数学思想方法在概率解题中的运用

翟新平

【摘 要】本文通过例题,浅议枚举思想、等价转化思想、极限思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想在概率解题中的运用. 【期刊名称】《牡丹江教育学院学报》 【年(卷),期】2012(000)006 【总页数】2页(P105-106)

【关键词】数学思想方法;概率解题;运用 【作 者】翟新平

【作者单位】定西师范高等专科学校,甘肃定西 743000 【正文语种】中 文 【中图分类】O13

数学思想方法既是数学知识的精髓，又是将知识转化为能力的桥梁。在教学中要注重数学思想方法的渗透、概括和总结，即在知识发生过程中渗透数学思想方法，在思维教学活动过程中揭示数学思想方法，在问题解决方法的探索过程中激活数学思想方法，在知识的总结归纳过程中概括数学思想方法。并要重视数学思想方法在解题中的指导作用。本文通过一些简单例题，浅议枚举思想、等价转化思想、极限思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想在概率解题中的运用。 一、枚举思想

枚举思想是解决数学问题的重要思想方法之一，在概率解题中这一方法的应用也较为广泛。对于某些特殊类型的试验，不需要做大量的重复试验，而通过列举法进行分析就能得到随机事件的概率。

例1 投掷一个骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件的概率：（1）点数为2；（2）点数为奇数；（3）点数大于2且小于5。

解：投掷一个骰子时，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6共6种，这些点数出现的可能性相等。

（1）P（点数为2）＝1/6；（2）点数为奇数有3种可能，即点数为1，3，5，故 P（点数为奇数）＝3/6＝1/2；（3）点数大于2且小于5有两种可能，即点数为3，4，故P（点数大于2且小于5）＝2/6＝1/3。

评注：运用枚举法所求解的这些题目具有这样的特点：一次试验中出现的结果有有限多个；一次试验中各种结果发生的可能性相等。 二、等价转化思想

等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有统一的模式。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换，也可在题目中实行题意间的等价转化。

例2 加工某一零件共需经过四道工序，设第一，二，三，四道工序的次品率分别是2%，3%，5%，3%，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。

解：设A＝“第一道工序加工出次品零件”，B＝“第二道工序加工出次品零件”，C＝“第三道工序加工出次品零件”，D＝“第四道工序加工出次品零件”。 例3 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果：

即加工出来的零件的次品率为12.4%。

评注：概率题往往以应用题的形式出现，要搞清楚题目的含义，弄懂所求问题该从何入手，了解各事件之间的关系，实施各事件之间的等价转化。表面上看，这道题很简单，似乎题设与所求问题之间的关系很紧密，题设清晰明了，但当真正着手去做时，若不运用等价转化，却很难下手，解题也易出错，简单的题设很可能将学生引入误区：加工这一零件要经过四道工序，加工出来的零件要为次品，则在这四道工序中至少有一道工序出现次品，即在第一道工序中出现次品，或在第二道工序中出现次品，或在第三道工序中出现次品，或在第四道工序中出现次品，或在第一、二道工序中出现次品，或在第三、四道工序中出现次品……出现次品的情况可分为很多种，最后要求出“加工出来的次品率”，就必须将这几种情形的次品率全都求出来再求其和。可见，直接求“加工出来的零件的次品率”的过程复杂而又繁琐，若使用事件间的等价转化，将问题转化为求其对立事件的概率（加工出来的零件的合格率），然后再用1减去这一对立事件的概率就可得到“加工出来的零件的次品率”，这样可使原题目达到化繁为简的效果，解题过程也就随之变得简单了。 三、极限思想

极限思想是一种重要的数学思想方法，在解题中有着广泛的应用 。对于某些数学问题，如果我们能够灵活运用极限思想，不仅可以避开一些抽象复杂的运算，降低解题难度，而且可以优化解题思路，收到事半功倍的效果。

（1）在直角坐标系中描出对应点（以投篮次数n为横坐标，以投中频率为纵坐标） （2）根据投中频率估计这名球员投篮一次 ，投中的概率约是多少？（精确到0.1） 解：

根据投中频率，可以估计出投中概率约为0.5。

评注：对于初学者，要准确地计算出所要求的概率几乎不可能，只有依据试验次数，根据计算出的频率来估计概率，从上图可以看出，随着投篮次数的增多投中频率在不断地向0.5这一固定的常数靠近，横轴与纵轴都可向两边无限延伸，试想若让这次投篮的次数也可无限地增大，是否就会出现投中频率等于0.5的现象。以上解题过程虽未明显地运用极限思想，但将其隐含在这一过程之中，无意识中给出了极限的定性描述。 四、方程思想

