2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算教案新人教A版必修第二

向量的加法运算

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是本章第2课时，《向量的加法》是第六章平面向量的线性运算的第一节课。本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用,向量加法的运算律及应用,大约需要1课时。向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法为后面学习减法运算、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和,在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。所以本课在平面向量及空间向量中有很重要的地位。

课程目标 学科素养 A.理解向量加法的意义； 1.数学抽象：向量的加法； B.掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的另两个运算法则； 2.逻辑推理：向量的加法法则； 3.数算：求向量的和； C.理解向量的运算律； 4.直观想象：向量加法的集合意义。 D.理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强学生的应用意识。

1.教学重点：两个向量的和的概念及其几何意义；

2.教学难点：向量加法的运算律。

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多媒体

教学过程 教学设计意图 核心素养目标 - 2 - / 13

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一、复习回顾，温故知新 1. 向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？ 【答案】向量：既有方向又有大小的量。 通过复习上节所学，引入本节新课。建立知识间的联系，提高平行向量：方向相同或相反的向量。 相等向量：方向相同并且长度相等的向量。 学生概括、类比推理的能力。 2. 用有向线段表示向量，向量的大小和方向 是如何反映的？什么叫零向量和单位向量？ 【答案】向量的大小：有向线段的长度。 向量的方向：有向线段的方向。 零向量：长度为零的向量叫零向量； 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。 二、探索新知 思考1：如图，某质点从点A经过点B到点C，则这个质点的位移 怎么表示？ 通过思考，由质点的位移引入向量 加法的三角形法则，提高学生的解决问题、分析问题的能- 3 - / 13

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【答案】 从运算的角度看， AC可以认为是AB与BC的和，即位移、可以看作向量的加法。 力。 1.已知向量a和b，如图在平面内任取一点O，作OAa,ABb，则向量OB叫做a和b的和，记作ab．即abOAABOB。 求两个向量和的运算叫做向量的加法. 根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形 法则． 【口诀】首尾相连首尾连。 思考2：某物体受到F1，F2作用，则该物体所受合力怎么求？ 【答案】 从运算的角度看， 可以认为是F与F1和F2的和，即力的合成可以看作向量的加法。 通过口诀，让学生更容易识记法则。 2.向量加法的平行四边形法则 如图，以同一点O为起点的两个已知向量a和b为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是a和b的和，我们把- 4 - / 13

通过思考，由力考试

这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 的合成引入向量加法的平行四边形法则，提高学生的解决问题、分析问题的能 力。 OCOAOB 【口诀】起点相同，对角线为和。 思考3：向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？ 【答案】一致。平行四边形法则中利用了相等向量的平移。 注：向量的加法运算结果还是向量 对于零向量与任一向量a．我们规定a00a0。 例1.如图，已知向量a和b，求作向量ab。 解： - 5 - / 13

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探究1：如果向量a和b共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能做出向量ab吗？ 【答案】（1）当a和b同向时，

通过思考，进一步理解向量加法的三角形法则和平行四边

形法则，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

abABBCAC

（2）当a和b反向时，

abABBCAC

探究2：结合例1，探索|ab|,|a|,|b|之间的关系。

通过例题讲解，让学

【答案】由例1和探究1可得，当a和b反向或不共线时，

生理解怎样用向量

|ab||a||b|；当a和b同向时，|ab||a||b|。所以，的三角形法则与平|ab||a||b|。

结论：一般地，有|ab||a||b|。

探究3：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？

行四边形法则求向量的和，提高学生解决问题的能力。

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【答案】在平行四边形ABCD中，ACABBCab, ACADDCba，所以abba。 在图（2）中，ADABBCCDACCD(ab)c， 通过探究，求共线向量的和，进一步理解向量的求和法则，提高学生的解决问题、ADABBCCDABBDa(bc)，所以， 。 (ab)ca（bc）分析问题的能力。 结论：向量加法的交换律和结合律 abba，(ab)ca（bc） 例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图 所示，一艘船从长江南岸A点出发，以23 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）。 - 7 - / 13

