距； （3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。 2、过程与方法:学会用分类讨论的思想方法解决问题。 3、情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。 教学重点：直线方程的一般式。
教学难点：对直线方程一般式的理解与应用 教学过程： 问 题 1、（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示吗？ 设计意图 使学生理解直线和二元一次师生活动 教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题（1），在斜率时求出的直线方程是否都为二元一次方程。对于问题（2），教师引导学生理解第 97 页 （共 170页）
方程的关系。 即直线存在斜率和直线不存
（2）每一个关于x,y的二元一次方程要判断某一个方程是否表示一条直线，只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式。为此要对B分类讨论，即当B0时和当B=0时两种情形进行变形。然后由学生去变形判断，得出结论： 关于x,y的二元一次方程，它都表示一条直线。 教师概括指出：由于任何一条直线都可以用一个关于同x,y的二元一次方程表示；时，任何一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线。 我们把关于关于x,y的二元一次方程AxByC0（A，B不同时为0）都表示一条直线吗？ AxByC0（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）. 2、直线方程的一般式与其他几种形式的直优点？ 问 题 设计意图 使学生理解直线方程的一般 学生通过对比、讨论，发现直线方程的一般式与其他形是： 师生活动 平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线。 3、在方程使学生理解二元一次方程的对直线的位置 教师引导学生回顾前面所学过的与x轴平行和重合、与式的不同点。 直线的一般式方程能够表示线方程相比，它有什么式的与其他形 式的直线方程的一个不同点AxByC0中，程表示的直线 平行于y轴；（3）与x轴重合；（4）与y重合。 4、例5的教学 A，B，C为何值时，方系数和常数项（1）平行于x轴；（2）的影响。 y轴平行和重合的直线方程的形式。然后由学生自主探索得到问题的答案。 使学生体会学生独立完成。然后教师检第 98 页 （共 170页）
已知直线经过点A把直线方程的查、评价、反馈。指出：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数项一般不出现分数；无特加要时，求直线方程的结果写成一般式。 4点斜式转化为（6，-4），斜率为，3一般式，把握求直线的点斜式和一般式方程。 直线方程一般式的特点。 5、例6的教学 把直线l的一般式方程x2y60化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴出图形。 使学生体会直线方程的一般式化为斜截式，和已知直线方程的一般率和截距的方法。 先由学生思考解答，并让一个学生上黑板板书。然后教师引导学生归纳出由直线方程的一般式，求直线的斜率和截距的方法：把一般式转化为斜截式可求出直线的斜率的和直线在y轴上的截距。求直线与x轴的截距，即求直线与x轴交点的横坐标，为此可在方程中令y=0，解出x值，即为与直线与x轴的截距。 在直角坐标系中画直线时，通常找出直线下两个坐标轴的交点。 与y轴上的截距，并画式求直线的斜6、二元一次方程的每一个解与坐标平面中点的有什么关系？直线与二元一次方程的解之间有什么关系？ 使学生进一步理解二元一次方程与直线的关系，体会直解坐标系把直线与方程联系起来。 学生阅读教材第105页，从中获得对问题的理解。 7、课堂练习 第99练习第2题和第3（2） 问 题 8、小结 巩固所学知识和方法。 设计意图 使学生对直线方程的理解有一个整体的认识。 学生独立完成，教师检查、评价。 师生活动 （1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系。 （2）比较各种直线方程的第 99 页 （共 170页）
形式特点和适用范围。 （3）求直线方程应具有多少个条件？ （4）学习本节用到了哪些数学思想方法？ 巩固课堂上所学的知识和方法。 归纳小结：
（1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系。 （2）比较各种直线方程的形式特点和适用范围。 （3）求直线方程应具有多少个条件？ （4）学习本节用到了哪些数学思想方法？ 作业布置：第101页习题3.2第10,11题 课后记:
第 100 页 （共 170页）
学生课后独立思考完成。
课题：直线方程综合
课 型：习题课
教学目标：直线方程的各种形式及其在解题中的应用.
教学重点：直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式等形式的相互转化，及各种
形式在解题中的灵活运用.
教学难点：各种形式在解题中的灵活运用；加深对数学思想方法的理解与应用 教学过程：
一、复习回顾：直线方程的各种形式用适用范围 二．课前练习
1.下列四命题中的真命题是 A.经过定点
P(x0,y0)的直线都可以写成yy0k(xx0)；
B.经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用
(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示；
xyC.不经过原点的直线都可以用1表示；
abD.经过定点A(0,b)的直线都可以用ykxb表示；
2．若直线(2t–3)x+y+6=0不经过第二象限，则t的取值范围是
3333（A）(, +∞) （B）(–∞, ) （C）[, +∞] （D）(–∞, )
22223．过点M(1, 2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程是 . 4．若2x1+3y1=4, 2x2+3y2=4，则过不重合两点A(x1, y1), B(x2, y2)的直线的方程是 （A）2x+3y=4 （B）2x–3y=4 （C）3x+2y=4 （D）不能确定 三、例题分析
例1．已知在第一象限的ΔABC中，A（1，1）、B（5，1），A方程；（2）AC和BC所在的直线方程.
第 101 页 （共 170页）
3,B4,求：（1）AB边的
例2．求过点P(-5,-4)且分别满足下列条件的直线方程： (1)与两坐标轴围成的三角形面积为5；
(2)与x轴y轴分别交于A、B两点，且|AP|:|BP|=3:5.
例3．(第100页第6题)一根弹簧，挂4N的物体时，长为20cm.在弹性限度内，所挂物体的重量每增加1N，弹簧就伸长1.5cm,试写出弹簧的长度L与所挂物体重量G之间关系的方程.
第 102 页 （共 170页）
四、提高练习
1．一条直线l被两条直线4x+y+6=0和3x–5y–6=0截得的线段的中点恰好是坐标原点，则直线l的方程为
（A）6x+y=0 （B）6x–y=0 （C）x+6y=0 （D）x–6y=0
2．设A(0, 3), B(3, 3), C(2, 0)，直线x=m将△ABC面积两等分，则m的值是 （A）3+1 （B）3–1 （C）23 （D）3
3．若A、B是x轴上两点，点P的横坐标是2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x–y–1=0，则直线PB的方程是
（A）2x–y–1=0 （B）x+y–3=0 （C）2x+y–7=0 （D）2x–y–4=0
4．直线l过原点，且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形有两个顶点的坐标是A(2, 3),
C(–4,–1)，则直线l的方程是 .
5．过点P(–2, 2)，且在第二象限与两坐标轴围成的三角形的面积最小时的直线的方程是 .
6．在直线3x–y+1=0上有一点A，它到点B(1,–1)和点C(2, 0)等距离，则A点坐标为 .
归纳小结：直线方程的各种形式要根据条件灵活选用；分析问题要突出数学思想方法的运用。 作业布置：习题3.2第100页7、8、9题，课外完成B组题 课后记:
第 103 页 （共 170页）
课题：两直线的交点坐标
课 型：新授课 教学目标：
知识与技能：1.直线和直线的交点 2．二元一次方程组的解 过程和方法：
1.学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法. 2．掌握数形结合的学习法。
3．组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程。 情态和价值：
1.通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内 的联系。
2.能够用辩证的观点看问题。
教学重点：判断两直线是否相交，求交点坐标 教学难点：两直线相交与二元一次方程的关系 教学过程：
一、情境设置，导入新课
用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。
课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那么如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？ 二．新课讲授
1．分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系 已知两直线 L1：A1x+B1y +C1=0,L2： 如何判断这两条直线的关系？
教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。 几何元素及关系 代数表示 点A A （a，b） 直线L L：Ax+By+C=0 A2x+B2y+C2=0
第 104 页 （共 170页）
点A在直线上 直线L1与 L2的交点A 课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？ 学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？ 1．若二元一次方程组有唯一解，L 1与L2 相交。 2．若二元一次方程组无解，则L 1与 L2平行。 3．若二元一次方程组有无数解，则L 1 与L2重合。
课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？
例题讲解：
例1：求下列两直线交点坐标
L1 ：3x+4y-2=0
L1：2x+y +2=0
3x4y20解：解方程组
2x2y20 得 x=-2，y=2
所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）。
教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才进行讲解。
同类练习：书本104页第1，2题。
例2 ：判断下列各对直线的位置关系。如果相交，求出交点坐标。 (1)L1：x-y=0，L2：3x+3y-10=0 (2)L1：3x-y=0，L2：6x-2y=0 (3)L1：3x+4y-5=0，L2：6x+8y-10=0
这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。
课堂设问：当变化时，方程 3x+4y-2+（2x+y+2）=0表示何图形，图形有何特点？求出图形的交点坐标。
(1)运用信息技术，当 取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点。
(2)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论。
(3)结论：方程表示经过这两条直线L1 与L2的交点的直线的集合。
第 105 页 （共 170页）
例3.已知a为实数，两直线l1：axy10，l2：xya0相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x轴上.