在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程，完成未知向已知的转化，这种解决问题的思想称为方程思想。这一思想在概率解题中也起着举足轻重的作用。 例4 盒中装有五个球，这些球的颜色只有黑白两种，但黑球与白球的个数是未知的，从中任取一个，取到白球的概率是3/5，问盒中有几个白球和几个黑球？ 解：设盒中有x个白球，（5－x）个黑球，由题意可得

答：盒中有3个白球，2个黑球。

评注：概率知识的考查和方法的选择比较灵活，其中有些概率问题经常要把某些基本事件作为未知量，列出一元或多元的方程进行求解。把抽象问题实际化，把实际问题数学化（引入方程），合理地应用方程的思想。 五、数形结合思想

华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”“数以形而直观，形以数而入微”。由此可见数形结合思想在解题中的重要性。数和形是数学知识体系中两大基础概念，把刻画数量关系的数和具体直观的图形有机结合，将抽象思维与形象思维有机结合，根据研讨问题的需要，把数量关系的比较转化为图形性质或其位置关系的讨论，或把图形间的待定关系转化为相关元

素的数量计算，即数与形的灵活转换、相互作用，进而探求问题的解答就是数形结合的思想方法。在概率解题中最多运用的是将抽象的数量关系，转化为适当的几何图形，从图形的直观特征发现数量之间存在的联系，以达到化难为易、化繁为简、化隐为显、以形促数、以形助数的目的，使问题简捷地得以解决。

例5 甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I；从3个口袋中各随机的取1个小球，

（1）取出的3个小球上恰好有1个，2个和3个元音字母的概率分别是多少？ （2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？ 解：根据题意，我们可以画出如下的“树形图”

从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有12个，即 A A A A A A B B B B B B C C D D E E C C D D E E H I H I H I H I H I H I 这些结果出现的可能性相等

（1）只有一个元音字母的结果有5个：ACH，ADH，BCI，BDI，BEH， 所以 P（只有一个元音字母）＝5/12；

有两个元音字母的结果有4个：ACI，ADI，AEH，BEI， 所以 P（有两个元音字母）＝4/12＝1/3； 有三个元音字母的结果只有1个：AEI， 所以 P（有三个元音字母）＝1/12.

（2）全是辅音字母的结果共有2个：BCH，BDH， 所以 P（三个全是辅音字母）＝2/12＝1/6

评注：对于初学者来说，要求出某一事件发生的概率，必须先将其基本事件组中的所有事件一一列举出来，再找出组成这一事件的基本事件的个数，进而求出这一事件发生的概率。像上例中基本事件的个数较多（可能出现的结果数目较多），在本例中所做的试验涉及到三个因素，若不借助其他手段而要将所有可能的结果一一列举出来，则出现重复或遗漏的可能性非常大，为此可借助图形，使原有的问题变得简洁而又明了。 六、分类讨论思想

分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出各类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。

例6 今安排5列火车停在5条铁道上。如果甲车不许停在第一道，乙车不许停在第五道，问有几种排法？

解：先考虑乙车。如果乙车停在第一道上，其余四车的排列不受，因此种排法；如果乙车不停在第一道，则只能停在第二、三、四道，此时甲车也只有3条道可供选择，因此有·＋种排法。所以共有＋··＝78种。

评注：对于某些概率问题，其所求问题的解答需要很多分支的综合，仅从某一分支出发无法得出答案，这就需要运用“总—分—总”的思想，根据题意进行分类讨论，最后综合各分支的结论得出所给问题的答案。

数学的思想方法还有很多，它们的踪影在概率解题中无处不在。这些思想方法是打开难题之门的“”，只有在平时的学习中加以重视，才能在做题的过程中达到融会贯通、运用自如的效果。 [参 考 文 献]

[1]孙飞鹏，冯治宇.极限概念课教学中运用辩证思维法一例[J].中学数学教学参考，2000（5）.

[2]陈家鼎，刘婉如，汪仁官.概率统计讲义[M].3版.北京：高等教育出版社，2004. [3]李长明，周焕山.初等数学研究[M].北京：高等教育出版社，1995.