D3群的几种表示

这学期我们开设了群论课程，群论是研究对称性问题的数学基础。我们的学习从D3群开始。这里给大家总结一下从认识D3群以来学过的有关D3群的几种表示。

一、D3群的引入。

D3群是平面正三角形对称群。如图1所示，有正三角形△ABC。保持正三角形不变的空间操作有如下6种：

e ：不动； d ：绕z轴转动2/3π f ：绕z轴转动4/3π a ：以OA为对称轴翻转π b ：以OB为对称轴翻转π

图1

c ：以OC为对称轴翻转π 这六种操作构成的集合满足群的定义，我们把这个群记作D3群：

D3={ e , d , f , a , b , c }，

这是一个6阶群，它的乘法表如下：

表1 D3群的乘法表

e d f a b c e e d f a b c d d f e b c a f f e d c a b a a c b e f d b b a c d e f c c b a f d e 二、D3群的表示

e ：不动； d ：绕z轴转动2/3π f ：绕z轴转动4/3π a ：以OA为对称轴翻转π b ：以OB为对称轴翻转π

c ：以OC为对称轴翻转π 绕固定轴转动的变换操作，我们用如下矩阵表示：

cosAsin所以得到：

sin

cose对应的旋转角为0，d对应的旋转角为2/3π，f对应的旋转角为4/3π，

cos0sin010Ae

sin0cos0012cos3Ad2sin3Af4cos34sin3213sin322 231cos32241sin324cos33232 12

e ：不动； d ：绕z轴转动2/3π f ：绕z轴转动4/3π a ：以OA为对称轴翻转π b ：以OB为对称轴翻转π

c ：以OC为对称轴翻转π a,b,c三个变换的矩阵，我们一时无法直接得到，需要通过运算求解才能确定，因此我们可以假设翻转变换的矩阵为：

Aab cd同时，假设正三角形的边长为23，则各点的坐标就可以表示出来了，

A0,2，B3,1，C3,1。

对于a变换，实际上是以OA所在直线（也就是y轴）为对称轴，C变到B的位置，B变到C的位置。据此可列出下列矩阵变换等式：

3ab3 3ab3 1cd11cd1转化成方程就是：

3ab33ab3 3cd13cd110解得：a= -1，b=0，c=0，d= -1。所以Aa

01对于b变换，就是C变到A的位置，A变到C的位置。

0ab3 3ab0

2cd11cd2

3ab02b3 3cd22d113

2231221331解得：a,b，所以,c,dAb2222对于c变换，就是B变到A的位置，A变到B的位置。

0ab3 3ab0

2cd11cd2

3ab02b3 3cd22d1131331 解得：a,b,c,d，所以2Ac222223122综上，我们得到D3群的二维表示如下：

132Af2312210Ae01Ad1232321 210Aa01D3群的

Ab12323212132Ac23122三维表示：我们前面的二维表式没有考虑z轴方向，现在我们选取z轴正方向为垂直纸面向外。我们看到e，d，f三种操作，z轴方向没有发生变化；a，b，c三种操作，z轴由垂直纸面向外变为向内，即正方向变负方向。且z轴上的变化并不影响xOy平面上的变换。所以我们只要在二维的基础上加上z轴方向的变化即可。如下即为D3群的三维变换矩阵：

1Ae0012320010130022 0 31Ad0221001321200 01AfAa10010000 1Ab1232032120102 30Ac201321200 01如果选取x，y，z的二次齐函数：

1x2,2y2,3z2,4xy,5yz,6xz

作为表示空间的基，通过基矢的变换可以得到D3群的六阶表示。 任何二次齐函数可表示为以上基函数的线性组合。三维空间中的线性

变换g对向量r的改变r'gr，同时将对定义在该空间中的标量函

数r作变换，即g对应一个标量函数变换算符Ag，即

'rAgr。由'r'r容易发现，

1'r'Agrgr。可以验证变换群{ g }与算符做成的

函数变换群{ Ag }同构。对于g1,g2121G，有：

121111AgAgrAgg2rg2g1rg1g2rAggr故Agg12AgAg2，故{Ag}在函数线性空间上的矩阵形式即为群{g}

1的一个表示。

D3群在{1,2,3,4,5,6}上的表示：

我们以D3群中的d变换为例，将d操作的三维表示变换到二次齐函数作基的6阶表示。

d的矩阵表示如下[d]，d1f, f的矩阵表示为[f]

102

3f0201首先将基矢作变换：r'[d1]rfr 123d20321201x'23y'z'20 根据Ad321200 01302x

10y201z1x'x21y'x2z'z3y2 3y2r[d1]r[f]r，将每一个基矢展开可得：

221312123Ad1x'2x2y4x4y2xy 133120340506442同理可得：

313Ad2120340506

442Ad3010213040506

331Ad4120340506

4423 1Ad501020304562231Ad60102030422 56将上面六个表达式的系数竖着写即可得到Ad的表示矩阵：

1334404003130044000400Ad03312201200 0000132200003122同理可得：

1000001000001000001000A001000 00100e000100Aa000100000100000010000100000134403400313 400040014000Af3322012000000123200003212000001 Ab14340320034140001000323434012000000120032 00032120Ac143403200341403200001000343401200000012320 0003212若取群代数RG作为群G的表示空间，任意giG，可以映为RG

上的线性变换L(gi)，定义L(gi)为

Lgigjgigjgk，gj,gkRG。

则

LgiLgjgkLgigjgkgigjgkLgigjgk，

L(gi)映射保持G的乘法不变，称L(gi)是群G的正则表示。当G是n阶有限群时，L(gi)是n维表示。

对于正三角形对称D3群，取群代数RD中自然基为

3100000010000001000 e，d，f，a，b，c.000100000010000001则可以得到D3群的正则表示。

根据正则表示的定义，我们可以根据D3群的乘法表直接写出其正则表示。

表1 D3群的乘法表

e d f a b c e e d f a b c d d f e b c a f f e d c a b a a c b e f d b b a c d e f c c b a f d e 方法：将选取的自然基按乘法表中行的顺序依次写到6阶矩阵中。可能我表述的不是很具体，下面我们用一个例子说明。

为了能说明问题，我们以d为例：d从左边作用于e,d,f,a,b,c分别得到d,f,e,c,b,a。也就是乘法表中的这一行：

d d f e c a b 下面，我们直接写出正则表示矩阵L(d)：

010Ld000d d 010001000000010000Le000100000001000100f e c a b 000001000001000

001000001000001 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

通过观察我们不难发现：L(d)的第一列就是d的自然基，第二列就是f的自然基······ 其余正则表示如下：

001Lf000000Lb01010000001000 0000000La000011000100000010000010000001

000100Lc00100000000011000000001000000110000001000000010000100000000000010100 100010 0000小可才疏学浅，欢迎大家批评指正上述内容有误之处，不胜感激。QQ：1096294412