双曲线及其标准方程测试题及解析人教版

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§2.2双曲线

2.2.1双曲线及其标准方程

课时目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的点的轨迹为

__________________________________________． 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的点的轨迹__________． (2)双曲线的焦点和焦距

双曲线定义中的两个定点F1、F2叫做________________，两焦点间的距离叫做________________． 2．双曲线的标准方程

(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程是

________________，焦点F1__________，F2__________. (2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________________________，焦点F1________，F2__________.

(3)双曲线中a、b、c的关系是____________． 一、选择题

1．已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，则甲是乙的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 2．若ax2＋by2＝b(ab0)，则这个曲线是() A．双曲线，焦点在x轴上 B．双曲线，焦点在y轴上 C．椭圆，焦点在x轴上 D．椭圆，焦点在y轴上

3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()

A．x2－y23＝1B.x23－y2＝1 C．y2－x23＝1D．x22－y22＝1

4．双曲线x2m－y23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m的值为()

A．12B．1或3 C．1＋22D．2－12

5．一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为() A．抛物线B．圆

C．双曲线的一支D．椭圆

6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－5，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是() A．x24－y2＝1B．x2－y24＝1 C．x22－y23＝1D．x23－y22＝1 题号123456 答案 二、填空题

7．设F1、F2是双曲线x24－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且PF1→PF2→＝0，则|PF1||PF2|＝______. 8．已知方程x21＋k－y21－k＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．

9．F1、F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点，P在双曲线上且满足|PF1||PF2|＝32，则∠F1PF2＝______. 三、解答题

10．设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有相同的焦点，且

与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．

11．在△ABC中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A满足sinB－sinC＝12sinA，求动点A的轨迹方程．

能力提升

12．若点O和点F(－2，0)分别为双曲线x2a2－y2＝1(a0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则OP→FP→的取值范围为()

A．[3－23，＋∞)B．[3＋23，＋∞) C．[－74，＋∞)D．[74，＋∞)

13．已知双曲线的一个焦点为F(7，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．

1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得． 2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．

3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决． §2.2双曲线

2．2.1双曲线及其标准方程

答案 知识梳理

1．(1)|F1F2|以F1，F2为端点的两条射线不存在(2)双曲线的焦点双曲线的焦距

2．(1)x2a2－y2b2＝1(a0，b0)(－c,0)(c,0) (2)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)(0，－c)(0，c) (3)c2＝a2＋b2 作业设计

1．B[根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲乙， 只有当2a|F1F2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．] 2．B[原方程可化为x2ba＋y2＝1，因为ab0，所以ba0，所以曲线是焦点在y轴上的双曲线，故选B.] 3．A[∵双曲线的焦点在x轴上，

∴设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)． 由题知c＝2，∴a2＋b2＝4.①

又点(2,3)在双曲线上，∴22a2－32b2＝1.② 由①②解得a2＝1，b2＝3，

∴所求双曲线的标准方程为x2－y23＝1.]

4．A[∵双曲线的焦点为(2,0)，在x轴上且c＝2， ∴m＋3＋m＝c2＝4.∴m＝12.]

5．C[由题意两定圆的圆心坐标为O1(0,0)，O2(4,0)，设动圆圆心为O，动圆半径为r，则|OO1|＝r＋1，|OO2|

＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝1|O1O2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]

6．B[设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，因为c＝5，c2＝a2＋b2，所以b2＝5－a2，所以

x2a2－y25－a2＝1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2)，则P点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a2－165－a2＝1，解得a2＝1或a2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x2－y24＝1.故选B.] 7．2

解析∵||PF1|－|PF2||＝4， 又PF1⊥PF2，|F1F2|＝25，

∴|PF1|2＋|PF2|2＝20，∴(|PF1|－|PF2|)2 ＝20－2|PF1||PF2|＝16，∴|PF1||PF2|＝2. 8．－1k1

解析因为方程x21＋k－y21－k＝1表示双曲线， 所以(1＋k)(1－k)0.所以(k＋1)(k－1)0. 所以－1k1. 9．90°

解析设∠F1PF2＝α，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2. 在△F1PF2中，由余弦定理， 得(2c)2＝r21＋r22－2r1r2cosα，

∴cosα＝(r1－r2)2＋2r1r2－4c22r1r2＝36＋－

100＝0. ∴α＝90°.

10．解方法一设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，由题意知c2＝36－27 ＝9，c＝3.

又点A的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有 42a2－(±15)2b2＝1，a2＋b2＝9，解得a2＝4，b2＝5. 所以双曲线的标准方程为y24－x25＝1. 方法二将点A的纵坐标代入椭圆方程得 A(±15，4)，

又两焦点分别为F1(0,3)，F2(0，－3)． 所以2a＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－ (±15－0)2＋(4－3)2|＝4， 即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5， 所以双曲线的标准方程为y24－x25＝1.

11．解设A点的坐标为(x，y)，在△ABC中，由正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC＝2R， 代入sinB－sinC＝12sinA，

得|AC|2R－|AB|2R＝12|BC|2R，又|BC|＝8， 所以|AC|－|AB|＝4.

因此A点的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a＝4,2c＝8，所以

a＝2，c＝4，b2＝12.

所以A点的轨迹方程为x24－y212＝1(x2)． 12．B

[由c＝2得a2＋1＝4， ∴a2＝3，

∴双曲线方程为x23－y2＝1. 设P(x，y)(x≥3)，

∴OP→FP→＝(x，y)(x＋2，y)＝x2＋2x＋y2 ＝x2＋2x＋x23－1 ＝43x2＋2x－1(x≥3)．

令g(x)＝43x2＋2x－1(x≥3)，则g(x)在[3，＋∞)上单调递增．g(x)min＝g(3)＝3＋23. OP→FP→的取值范围为[3＋23，＋∞)．] 13．解设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1， 且c＝7，则a2＋b2＝7.① 由MN中点的横坐标为－23知， 中点坐标为－23，－53. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则由x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1， 得b2(x1＋x2)(x1－x2)－a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∵x1＋x2＝－43y1＋y2＝－103，且y1－y2x1－x2＝1， ∴2b2＝5a2.②

由①，②求得a2＝2，b2＝5.

∴所求双曲线的标准方程为x22－y25＝1.