解题后反思,思什么？

解题后反思，思什么？

从近几年的高考试卷来看，对应试者的“能力要求逐年提高”。题海战术的功效明显下降，大量较少思考的重复训练，只能熟练、不能提高，对能力的发展帮助不大。著名数学教育家波利亚说过：“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾”。所谓的回顾，即我们现在说的反思。对解题思路、解题过程的反思，可以帮助我们快速找出错误，以便及时改正。对各类题型的反思，可从帮助我们总结、归纳和辨别、澄清与此题相关的问题，达到做一道题，会一类题的效果。那么应该反思些什么呢？可以从以下几个角度去考虑。

一思：解题过程合理吗？

解完一道题后，应作进一步的思考：题目中所有的条件都用过了吗？用足了吗？（含括号内的条件），题目所要求的问题解决了吗？解题中所引用的知识是否是书中已证过的结论？还有没有需要增加说明和剔除的部分等。

11，tan，且、(0，)，求2的值。 272tan()错解：tan2() 21tan()1224 131()22tan(2)tan[2()]

tan2()tan1tan2()tan例1. 已知tan()41 37141137由、(0，)，则2(，2)

33，， 所以2444

反思：这是一类典型的错误，主要原因是忽视了范围条件的挖掘与使用。事实上，由

51313；tantan[()]，知，知0，故66337332(，)，应取2。

24tan

二思：解题思路严谨吗？

解题中会受到题目中某些信息的主导和干扰，不能够周密地考虑问题，使解题过程偏离方向，造成误解。对解题思路的反思，能及时修正错误。

例2. 过点P（1，－2）作圆xy1的切线，求切线方程。 错解：设过点P（1，－2）的切线方程为y2k(x1) 则圆心（0，0）到切线kxyk20的距离等于半径1，

22金榜试题

黄金试题

31，解之得k

4k21则所求的切线方程为3x4y50

即

反思：从结果上看，圆只有一条切线，但点P在圆外，应该有两条切线，上述解答不正确。究其原因，是还有一条斜率不存在的直线被弄丢了，这条直线不适合用点斜式方程。所以对直线方程的使用要分清类别，不能漏解。易知x＝1为圆的另一条切线方程。

三思：解题方法优化吗？

很多数学问题有多种解法，解题后要多角度思考，看是否还有其他解法，通过寻找新的方法，可以开拓思路，防止思维定势，及时总结出各类解题技巧，并养成“从优、从快”的解题方式。

例3. 已知函数f(x)1x2，若ab，求证|f(a)f(b)||ab|。 分析一：原不等式即|1a21b2||ab| 要证此不等式成立，平方后即证

|k2|1a21b221a21b2a2b22ab

即1ab1a21b2 当1ab0时，不等式恒成立

当1ab0时，即要证1a2b22ab(1a2)(1b2) 即2abab

由ab，知此式成立，而上述各步都可逆，命题得证。 分析二：原不等式即

22|a2b2|1a1b22|ab|

又ab，即只要证|ab|1a21b2

由于|ab||a||b|1a21b2成立，知命题得证。

分析三：设y1x2，则yx1(y0)是顶点为（0，1）的双曲线的上支。 由于双曲线的两条渐近线为yx，其斜率为1，则双曲线上支上的两点A（a，f(a)），B（b，f(b)）的连线斜率|kAB||22f(a)f(b)|1，即有|f(a)f(b)||ab|成立。

ab分析四：由于1a2表示点O（0，0）与A（1，a）之间距离|OA|，1b2表示点O（0，0）与B（1，b）之间的距离|OB|，而|AB|＝|a－b|，由于ab，即A、B不重合，故必有||OA||OB|||AB|，即|f(a)f(b)||ab|成立。

四思：哪些题形异，质相同？

数学问题是形式多样的，有些题的形式虽然不一样，但可归结到一种题型上去，通过这一道题的解决，达到会解一类题，所以解题后要反思题目实质，并进行归类，总结通解通法。

例4. 已知关于x的方程sinxacosx2a0有实数解，求实数a的取值范围。

2sin2x分析：原题等价于“求函数a的值域”，易知

2cosx金榜试题

黄金试题

1cos2x4cos2x3a2cosx2cosx2cosx32cosx3]42cosx

[2cosx423又2cosx[1，3]，故0a423 再如以下三题：

，1]上有实数解，求a的取值范围； ①若方程xax2a10在x[121x2(|x|1)的值域； ②求函数y2x222③实数a为何值时，圆(x2)y1与抛物线yax有交点？（设x2cos，ysin） sin2上述三题都围绕着求的值域这一核心题进行变化和延伸的，核心问题解决了，各个问题也

2cosx就不攻自破了。

五、哪些题相似，但质不同？

有些数学问题具有一定的迷惑性，如果概念不清，见识不广，就容易混淆，错误地将不同问题混为一谈了。所以通过反思形相似，但质不同的题目，能够提高辨别能力，避免错解的发生，这是一种总结性的反思。

例5. 对不等式x(a1)xa0，分别求满足下列条件的实数a的取值范围； （1）不等式的解集为[0，3)； （2）不等式在[0，3)上有解； （3）不等式在[0，3)上恒成立； （4）不等式的解集是[0，3)的子集。

分析：由x(a1)xa0(x1)(xa)0xa0

2当a0时，xa0无解，原不等式解集为空集；当a0时，原不等式解集为（0，a）

则（1）必须且只须a0时，[0，3)[0，a2]a23且a0，故a3； （2）必须且只须[0，3)(0，a2)，则a0时均适合，即a(，0)；

（3）必须且只须[0， 3)[0，a2)，且a0a23且a0，则a3，即a(，3]；（4）应有a0时，[0，，故a[3，a2)[0，3)，此时a[3，0)或为空集（a0时）) 注：上述四个小题常容易混淆，通过反思各种解决方法的不同，弄清了四个不同的概念及相应的解题方案。

总之，解题后注重反思能培养良好的思维品质，既可促进“双基”的掌握，又能加强知识的有效迁移，是提高解题能力的重要途径。

金榜试题