2016年河南省周口市沈丘县中考数学二模试卷
一、选择题：每小题3分，共24分 1．下列各数中，最大的数是（ ） A．（﹣2）2 B．﹣
C．
D．﹣（﹣1）
2．国家统计局于2015年6日发布的《2014年国民经济和社会发展统计公报》显示，2014年全国普通高中招生796.6万人，796.6万用科学记数法表示为（ ） A．7.966×102 B．7.966×105 C．7.966×106 D．7.966×1010
3．如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．以下四种说法：①为检测酸奶的质量，应采用抽查的方式；②甲乙两人打靶比赛，平均各中5环，方差分别为0.15，0.17，所以甲稳定；③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形；④举办校运会期间的每一天都是晴天是必然事件．其中正确的个数是（ ） A．4
B．3
C．2
D．1
5．下列各式计算正确的是（ ） A．2x•3x2=6x2
B．（﹣3a2b）2=6a4b2
C．﹣a2+2a2=a2 D．（a+b）（a﹣2b）=a2﹣2b2
6．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于（ ）
A．40° B．50° C．70° D．80°
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7．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣x2 D．y=x2
8．如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为（ ）
A．6
B．7 C．8 D．10
二、填空题：每小题3分，共21分 9．计算：（﹣）﹣2+（﹣2015）0﹣3tan60°+10．不等式组
= ．
的所有整数解的和为 ．
11．已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣2，3），则当x=﹣3时，y= ． 12．3，6不同外，在一个不透明的袋子中装有三个小球，它们除分别标有的号码2，其他完全相同．任意从袋子中摸出一球后不放回，再任意摸出一球，则第二次摸出球的号码比第一次摸出球的号码大的概率是 ．
13．将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（接缝处不计），则每个圆锥容器的底面半径为 ．
14．如图，将边长为12cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，折痕为MN，若MN的长为13cm，则CE的长为 cm．
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15．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BC=AC，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，若AB=2，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 （结果保留π）．
三、简答题：本大题共8小题，满分76分 16．先化简，再求值：
÷（
﹣
），其中x=2cos30°+1．
17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF． （1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO=，求EM：MF的值．
18．某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．
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（1）这次被调查的同学共有 名； （2）把条形统计图补充完整；
（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
19．如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100km的点B处，再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200km的点C处． （1）求点C与点A的距离（精确到1km）； （2）确定点C相对于点A的方向． （参考数据：
≈1.414，
≈1.732）
20．已知：如图，一次函数y=kx+3的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于点P．PA⊥x轴于
．
点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、点D，且S△DBP=27，（1）求点D的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？
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21．某商场计划从厂家购进甲，乙两种电视机，乙种电视机每台的价格比甲种电视机每台的价格贵600元，且购进甲种电视机2台与乙种电视机3台共需9300元． （1）求购进甲种电视机与乙种电视机各多少元？
（2）若商场同时购进甲种电视机与乙种电视机共50台，金额不超过76000元，请你帮助商场决策有几种进货方案？
22．已知：在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE=∠DBM． （1）如图1，当∠ABC=45°时，求证AE=
MD；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为 ； （3）在（2）的条件下，延长BM到P，使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE=的值．
，求tan∠BCP
23．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
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2016年河南省周口市沈丘县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题3分，共24分 1．下列各数中，最大的数是（ ） A．（﹣2）2 B．﹣
C．
D．﹣（﹣1）
【考点】实数大小比较．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得
，