分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围.
a21a1解：解方程组若＞0，则a＞1.当a＞1时，－＜0，此时交点在第二象限内.
a1a1a212又因为a为任意实数时，都有a11＞0，故≠0
a1a1a21,因为a≠1（否则两直线平行，无交点） ，所以，交点不可能在x轴上，得交点(－) a1a1例4．(1)求经过直线y=2x+3和3x-y+2=0的交点，且垂直于第一条直线的直线的方程. (2) 设正数a, b满足2ab=a+b，直线
课堂练习：
m)在同一直线上，则m的值为 2(2)不论m为何实数，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0 恒过定点
xy1总过一定点，求定点的坐标。 ab(1)已知三点A(2, –3), B(4, 3), C(5,
（A）(1, －) （B）(－2, 0) （C）(2, 3) （D）(－2, 3) (3)直线方程为(3m＋2)x＋y＋8=0, 若直线不过第二象限，则m的取值范围是
(4)光线从M（-2，3）射到x轴上的一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在的直线方程。
(5)求满足下列条件的直线方程：经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的交点，且和直线3x-2y+4=0垂直
归纳小结：直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用。
作业布置：109页2、3、4、5题 课后记:
第 106 页 （共 170页）
12
课题:两点间距离
课 型：新授课
教学目标：知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，会用坐标法证明简单的几何问题。 过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。 情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题 教学重点：两点间距离公式的推导
教学难点：应用两点间距离公式证明几何问题。 教学过程：
一、情境设置，导入新课
课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题 平面直角坐标系中两点间距离公式：PP12直线P1N1与P2N2相交于点Q。
在直角ABC中，PP为了计算其长度，过点P1向x轴作垂线，垂足为 M1x1，PQQP2，0 121过点 向y轴作垂线，垂足为N20，y2 ，于是有
222x2x2y2y122。
分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为N10，y1，M2x2，0
PQM2M1x2x1，QP2N1N2y2y1 1所以，PPPQQP2=x2x1y2y1。 121由此得到两点间的距离公式
PP1222222222222x2x2y2y122 在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。 二、例题分析
例1．以知点A（-1，2），B（2，7 ），在x轴上求一点，使 PAPB,并求 PA的值。 解：设所求点P（x，0），于是有
x10222x22072 由 PAPB得
x22x5x24x11解得 x=1。
所以，所求点P（1，0）且 PA离公式理解。应用。 设问：本题能否有其它解法 同步练习：书本106页第1，2 题
11022222 通过例题，使学生对两点间距
例2 .证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。
第 107 页 （共 170页）
这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。
证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。
设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为
ABa2，CDa2，ADb2c2BC
２，２ ACab＋ｃＢＤ＝ｂ－ａ＋ｃ２２22222２所以，ＡＢ２＋ＣＤ２＋ＡＤ２＋ＢＣ２＝２ａ＋ｂ＋ｃ２２２
ＡＣ＋ＢＤ＝２ａ＋ｂ＋ｃ２２２所以，
２２ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝ＡＣ＋ＢＤ
２２２２２２因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下： 第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。 第二步：进行有关代数运算。
第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。
思考：同学们是否还有其它的解决办法？还可用综合几何的方法证明这道题。 课后练习
1.证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等
2.在直线x-3y-2=0上求两点，使它与（-2，2）构成一个等边三角形。 3．（1994全国高考）点（0，5）到直线y=2x的距离是
归纳小结：主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性。 作业布置：110页6、7、8题 课后记:
课题：点到直线的距离公式
课 型：新授课 教学目标：
知识与技能： 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式； 能力和方法： 会用点到直线距离公式求解两平行线距离 情感和价值： 认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题 教学重点：点到直线的距离公式
教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 教学过程：教学过程
第 108 页 （共 170页）
一、情境设置，导入新课：
前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离。
用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关二、讲解新课： 1．点到直线距离公式：
点P(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离为：d（1）提出问题
在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(x0,y0)，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢? 学生可自由讨论。
（2）数行结合，分析问题，提出解决方案
学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长.
这里体现了“画归”思想方法，把一个曾经解决过的问题，一个自己熟悉的问画出图形，分析任务，理清思路，解决问方案一：
oRQSlxydP(x0,y0)系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。
Ax0By0CAB22 个新问题转化为 一题。 题。
设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线
BPQ的斜率为（A≠0），根据点斜式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐
A标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线l的距离为d
此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法 方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R(x1,y0)；作y轴的平行线，交l于点S(x0,y2)，
A1x1By0C0By0CAx0C,y2由得x1. ABAx0By2C0Ax0By0C所以，｜PＲ｜＝｜x0x1｜＝
A｜PS｜＝｜y0y2｜＝｜ＲS｜＝PRPS22Ax0By0C
BA2B2×｜Ax0By0C｜由三角形面积公式可知：d·｜ＲS｜AB＝｜PＲ｜·｜PS｜ 第 109 页 （共 170页）
所以dAx0By0CAB22
可证明，当A=0时仍适用 这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识，能力，意志品质等方面得到了提高。 3．例题应用，解决问题。
例1.求点P=（-1，2）到直线 3x=2的距离。 解：d=
31232025 3例2 .已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形ABC的面积。 解：设AB边上的高为h，则
122SABC=AB•h,AB311322，
2AB边上的高h就是点C到AB的距离。AB边所在直线方程为 y3X1，即x+y-4=0。 13311045点C到X+Y-4=0的距离为h，h=， 2211155 因此，SABC=2222通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性。 同步练习：108页第1，2题。
4.课堂练习：
1.已知一直线被两平行线3x+4y-7=0与3x+4y+8=0所截线段长为3。且该直线过点（2，3），求该直线方程。
2.求点P（2，-1）到直线2x＋3y－3＝0的距离.
3.已知点A（a，6）到直线3x－４y＝2的距离d=4，求a的值：
归纳小结：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式 作业布置： 110页6、7、8、9 课后记:
第 110 页 （共 170页）
课题：两平行线间的距离
课 型：新授课
教学目标：使学生掌握点到直线的距离公式及其结构特点，并能运用这一公式，学习并领会寻找点到直线距离公式的思维过程以及推导方法，教学中体现数形结合、转化的数学思想，培养学生研究探索的能力．推导两平行线间的距离公式并能灵活运用。 教学重点：两平行线间的距离公式的研究探索过程.
