直线与圆试题及答案

一、选择题

1.从点P(1，－2)引圆(x+1)2+(y－1)2=4的切线，则切线长是( ) B.3

2.以M(－4,3)为圆心的圆与直线2x+y－5=0相离，那么圆M的半径r的取值范围是( )

A．0＜r＜2 C．0＜r＜25 3.圆(x+

B．0＜r＜5 D．0＜r＜10

8112222

)+(y+1)=与圆(x－sinθ)+(y－1)= (θ为锐角)的位置

16162关系是( )

A.相离 B.外切 C.内切 D.相交 4.若m≠0，则过（1，-1）的直线ax+3my+2a=0的斜率为（ ）

11 B.-3 C.

3322222

5.使圆x+y=r与x+y+2x－4y+4=0有公共点的充要条件是( )

<5+1 >5+1

C.|r－5|<1 D.|r－5|≤1

6.已知半径为1的动圆与圆(x－5)2+(y+7)2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )

A．(x－5)2+(y+7)2=25 B．(x－5)2+(y+7)2=17或(x－5)2+(y+7)2=15 C．(x－5)2+(y+7)2=9 D．(x－5)2+(y+7)2=25或(x－5)2+(y+7)2=9 7.已知圆x2+y2=r2在曲线|x|+|y|=4的内部，则半径r的范围是（ ）

8.由曲线y=|x|与x2+y2=4所围成的图形的最小面积是( ) A.

 4 B.π C.

3 4 D.

3 29.过点(2，－3)且与直线x－2y+4=0的夹角为arctan

2的直线l的方程是3( ).

A. x+8y+22=0或7x－4y－26=0 B. x+8y+22=0 C. x-8y+22=0或7x+4y－26=0 －4y－26=0

AC0,10.已知二元二次方程Ax+Cy+Dx+Ey+F=0，则2是方程表示2DE4F02

2

圆的（ ）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

11.圆x2+y2－2x+4y－20=0截直线5x－12y+c=0所得的弦长为8，则c的值是( )

A．10 B．10或－68 C．5或－34 D．－68 12.过点(2，1)并与两坐标轴都相切的圆的方程是( )

A.(x－1)2+(y－1)2=1 B.(x－1)2+(y－1)2=1或(x－5)2+(y－5)2=5 C.(x－1)2+(y－1)2=1或(x－5)2+(y－5)2=25 D.(x－5)2+(y－5)2=5 二、填空题

13.曲线y=|x-2|-3与x轴转成的面积是 . 14.已知M={(x,y)|x2+y2=1,015.圆(x－3)2+(y+1)2=1关于直线x+2y－3=0对称的圆的方程是_____.

22

16.直线x－2y－2k=0与2x－3y－k=0的交点在圆x+y=25上，则k的值是_____.

三、解答题 17.求过A(1，2)与B(3，4)两点，且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程． 18.设t=3x－6y，式中变量x、y满足下列条件

|xy|1, |2xy|2, ① 求t的最大值和最小值．

19.已知圆x2+y2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b对称， （1）求k、b的值；

（2）若这时两圆的交点为A、B，求∠AOB的度数.

20..若动圆C与圆(x-2)2+y2=1外切，且和直线x+1=0相切.求动圆圆心C的轨迹E的方程.

21.已知圆C：x2+y2－2x+4y－4=0,是否存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点.若存在，求出直线l的方程;若不存在，说明理由.

22.设足(1)y轴截圆所得弦长为2.(2)被x轴分成两段弧，其弧长之比为3∶1，在满足(1)、(2)的所有圆中，求圆心到直线l:x－2y=0的距离最小的圆的方程．

参 一、选择题

1.解析:勾股定理.答案B

2.解析:圆心到直线的距离d>r.答案C

3解析:两圆心之间的距离d(sin)2(11)2(sin)24,

1212∵θ为锐角，∴011317125sin,(sin)24 , 222424∴

1755d,两半径之和为，两半径之差的绝对值为2，∴两圆相交. 222答案D

4. 解析:由a+3m(-1)+2a=0，得m=a.又m≠0,∴a≠0.∴直线的方程可写成

1x+3y+2=0，斜率为-.答案D

35. 解析:由x2+y2+2x－4y+4=0得：(x+1)2+(y－2)2=1,两圆心之间的距离为

12225，∵|r－1|≤5≤r+1,∴5－1≤r≤5+1,即－1≤r－5≤

1,∴|r－5|≤1.答案D

6. 解析:有内切、外切两种情况.答案D 7. 解析:曲线|x|+|y|=4是顶点为（±4，0）、（0，±4）的正方形，其中一条边的方程为x+y-4=0(0≤x≤4).∵圆在正方形的内部，∴08. 解析:由图知，所围成的图形最小面积为圆x2+y2=4的面积的

|004|2>r.即

1.答案B 41k|29. 解析:设直线l的方程为y+3=k(x－2),由夹角公式可得：2.

13|1k|2|解得：k=－或k=

187∴直线l的方程为x+8y+22=0或7x－4y－26=0.答案A 4AC0,10. 解析:取A=C=4，D=2，E=2，F=1时，满足2但是2DE4F04x2+4y2+2x+2y+1=0不表示圆，∴条件不是充分的.

