湖北省武汉二中0910高二上学期期中考试(数学(理))

武汉二中2009－2010学年度上学期高二年级期中考试

数学试卷（理）

命题人：范向阳 考试时间：2009年11月5日 上午10：00---12：00

本试卷满分150分，考试时长120分钟。

一、选择题(每小题5分，共50分)

1. 光线沿直线y=2x+1的方向射到直线y=x上被反射后光线所在的直线方程是 ( ) A.yx21 2 B.y2x

12 C. yx21 2 D. yx1 22. 设函数f(x)asinxbcosx图象的一条对称轴方程为x A.

 44, 则直线axbyc0的倾斜角为( )

D.

2 3 B.

3 4 C.

 3

3. 若圆C：x2y2ax2y10和圆x2y21关于直线yx1对称, 动圆P与圆C相外切且直线x1相切, 则动圆圆心P的轨迹方程是( ) A. y26x2y20 C. y26x2y20

B.y22x2y0 D. y22x2y20

x2y2x2y24. 椭圆221和双曲线221有公共焦点，则椭圆的离心率是( )

2mnm2n153 B.

325. 抛物线y=4x2的准线方程是( )

A. C.

6 4 D.

30 6 A. y+1=0

34 B. x+1=0

3 4 C. 16y+1=0 D. 16x+1=0

6. 设O为坐标原点，抛物线y2=4x与过焦点的直线交于A、B两点，则OAOB=( ) A. 

B.

C. －3

D. 3

1x2y27. 椭圆1上有n个不同的点:P的等差数列, 则n,Pn, 椭圆的右焦点为F, 数列|PnF|是公差不小于1,P2,10043的最大值是( ) A. 198

B. 199 C. 200 D. 201

x2y28. 设F1, F2是双曲线1(a0)的两焦点，点P在双曲线上，∠F1PF2＝90°，若Rt△F1PF2的面积为1，那么

4aaa的值是 ( ) A.1

B.5 2 C.2 D.5 9. 抛物线x22y上离点A(0, a)最近的点恰好是顶点，这个结论成立的充要条件是( ) A. a≤0

B. a

12 C. a≤1 D. a≤2

10. 已知x,yR, 且(log23)x(log35)y(log32)y(log53)x, 则x与y应满足( )

A. xy0 B. xy0 C. xy0 D. xy0

1a

1b

二、填空题(每小5分，共25分)

11. 若直线axby10(a0,b0)过圆x2y22x2y0的圆心，则的最小值为 . 12. 与圆x2(y2)21相切, 且在两坐标轴上截距相等的直线共有 条.

13. 过直线l:yx9上一点P作一长轴最短的椭圆, 使其焦点为F1(3,0), F2(3,0), 则椭圆的方程为 . x2y214. 设双曲线221(a0,b0)的右焦点为F(c,0), 方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x2, 则点P(x1,x2)ab与圆x2y22的位置关系为 .

15. 设直线系M:xcos(y2)sin1(02)，对于下列四个命题： A. M中所有直线均经过一个定点 B．存在定点P不在M中的任一条直线上

C．对于任意整数n (n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）

三、解答题(本大题共6小题，共75分)

16. （本题12分）已知△ABC中，A点坐标（1，3），AB、AC边上的中线所在直线方程分别为x2y10和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程。

17.（本题12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1:(x3)2(y1)24和圆C2:(x4)2(y5)24。 （1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；

（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。

3xy0,18. （本题12分）已知A(3,3)，O是原点，点P（x, y）的坐标满足x3y20,

y0.(1)求

OAOPOAOP的最大值.；(2)求z的取值范围. |OA||OP|

x219. （本题12分）设F1, F2分别是椭圆y21的左、右焦点.

4 (1)若P是该椭圆上的一个动点, 求PF1PF2的最大值和最小值；

(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B, 且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点), 求直线l的斜率k的取值范围.

20. （本题13分）已知双曲线的两条渐近线方程为直线l1:y和l2:y标原点.

(1)求双曲线方程；

x2x, 焦点在y轴上, 实轴长为23, O为坐22MP2, 求三角形P1OP2的面积. (2)设P11,P2分别是直线l1和l2上的点, 点M在双曲线上, 且PM

21. （本题14分）已知函数f(x)px2qx, 其中p0,pq1, 对于数列{an}, 设它的前n项和为Sn, 且满足

Snf(n)(nN*).

(1)求数列{an}的通项公式, 并证明an1an1(nN*)； (2)求证：点M1(1,S1SS),M2(2,2),M3(3,3),123,Mn(n,Sn)在同一直线l1上； n (3)若过点N1(1,a1),N2(2,a2)作直线l2, 设l2与l1的夹角为, 求tan的最大值.