教学难点：点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式的应用. 教学过程： 一、复习准备：
1、提问：两点间的距离公式
2、点到直线的距离是什么？怎样正确运用这一公式？
第 111 页 （共 170页）
3、讨论：两条平行直线间的距离怎样求？ 二、讲授新课：
教学两条平行直线间的距离：
1)讨论：两条平行直线间的距离怎么求？（是指夹在两条平行直线间公垂线段的长） 2)可以将平行直线间的距离转化为点到直线的距离
已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：AxByC10，
l2：AxByC20，则l1与l2的距离为dC1C2AB22 证明：设P0(x0,y0)是直线AxByC20上任一点，则点P0到直线AxByC10的距离为
dAx0By0C1AB22 又 Ax0By0C20 即Ax0By0C2，∴d＝
C1C2AB22 思考：若二平行线中x,y的系数不相同如何处理？
这一公式的本质是利用了等价转化思想。
例1．已知直线l1:2x7y80,l2:6x21y10，l1与l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离
例2．求与直线l:5x12y60平行且到l的距离为2的直线的方程
例3．求与两条平行直线l1:2x3y80,l2:2x3y180的距离相等的直线方程。
第 112 页 （共 170页）
三、巩固练习：
1.若直线ax2y20与直线3xy20平行，则a的值 2.求两条平行直线的距离，l1:2x3y80,l2:2x3y180
3．过B(3,4)作直线，使之与点A(1,1)的距离等于2，求这条直线方程。 4．求过点M(2,1)，且与A(1,2),B(3,0)距离相等的直线方程
归纳小结：二平行直线的距离公式是点到直线距离公式的一个应用；解题时，要重视数学思想和方法的运用。
作业布置：110页B组4、5、8、9 课后记:
课题：直线的综合应用(1)
课 型：习题课
教学目标：巩固倾斜角、斜率等概念；熟练掌握直线方程的各种形式；能正确判定两直线的位
置关系。
教学重点：直线知识的掌握及应用
教学难点：数学思想方法在直线解题中的应用 教学过程： 一、知识回顾
第 113 页 （共 170页）
1、倾斜角、斜率等概念 2、直线方程的各种形式 3、两直线的位置关系 4、距离公式 二、课前练习
1、直线x3y50的倾斜角是( )
（A）30° （B）120° （C）60° （D）150°
2、直线x-2y-2k=0与2x-3y-k=0的交点在直线3x-y=0上，则k的值为（ ） （A）1 （B）2 （C）1 （D）0
3、两直线3x+2y+m=0和（m2+1）x-3y-3m=0的位置关系是（ ） (A)平行 (B)相交 (C)重合 (D)视M而定 4、直线3x+4y-12=0和6x+8y+6=0间的距离是
5．下列说法正确的是 （A）若直线l1与l2的斜率相等，则l1//l2 （B）若直线l1//l2，则l1与l2的斜率相等
（C）若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则它们一定相交 （D）若直线l1与l2的斜率都不存在，则l1//l2 6．下列说法中不正确的是
（A）点斜式y–y1=k(x–x1)适用于不垂直于x轴的任何直线 （B）斜截式y=kx+b适用于不垂直于x轴的任何直线
（C）两点式yy1yyxx1适用于不垂直于x轴和y轴的任何直线 21x2x1 （D）截距式xayb1适用于不过原点的任何直线
7．下列四个命题中，真命题的个数是
①经过定点P0(x0, y0)的直线，都可以用方程y–y0=k(x–x0)来表示 ②经过任意两点的直线，都可以用方程(y–y1)(x2–x1)=(x–x1)(y2–y1)来表示
③不经过原点的直线，都可以用方程xayb1来表示
④经过点A(0, b)的直线，都可以用方程y=kx+b来表示 （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）4个 8．经过点(–3, –2)，在两坐标轴上截距相等的直线的方程为
9．直线bx+ay=1在x轴上的截距是
（A）11b （B）b （C）|b| （D）|b|
10．两条直线l1: y=kx+b, l2: y=bx+k( k>0, b>0, k≠b)的图象是下图中的
第 114 页 （共 170页）
（A） （B）
（C） （D） 三、例题分析
例1．等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+3y–6=0上，顶点A的坐标是(1, –2)，求边AB, AC所在的直线方程.
例2．光线沿直线l1: x–2y+5=0的方向入射到直线l: 3x–2y+7=0上后反射出去，求反射光线
l2所在的直线方程.
例3．求函数yx28x20x21的最小值
第 115 页 （共 170页）
例4．已知直线L过点M( 1 , 2 )，求L的方程 （1）与坐标轴在第一象限所围成之三角形面积最小； （2）a、b分别为x轴、y轴上的截距，a+b最小；
（3）L在x轴、y轴上的交点分别为A、B，|MA||MB|最小。
提高练习
2xy1．直线221在x轴、y轴上的截距分别是
ab1 （A）a2, –b2 （B）a2, ±b （C）a2, –b2 （D）±a, ±b
22、点P(x,y)在直线x+y-4=0上，O是坐标原点，则│OP│的最小值是（ ） （A）( )
(A)x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)3x-2y+1=0 (D)x+2y+3=0
4．若点P是x轴上到A(1, 2), B(3, 4) 两点距离的平方和最小的点，则点P的坐标是
5 （A）(0, 0) （B）(1, 0) （C）(, 0) （D）(2, 0)
35．已知过点A(1,1)且斜率为－m（m >0）的直线l与x、y轴分别交于P、Q两点，过P、Q作直线2x＋y=0的垂线，垂足分别为R、S，求四边形PRSQ的面积的最小值。
7 （B）
6 （C）2
2 （D）
5
3、设入射光线沿直线 y=2x+1 射向直线 y=x, 则被y=x 反射后,反射光线所在的直线方程是
第 116 页 （共 170页）
6. 三角形的一个顶点为（2，－7），由其余顶点分别引出的高线和中线分别为
．求三角形三边所在直线的方程．
归纳小结:巧用性质解题是解析几何中的常用方法，关鍵是有效联想，合理构造。 作业布置：114页A组各题 课后记:
课题：直线方程的综合应用(2)
课 型：习题课
教学目标：进一步加深掌握直线知识，并能灵活运用知识解决有关问题 教学重点：直线方程的综合运用 教学难点：解决问题的方法与策略 教学过程： 一、知识练习
1. 已知点A(1，2)、B（3，1），线段AB的垂直平分线的方程是 (A). 4x2y5 (C). x2y5
(B). 4x2y5 (D). x2y5
，
2. 已知点(a,2)（a>0）到直线l：x-y+3=0的距离为1，则a等于 (A).2 (B). 22 (C).21 (D). 1+2
第 117 页 （共 170页）
3. 直线
32xy3和直线x(23)y2的位置关系是
(A).相交但不垂直 (B).垂直 (C). 平行 (D).重合 4. 直线y1与直线y3x3的夹角为
(A).30 (B).60 (C).90 (D).45
5．过点M(2, 1)的直线与x轴、y轴分别交于P、Q两点，若M为线段PQ的中点，则这条直线的方程为
（A）2x–y–3=0 （B）2x+y–5=0 （C）x+2y–4=0 （D）x–2y+3=0 6．点P(a+b, ab)在第二象限内，则bx+ay–ab=0直线不经过的象限是 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
17．被两条直线x–y=1, y=–x–3截得的线段的中点是P(0, 3)的直线l的方程
2为 .
8．直线l1：3x+4y–12=0与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，过P(1,0)点作直线l平分△AOB的面积，则直线l的方程是 .
二、例题分析
例1．已知定点A(2,5)，动点B在直线2xy30上运动，当线段AB最短时，求B的坐标. 解：如图。易知当AB的连线与已知直线垂直
时，AB的长度最短。 直线2xy30的斜率k2 AB的斜率kAB1
2Y X AB的斜率的方程为：
1y5(x2),x2y80
213x2y80y5 2xy3014x51413B的坐标为(,)
55例2．已知直线l过点P(3, 2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点， （1）求△ABO的面积的最小值及其这时的直线l的方程； （2）求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值。
第 118 页 （共 170页）
例3．为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形PQRC的草坪，且PQ∥BC,RQ⊥BC,另外△AEF的内部有一文物保护区不能占用，经测量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m． (1)求直线EF的方程(4 分 )．
(2)应如何设计才能使草坪的占地面积最大？．
解：（1）如图，在线段EF上任取一点Q，分别向BC,CD作垂线． 由题意，直线EF的方程为： x30 +
y20
y =1
2
P D C （2）设Q（x,20- x）,则长方形的面积
3S=（100-x）[80-（20- x）] (0≤x≤30)
3化简，得 S= - 3
2x2+
203
x+6000 (0≤x≤30) 2
F A Q E R B x
配方，易得x=5,y=三、巩固练习
503
时，S最大，其最大值为6017m2
1．过点M(1, 2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程是 . 2．在直线3x–y+1=0上有一点A，它到点B(1,–1)和点C(2, 0)等距离，则A点坐标为 .
