_解题反思_思什么

福建宁德市民族中学 王神华

众所周知,培养学生对自己的解题过程进行反思的习惯,提高学生解题思维的元认知水平,是提高解题能力的最有效的方法.但是在解题后的反思过程中,由于缺乏教师的具体指导,学生往往不知道反思什么,该怎么反思?反思只停留在将解题过程重新理解一遍,根本达不到反思效果,因此,在反思问题的设置上,教师有必要从以下几个角度给学生指明反思方向.

1反思解题过程中思维的关键点和切入点,促使思维精确化、概括化

在问题解答后,反思解题过程中思维的关键点和切入点是什么,有利于培养学生在解题过程探求思维关键点和切入点的意识,使解题思维更加精确化和概括化,在解题过程中能很快地找到解决问题的突破口.

例1 定义在R上的函数f(x)对任意的x都f(x+3)≤f(x)+3,f(x+2)≥f(x)+2且f(1)=1,则f(2005)的值为

顾总结,使学生对知识应用的理解更加深刻,使学生获得一次基本数学思想方法的熏陶,从而掌握数学基本思想方法,切实体验了数学思想方法对解题的指导作用.

例2 已知函数

x

⎧x≤−1,⎪(1/2)−2,

f(x)=⎨

−−xx(2)(1),>−1.x⎪⎩

如果方程f(x)=a有四个不同的实数根,求实

数a的取值范围.

反思 方程f(x)=a解的个数就是函数y=f(x)与函数y=a 的图象交点的个数,函 数y=f(x)的图象如 右图所示,由图象可知 a∈(0,2),问题在解决

−1 1 2A、2002 B、2003

D、2005 C、2004

反思 问题模式的误导,认为研究函数的周期是解决问题的关键,造成解题失败.认真观察两个条件不等式,易想到不等式的性质:x≥a且x≤a,则x=a,由f(2005)≤f(2002) +3≤L≤f(1)+2004=2005,同时f(2005)≥ f(2003)+2≥L≥f(2)+2003=2005,所以 f(2005)=2005.解决该问题思维的关键点在于应用不等式的性质:x≥a且x≤a,则x=a. 2反思解题过程中所用的知识点、数学思想方法,进一步理解知识的应用和熏陶数学思想方法

引导学生在知识点、数学思想方法上回

·2·

过程中用到数形结合

的思想方法,这是在求解参数的取值范围、方程根的个数等问题中常用到的思想方法. 3反思解题过程中所用的数学技能与技巧,强化学生的基本技能.

学生在解题过程中常遇到这样问题,一个问题分析得很到位,解题思路和方法也正确,但由于技能与技巧相对薄弱,导致解题失败,因此反思解题过程中所用的技能与技巧十分必要,这样可将技能与技巧规律化,强化其基本技能.

例3 已知数列{an}中,a1=3,an+1=an

59

+1,求{an}的通项公式.

反思 要求{an}的通项公式,需构造一个关于an的基本数列,由于an+1=5an/9+1是线性递推式,将an+1=5an/9+1构造成模型(an+1

5(an−m)5x

,其中m就是直线y=−m)=+1

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与y=x的交点横坐标.该技巧可以作为解决线性递推式问题的解题规律.

4反思解题的探究过程,着重反思“为什么这么想”及“思维障碍如何突破”,使学生的解

题思维进入理性阶段.

我国数学教育家傅种孙先生有一句名言:几何之务不在知其然,而在知其所以然,不在

“知知其所以然,而在知其何由以所以然.所谓

其何由以所以然”就是要知道“如何想到这个结论和方法的”,也就是要引导学生反思“为什么这么想”及“获取知识、结论、方法的途径及思维过程”;从而提高学生的元认知能力,使学生的解题思维进入理性阶段.

例4设直线x+y=2a−1与圆x2+y2= a2+2a−3的交点为(x0,y0),当x0y0取最小值时,求实数a的值.

[反思]当a的值确定时,x0y0的值也随之

11

{an}的通项公式an=2n−1;又f()=1⋅+

33

11

32+L+(2n−1)n,从式子的结构来看,将33

1111

其两边同时乘以得f()=1⋅2+L+(2n

3333

11

−3)n+(2n−1)n+1,将两式错项相减得

332122n+21n+1f()=−n+1,从而f()=1−n.该333333

典型问题的解题规律应用an与Sn的关系式an=Sn−Sn−1(n≥2)和错项相减法.

6反思问题的本质,在知识联系中使问题逐渐深化

新课程理念强调问题本质,但注意适度形式化,解决问题以后再反思其实质,可使学生比较容易地抓住问题的本质,加强本质与形式之间的内在联系.

例6 如图,在面积为1的△PMN中, tan∠M=1/2,tan∠N=2,建立适当的直角坐

确定,因此想到将x0y0表示为关于a的函数f(a),如何将x0y0表示为关于a的函数呢?将

交点(x0,y0)用a表示后再代入所谓“前途光明,但道路曲折”;把(x0,y0)代入直线方程并

22+y0+2x0y0=4a2−4a+1,再代入平方得x0

22

圆的方程得x0+y0=a2+2a−3,将两式相减

可得x0y0=3a2/2−3a+2,再根据题目条件

.为什么确定函数的定义域,问题便得以解决“

这么想”的理由是x0y0根据a的变化而变化,“思维障碍突破”的关键在于应用整体思想方法将x0y0表示为关于a的函数.