所以各数中最大的数是（﹣2）2． 故选：A．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．国家统计局于2015年6日发布的《2014年国民经济和社会发展统计公报》显示，2014年全国普通高中招生796.6万人，796.6万用科学记数法表示为（ ） A．7.966×102 B．7.966×105 C．7.966×106 D．7.966×1010 【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：796.6万用科学记数法表示为7.966×106， 故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
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3．如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形． 【解答】解：从几何体的上面看俯视图是故选：D．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
4．以下四种说法：①为检测酸奶的质量，应采用抽查的方式；②甲乙两人打靶比赛，平均各中5环，方差分别为0.15，0.17，所以甲稳定；③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形；④举办校运会期间的每一天都是晴天是必然事件．其中正确的个数是（ ） A．4
B．3
C．2
D．1
，
【考点】全面调查与抽样调查；等腰梯形的性质；方差；随机事件．
【分析】利用全面调查与抽样调查、等腰三角形的性质、方差及随机事件的有关知识逐一判断即可得到正确的选项．
【解答】解：①为检测酸奶的质量，因范围比较大，且不易操作，因此应采用抽查的方式，故正确；②甲乙两人打靶比赛，平均各中5环，方差分别为0.15，0.17，因为甲的方差小于乙的方程，所以甲稳定正确；③等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形，故错误；④举办校运会期间的每一天都是晴天是随机事件，故错误． 故正确的有①②两个，故选C．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查、等腰三角形的性质、方差及随机事件的有关知识，虽然知识点比较多，但比较简单．
5．下列各式计算正确的是（ ）
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A．2x•3x2=6x2 B．（﹣3a2b）2=6a4b2
C．﹣a2+2a2=a2 D．（a+b）（a﹣2b）=a2﹣2b2 【考点】整式的混合运算． 【专题】计算题；整式．
【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式=6x3，错误； B、原式=9a4b2，错误； C、原式=a2，正确；
D、原式=a2﹣2ab+ab﹣2b2=a2﹣ab﹣2b2，错误， 故选C．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于（ ）
A．40° B．50° C．70° D．80° 【考点】平行线的性质．
【分析】根据平角的定义求出∠1，再根据两直线平行，内错角相等解答． 【解答】解：∵∠1=∠2，∠3=40°，
∴∠1=×（180°﹣∠3）=×（180°﹣40°）=70°， ∵a∥b， ∴∠4=∠1=70°． 故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，平角等于180°，熟记性质并求出∠1是解题的关键．
7．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
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A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣x2 D．y=x2
【考点】根据实际问题列二次函数关系式． 【专题】压轴题．
【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解．
【解答】解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0； 那么（2，﹣2）应在此函数解析式上． 则﹣2=4a 即得a=﹣， 那么y=﹣x2． 故选：C．
【点评】根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点．
8．如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．
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【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AB=3，则结合已知条件CE=CD可以求得ED=4．然后由三角形中位线定理可以求得BF=2ED=8． 【解答】解：如图，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6， ∴CD=AB=3． 又CE=CD， ∴CE=1， ∴ED=CE+CD=4．
又∵BF∥DE，点D是AB的中点， ∴ED是△AFB的中位线， ∴BF=2ED=8． 故选：C．
【点评】本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线．根据已知条件求得ED的长度是解题的关键与难点．
二、填空题：每小题3分，共21分 9．计算：（﹣）﹣2+（﹣2015）0﹣3tan60°+
= 5﹣
．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【专题】计算题；实数．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可得到结果．
【解答】解：原式=4+1﹣3故答案为：5﹣
．
+2
=5﹣
，
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
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10．不等式组
的所有整数解的和为 ﹣2 ．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的所有整数解相加即可求解． 【解答】解：由①得：x≥﹣2， 由②得：x＜2， ∴﹣2≤x＜2，
∴不等式组的整数解为：﹣2，﹣1，0，1． 所有整数解的和为﹣2﹣1+0+1=﹣2． 故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