3．一条直线l被两条直线4x+y+6=0和3x–5y–6=0截得的线段的中点恰好是坐标原点，则直线l的方程为
（A）6x+y=0 （B）6x–y=0 （C）x+6y=0 （D）x–6y=0
4．若直线(2t–3)x+y+6=0不经过第二象限，则t的取值范围是
3333（A）(, +∞) （B）(–∞, ) （C）[, +∞] （D）(–∞, )
22225．设A(0, 3), B(3, 3), C(2, 0)，直线x=m将△ABC面积两等分，则m的值是 （A）3+1 （B）3–1 （C）23 （D）3
6．已知点P(a, b)与点Q(b+1, a–1)关于直线l对称，则直线l的方程是 （A）y=x–1 （B）y=x+1 （C）y=–x+1 （D）y=–x–1 7．过( 2 , 6 )且在x, y轴截距相等的直线方程为
归纳小结：数形结合及分类讨论思想是重要的数学思想，解题时要认真领会；解析几何知识用
第 119 页 （共 170页）
于解决应用题有时很方便，要体会建模。 作业布置：114页B组题 课后记:
课题： 圆的标准方程
课 型：新授课
教学目标： 1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
教学重点：圆的标准方程
教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。 教学过程：
第 120 页 （共 170页）
(一)、情境设置：
在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究： (二)、探索研究：
确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件(xa)2(yb)2r ①
222(xa)(yb)r化简可得： ②
引导学生自己证明(xa)2(yb)2r2为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 (三)、知识应用与解题研究
例1．（课本例1）写出圆心为A(2,3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点
M1(5,7),M2(5,1)是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点M(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的关系的判断方法： （1）(x0a)2(y0b)2>r2，点在圆外 （2）(x0a)2(y0b)2=r2，点在圆上 （3）(x0a)2(y0b)2 例2．（课本例2）ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,3),C(2,8),求它的外接圆的方程. 师生共同分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆.从圆 的标准方程(xa)2(yb)2r2 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数. 解: 例3．（课本例3）已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2),且圆心在l:xy10上,求圆心为C的圆的标准方程. 师生共同分析: 如图,确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点A(1,1)和 B(2,2),由于圆心C与A,B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线m上，又圆 第 122 页 （共 170页） 心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于CA或CB。 解: lAmCB 总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例2、例3可得出圆的标准方程的两种求法： ①、 根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a、b、r的值，写出圆的标准方 程. ②﹑根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. (四)、课堂练习（课本P120练习1，2，3，4） 归纳小结： 1、 圆的标准方程。 2、 点与圆的位置关系的判断方法。 第 123 页 （共 170页） 3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。 作业布置：课本p124习题4.1A组第2，3，4题. 课后记: 课题： 圆的一般方程 课 型：新授课 教学目标： 1.在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般 方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋ y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件． 2.能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待 定系数法求圆的方程。 教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的 互化，根据已知条件确定方程中的系数D、E、F． 教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用 教学过程： 第 124 页 （共 170页） 一、课题引入： 问题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。 二、探索研究： 请同学们写出圆的标准方程： (x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r． 把圆的标准方程展开，并整理： x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0． 取D2a,E2b,Fa2b2r2得 x2y2DxEyF0 ① 这个方程是圆的方程． 反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？ 把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得 D2E2D2E24F(x)(y) ② 224这个方程是不是表示圆？ (1)当D2＋E2－4F＞0时，方程② 表示以（-D2，- E2）为圆心, 1D2E24F2为半径的 第 125 页 （共 170页） 圆； （2）当D2E24F0时，方程只有实数解x-E2DED，y，即只表示一个点（-， 222）; （3）当D2E24F0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 综上所述，方程x2y2DxEyF0表示的曲线不一定是圆 只有当D2E24F0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2y2DxEyF0（D2E24F0）的方程称为圆的一般方程。如x1y24 2我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳) (1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy这样的二次项． (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征比较明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 (三)、知识应用与解题研究： 例1．判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。 14x24y24x12y90 2224x4y4x12y110第 126 页 （共 170页） 学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于14x24y24x12y90来说，这里的 9D1,E3,F而不是D=-4,E=12,F=9. 4解： 例2．（课本例4）求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。 分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先设出圆的一般方程 解：设所求的圆的方程为：x2y2DxEyF0 ，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方∵A(0,0),B(11程，可以得到关于D,E,F的三元一次方程组. F0即DEF20 4D2EF200解此方程组，可得：D8,E6,F0 ∴所求圆的方程为：x2y28x6y0 r1DFD2E24F5；4,3 222得圆心坐标为（4，-3）. 或将x2y28x6y0左边配方化为圆的标准方程，(x4)2(y3)225,从而求出圆的半径r5，圆心坐标为(4,-3) 第 127 页 （共 170页） 学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤： ①、 根据提设，选择标准方程或一般方程； ②、 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； ③、 解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。 例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上x1y24 2运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。 分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满 足方程x1y24。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件， 2求出点M的轨迹方程。 解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是x0,y0.由于点B的坐标是4，3 且M是线段AB的重点，所以x2x04y3,y0, 于是有x02x4,y02y3 ① 222因为点A在圆x1y24上运动，所以点A的坐标满足方程x1y24,即 x012y024② 把①代入②，得 33x-y2x412y34,整理，得1 22222233所以，点M的轨迹是以，为圆心，半径长为1的圆 22yAMBOx 第 128 页 （共 170页） 课堂练习： p123第1、2、3题 课堂小结 ： 1．对方程x2y2DxEyF0的讨论(什么时候可以表示圆) 2．与标准方程的互化 3．用待定系数法求圆的方程 4．求与圆有关的点的轨迹。 课后作业：课本p124习题4.1A组第6题,B组第1,2题 课后记: 课题：直线与圆的位置关系（第一课时） 课 型：新授课 教学目标：1、理解直线与圆的位置的种类； 2、利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离； 3、会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 第 129 页 （共 170页） 教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法 教学难点：用坐标法判断直线与圆的位置关系． 教学过程： 一、课题引入： 问题：初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有哪几类？在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？