5反思解题方法,从而掌握一个类型问题的解题规律

高考注重对通性通法的考查,淡化特殊技巧,因此解题后应注重反思典型问题的解题规律和方法,从而掌握一个类型问题的解题规律.

例5 已知函数f(x)=a1x+a2x2+L+ anxn(n∈N*),且a1,a2,a3,L,an构成数列{an},

又f(1)=n2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求

1n+1证f()=1−n.

33

反思 由f(1)=n2得a1+a2+L+an=n2,即Sn=n2,再由an=Sn−Sn−1(n≥2)得数列

标系,求出以M、N为焦点且经过P点的椭圆方程.

反思 根据题目条件, △PMN的形状与大小确 P 定,而一旦解出△PMN, M、N、P坐标就可确

定,从而可求以M、N为 N M 焦点且经过P点的椭圆方程,因此该题的问题本质就是“解△PMN”.

7反思解题过程中的易错点,更加深刻地理解知识,破解思维定势

学生在解题过程中由于对基础知识的理解不深刻或是思维定势,造成解题错误.因此反思解题过程中的易错点,给自己提供一个对基础知识重新理解的机会,从而深刻理解基本知识,破解解题思维定势.

例7 已知f(x)=ex(x>1),求f(x)的反函数的定义域.

错解 f−1(x)=lnx,所以f(x)的反函数

·3·

的定义域为(0,+∞).

反思 由于原函数f(x)=ex的定义域(1

−1

+∞)是人为附加条件,所以反函数f(x)的定义域不能在其解析式中求解,须先求得原函数f(x)的值域为(e,+∞),再根据反函数

初、高中数学教学衔接的

探索与实践

福建福州第一中学 苏 健

f−1(x)的定义域等于原函数f(x)的值域,得到反函数f−1(x)的定义域为(e,+∞);如果原函数f(x)的定义域是函数本身的定义域而非人为,则反函数f−1(x)的定义域可在其解析式中求解.

8反思问题的拓展延伸,培养学生的问题意识与探究能力

学数学,离不开解题,问题是数学的心脏,解题是数学的根本.在解题后,有必要将问题拓展延伸,养成问题意识,将问题从特殊化向一般化推进.

习题8 已知函数y=f(x−2)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于( ).

A.直线x=−2对称 B.直线x=2对称 C.点(−2,1)对称 D.点(2,1)对称

反思 由于y=f(x−2)为偶函数,所以f(x−2)=f(−x−2),可得函数y=f(x)的图象关于直线x=−2对称,可将此问题做如下延伸:若y=f(x+a)是偶函数,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;若y=f(x+a)是奇函数,则y=f(x)的图象关于点(a,0)中心对称;若y=f(x+a)+b是偶函数,则y=f(x)的图象仍关于直线x=a对称,若y=f(x+a)+b是奇函数,则y=f(x)的图象仍关于点(a,−b)中心对称.

每一次解题后引导学生对老师设置的问题进行反思,这些问题有些是相融的,可让学生选择最重要的进行反思;学生经过多次的反思与总结,学生的解题思维就会在更高的层次上进行再概括,使学生的解题思维进入理性的认识阶段,从而提高解题能力.

·4·

在高中起始年段的数学教学中,老师们总觉得学生难教,学生也觉得变化太大太快,一时无法适应.尤其初、高中的课改衔接等问题,我们高中校面临的学生的状况为:初中使

学习习惯的不同;用的教材不同;学生的素质、

初中校老师补充内容的不同;高中需要的一些知识、方法在初中新教材中被删除等.这些差异给我们老师的教学造成了很大的困难. 如何做好初、高中数学教学的衔接,使学生尽快适应高中数学教学特点和学习特点,渡过学习数学的难关,就成为高一数学教师面临的首要任务.针对以上情况,我们在今年的教学中,进行了一项全新的教学尝试与探

(下称《初、高中数学衔接教程》《衔索.试编写

接教程》),在进行高一新课程的教学前安排约为六课时的《衔接教程》教学.现把我们尝试与探索中的一些经验与大家交流. 1初、高中数学教学衔接的现状 1.1从内容上看

由于实行九年制义务教育和倡导全面提高学生素质,现行初中数学教材在内容上进行了较大幅度的调整,难度、深度和广度大大降低了,那些在高中学习中经常应用到的知识,部分转移到高中阶段补充学习.这样初中教材就体现了“浅、少、易”的特点,但却加重了高中数学的份量.另外,部分学校进入课改,所用教材与未进入课改的学校所使用的教材也不尽相同.相对而言,高中数学从《集合》、《函数》开始,概念抽象,新数学符号多,逻辑性强,多研究变量、字母,教材叙述比较严谨、规范,抽象思维明显提高,知识难度加大,