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分式和分式方程培优精讲

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二、知识点梳理

知识点一:分式的定义

一般地,如果A,B表示两个整数,并且B中含有字母,那么式子叫做分式,A为分子,B为分母。 知识点二:与分式有关的条件

1、分式有意义:分母不为0(B0) 2、分式值为0:分子为0且分母不为

A00()

B0AB3、分式无意义:分母为0(B0) 4、分式值为正或大于0:分子分母同号(

A0A0

或) B0B0

A0A0

或) B0B0

5、分式值为负或小于0:分子分母异号(知识点三:分式的通分

① 分式的通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分

别化成与原来的分式相等的同分母分式,叫做分式的通分。

② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义:取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤: Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数;

Ⅱ 单独出现的字母(或含有字母的式子)的幂的因式连同它的指数作为一个因式;

Ⅲ 相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最大的。

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Ⅳ 保证凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取。

注意:分式的分母为多项式时,一般应先因式分解。 知识点四:分式的四则运算与分式的乘方 1、分式的乘除法法则:

分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的

aca•c• bdb•dacada•d分式除以分式:式子表示为 •

bdbcb•c分母。式子表示为:

ana2、分式的乘方:把分子、分母分别乘方。式子n

bbn3、分式的加减法则:

同分母分式加减法:分母不变,把分子相加减。式子表示为

abab ccc异分母分式加减法:先通分,化为同分母的分式,然后再加减。式子表示为

acadbc bdbd注意:加减后得出的结果一定要化成最简分式(或整式)。 知识点五:分式方程的解的步骤

⑴去分母,把方程两边同乘以各分母的最简公分母。(产生增根的过程)

⑵解整式方程,得到整式方程的解。

⑶检验,把所得的整式方程的解代入最简公分母中:

如果最简公分母为0,则原方程无解,这个未知数的值是原方程的增根;

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如果最简公分母不为0,则是原方程的解。 2、产生增根的条件是:①是得到的整式方程的解; ②代入最简公分母后值为0。

三、典型例题

例一 当x有何值时,下列分式有意义

(1)

x4 (2)23x x4x22x12(3)

(5)

11xx (4)

6x |x|3

例二:考查分式的值为0的条件

当x取何值时,下列分式的值为0.

(1)

x22x3x5x62x1 x3

(2)|x2|2

x4 (3)

例三:考查分式的值为正、负的条件

(1)当x为何值时,分式分式

5x3(x1)248x为正; (2)当x为何值时,

为负;

x3 (3)当x为何值时,分式x2为非负数. 例四:化简求值题

1、已知:115,求2x3xy2y的值。 2、已知:x12,

xyx2xyyx求x21x2的值。

x

y

提示:整体代入,①xy3xy,②转化出11. 例五 若a22ab26b100,求

2ab的值. 3a5b第 3 页

例六 如果1x2,试化简|x2|2xx1|x|. |x1|x例七 计算

112x4x38x7(1); 1x1x1x21x41x8111; (x1)(x1)(x1)(x3)(x3)(x5) (2)

例八若关于x的分式方程例九 解下列不等式 (1)|x|20

x12m1有增根,求m的值. x3x3 (2)

x5x2x320

四、课堂练习

1.当x取何值时,下列分式有意义: (1)(3)

111x1 6|x|3 (2)

3x(x1)21

2.当x为何值时,下列分式的值为零:

25x25|x1|(1) (2)2

x4x6x5121(3). (x2)(x3)(x1)(x3)(x1)(x2)3、当a为何整数时,代数式399aa2805的值是整数,并求出这个整数值.

x214、 已知:x3,求42的值.

xxx15、已知:a23a10,试求(a212)(a1)的值.

aa6、计算

1121x1x1x2;

7、已知:

5x4AB,试求A、B的值. (x1)(2x1)x12x18.已知x25x10,求(1)xx1,(2)x2x2的值.

9、解下列方程(组)

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(1)

111xy2x7x9x10x6111 (2)x6x8x9x5yz3111zx4(1)(2) (3)a1的解是正数,求a的取值范围. 10、若分式方程2xx2 11.若

111的值为,则的值是( )

2y23y74y26y98111 (C) (D) 177747 12.有三个连续正整数,其倒数之与是,那么这三个数中最

60 (A) (B)12小的是( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 13.若a,b,c,d满足( )

(A)1或0 (B)1 或0 (C)1或2(D)1或1 14.方程x 15. 若x1y1z10的正整数解x,y,z是_____. 7abcdbcda,则

abbccdda的值为

a2b2c2d2111,y1,则xyz_____. yz 16.解方程:

五、课后作业

1、(1)当a 时,分式分式

2x1无意义; 3x4x4x3有意义;(4)当_______时,分式的8x6x5a1有意义;(2)当_____时,2a3(3)当______时,分式

值为1;

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(5)当______时,分式

14的值为正;(6)当______时分式2x5x1的值为负. 2、(1)当分式

x4x4=-1时,则x__________; (2)若分式

x1x1的值为零,则x的值为 (3)当x________时, 3、计算: ①③

x1 有意义. xxx3x3x3x3; ②

1221a219a33a;

111. x21x1x1ax110有增根,则a的值为 x1xm5、如果分式方程无解,则m的值为 x1x14、若关于x的方程

kx26、如果解关于x的方程x会产生增根,求k的值. 2x27、当k为何值时,关于x的方程x3x2k1的解为非负数.

(x1)(x2)8、已知xx15,求(1)x2x2的值;(2)求x4x4的值. 9.设轮船在静水中的速度为v,该船在流水(速度为uv)中从上游A驶往下游B,再返回A,所用的时间为T,假设u0,即河流改为静水,该船从A至B再返回A,所用时间为t,则( ) (A)Tt (B)Tt (C)Tt (D)不能确定T与t的大小关系

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