现在，如何用直线的方程与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？ 二、新课教学： (一)．直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 方法1: 如图: 设直线l：axbyc0，圆C：x2y2DxEyF0，圆的半径为r，圆心(直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： (!)当dr时，直线l与圆C相离； (2)当dr时，直线l与圆C相切； (3)当dr时，直线l与圆C相交. 方法2: 判断直线L与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有两组实数解, 直线L与圆C相交; 如果有一组实数解, 直线L与圆C相切; 如果没有实数解, 直线L与圆C相离. 例1．（课本例1）已知直线l:3x+y6=0和圆心为C的圆x2y22y40,判断直线l与圆C的位置关系; 如果相交,求它们交点的坐标. DE,)到22第 130 页 （共 170页） (二)． 直线与圆的相交弦长求法. 例2．（课本例2）知过点M(-3,-3)的直线l被圆x2y24y210所截得的弦长为45,求直线l的方程 课堂练习：课本p128p123第1、2、3、4题 课堂小结 ： 教师提出下列问题让学生思考： 1、判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？ 第 131 页 （共 170页） 2、如何求出直线与圆的相交弦长？ 课后作业：课本p132习题4.2A组第1，2，5题。 课后记: 课题：直线与圆的位置关系（第二课时） 课 型：习题课 教学目标：1、理解直线与圆的位置的种类； 2、利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离； 3、会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 第 132 页 （共 170页） 教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法 教学难点：用坐标法判断直线与圆的位置关系． 教学过程： 一．复习提问： 1、判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？ 2、如何求出直线与圆的相交弦长？ 二、作业讲评：前阶段的作业。 三．讲练结合： 1、求过点M（1，22）且与圆x2y29相切的直线方程。 答案：x22y90 2、已知圆的方程是x2y2r2，求经过圆上一点M（x0,y0）的切线的方程。答案： x0xy0yr2 3、当k为何值时，直线y=kx+10与圆x2y225 （1）相离； （2）相切； （3）相交 第 133 页 （共 170页） 答案：（1）3 k3；（2）k3；（3）k3或k3 4、圆x2y22x4y30上到直线l：x+y+1=0的距离为2的点有几个？ 答案：3个 5、若直线yxk与曲线y1x2恰好有一个公共点，则k的取值范围是 答案：1k1或k2 6、已知圆C：x2y22x4y200与直线l:(2m1)x(m1)y7m40。 证明：不论m取何值时直线l与圆C总有两个交点。 第 134 页 （共 170页） 7、已知点A（2，0），B（0，2），圆x2y22x0上一点C，则 △ABC面积的最小值为 答案：32 课后作业：课本p132习题4.2A组第4，6题，B组第3题。 课后记: 课题： 圆与圆的位置关系 课 型：新授课 第 135 页 （共 170页） 教学目标：（1）理解圆与圆的位置关系的种类； （2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长； （3）会用连心线长判断两圆的位置关系． 教学重点、难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系． 教学过程： 一、新课引入： 问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？怎样判断？（引入课题） 问题2：初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？（引入新课） 二、新课教学： 问题：判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？（学生展开讨论） 例1．（课本例3）已知圆C1:x2y22x8y80 ，圆C2：x2y24x4y2=0试判断圆C1与圆C2的关系。 分析: 解法一: 说明：（见第129页） 第 136 页 （共 170页） 解法二: 小结： 设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当lr1r2时，圆C1与圆C2相离； （2）当lr1r2时，圆C1与圆C2外切； （3）当|r1r2|lr1r2时，圆C1与圆C2相交； （4）当l|r1r2|时，圆C1与圆C2内切； （5）当l|r1r2|时，圆C1与圆C2内含； 课堂练习：1.课本p130练习 ; 2.圆x2y21和圆(x3)2(y4)216的公切线有 3 条 3.求圆心为(2,1),且与已知圆x2y23x0的公共弦所在直线过点(5,2)的圆的方程. 第 137 页 （共 170页） 答案:(x2)2(y1)24 4.两圆2y24x4y10与x2y22x130相交于PQ两点,则公共弦PQ的长为 6 . 课后作业：课本p132习题4.2A组第7，9，10题。 课后记: 第 138 页 （共 170页） 课题：直线与圆的方程的应用(第一课时) 课 型：新授课 教学目标：（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质； （2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； （3）会用“数形结合”的数学思想解决问题． 教学重点、难点：直线与圆的方程的应用． 教学过程： 一、复习引入： 问题1：如何判断直线与圆的位置关系 ？ 问题2： 如何判断圆与圆的位置关系 ？ 直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，这几节课我们将通过一些例子学习直线与圆的方程在实际生活以及平面几何等方面的应用 二、新课教学： 例1．（课本例4） 图4。2-5是某圆拱形桥的示意图。这个圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m）. 小结方法: 用坐标法解决实际应用题的步骤： 第 139 页 （共 170页） 第一步：将实际应用题转化为数学问题，建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成实际结论，． 例2．（课本例5）已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半. 小结方法: 用坐标法解决几何问题的步骤： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 课堂练习： 课本p132练习第2，3，4题; 课后作业：课本p132习题4.2A组第8，11题.B组第1题 课后记: 第 140 页 （共 170页） 课题：直线与圆的方程的应用(第二课时) 课 型：习题课 教学目标：（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质； （2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； （3）会用“数形结合”的数学思想解决问题． 教学重点、难点：直线与圆的方程的应用． 教学过程： 一、作业讲评：课本p132习题4.2A组第8，11题.B组第1题 二、讲练结合： 1． 如果方程x2y2DxEyF0（D2E24F称，那么必有（ B ） A．D=E B.D+E=0 C.E+F=0 D.以上都不对 2．从点P（x，3）向圆(x2)2(y2)21作切线，则切线长度的最小值等于 。 答案：26 0）所表示的曲线关于直线xy0对 第 141 页 （共 170页） 3．自点P(-3,-3)发出的光线经x轴反射,其反射光线正好与圆(x2)2(y2)21相切,求入射光线l所在的直线方程 . 答案：4x3y30或3x4y30 4． 已知圆C满足（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段弧，其弧长之比为3：1；（3）圆心到直线l：x2y=0的距离为 5，求该圆的方程。 5答案：(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22 5．已知圆C：x2y2r2（r0）与直线l：xy40，（1）试问r分别取何值时，圆C上恰有一点到l的距离等于1；圆C上恰有两点到l的距离等于1；圆C 上恰有三点到l的距离等于1。（2）圆C 上最多有几个点到l的距离等于1？ 答案：（1）r221；221r 6. 已知圆O：x2y29,求过A(1,2)所作的圆O的弦MN的中点P的轨迹. 答案：以( 51,1)为圆心,为半径的圆. 22第 142 页 （共 170页） 221；r221（2）最多有四个点。 小结方法: 用坐标法解决几何问题的步骤： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 课堂练习： 课本p144复习参考题A组第6，8题; B组第3题; 课后作业：课本p133习题4.2B组第2，4，5题 课后记: 第 143 页 （共 170页） 课题： 4.3.1 空间直角坐标系（1） 教材分析： 解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科，空间直角坐标系的建立是为以后的《空间向量及其运算》打基础的．同时，在第二章《空间中点、直线、平面的位置关系》第一节《异面直线》学习时，有些求异面直线所成角的大小，借助于空间向量来解答，要容易得多，所以，本节课为沟通高中各部分内容知识，完善学生的认知结构起到很重要的作用． 课 型： 新授课 教学要求： 使学生能通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法． 教学重点：在空间直角坐标系中，确定点的坐标 教学难点：通过建立适当的直角坐标系，确定空间点的坐标 教学过程： 一.提出问题： 1.在初中，我们学过数轴，那么什么是数轴？决定数轴的因素有哪些？数轴上的点怎样表示？ ２．在初中，我们学过平面直角坐标系，那么如何建立平面直角坐标系？决定平面直角坐标系的因素有哪些？平面直角坐标系上的点怎样表示？如何借助平面直角坐标系表示学生的座位?能用直角坐标系表示教室里灯泡的位置吗？ ３．在空间，我们是否可以建立一个坐标系，使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？（板书课题） 阅读课本P134- P135内容 二、讲授新课： 1.空间直角坐标系： 如图４.3-1(课本), OBCDD,A,B,C,是单位正方体.以O为原点，分别以射线OA,OC,OD'的方向为正方向，以线段OA,OC,OD'的长为单位长，建立三条数轴：x 轴，y轴，z轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标系Ｏxyz.其中点Ｏ叫做坐标原点，x 轴，y轴，z轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标面，分别称为ｘＯｙ平面、ｙＯｚ平面、ｚＯｘ平面． 将空间直角坐标系画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴均成135°，而z轴垂直于y轴，，y轴和z轴的长度单位相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的长度的一半，这样三条轴上的单位长度在直观上大体相等． 2. 