11．已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣2，3），则当x=﹣3时，y= 2 ． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】先把点A（﹣2，3）代入y=求得k的值，然后将x=﹣3代入，即可求出y的值． 【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点A（﹣2，3）， ∴k=﹣2×3=﹣6，
∴反比例函数解析式为y=﹣， ∴当x=﹣3时，y=﹣故答案为：2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法求得一次函数解析式是解题的关键．
=2．
，
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12．3，6不同外，在一个不透明的袋子中装有三个小球，它们除分别标有的号码2，其他完全相同．任意从袋子中摸出一球后不放回，再任意摸出一球，则第二次摸出球的号码比第一次摸出球的号码大的概率是
．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与第二次摸出球的号码比第一次摸出球的号码大的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树形图得：
由树形图可知第二次摸出球的号码比第一次摸出球的号码大的概率=， 故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验
13．将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（接缝处不计），则每个圆锥容器的底面半径为 10cm ． 【考点】圆锥的计算． 【专题】计算题．
【分析】根据已知得出直径为60cm的圆形铁皮，被分成三个圆心角是120°，半径为30的扇形，再根据扇形弧长等于圆锥底面圆的周长即可得出答案．
【解答】解：根据将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），
∴直径为60cm的圆形铁皮，被分成三个圆心角是120°，半径为30的扇形， 假设每个圆锥容器的底面半径为r， ∴
=2πr，
解得：r=10（cm）．
第13页（共28页）
故答案为：10cm．
【点评】此题主要考查了圆锥的有关计算，得出扇形弧长等于圆锥底面圆的周长是解决问题的关键．
14．如图，将边长为12cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，折痕为MN，若MN的长为13cm，则CE的长为 7 cm．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据图形折叠前后图形不发生大小变化得出∠D=∠AHM=90°，进而得出∠AMN=∠AED，再证明△NFM≌△ADE，从而求出CE的长． 【解答】解：作NF⊥AD，垂足为F，连接AE，NE，
∵将正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，折痕为MN， ∴∠D=∠AHM=90°，∠DAE=∠DAE， ∴△AHM∽△ADE， ∴∠AMN=∠AED，
又∵AD=NF，∠NFM=∠D=90°， ∴△NFM≌△ADE（AAS）， ∴FM=DE，
∵在直角三角形MNF中，FN=12，MN=13， ∴根据勾股定理得：FM=5， ∴DE=5，
∴CE=DC﹣DE=12﹣5=7． 故答案是：7．
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【点评】此题主要考查了图形的翻折变换，根据图形折叠前后图形不发生大小变化得出三角形的全等是解决问题的关键．
15．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BC=AC，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，若AB=2，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 （结果保留π）．
【考点】扇形面积的计算；等腰直角三角形；旋转的性质． 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC=
，再根据旋转的性质得到AC′=AC=
，
AB′=AB=2，∠BAB′=45°，∠B′AC′=45°，而S阴影部分=S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC﹣S扇形ACC′=S扇形ABB′﹣S扇形ACC′，根据扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：∵∠ACB=90°，CB=AC，AB=2， ∴AC=BC=
，
∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′， ∴AC′=AC=
，AB′=AB=2，∠BAB′=45°，∠B′AC′=45°，
∴S阴影部分=S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC﹣S扇形ACC′=S扇形ABB′﹣S扇形ACC′ =
﹣
=．
．
故答案为
第15页（共28页）
【点评】本题考查了扇形的面积公式：S=
三、简答题：本大题共8小题，满分76分 16．先化简，再求值：
÷（
﹣
．也考查了等腰直角三角形的性质．
），其中x=2cos30°+1．
【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据x=2cos30°+1求出x的值，代入原式进行计算即可． 【解答】解：原式=当x=2cos30°+1=原式=
．
1时，
×
=
，
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF． （1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO=，求EM：MF的值．
【考点】菱形的性质；平行四边形的判定． 【专题】几何综合题．
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠AEO=∠CFO，然后利用“角角边”证明△AEO和△CFO全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；
（2）设OM=x，根据∠MBO的正切值表示出BM，再根据△AOM和△OBM相似，利用相似三角 形对应边成比例求出AM，然后根据△AEM和△BFM相似，利用相似三角形对应边成比例求解即可．
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【解答】（1）证明：在菱形ABCD中，AD∥BC，OA=OC，OB=OD， ∴∠AEO=∠CFO， 在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（AAS）， ∴OE=OF， 又∵OB=OD，
