2022届高中数学(理科)：9.2 两条直线的位置关系与距离公式

第二节 两条直线的位置关系与距离公式

【知识重温】

一、必记3个知识点 1．平行与垂直

若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则： (1)直线l1∥l2的充要条件是①____________. (2)直线l1⊥l2的充要条件是②____________. 若l1和l2都没有斜率，则l1与l2平行或重合．

若l1和l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则l1⊥l2. 2．两直线相交

(1)交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组A1x＋B1y＋C1＝0，的解一一对应． A2x＋B2y＋C2＝0

(2)相交⇔方程组有③________，交点坐标就是方程组的解． (3)平行⇔方程组④________. (4)重合⇔方程组有⑤________. 3．三种距离 (1)两点间的距离

平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝⑥ ____________. 特别地，原点(0,0)与任意一点P(x，y)的距离|OP|＝⑦________. (2)点到直线的距离

点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝⑧______. (3)两条平行线的距离

两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝⑨____________. 二、必明2个易误点

1．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．

2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．

【小题热身】

一、判断正误

1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( )

(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( )

|kx0＋b|

(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.( )

1＋k2

(5)两平行直线2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0间的距离是0.( ) 二、教材改编

2．若直线mx－3y－2＝0与直线(2－m)x－3y＋5＝0互相平行，则实数m的值为( ) A．2 B．－1 C．1 D．0

3．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．

三、易错易混

4．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于( ) A．2 B．－3

C．2或－3 D．－2或－3

5．已知点A(3,2)和B(－1,4)到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为________． 6．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为________．

考点一 两条直线的平行与垂直[自主练透型]

1．已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a的值为________． 2．“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．[2021·山东平度一中月考]若直线l1：ax－y＋1＝0与直线l2：2x－2y－1＝0的倾斜角相等，则实数a＝( )

A．－1 B．1 C．－2 D．2 4．[2021·安徽六安一中模拟]直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝( )

A．－2 B．－4 C．－6 D．－8 悟·技法

由一般式确定两直线位置关系的方法

2l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B1≠0) 直线方程 2l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B2≠0) l1与l2垂直 A1A2＋B1B2＝0 的充要条件 l1与l2平行 A1B1C1＝≠(ABC≠0) A2B2C2222的充分条件 l1与l2相交 A1B1≠(AB≠0) A2B222的充分条件 l1与l2重合 A1B1C1＝＝(ABC≠0) A2B2C2222的充分条件 考点二 距离公式及其应用[互动讲练型]

[例1] (1)若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为2，则点P的坐标为( )

A．(1,2) B．(2,1)

C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)

(2)已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为5，求直线l1的方程．

悟·技法

处理距离问题的3种方法

(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求，注意直线方程为一般式． (2)动点到两定点的距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便． (3)两平行直线间的距离

①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； ②利用两平行线间的距离公式．

提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x，y的系数分别相等.

[变式练]——(着眼于举一反三)

1．若直线l经过点(－1，－2)，且原点到直线l的距离为1，则直线l的方程为( ) A．3x－4y－5＝0 B．x＝－1

C．3x－4y－5＝0或y＝－1 D．3x－4y－5＝0或x＝－1

2．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )

9182929A. B. C. D. 55105

考点三 对称问题[分层深化型] 考向一：点关于点对称

[例2] 过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．

考向二：点关于线对称

[例3] 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________．

考向三：线关于线对称

[例4] 直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是( ) A．x－2y＋3＝0 B．x－2y－3＝0 C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0 悟·技法

1.中心对称问题的2个类型及求解方法

(1)点关于点对称：

若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得{x＝2a－x1，y＝2b－y1， 进而求解．

(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：

①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；

②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．

2．轴对称问题的2个类型及求解方法

(1)点关于直线的对称：

若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组

可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)． (2)直线关于直线的对称：

一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.

[变式练]——(着眼于举一反三)

3．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为________．

4．已知点A(1,3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2,1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是________．

第二节 两条直线的位置关系与距离公式

【知识重温】

①k1＝k2且b1≠b2 ②k1·k2＝－1 ③唯一解 ④无解 ⑤无数个解

|Ax0＋By0＋C||C1－C2|

⑥x1－x22＋y1－y22 ⑦x2＋y2 ⑧ ⑨ A2＋B2A2＋B2

【小题热身】

1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×

2．解析：由题意知m＝2－m，解得m＝1.此时两直线不重合，∴m＝1.故选C. 答案：C

y＝2x，x＝1，

3．解析：由得

x＋y＝3，y＝2.