右手直角坐标系： 第 144 页 （共 170页） 在空间直角坐标系中，让右手大拇指、食指和中指相互垂直时，大拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，中指指向z轴正方向，则称这个坐标系为右手坐标系，如无特别说明，以后建立的坐标系都是右手坐标系． ３．空间直角坐标系中的点与有序书组之间的关系： 1）已知M为空间一点，过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴的交点分别为P、Q、R，这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x，y，z．这样空间的一点M就唯一确定了一个有序数组x，y，z．这组数x，y，z就叫做点M的坐标，并依次称x，y，z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标．坐标为x，y，z的点M通常记为M（x，y，z）． 2）反过来，一个有序数组x，y，z，我们在x轴上取坐标为x的点P在y轴上取坐标为y的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P、Q、R分别作x 轴，y轴，z轴的垂直平面．这三个平面的交点M即为有序数组x，y，z为坐标的点．数x，y，z就叫做点M的坐标，并依次称x，y，z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标． 3）坐标为x，y，z的点M通常记为M（x，y，z）．我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M和有序数组x，y，z之间的一一对应关系 4.例题1（课本例1）：在长方体OBCDD,A,B,C,中，OA3,oC4,OD,2.写出D,,C,A,,B,四点坐标.（建立空间直角坐标系写出原点坐标各点坐标） 讨论： 若以C点为原点，以射线BC、CO、CC'方向分别为ox、oy、oz轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么，各顶点的坐标又是怎样的呢？ （得出结论：不同的坐标系的建立方法，所得的同一点的坐标也不同．） 5．例题2（课本例2）题略 说明： 学生阅读，思考与例1的不同，教师引导学生解题的方法，图中没有坐标系，这给我们解题带来了难度，同时也给我们的思维提供了空间，如何建立空间直角坐标系才能使问题变得更简单？一般来说，以特殊点为原点，我们所求的点在坐标轴上或在坐标平面上的多为基本原则建立空间直角坐标系，坐标系建立的不同，点的坐标也不同，但点的相对位置是不变的，坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同．因此解题时要慎重建立空间直角坐标系． 三、巩固练习： 1．练习：P136 1, 2，3. 2. 已知M (2, -3, 4)，画出它在空间直角坐标系中的位置． 3. 思考题：建立适当的直角坐标系，确定棱长为3的正四面体各顶点的坐标． 四．小结： 1．空间直角坐标系的建立． 2．空间直角坐标系内点的坐标的确定过程. 3．空间直角坐标系中点的位置的确定． 五．作业： 1.课本P138 习题4.3 A组 2 课后记: 第 145 页 （共 170页） 课题： 4.3.1 空间直角坐标系（2） 教材分析： 解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科，空间直角坐标系的建立是为以后的《空间向量及其运算》打基础的．同时，在第二章《空间中点、直线、平面的位置关系》第一节《异面直线》学习时，有些求异面直线所成角的大小，借助于空间向量来解答，要容易得多，所以，本节课为沟通高中各部分内容知识，完善学生的认知结构起到很重要的作用． 课 型： 新授课 教学要求： 使学生熟练掌握求坐标轴上的点和坐标平面上的点的坐标，熟记已知两点的中点坐标公式，会求一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标． 教学重点： 求坐标轴上的点和坐标平面上的点的坐标，会求一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点坐标，熟记已知两点的中点坐标公式． 教学难点：会求一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标 教学过程： 一、复习提问： 1．空间直角坐标系中点的坐标如何确定？已知点的坐标如何确定点的位置？ 2．练习：在空间直角坐标系中，作出点（５，４，６）． 二、讲授新课： １．坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点： x轴上的点的坐标的特点：Ｐ（m，０，０），纵坐标和竖坐标都为零． 第 146 页 （共 170页） y轴上的点的坐标的特点：Ｐ（０，m，０），横坐标和竖坐标都为零． z轴上的点的坐标的特点：Ｐ（０，０，m），横坐标和纵坐标都为零． xＯy坐标平面内的点的特点：Ｐ（m，n，０），竖坐标为零． xＯz坐标平面内的点的特点：Ｐ（m，０，n），纵坐标为零． yＯz坐标平面内的点的特点：Ｐ（０，m，n），横坐标为零． ２．已知两点的中点坐标： 平面上的中点坐标公式可以推广到空间，即设Ａ（x1，y1， z1），Ｂ（x2，y2 z2），则AB x1x2y1y2z1z2,,中点的坐标为（）. 222 请同学门熟记以上公式. 3．一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点 点P（x，y，ｚ）关于坐标原点的对称点为P1（-x，-y，-z）； 点P（x，y，ｚ）关于坐标横轴（ｘ轴）的对称点为P2（x，-y，-z）； 点P（x，y，ｚ）关于坐标纵轴（ｙ轴）的对称点为P3（-x，y，z）； 点P（x，y，ｚ）关于坐标竖轴（ｚ轴）的对称点为P4（-x，-y，-z）； 点P（x，y，ｚ）关于ｘＯｙ坐标平面的对称点为P5（x，y，-z）； 点P（x，y，ｚ）关于ｙＯｚ坐标平面的对称点为P6（-x，y，z；） 点P（x，y，ｚ）关于ｚＯｘ坐标平面的对称点为P7（x，-y，z）． 点评：其中记忆的方法为：关于谁谁不变，其余的相反．如关于横轴（ｘ轴）的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于ｘＯｙ坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数． 三、巩固练习： １．课本P138 习题4.3 A组 １ ２．已知点Ｂ（１，１，１），分别求出该点关于ｘ轴、ｚ轴、原点和ｘＯｙ坐标平面的对称点的坐标． ３．在空间直角坐标系Ｏ－ｘｙｚ中，关于点（０，m22，ｍ）一定有下列结论（ ） Ａ．在ｘＯｙ坐标平面上 Ｂ．在ｘＯｚ坐标平面上 Ｃ．在ｙＯｚ坐标平面上 Ｄ．以上都不对 四．小结： １．坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点 ２．中点坐标公式 ３．一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点 五．作业 ： 全优设计P100 主动成长 １，２，４，５，６，７，11，12． 课后记: 第 147 页 （共 170页） 课题： 4.3.2 空间两点间的距离公式（１） 教材分析： 距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常设计距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算两点之间的距离，所以本节内容为解决实际问题提供了方便． 课 型： 新授课 教学要求：使学生掌握空间两点的距离公式由来，及应用． 教学重点：空间两点的距离公式． 教学难点：空间两点的距离公式的推导 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：平面两点间的距离公式？ 2. 给你一块砖，你如何量出它的对角线长，说明你的理由 ． 3. 建筑设计中常常要计算空间两点间的距离公式，你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？ 二、讲授新课： 第 148 页 （共 170页） 1．空间两点的距离公式 （1）设问：你能猜想一下空间两点P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)间的距离公式吗？如何证明？， 因空间直角坐标系是在平面直角坐标系的基础上，经过原点O再作一条垂直于这个平面的直线，因此学生完全能借助平面上两点间的距离公式，考虑到此距离与竖坐标有关，猜想出空间两点间的距离公式|P(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2．故在介绍空间两点间的距离公1P2|式时，没有直接呈现公式结论，而是先让学生猜想、证明，从中培养学生对陌生问题通过已学的类似问题，要敢于提出猜想的意识． 在推导空间两点间的距离公式时，教材故意让学生经历一个从易到难，从特殊到一般的目 的在于让学生掌握类比的方法和养成严谨的思维习惯． （2）学生阅读教材P136- P137内容，教师给与适当的指导． 思考：1）点M（x，y，z）与坐标原点O（0，0，0）的距离？ 2) M1，M2两点之间的距离等于0M1=M2，两点重合，也即x1=x2，y1=y2，z1=z2． 讨论：如果OP是定长r,那么x2y2z2r2表示什么图形？ 2．例题1：求点P1(1, 0, -1)与P2(4, 3, -1)之间的距离． 要求学生熟记公式并注意公式的准确运用 练习：求点A(0,0,0)到B(5,2,2)之间的距离 3．例题2：已知A(x，2,3)、B(5,4，7)，且|AB|=6，求x的值． 分析：利用空间两点间的距离公式，寻找关于x的方程，解方程即得． 解：|AB|=6，∴(x5)2(24)2(37)26 即(x5)216，解得x=1或x=9 ∴x=1或x=9 总结：求字母的值，常利用方程的思想，通过解方程或方程组求解． 练习：已知A(2,5，-6)，在y轴上求一点B，使得|AB|=7． 答案：B(0,2，0)或B(0,8，0)． 第 149 页 （共 170页） 4．思考：1.在z轴上求与两点 A(-4, 1, 7)和B(3, 5, -2)等距离的点． 2. 试在xOy平面上求一点，使它到A(1,-1,5)、B(3,4,4)和C(4,6,1)各点的距离相等． 三． 巩固练习： 1．P138 练习 1、3 2．已知三角形的顶点为A（1，2，3），B（7，10，3）和C（4，10，0）．试证明A角为直角． 四．小结： 1．空间两点的距离公式的推导． 2．公式的应用 五．作业 1．课本P138 练习 第2，4题 2．课本P138 习题4.3 A组 第3题 Ｂ组 第１题 课后记: 课题： 4.3.2 空间两点间的距离公式（2） 教材分析： 距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常设计距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算两点之间的距离，所以本节内容为解决实际问题提供了方便． 第 150 页 （共 170页） 课 型： 新授课 教学要求：使学生熟练掌握空间两点的距离公式及应用． 教学重点：空间两点的距离公式的应用． 教学难点：空间两点的距离公式的应用． 教学过程： 一．复习提问： 1．两点间的距离公式． 二．例题讲解： 1．例题1．在四面体P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，设PA=PB=PC=a，求点P到平面ABC的距离． 解：根据题意，可建立如图所示的空间直P(0,0，0)，A（a,0,0），B（0,a,0），C（0,0,a）. x H 角坐标系P-xyz，则 过P作PH平面ABC，交平面ABC于P到平面ABC的距离． PA=PB=PC,∴H为ABC的外心， H，则PH的长即为点 aaa又ABC为正三角形，∴H为ABC的重心．由定比分点公式，可得H点的坐标为(,,) 333aaa3∴|PH|=(0)2(0)2(0)2a． 