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解：（1）如图所示，AD表示船速，AB表示水速，以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD，则AC表示船实际航行的速度。 （2）在RtABC中 ，|AB|2,|BC|23，所以， |AC||AB|2|BC|222(23)24， |BC||AB|233，所以CAB60。 2通 因为，tanCAB过探索|ab|,|a|,|b|之间所以，船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º。 的关系，进一步理解向量的求和法则，提高学生的解决问题、分析问题的能力。 通过探究，结合向量的求和法则推导加法运算律，进一步理解向量的求和法则，- 8 - / 13

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提高学生的解决问题、分析问题的能力。 通过例题进一步理解的运算，用向量解决实际问题，提高学生用向量解决问题的能力。 - 9 - / 13

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三、达标检测 - 10 - / 13

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→→→→1．化简OP＋PQ＋PS＋SP的结果等于( ) →→→→A．QP B．OQC．SP D．SQ →→→→→→【解析】 OP＋PQ＋PS＋SP＝OQ＋0＝OQ. 【答案】 B →→→2．在四边形ABCD中，AC＝AB＋AD，则一定有( ) A．四边形ABCD是矩形 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。 B．四边形ABCD是菱形 C．四边形ABCD是正方形 D．四边形ABCD是平行四边形 →→→→→ 【解析】 由AC＝AB＋AD得AD＝BC，即AD＝BC，且AD∥ BC，所以四边形ABCD一组对边平行且相等，故为平行四边形． 【答案】 D 3.（多选题）下列命题中正确的命题是( ) A.如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么(a＋b)∥a； →→B.在平行四边形ABCD中，必有BC＝AD； →→C.若BC＝AD，则A，B，C，D为平行四边形的四个顶点； D.若a，b均为非零向量，则|a＋b|≤|a|＋|b|. - 11 - / 13

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【解析】选项A，正确；选项B，在平行四边形ABCD中，BC∥AD，→→且BC＝AD，所以BC＝AD，正确；选项C，A，B，C，D可能共线，所以错误；选项D，为向量的三角不等式，所以正确的命题为ABD． 【答案】A BD 4．若|a|＝|b|＝1，则|a＋b|的最大值为________． 【解析】 由|a＋b|≤|a|＋|b|知|a＋b|的最大值为2. 【答案】 2 5．已知向量a，b，c，如图，求作a＋b＋c. →→→【解】 在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，BC＝c，如图， 则由向量加法的三角形法则，得 →→OB＝a＋b，OC＝a＋b＋c， OC即为所作向量． 四、小结 通过总结，让学生进一步巩固本节所- 12 - / 13

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1. 向量加法的三角形和平行四边形法则； 2.|ab||a||b|； 3.向量加法的运算律。 五、作业 习题3.1 6,7,9题 学内容，提高概括能力,提高学生的数算能力和逻辑推理能力。

本节课教学环节严谨,学案课前预习一一课件动画引入一一合作探究(三个探究问题)一一个体展示——例题精讲一一课堂练习一课堂小结。在整个教学环节中,合作讨论让整个课堂更活跃了,更增加了课堂趣味性。还有课后练习展示答案,可以很淸楚的掌握全班同学对本节课所学知识的掌握情况,从而调整课下和下一节的辅导和教学。总体说这节课比较成功,主要有以下几个亮点：

1.形式上,黑板与多媒体结合有效防止视觉疲劳,动手与思考结合形成主动学习，主动接受老师给予，与书本探究结合有利于课后复习和作业。

2、教学方法采用多媒体教学,动画效果非常逼真,三角形法则和平行四边形法则做和的几何画法让学生得到了感性和理性的认识

3、培养目标明确,除了学习物理中的数学外,还参透培养演绎思维,化归转化思想。

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