解三角形(教案)

（ 高一数学必修五 第一章）

单元名称 正弦定理 知识目标 课时 2课时 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 目标 能力目标 引导 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情意目标 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角函数、正弦定理等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 段名 学习引导 时间 自主备课 方法 引导 让学生先学自研感受本单元学习目标，找到存在的的问题、困惑，通过自我尝试学习，合作交流学习联系旧知识，初步获取新知识，然后运用新知识，去解决存在的问题、困惑。 各段学时预设 先学自研 互动探究 点拨讲解 训练内化 诊断反思 辅导提升 教 学 过 程 【学习引导】 情景引入： 如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。 A 思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B 展示学习目标： 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 【先学自研】 1、阅读教材： 2、知识梳理： （1）正弦定理：______________________________________________. （2）正弦定理解哪两类三角形的问题： 1、 2、 【互动探究】 探究一：根据锐角三角函数中正弦函数的定义， abcsinAsinBsinC1A c, 有c，c，又abccsinAsinBsinC则 abcC B 从而在直角三角形ABC中，sinAsinBsinC 那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ a探究二：在ABC中，sinA 【点拨讲解】 讲解一： bsinBcsinCk(k>o)，这个k与ABC有什么关系？ 例1．在ABC中，已知A32.00，B81.80，a42.9cm，解三角形。 解：根据三角形内角和定理， C1800(AB) 1800(32.0081.80) 66.20； 根据正弦定理， asinB42.9sin81.80b80.1(cm)； sinAsin32.00根据正弦定理， asinC42.9sin66.20c74.1(cm). 0sinAsin32.0例2．在ABC中，已知a20cm，b28cm，A400，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）。 解：根据正弦定理， bsinA28sin400 sinB0.99. a20因为00＜B＜1800，所以B0，或B1160. ⑴ 当B0时， C1800(AB)1800(4000)760， asinC20sin760c30(cm). sinAsin400⑵ 当B1160时， C1800(AB)1800(4001160)240， asinC20sin240c13(cm). sinAsin400 【诊断反思】 为什么例1只有一个解，例2会出现两个解呢？ 讲解二： 一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况． 1.当A为钝角或直角时，必须a＞b才能有且只有一解；否则无解 2.当A为锐角时， 如果a≥b，那么只有一解； 如果a＜b，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若a＞bsinA，则有两解； （2）若a=bsinA，则只有一解； （3）若a＜bsinA，则无解． （以上解答过程详见课本第9到第10页 注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且bsinA＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解． （1）A为直角或钝角 （2）A为锐角 【训练内化】 1、 根据下列已知条件，判定有没有解，若有解，判断解的个数 (1)a5，b4，A120，求B ⑵a5，b4，A90，求B ⑶a5，b1033，A60，求B ⑷a20，b28，A40，求B 3则A的值为（ ） 2、在ABC中，若a=1,C=60,cA．30 B．60 C．30或150 D．60或120 3、在△ABC中，若A． 教学后记： B．，则A等于（ ） C． D． 单元名称 余弦定理 知识目标 课时 3课时 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 目标 引导 能力目标 利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 情意目标 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 段名 学习引导 时间 自主备课 方法 引导 让学生先学自研感受本单元学习目标，找到存在的的问题、困惑，通过自我尝试学习，合作交流学习联系旧知识，初步获取新知识，然后运用新知识，去解决存在的问题、困惑。 各段学时预设 先学自研 互动探究 点拨讲解 训练内化 诊断反思 辅导提升 教 学 过 程 【学习引导】 情景引入： C 如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 已知a,b和C，求边c b a A c B (图1．1-4) 展示学习目标： 会运用余弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 【先学自研】 1、阅读教材： 2、知识梳理： （1）余弦定理：______________________________________________. （2）余弦定理解哪两类三角形的问题： 1、 2、 【互动探究】 探究一： C 如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 已知a,b和C，求边c b a A c B (图1．1-4) 联系已经自学的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 探究二 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 a2b2c22bccosA b2a2c22accosB c2a2b22abcosC 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ （由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论： b2c2a2 cosA2bca2c2b2 cosB2acb2a2c2cosC2ba 探究三 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ 0222（由学生总结）若ABC中，C=90，则cosC0，这时cab 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 【点拨讲解】 讲解一： a2b2c2A是直角ABC是直角三角形a2b2c2A是钝角ABC是钝角三角形a2b2c2A是锐角ABC是锐角三角形 讲解二： 例1．在ABC中，已知a23，c62，B600，求b及A ⑴解：∵b2a2c22accosB =(23)2(62)2223(62)cos450 =12(62)243(31) =8 ∴b22. 求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： b2c2a2(22)2(62)2(23)21, ⑵解法一：∵cosA2bc2222(62) 0∴A60. a23解法二：∵sinAsinBsin450, b22又∵62＞2.41.43.8, 23＜21.83.6, ∴a＜c，即00＜A＜900, 0∴A60. 【诊断反思】 求角A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理，请你通过两种解法比较两个定理的特点？ 【训练内化】 1、在ABC中，已知a134.6cm，b87.8cm，c161.7cm，解三角形 （见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解） 2、第8页练习第1（1）、2（1）题。 