3333∴点P到平面ABC的距离为 3a． 32．例题2．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线BD1与CC1间的距离． 解：以D为坐标原点，从D点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所求的空间直角坐标系． 设P、Q分别是直线BD1和CC1上的动点，其坐标分别为(x, y, z)、(0，a,z1)，则由正方体的对称性，显然有x=y． z D1A1 P H C1B1 Q C y 第 151 页 （共D 170页） A x B 要求异面直线BD1与CC1间的距离，即求P、Q两点间的最短距离． 设P在平面AC上的射影是H，由在BDD!中，∴P的坐标为(a-z, a-z, z) ∴|PQ|=(az)2z2(zz1)2 PHBHzax，所以，∴x=a-z， D1DBDaaa2a2 =(zz1)2(z) 222∴当zz12aa． 时，|PQ|取得最小值，最小值为222a． 2∴异面直线BD1与CC1间的距离为 3．例题3．点P在坐标平面xOy内，A点的坐标为(-1,2，4)，问满足条件|PA|=5的点P的轨迹是什么？ 分析：因点P一方面在坐标平面xOy内，另一方面满足条件|PA|=5，即点P在球面上，故点P的轨迹是坐标平面xOy与球面的交线． 解：设点P的坐标为(x, y, z)． 点P在坐标平面xOy内，∴z=0 |PA|=5，∴(x1)2(y2)2(z4)25， 即(x1)2(y2)2(z4)2=25， ∴点P在以点A为球心，半径为5的球面上， ∴点P的轨迹是坐标平面xOy与以点A为球心，半径为5的球面的交线，即在坐标平面xOy内的圆，且此圆的圆心即为A点在坐标平面xOy上射影A(-1,2，0)． 点A到坐标平面xOy的距离为4，球面半径为5， ∴在坐标平面xOy内的圆A的半径为3． ∴点P的轨迹是圆(x1)2(y2)2=9，z=0． 第 152 页 （共 170页） 小结：对于空间直角坐标系中的轨迹问题，可用平面直角坐标系中的轨迹问题的求解方法类比解决． 三：巩固练习： 1．课本P139 习题4.3 B组 第2题 2．点P在坐标平面xOz内，A点的坐标为(1,3，-2)，问满足条件|PA|=5的点P的轨迹方程． 答案：点P的轨迹方程是(x1)2(z2)2=16，y=0． 四．小结 １．空间两点的距离公式的应用． 五．作业 １．课本P139 习题4.3 Ｂ组 第3题 课后记: 课题：空间几何体复习 第 153 页 （共 170页） 教材分析： 本节可是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章知识，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化． 课 型：复习课 教学要求： 1．利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构； 2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图； 3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式； 4．完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）． 教学重点：１．空间几何体的结构特征．２．由三视图还原为实物图．３．面积和体积的计算 教学难点：１．由三视图还原为实物图．２．组合体的结构特征． 教学过程： 一．知识要点： 学生阅读教材P34的小结部分． 二．典例解析 1．例1．（1）平面的斜线 AB 交于点 B，过定点 A 的动直线l与 AB 垂直，且交于 第 154 页 （共 170页） 点 C，则动点C的轨迹是（ A ） A．一条直线 B．一个圆 C．一个椭圆 D．双曲线的一支 （2）定点A和B都在平面内，定点P,PB, C是内异于A和B的动点，且PCAC.那么，动点在平面内的轨迹是（ B ） A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点 C．一个椭圆，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点 （3）正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM=2，P到直线A1D1的距离为5，则点P的轨迹是[ C ] A.圆 B.双曲线 C.两个点 D.直线 点评：该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力． 2．例2．（两相同的正四棱锥组成棱长为1的正方体内，使正四棱锥的某一个平面平行，且各顶点均．．．这样的几何体体积的可能值有（ D ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个 点评：本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积．正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化． 3．例3．表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有 3 对. 第 155 页 （共 170页） 如图所示的几何体，可放的底面ABCD与正方体ZAI在正方体的面上，则 点评：解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间空间想象能力． 4．例4．如图9—1，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，图形，较强的考察了 图9—1 G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（ B ） A．90° B．60° C．45° D．0° 点评：在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键．通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力．而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向． 5．例5．ABC是正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若ABC的面积为3，那么△ABC的面积为_______________． 点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系．特别底和高的对应关系． 6．例6．（1）如图，在正四面体A－BCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是（ C ） AF•G•D① ② ③ ④ 第 156 页 （共 170页） A．①③ B．②③④ C．③④ D．②④ •BEC （2）E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是 ② （要求：把可能的图的序号都填上）. ． 点评：考查知识立足课本，对空间想象能力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活性等方面要求较高，体现了加强能力考查的方向． 7．例7．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面 内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是 ①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为______________________（写出所有正确结论的编号）． 点评：该题将计算蕴涵于射影知识中，属于难得 的综合题目． ①③④⑤ D1 C1 A1 B1 D C B 第 157 页 （共 170页） A 8．例8．某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状 解析：该几何体为一个正四棱锥分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图． 点评：主视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽．而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等．左视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等．据此就不难得出该几何体的形状． 三．课堂小结： 本节课复习了：第一章知识结构图．２．三视图和体积、面积的有关问题。 ３．空间几何体的概念。 四．作业 教材P35复习参考题 课后记: 课题：点、直线、平面之间的位置关系复习 教材分析： 前面学习了空间点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行的判定及其性质，直线、平面垂直的判定及其性质等内容；通过本节学习进一步巩固前面学习的内容，突出重点总结归律，使原来的知识更系统，使原来的方法更清晰，形成完整的知识结构和方法体系。 课 型：复习课 教学要求： 1．理解掌握空间点、直线、平面之间的位置关系． 2．熟练应用直线、平面平行和垂直的判定及其性质解决立体几何问题． 3．通过本章学习逐步提高学生的空间想像能力，学会用数学方法认识世界改造世界． 教学重点：总结证明平行问题和证明垂直问题的方法。 教学难点：总结求二面角的方法。 教学过程： 一．知识要点： 第 158 页 （共 170页） 学生阅读教材P76的小结部分． 二．典例解析： 1．例1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD的交点（如图），求证：（1）EG平面BDF∥平面B1D1H；（3）A1O⊥平面BDF；（4）AA1C。 解析： （1）欲证EG∥平面BB1D1D，须在平面BB1D1D内找一条与EG平行的直线，构造辅助平面BEGO’及辅助直线BO’，显然BO’即是。 （2）按线线平行线面平行面面平行的思路，在平面B1D1H内寻找B1D1和O’H两条关键的相交直线，转化为证明：B1D1∥平面BDF，O’H∥平面BDF。 （3）为证A1O⊥平面BDF，由三垂线定理，易得BD⊥A1O，再寻A1O垂直于平面BDF内的另一条直线。 猜想A1O⊥OF。借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A1O2+OF2=A1F2A1O⊥OF。 （4）∵ CC1⊥平面AC ∴ CC1⊥BD 又BD⊥AC ∴ BD⊥平面AA1C 又BD平面BDF ∴ 平面BDF⊥平面AA1C 评注：化“动”为“定”是处理“动”的思路 2．例2．如图，三棱锥D—ABC中，平面ABD、角三角形，∠ABC= ∠BAD=900，其腰BC=a，且二面角D—AB—（1） 求异面直线DA与BC所成的角； C=600。 平面ABC均为等腰直∥平面BB1D1D；（2）平面BDF⊥平面 第 159 页 （共 170页） （2） 求异面直线BD与AC所成的角； 解析： （1） 在平面ABC内作AE∥BC，从而得∠DAE=600 ∴ DA与BC成600角 （2） 过B作BF∥AC，交EA延长线于F，则∠DBF为BD与AC所成的角 由△DAF易得AF=a，DA=a，∠DAF=1200 ∴ DF2=a2+a2-2a2·()=3a2 ∴ DF=3a △ DBF中，BF=AC=2a ∴ cos∠DBF= ∴ 异面直线BD与AC成角arccos ３．例３．如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为 b，侧棱AA’与底面相邻两边AB、AC都成450体积。 