武汉二中2009－2010学年度上学期高二年级期中考试

数学试卷（理）答案

一、选择题 题号 答案

1 A

2 B

3 C

4 D

5 C

6 C

7 D

8 A

9 C

10 A

二、填空题 11．4

12．4

x2y213．1

4536

14．点P(x1, x2)在圆x2+y2＝2外 15．B、C 三、解答题

16．解：设AB、AC的中线分别为CD、BE，其中D、E为中点。 ∵B在中线y－1＝0上， ∴设B点的坐标为(xB, 1)， ∵D为AB的中点，A（1，3）， ∴D的坐标为(xB1,2)， 2 ∵D在中线CD:x－2y+1=0上， ∴

xB12210xB5 2 ∴B的坐标是（5，1）………………………………（5分） ∵点C在直线x－2y+1=0上， ∴设C点的坐标是（2t－1，t）， ∴AC的中点E的坐标为(t,t3)， 2 ∵E点在直线y－1＝0上， ∴

t31，则t＝－1，点C坐标是（－3，－1）………………（10分） 2 故可求得△ABC三边所在直线方程为

AB:x2y70,BC:x4y10,AC:xy20。………………（12分）

17．解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在。设直线l的方程为y=k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C1截得的弦长为23，所以d22(3)21。由点到直线的距离公式得d|1k(34)|1k2，从而k(24k7)0。

即k=0或k7，所以直线l的方程为y=0或7x+24y－28＝0。…………………（5分） 241k（2）设点P（a, b）满足条件，不防设直线l1的方程为ybk(xa),k0，则直线l2的方程为yb(xa)。因为圆C1和圆C2的半径相等，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直1|5(4a)b||1k(3a)b|k线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，则。………………………………211k12k

（7分）

整理得|13kakb||5k4abk|， 从而13kakb5k4abk或 13kakb5k4abk，

即(ab2)kba3或(ab8)kab5,因为k的取值范围有无穷多个。

53a,a,ab20,ab80,2或2所以 解得 或113ba30ab50,bb.22这样点只可能是点P2(,1(,)或点P经检验点P1和P2满足题目条件。 18．（1）作出可行域如图，则

5212313)。 22………………………………………（12分）

OAOP|OP|cosAOP， |OA|又∠AOP是OA与OP的夹角， ∴目标函数

OAOP表示OP在OA上的投影，…………3分 |OA|过P作OA的垂线PH，垂足为H，

当P在可行域内移动到直线3xy0和直线x3y20的交点B(1,3)时，

OP在OA上的投影为|OH|最大，此时|OP||OB|2，∠AOP＝∠AOB＝

， 6OAOP的最大值为|OB|cosAOB2cos3 ………………………6分

6|OA|OAOP|OA|cosAOP23cosAOP，…………………………………9分 |OA|6666（2）z5 因为AOP[,]，所以当AOP时，zmax23cos3；

当AOP z553。 时，zmin23cos66OAOP的取值范围为[－3，3]。 ……………………………………12分 |OA|19．（1）易知a2,b1,c3,F1(3,0),F2(3,0)，设P(x, y)，

x2112则PF1PF2(3x,y)(3x,y)xy3x1(3x8)……4分

444222而x[2,2]，故当x=0时，PF1PF2有最小值－2. 当x2时，PF1PF2有最大值1……………………6分

（2）显示直线x=0不满足题意，∴可设直线l:ykx2,A(x1,y1),B(x2,y2) ykx2122(k)x4kx30 联立x2消去y得24y14

x1x24k3………………7分 ,x1x21122kk4414由△(4k)24(k2)34k230得k33………………①8分 或k22又0AOB90，则cosAOB0即OAOB0

x1x2y1y20，又y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4

k21x1x2y1y20即k24 2k2………………②11分

11k2k2443由①②得k的范围是2k233或k2………………12分 22x2y2x220．（1）依题意可设双曲线方程为：y(0)即1

44y2x2则223 3 ∴双曲线方程为1……………………5分

312（2）设P1(2y1,y1),P2(2y2,y2)和点M（x0, y0）

2y14y2x20x032PM2MP2  又∵M在双曲线上 y03 1y2y42y103y12y2212y14y2227)()3整理得y1y2………………9分 3438

( 又直线P1P2的方程为 SPOP12yy1x2y12yy令x=0得y12 y2y12y22y1y1y212y1y227………………13分 |||(2y22y1)|2|y1y2|2y1y2421．（1）Snf(n)pn2qn 当n=1时，a1s1pq

当n≥2时，anSnSn1pn2qn[p(n1)2q(n1)]2pnpq

由于n=1时，a1pq适合上式，故数列{an}的通项公式为

an2pnpq………………3分 又an1an2p0

∴{an}是首项为p+q，公差为2p的等差数列，an1ana1pq1 an1an1………………4分

（2）设Mi,Mj(ij)是M1，M2，…,Mn中任意两点，则Mi(i,SSi),Mj(j,j) ijSiSjj(a1aj)i(a1ai)jijSiSjij22kMiMjiijij(ij)ij(ij)

ij(a1ai)ij(a1aj)aiaj[a1(i1)2p][a1(j1)2p]2ij(ij)2(ij)2(ij)＝P…………………………8分

Mi,Mj两点连线的斜率为定值P，又Mi,Mj是M1，M2，…，Mn中任意两点，∴点M1，M2，……，Mn

在同一直线l1上………………9分 （3）∵N1, N2 两点连线的斜率为k2tan|a2a12p，又直线l的斜率为k1=p，由夹角公式得 21k1k2p11|………………13分 1k1k212p212p22p当且仅当故当p

21时，上式等号成立。 2p即p2p22时，tan有最大值……………………14分

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