3、在ABC中，若a2b2c2bc，求角A（答案：A=1200） 【辅导提升】 ①课后阅读：课本第9页[探究与发现] ②课时作业：第11页[习题1.1]A组第3（1），4（1）题。 教学后记： 单元名称 解三角形应用举例 课时 5课时 知识目标 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语。解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题。解决一些有关计算角度的实际问题。掌握三角形的面积公式的简单推导和应用 激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的研究、探索习惯。 通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。 培养学生提出问题、正确分析问题、解决问题的能力，并激发学生的探索精神。让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验 段名 学习引导 时间 自主备课 目标 引导 能力目标 情意目标 方法 引导 设计情景，提出问题，通过实际问题、引起学生情各段感体验。引导学生从实际背景出发，通过动脑思考，学时动手操作，动口说明，经历从抽象表示到符号变换预设 和检验应用全过程从而培养学生的数学建模能力 先学自研 互动探究 点拨讲解 训练内化 诊断反思 辅导提升 教 学 过 程 【学习引导】 情景引入： 我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。 【先学自研】 1、同学们阅读课本，了解测量中基线，视角、俯仰角、方位角的概念 2、尝试归纳解斜三角形应用题的一般步骤： 3、三角形的面积公式： 4、基础练习： 在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm） （1）已知a=14 cm, c=24 cm, B=150; （2）已知B=60, C=45, b=4 cm; （3）已知三边的长分别为a=3 cm,b=4 cm, c=6 cm 2【互动探究】 探究一： 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=51，ACB=75。求A、B两点的距离(精确到0.1m) 请同学们画图，建立数学模型，分组交流，教师巡视，由各小组选出代表到讲台讲解。 【点拨讲解】 1、解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解 2、解斜三角形应用题的一般步骤： （1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图 （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型 （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解 （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 【训练内化】 如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。 分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。 探究二： 现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？ AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。 【点拨讲解】 1、求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。 2、选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得 asinsinasinAC = sin() AB = AE + h=ACsin+ h=sin() + h 3、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=40，在塔底C处测得A处的俯角=501。已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m) 解:在ABC中, BCA=90+,ABC =90-, BCBAC=- ,BAD =.根据正弦定理, sin() = ABsin(90) 所以 AB =BCsin(90)sin()BCcos=sin() 在RtABD中,得 BD BCcossin=ABsinBAD=sin() 27.3cos501sin4027.3cos501sin40501)sin(40sin439将测量数据代入上式,得BD = =≈177 (m) CD =BD -BC≈177-27.3=150(m) 答:山的高度约为150米. 【诊断反思】 1、有没有别的解法呢？若在ACD中求CD，可先求出AC。思考如何求出AC？ 2、小结（学生归纳教师补充）： 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。 探究三： 某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？  思考：你能根据题意画出方位图？做图建立数学模型吗？（分组讨论，由各小组选出代表用实物投影仪展示，由学生自己评出最佳的小组，加以鼓励）。 【点拨讲解】 在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进103m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。 解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，  AC=BC=30， AD=DC=103， ADC =180-4， 30103sin(1804) 。 因为 sin4=2sin2cos2 sin2 =3 cos2=2,得 2=30  =15， 在RtADE中，AE=ADsin60=15 答：所求角为15，建筑物高度为15m 解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h 222222 在 RtACE中,(103+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(103) 3 两式相减，得x=53,h=15 在 RtACE中,tan2=103x=3 2=30,=15 h 答：所求角为15，建筑物高度为15m 解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=x，由题意，得 BAC=， CAD=2， AC = BC =30m , AD = CD =103m x在RtACE中，sin2=30------ ① 在RtADE中，sin4=x103, ---- ② 3 ②① 得 cos2=2,2=30,=15，AE=ADsin60=15 答：所求角为15，建筑物高度为15m 【训练内化】 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01n mile) 同学们看图思考并讲述解题思路 探究四： 如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？ 【点拨讲解】 3abc0在ABC中，A60，b1，面积为2，求sinAsinBsinC的值 解：由SbcsinA1232得c2， 222则abc2bccosA=3，即a3， abca2sinAsinBsinCsinA从而 【训练内化】 已知在ABC中，B=30,b=6,c=63,求a及ABC的面积S 【辅导提升】 1、某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？  2、如图, 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶, 到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在西偏北25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.  Sa2b2c24，求角C 3、在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积 教学后记：