解析： 在侧面AB’内作BD⊥AA’于D 连结CD ∵ AC=AB，AD=AD，∠DAB=∠DAC=450 ∴ △DAB≌△DAC ∴ ∠CDA=∠BDA=900，BD=CD ∴ BD⊥AA’，CD⊥AA’ ∴ △DBC是斜三棱柱的直截面 在Rt△ADB中，BD=AB·sin450= 2a 2121414角，求此三棱柱的侧面积和 a2∴ △DBC的周长=BD+CD+BC=(2+1)a，△DBC的面积= 4∴ S侧=b(BD+DC+BC)=(2+1)ab 第 160 页 （共 170页） a2b∴ V=SDBC·AA’= 4评注：求斜棱柱的侧面积有两种方法，一是判断各侧面的形状，求各侧面的面积之和，二是求直截面的周长与侧棱的乘积，求体积时同样可以利用直截面，即V=直截面面积×侧棱长。 ４．例４．在三棱锥P—ABC中，PC=16cm，AB=18cm，PA=PB=AC=BC=17cm，求三棱锥的体积VP-ABC。 解析： 取PC和AB的中点M和N ∴ VPABCVPAMBVCAMBPCSAMB 在△AMB中，AM2=BM2=172-82=25×9 ∴ AM=BM=15cm，MN2=152-92=24×6 ∴ S△AMB=×AB×MN=×18×12=108(cm2)∴ VP-ABC=×16×108=576(cm3) 评注：把一个几何体分割成若干个三棱锥的方法是一种用得较多的分割方法，这样分割的结果，一方面便于求体积，另一方面便于利用体积的相关性质，如等底等高的锥体的体积相等，等底的两个锥体的体积的比等 三．课堂小结：１．复习巩固．２．规律总结．３．思想升华． 四．作业 教材P78复习参考题 课后记 课题：直线与方程复习 教材分析： 本节课是对第三章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生基本知识系统化和网络化，基本方法条理化。本章内容大致分为三个部分：（1）直线的倾斜角和斜率；（2）直线方程；（3）两条直线的位置关系。可采用分单元小结的方式，让学生自己回顾和小结各单元知识。再此基础上，教师可对一些关键处予以强调。比如可重申解析几何的基本思想——坐标法，并用解析几何的基本思想串联全章知识，使全章知识网络更加清晰。指出本章学习 12121313第 161 页 （共 170页） 要求和要注意的问题，可让学生阅读教科书中“学习要求和要注意的问题”有关内容。教师重申坐标法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与讨论思想等数学思想方法在本章中的特殊地位。 课 型：复习课 教学要求： 通过总结和归纳直线与方程的知识，对全章知识内容进行一次梳理，突出知识间的内在联系，进一步提高学生综合运用知识解决问题的能力。能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分析讨论的思想和抽象思维能力。 教学重点： 1.直线的倾斜角和斜率. 2.直线的方程和直线的位置关系的应用. 3.激发学生学习数学的兴趣,培养分类讨论的思想和抽象思维能力. 教学难点： 1. 数形结合和分类讨论思想的渗透和理解. 2. 处理直线综合问题的策略. 教学过程： 二．知识要点: 学生阅读教材P113的小结部分． 二．典例解析 1．例1.下列命题正确的有 ⑤ : 第 162 页 （共 170页） ①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应; ②倾斜角的范围是:0°≤α<180°,且当倾斜角增大时,斜率也增大; ③过两点A(1,2),B(m,-5)的直线可以用两点式表示; ⑤直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零),当A,B,C中有一个为零时,这个方程不能化为截距式. ⑥若两直线平行,则它们的斜率必相等; ⑦若两直线垂直,则它们的斜率相乘必等于-1. 2．例2.若直线l1:ax2y60与直线l2:x(a1)ya210，则l1与l2相交时，a_________;l1//l2时，a=__________;这时它们之间的距离是________;l1l2时， a=________ . 答案：a2且a1;a1; 652;a 533．例3．求满足下列条件的直线方程： (1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行； (2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直； (3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等； (4)经过点M(1，2)且与点A(2,3)、B(4,-5)距离相等； 答案： (1)2x+3y-1=0 (2)2x-y+5=0 (3)x+y-1=0或3x+2y=0 (4)4x+y-6=0或3x+2y-7=0 4．例4．已知直线L过点（1,2），且与x，y轴正半轴分别交于点A、B （1）求△AOB面积为4时L的方程； 解： 设Ａ(a,0)，B(0,b) ∴a,b>0 ∴L的方程为 xy1 ∵点（1,2）在直线上 B aby (1,2) A 第 163 页 （共 170页） O x ∴ 2a12 ① ∵b>0 ∴a>1 1 ∴baba112a1 (1) S△AOB=ab=a =4 22a1 ∴a=2 这时b=4 ∴当a=2，b=4时S△AOB为4 此时直线L的方程为 xy1即2x+y-4=0 24 （2）求L在两轴上截距之和为322时L的方程． 2) a2a322 ∴a21 这时b22 a1 ∴L在两轴上截距之和为3+22时，直线L的方程为y=-2x+2+2 5．例5．已知△ABC的两个顶点A(-10，2)，B(6，4)， 垂心是H(5，2)，求顶点C的坐标． 解: ∵kBH2412 ∴kAC 5621∴直线AC的方程为y2(x10) 2 即x+2y+6=0 (1) 又∵kAH0 ∴BC所在直线与x轴垂直 故直线BC的方程为x=6 (2) 解(1)(2)得点C的坐标为C(6,-6) 三．课堂小结：本节课总结了第三章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法，渗透了几种重要的数学思想方法． 四．作业.： 教材P114复习参考题 课后记: 第 164 页 （共 170页） 课题：圆与方程复习 教材分析： 本章在第三章“直线与方程”的基础上，在直角坐标系中建立圆的方程，并通过圆的方程研究直线与圆、圆与圆的位置关系。在直角坐标系中建立几何对象的方程，并通过方程研究几何对象，这是研究几何问题的重要方法，通过坐标系把点与坐标、曲线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合。坐标法是贯穿本章的灵魂，在教学中要让学生充分的感受体验。 课 型：复习课 教学要求： 1．了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题；掌握圆的标准方程和一般方程，加深对圆的方程的认识。 2．能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能用直线与圆的方程解决一些简单问题。 3．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会用空间两点间的距离公式。 4．通过本节的复习，使学生形成系统的知识结构，掌握几种重要的数学思想方法，形成一定的分析问题和解决问题的能力。 教学重点：解析几何解题的基本思路和解题方法的形成。 第 165 页 （共 170页） 教学难点：整理形成本章的知识系统和网络。 教学过程： 一．知识要点: 学生阅读教材P142的小结部分． 二．典例解析： 1．例1。(1)求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x─y─3=0上的圆的方程; (2)求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形OAB外接圆的方程 2x0y030解：(1)设圆心P(x0,y0),则有, 2222(x05)(y02)(x03)(y02)解得 x0=4, y0=5, ∴半径r=10, ∴所求圆的方程为(x─4)2+(y─5)2=10 (2)采用一般式,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将三个已知点的坐标代入列方程组解得：D=─2, E=─4, F=0 点评：第(1),(2)两小题根据情况选择了不同形式 2．例2。设A（－c，0）、B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹 分析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题 解：设动点P的坐标为（x，y）， (xc)2y2|PA|由=a（a>0）得=a， 22|PB|(xc)y第 166 页 （共 170页） 化简，得 （1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0 当a=1时，方程化为x=0 1a222acc)y2 =(2)2 当a≠1时，方程化为(x2a1a1所以当a=1时，点P的轨迹为y轴； a212ac当a≠1时，点P的轨迹是以点（2c，0）为圆心，|2|为半径的圆 a1a1点评：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求同时也考查了分类讨论这一数学思想 3．例3。已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程 分析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？ 解：取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系 设动圆圆心为M（x，y）， ⊙O与⊙M的公共弦为AB，⊙M与l切于点C，则|MA|=|MC| ∵AB为⊙O的直径， ∴MO垂直平分AB于O AyMoxC B第 167 页 （共 170页） 由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9， 而|MC|=|y+3|， ∴x2y29=|y+3| 化简得x2=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程 点评：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点” 4．例4。已知圆C的圆心在直线x─y─4=0上,并且通过两圆C1:x2+y2─4x─3=0和C2:x2+y2─4y─3=0的交点,(1)求圆C的方程; (2)求两圆C1和C2相交弦的方程 解：(1)因为所求的圆过两已知圆的交点,故设此圆的方程为：x2+y2─4x─3+λ(x2+y2─4y─3)=0, 即 (1+λ)(x2+y2)─4x─4λy─3λ─3=0, 即 x2y2圆心为 ( 4x4y3=0, 1122,), 11由于圆心在直线x─y─4=0上, ∴ 22──4=0, 解得 λ=─1/3 11所求圆的方程为：x2+y2─6x+2y─3=0 (2)将圆C1和圆C2的方程相减得：x+y=0,此即相交弦的方程 点评：学会利用圆系的方程解题 5．例5。求圆x2y24x12y390关于直线3x4y50的对称圆方程 第 168 页 （共 170页） 解：圆方程可化为x2y61, 圆心O(-2,6),半径为1 22设对称圆圆心为O'(a,b)，则O‘与O关于直线3x4y50对称， 32b6a2a34505 22因此有解得b631b265a24 3226所求圆的方程为xy1 5522点评：圆的对称问题可以转化为点(圆心)的对称问题，由对称性质知对称圆半径相等 三．课堂小结：本章的知识点主要是实现由形到数的一种转变，所以在今后的学习中要把握关键，寻求规律，掌握方法，要时刻把握好直线于圆的综合问题、相交及交点等问题的应用以及直线于圆的实际应用。 四．作业： 教材P144复习参考题 课后记: 第 169 页 （共 170页） 第 170 页 170页） （共 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容