1111方程x2+y2+x+y+1=0表示圆，其中A=，C=，D=1，E=1，F=1，不满足

333322

D+E-4F>0. ∴条件不是必要的. 答案D

11. 解析:∵弦长为8，圆半径为5，∴弦心距为5242=3，∵圆心坐标为(1，－2)，∴

|5112(2)c|=3，∴c=10或c=－68.答案B

1312. 解析:设圆的方程是(x－a)2+(y－b)2=r2(r＞0),∵圆过第一象限的点

a0,a1a5b0,(2，1)并与两坐标轴都相切，∴解之得b1或b5

|a||b|r,r1r5.222(2a)(1b)r.因此，所求圆的方程是(x－1)2+(y－1)2=1或(x－5)2+(y－5)2=25.(此题也可

画图排除A、B、D) .答案C

二、填空题

13. 答案9 ,14.答案-11923)(y)21, 16. 答55x5(x2),13. 解析:y=|x-2|-3可写成y=曲线y=|x-2|-3与x轴转成一

x1(x2).个三角形，其顶点分别是（2，-3）、（-1，0）、（5，0）.∴SΔ=

1[5-（-1）]×3=9. 214. 解析:集合M为单位圆的上半圆，集合N为直线，M∩N≠，是指直线与

半圆有公共点.画出图形，易知-115. 解析:已知圆的圆心(3，－1)关于直线x+2y－3=0的对称点的坐标是(

193,)，所以圆(x－3)2+(y+1)2=1关于直线x+2y－3=0对称的圆的方程是551923)(y)21. 5516. 解析:由(xx2y2k0x4k,得,∵交点(－4k,－3k)在圆

2x3yk0y3kx2+y2=25上，∴(－4k)2+(－3k)2=25,∴k=±1.

三、解答题

17. 解 设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题意，得

14D2EF0D12D89163D4EF0解之,得,或E22E2 F27,F7.2D4F6.∴所求圆的方程为x2+y2+12x－22y+27=0或x2+y2－8x－2y+7=0. 18. 解 作出不等式组①表示的平面区域平行四边形ABCD的边界和内部．ABCD的顶点坐标分别为A(－1，

0)、B(,)、C(1，0)、D(,134314)． 33作动直线l:3x－6y=t(t∈R)． ∵l的方程可写成y=

11xt, 26134)=7．当l过D点时， 3∴当l的纵截距最大时，t最小;当l的纵截距最小时，t最大． 由图知当l过B点时，t最大=3×(－)－6×(－

14t最小=3×()－6×()=－7．

3319. 解 （1）圆x2+y2+8x-4y=0可写成(x+4)2+(y-2)2=20.

∵圆x2+y2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b对称， ∴y=kx+b为以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线.

20∴×k=-1，k=2. 点（0，0）与（-4，2）的中点为（-2，1），∴1=240×(-2)+b，b=5.∴k=2，b=5.

（2）圆心（-4，2）到2x-y+5=0的距离为d=而圆的半径为25，∴∠AOB=120°.

20. 解 设动圆的圆心C的坐标为（x，y），则x-(-1)+1=(x2)2y2，即x+2=(x2)2y2，整理得y2=8x.所以所求轨迹E的方程为y2=8x.

21. 解法一 假设存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点.设l的方程为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2).

由OA⊥OB知，kOA·kOB=－1, 即

2(4)2555.

y1y2=－1,∴y1y2=－x1x2. x1x2yxb,22由2, 得2x+2(b+1)x+b+4b－4=0, 2xy2x4y40b2∴x1+x2=－(b+1),x1·x2=+2b－2,

22b22by1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b=+2b－2－b(b+1)+b=+b－2 222

b2b2∵y1y2=－x1x2 ∴+b－2=－(+2b－2)

22即b2+3b－4=0. ∴b=－4或b=1.

又Δ=4(b+1)2－8(b2+4b－4)=－4b2－24b+36=－4(b2+6b－9) 当b=－4时，Δ=－4×(16－24－9)>0; 当b=1时，Δ=－4×(1+6－9)>0

故存在这样的直线l,它的方程是y=x－4或y=x+1,即x－y－4=0或x－y+1=0.

解法二 圆C化成标准方程为(x－1)2+(y+2)2=9,

假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为(a,b).

由于CM⊥l,∴kCM·kl=－1,即∴b=－a－1,

b2×1=－1, a1①

直线l的方程为y－b=x－a,即x－y+b－a=0,∴|CM|∵以AB为直径的圆M过原点，∴|MA|=|MB|=|OM|，

|ba3|, 2(ba3)2而|MB|=|CB|－|CM|=9－,

22

2

2

(ba3)222

|OM|=a+b,∴9－=a+b,

22

2

2

②

把①代入②得2a2－a－3=0, ∴a=

3或a=－1, 2当a=

35时，b=－此时直线l的方程为x－y－4=0; 22当a=－1时，b=0此时直线l的方程为x－y+1=0.

故这样的直线l是存在的，它的方程为x－y－4=0或x－y+1=0.

22.解 设圆的圆心为P(a,b),半径为r，则P到x轴，y轴的距离分别为｜b｜、｜a｜，由题设知圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°,故圆P截x轴所得弦长为2r=2b. ∴r2=2b2

①

②

又由y轴截圆得弦长为2， ∴r2=a2+1

2

2

|a2b|由①、②知2b－a=1.又圆心到l:x－2y=0的距离d=,∴5d2=(a－

52b)2=a2+4b2－4ab≥a2+4b2－2(a2+b2)=2b2－a2=1.当且仅当a=b时“=”号成立，

ab5∴当a=b时，d最小为，由2 252ba1得a1a1或由①得r=2. b1b1∴(x－1)2+(y－1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2为所求．