所以点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9. 答案：－9

2m＋14

4．解析：直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m3－2

m＝2或－3，故选C.

答案：C

|3a＋2＋1||－a＋4＋1|1

5．解析：由点到直线的距离公式可知＝.解得a＝－4或. 222a＋1a＋1

1

答案：－4或

2

6．解析：过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求

44

得λ＝－，故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.

55答案：3x＋19y＝0

课堂考点突破

考点一

1．解析：解法一 ∵直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0的斜率存在．

a－11

又∵l1∥l2，∴＝－，

a－2

∴a＝－1或a＝2，又∵两条直线在y轴上的截距不相等． ∴a＝－1或a＝2满足两条直线平行．

解法二 由A1B2－A2B1＝0得，(a－1)a－1×2＝0， 解得a＝－1或a＝2.

满足A1C2－A2C1≠0，即(a－1)×3－1×1≠0. 所以a＝－1或a＝2. 答案：－1或2

2．解析：由l1⊥l2得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，解得m＝3或m＝－2.∴m＝3是l1⊥l2

的充分不必要条件．故选A.

答案：A

3．解析：由题意可得两直线平行，∴－2×a－(－1)×2＝0，∴a＝1.故选B. 答案：B

2a

4．解析：由题意可得，－×－－5＝－1，a＋4c－2＝0，2－5c＋b＝0，解得a＝10，

4

c＝－2，b＝－12.∴a＋b＋c＝－4.故选B.

答案：B 考点二

|x－5＋3x－1|

例1 解析：(1)设P(x,5－3x)，则d＝＝2，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，

12＋－12

即x＝1或x＝2，故P(1,2)或(2，－1)．故选C.

m8n

(2)∵l1∥l2，∴＝≠，

2m－1

m＝4，m＝－4，∴或 n≠－2n≠2.

①当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0， 把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，

|n＋2|∴＝5，解得n＝－22或n＝18.

16＋64

故所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0. ②当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0， 把l2的方程写成4x－8y－2＝0

＝5，解得n＝－18或n＝22. 16＋64

故所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.

答案：(1)C (2)2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0或2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0 变式练

1．解析：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，满足原点到直线l的距离为1，∴x＝－1.当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，由原点

|k－2|33

到直线l的距离为1，∴2＝1，解得k＝.从而得直线l的方程为y＋2＝(x＋1)，即3x

44k＋1

－4y－5＝0.综上可得，直线l的方程为x＝－1或3x－4y－5＝0.

答案：D

2．解析：易知直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0平行，所以|PQ|的最小值就是这两条

－12－5

25

平行线间的距离.6x＋8y＋5＝0可化为3x＋4y＋＝0，则这两条平行线间的距离是＝

232＋4229

. 10

答案：C 考点三

例2 解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，

则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，

所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0. 答案：x＋4y－4＝0

例3 解析：设A′(x，y)，

y＋22x＋1×3＝－1，

由已知得x－1y－2

2×－3×＋1＝0，22334－，. 故A′1313334

－， 答案：A′1313例4 解析：设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，

y0)，

x＋x0y＋y0x0＝y－2，－＋2＝0，

2由2得

y＝x＋2，0x－x0＝－y－y0，

∴

|－n＋2|



解得4

y＝13.

33x＝－，13

由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上， ∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0， 即x－2y＋3＝0.故选A. 答案：A 变式练

3．解析：设A(x，y)为所求直线上的任意一点， 则A′(x，－y)在直线3x－4y＋5＝0上，

即3x－4(－y)＋5＝0，故所求直线方程为3x＋4y＋5＝0. 答案：3x＋4y＋5＝0

1

－，2在直线y＝kx＋b上，故4．解析：由题意得线段AB的中点21



2

·k＝－1，3

－2k＋b＝2，

解

3535355

得k＝－，b＝，所以直线方程为y＝－x＋.令y＝0，即－x＋＝0，解得x＝，

2424246

5

故直线y＝kx＋b在x轴上的截距为. 6

5答案： 6