等差数列、等比数列中的基本运算

一．知识要点： 1．六个基本公式；

2．在a1,an,n,Sn,d(或q)五个量中，知道三个，可以求出另外两个； 3．基本公式扩展：an=ak+(n─k)d; an=akqn─k ;

4．化归思想和方程思想是解数列问题的重要策略。 二．例题与习题：

1．等差数列{an}中,a2+a5=19,S5=40,则a1= ;

2．公差不为0的等差数列{an}和递增的等比数列{bn}中，已知a1=b1=1,a3=b3,a7=b5,若am=b9,则m= ;

3．等差数列{an}的公差d≠0,若a1，a3,a5成等比数列，则

a1a3a9的值为 。

a2a4a10通过上述例子强调化归思想和方程思想的重要性。

5．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四个数。（方程思想）

6．和为114的三个数是一个等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第一项，第四项和第二十五项，求这三个数。

7．已知{an}是等差数列，m,n∈N,且m≠n, (1) 若am=n,an=m,试求a1,d,Sn及an+m; (2)若Sn=m,Sm=n,试求a1,d及an.

n2n1(1)n(nN). 8．已知数列{an}的通项公式为an=

428求证：对于任意的自然数n，均有a2n─1,a2n,a2n+1成等比数列，而a2n,a2n+1,a2n+2成等差数列。

（说明：用定义证明数列为等差数列或等比数列）

9．证明数列{an}为等差数列的充要条件是其前n项和Sn=an2+bn (其中a,b为常数)

10． 数列{an}为正项等比数列，它的前n项之和为80，其中最大的项为54，前2n项的和为6560，试求此数列的首项a1和公比q.

解：S2n>2Sn, ∴q≠1,

a1(1qn)801q依题意有得到qn=81.

2na1(1q)65601q∴ q>1,故an最大。

∴ a1=q─1, an=a1qn─1=a1qn/q=81a1/q=54, ∴ a1=2,q=3.

11.设数列{an}和{bn}分别是正项等差数列和等比数列，且a1=b1>0,a2=b2>0,若a1≠a2,试比较an和bn的大小。

解：a1+d=a1q, an=a1+(n─1)d, bn=a1qn─1

an─bn=a1+(n─1)a1d─a1qn─1=a1[1+(n─1)d─(d+1)n─1]，(d=q─1>0q>1) 用二项式定理或数学归纳法均可证明。

12.在公差不为0的等差数列{an}和等比数列{bn}中，已知a1=b1=1,a2=b2,a8=b3,问是否存在常数a,b使得对于一切自然数n，都有an─a1=logabn成立，若存在，求出a,b的值；若不存在，试说明理由。

解：1+d=a1q, 1+7d=q2 a1(a1+7d)=1q2=(1+d)2d=5,q=6, ∴ an=1+(n─1)5=(5n─4), bn=qn─1=6n─1, ∴ (5n─4)─1=loga(6

n─1

)5(n─1)=(n─1)loga6loga6=5a=6.

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13.数列{an}的前n项之和Sn=π(2n2+n)/12,又bn=sinansinan+1sinan+2,求{bn}的通项公式。 （ bn/bn+1=─1bn=

2(1)n1 ） 8课堂练习：

1．若等差数列的第一、二、三项依次是1/(x+1),5/(6x),1/x,那么这个等差数列的第101项是 （26/3）

2．已知a,b,c成等比数列，x是a,b的等差中项，y是b,c的等差中项，则a/x+c/y的值是 ；

3．等比数列{an}中，前n项之和Sn=3n+r, 则r= .(─1) 4．已知(b─c)logmx+(c─a)logmy+(a─b)logmz=0. (1) 设a,b,c成等差数列，公差不为0，求证x,y,z成等差数列； (2) 设正数x,y,z依次成等比数列，且公比不为1，求证：a,b,c成等差数列.