知识点一:分式的定义
一般地,如果A,B表示两个整数,并且B中含有字母,那么式子叫做分式,A为分子,B为分母。 知识点二:与分式有关的条件
1、分式有意义:分母不为0(B0) 2、分式值为0:分子为0且分母不为
A00()
B0AB3、分式无意义:分母为0(B0) 4、分式值为正或大于0:分子分母同号(
A0A0
或) B0B0
A0A0
或) B0B0
5、分式值为负或小于0:分子分母异号(知识点三:分式的通分
① 分式的通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分
别化成与原来的分式相等的同分母分式,叫做分式的通分。
② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义:取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤: Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数;
Ⅱ 单独出现的字母(或含有字母的式子)的幂的因式连同它的指数作为一个因式;
Ⅲ 相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最大的。
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Ⅳ 保证凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取。
注意:分式的分母为多项式时,一般应先因式分解。 知识点四:分式的四则运算与分式的乘方 1、分式的乘除法法则:
分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的
aca•c• bdb•dacada•d分式除以分式:式子表示为 •
bdbcb•c分母。式子表示为:
ana2、分式的乘方:把分子、分母分别乘方。式子n
bbn3、分式的加减法则:
同分母分式加减法:分母不变,把分子相加减。式子表示为
abab ccc异分母分式加减法:先通分,化为同分母的分式,然后再加减。式子表示为
acadbc bdbd注意:加减后得出的结果一定要化成最简分式(或整式)。 知识点五:分式方程的解的步骤
⑴去分母,把方程两边同乘以各分母的最简公分母。(产生增根的过程)
⑵解整式方程,得到整式方程的解。
⑶检验,把所得的整式方程的解代入最简公分母中:
如果最简公分母为0,则原方程无解,这个未知数的值是原方程的增根;
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如果最简公分母不为0,则是原方程的解。 2、产生增根的条件是:①是得到的整式方程的解; ②代入最简公分母后值为0。
三、典型例题
例一 当x有何值时,下列分式有意义
(1)
x4 (2)23x x4x22x12(3)
(5)
11xx (4)
6x |x|3
例二:考查分式的值为0的条件
当x取何值时,下列分式的值为0.
(1)
x22x3x5x62x1 x3
(2)|x2|2
x4 (3)
例三:考查分式的值为正、负的条件
(1)当x为何值时,分式分式
5x3(x1)248x为正; (2)当x为何值时,
为负;
x3 (3)当x为何值时,分式x2为非负数. 例四:化简求值题
1、已知:115,求2x3xy2y的值。 2、已知:x12,
xyx2xyyx求x21x2的值。
x
y
提示:整体代入,①xy3xy,②转化出11. 例五 若a22ab26b100,求
2ab的值. 3a5b第 3 页
例六 如果1x2,试化简|x2|2xx1|x|. |x1|x例七 计算
112x4x38x7(1); 1x1x1x21x41x8111; (x1)(x1)(x1)(x3)(x3)(x5) (2)
例八若关于x的分式方程例九 解下列不等式 (1)|x|20
x12m1有增根,求m的值. x3x3 (2)
x5x2x320
四、课堂练习
1.当x取何值时,下列分式有意义: (1)(3)
111x1 6|x|3 (2)
3x(x1)21
2.当x为何值时,下列分式的值为零:
25x25|x1|(1) (2)2
x4x6x5121(3). (x2)(x3)(x1)(x3)(x1)(x2)3、当a为何整数时,代数式399aa2805的值是整数,并求出这个整数值.
x214、 已知:x3,求42的值.
xxx15、已知:a23a10,试求(a212)(a1)的值.
aa6、计算
1121x1x1x2;
7、已知:
5x4AB,试求A、B的值. (x1)(2x1)x12x18.已知x25x10,求(1)xx1,(2)x2x2的值.
9、解下列方程(组)
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(1)
111xy2x7x9x10x6111 (2)x6x8x9x5yz3111zx4(1)(2) (3)a1的解是正数,求a的取值范围. 10、若分式方程2xx2 11.若
111的值为,则的值是( )
2y23y74y26y98111 (C) (D) 177747 12.有三个连续正整数,其倒数之与是,那么这三个数中最
60 (A) (B)12小的是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 13.若a,b,c,d满足( )
(A)1或0 (B)1 或0 (C)1或2(D)1或1 14.方程x 15. 若x1y1z10的正整数解x,y,z是_____. 7abcdbcda,则
abbccdda的值为
a2b2c2d2111,y1,则xyz_____. yz 16.解方程:
五、课后作业
1、(1)当a 时,分式分式
2x1无意义; 3x4x4x3有意义;(4)当_______时,分式的8x6x5a1有意义;(2)当_____时,2a3(3)当______时,分式
值为1;
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(5)当______时,分式
14的值为正;(6)当______时分式2x5x1的值为负. 2、(1)当分式
x4x4=-1时,则x__________; (2)若分式
x1x1的值为零,则x的值为 (3)当x________时, 3、计算: ①③
x1 有意义. xxx3x3x3x3; ②
1221a219a33a;
111. x21x1x1ax110有增根,则a的值为 x1xm5、如果分式方程无解,则m的值为 x1x14、若关于x的方程
kx26、如果解关于x的方程x会产生增根,求k的值. 2x27、当k为何值时,关于x的方程x3x2k1的解为非负数.
(x1)(x2)8、已知xx15,求(1)x2x2的值;(2)求x4x4的值. 9.设轮船在静水中的速度为v,该船在流水(速度为uv)中从上游A驶往下游B,再返回A,所用的时间为T,假设u0,即河流改为静水,该船从A至B再返回A,所用时间为t,则( ) (A)Tt (B)Tt (C)Tt (D)不能确定T与t的大小关系
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