分式和分式方程培优精讲

知识点一：分式的定义

一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。 知识点二：与分式有关的条件

1、分式有意义：分母不为0（B0） 2、分式值为0：分子为0且分母不为

A00（）

B0AB3、分式无意义：分母为0（B0） 4、分式值为正或大于0：分子分母同号（

A0A0

或） B0B0

A0A0

或） B0B0

5、分式值为负或小于0：分子分母异号（知识点三：分式的通分

① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分

别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；

Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；

Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

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Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。

注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。 知识点四：分式的四则运算与分式的乘方 1、分式的乘除法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的

aca•c• bdb•dacada•d分式除以分式：式子表示为 •

bdbcb•c分母。式子表示为：

ana2、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子n

bbn3、分式的加减法则：

同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为

abab ccc异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为

acadbc bdbd注意：加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。 知识点五：分式方程的解的步骤

⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）

⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：

如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；

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如果最简公分母不为0，则是原方程的解。 2、产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解； ②代入最简公分母后值为0。

三、典型例题

例一 当x有何值时，下列分式有意义

（1）

x4 （2）23x x4x22x12（3）

（5）

11xx （4）

6x |x|3

例二：考查分式的值为0的条件

当x取何值时，下列分式的值为0.

（1）

x22x3x5x62x1 x3

（2）|x2|2

x4 （3）

例三：考查分式的值为正、负的条件

（1）当x为何值时，分式分式

5x3(x1)248x为正； （2）当x为何值时，

为负；

x3 （3）当x为何值时，分式x2为非负数. 例四：化简求值题

1、已知：115，求2x3xy2y的值。 2、已知：x12，

xyx2xyyx求x21x2的值。

x

y

提示：整体代入，①xy3xy，②转化出11. 例五 若a22ab26b100，求

2ab的值. 3a5b第 3 页

例六 如果1x2，试化简|x2|2xx1|x|. |x1|x例七 计算

112x4x38x7（1）； 1x1x1x21x41x8111； (x1)(x1)(x1)(x3)(x3)(x5) （2）

例八若关于x的分式方程例九 解下列不等式 （1）|x|20

x12m1有增根，求m的值. x3x3 （2）

x5x2x320

四、课堂练习

1．当x取何值时，下列分式有意义： （1）（3）

111x1 6|x|3 （2）

3x(x1)21

2．当x为何值时，下列分式的值为零：

25x25|x1|（1） （2）2

x4x6x5121（3）. (x2)(x3)(x1)(x3)(x1)(x2)3、当a为何整数时，代数式399aa2805的值是整数，并求出这个整数值.

x214、 已知：x3，求42的值.

xxx15、已知：a23a10，试求(a212)(a1)的值.

aa6、计算

1121x1x1x2；

7、已知：

5x4AB，试求A、B的值. (x1)(2x1)x12x18．已知x25x10，求（1）xx1，（2）x2x2的值.

9、解下列方程（组）

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(1)

111xy2x7x9x10x6111 (2)x6x8x9x5yz3111zx4(1)(2) (3)a1的解是正数，求a的取值范围. 10、若分式方程2xx2 11．若

111的值为,则的值是（ ）

2y23y74y26y98111 （C） （D） 177747 12.有三个连续正整数,其倒数之与是,那么这三个数中最

60 （A） （B）12小的是（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 13．若a,b,c,d满足（ ）

（A）1或0 （B）1 或0 （C）1或2（D）1或1 14.方程x 15. 若x1y1z10的正整数解x,y,z是_____. 7abcdbcda,则

abbccdda的值为

a2b2c2d2111,y1,则xyz_____. yz 16．解方程:

五、课后作业

1、（1）当a 时，分式分式

2x1无意义； 3x4x4x3有意义；（4）当_______时,分式的8x6x5a1有意义；（2）当_____时,2a3（3）当______时,分式

值为1；

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（5）当______时,分式

14的值为正；（6）当______时分式2x5x1的值为负. 2、（1）当分式

x4x4=-1时,则x__________； （2）若分式

x1x1的值为零，则x的值为 （3）当x________时, 3、计算： ①③

x1 有意义. xxx3x3x3x3； ②

1221a219a33a；

111. x21x1x1ax110有增根，则a的值为 x1xm5、如果分式方程无解，则m的值为 x1x14、若关于x的方程

kx26、如果解关于x的方程x会产生增根，求k的值. 2x27、当k为何值时，关于x的方程x3x2k1的解为非负数.

(x1)(x2)8、已知xx15，求（1）x2x2的值；（2）求x4x4的值. 9．设轮船在静水中的速度为v,该船在流水(速度为uv)中从上游A驶往下游B,再返回A，所用的时间为T,假设u0,即河流改为静水,该船从A至B再返回A,所用时间为t,则（ ） （A）Tt （B）Tt （C）Tt （D）不能确定T与t的大小关系

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