∴四边形BFDE是平行四边形；
（2）解：设OM=x， ∵EF⊥AB，tan∠MBO=， ∴BM=2x， 又∵AC⊥BD， ∴∠AOM=∠OBM， ∴△AOM∽△OBM， ∴
=
， =x，
∴AM=
∵AD∥BC， ∴△AEM∽△BFM，
∴EM：FM=AM：BM=x：2x=1：4．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，难点在于（2）两次求出三角形相似．
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18．某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．
（1）这次被调查的同学共有 1000 名； （2）把条形统计图补充完整；
（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？ 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 【专题】图表型．
【分析】（1）用没有剩的人数除以其所占的百分比即可； （2）用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可；
（3）根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐，再根据全校的总人数是18000人，列式计算即可．
【解答】解：（1）这次被调查的同学共有400÷40%=1000（名）； 故答案为：1000；
（2）剩少量的人数是；1000﹣400﹣250﹣150=200， 补图如下；
第18页（共28页）
（3）18000×=3600（人）．
答：该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19．如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100km的点B处，再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200km的点C处． （1）求点C与点A的距离（精确到1km）； （2）确定点C相对于点A的方向． （参考数据：
≈1.414，
≈1.732）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题． 【专题】几何图形问题．
【分析】（1）作辅助线，构造直角三角形，解直角三角形即可；
（2）利用勾股定理的逆定理，判定△ABC为直角三角形；然后根据方向角的定义，即可确定点C相对于点A的方向．
【解答】解：（1）如右图，过点A作AD⊥BC于点D，∠ABE=∠BAF=15°，
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由图得，∠ABC=∠EBC﹣∠ABE=∠EBC﹣∠BAF=75°﹣15°=60°， 在Rt△ABD中，∵∠ABC=60°，AB=100， ∴BD=50，AD=50
，
∴CD=BC﹣BD=200﹣50=150， 在Rt△ACD中，由勾股定理得： AC=
=100
≈173（km）．
答：点C与点A的距离约为173km．
（2）在△ABC中，∵AB2+AC2=1002+（100BC2=2002=40000， ∴AB2+AC2=BC2， ∴∠BAC=90°，
∴∠CAF=∠BAC﹣∠BAF=90°﹣15°=75°． 答：点C位于点A的南偏东75°方向．
）2=40000，
【点评】考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，关键是熟练掌握勾股定理，体现了数学应用于实际生活的思想．
20．已知：如图，一次函数y=kx+3的图象与反比例函数
（x＞0）的图象交于点P．PA⊥x轴于
．
点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、点D，且S△DBP=27，（1）求点D的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？
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【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【专题】计算题；数形结合．
【分析】（1）本题需先根据题意一次函数与y轴的交点，从而得出D点的坐标． （2）本题需先根据在Rt△COD和Rt△CAP中，得长和P点的坐标，即可求出结果． （3）根据图形从而得出x的取值范围即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y=kx+3与y轴相交， ∴令x=0，解得y=3，得D的坐标为（0，3）；
（2）∵OD⊥OA，AP⊥OA， ∠DCO=∠ACP， ∠DOC=∠CAP=90°， ∴Rt△COD∽Rt△CAP，则∴AP=OB=6， ∴DB=OD+OB=9， 在Rt△DBP中，∴即
=27，
， =
，OD=3，
，OD=3，再根据S△DBP=27，从而得出BP
∴BP=6，故P（6，﹣6），
把P坐标代入y=kx+3，得到k=﹣， 则一次函数的解析式为：
；
把P坐标代入反比例函数解析式得m=﹣36， 则反比例解析式为：
；
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（3）根据图象可得：，
解得：或
故直线与双曲线的两个交点为（﹣4，9），（6，﹣6）， ∵x＞0，
∴当x＞6时，一次函数的值小于反比例函数的值．
【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，在解题时要注意知识的综合运用与图形相结合是解题的关键．
21．某商场计划从厂家购进甲，乙两种电视机，乙种电视机每台的价格比甲种电视机每台的价格贵600元，且购进甲种电视机2台与乙种电视机3台共需9300元． （1）求购进甲种电视机与乙种电视机各多少元？
（2）若商场同时购进甲种电视机与乙种电视机共50台，金额不超过76000元，请你帮助商场决策有几种进货方案？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）利用“乙种电视机每台的价格比甲种电视机每台的价格贵600元，购进甲种电视机2台与乙种电视机3台共需9300元”分别得出等式求出即可； （2）利用（1）中所求表示出总金额进而得出不等关系求出即可． 【解答】解：（1）设甲种电视机x元，乙种电视机y元，根据题意可得：
，
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解得：．
答：甲种电视机1500元，乙种电视机2100元；
（2）设购进甲a台，则购进乙（50﹣a）台，根据题意可得： 1500a+2100（50﹣a）≤76000， 解得：a≥48，
则a可以为49，则50﹣a=1， 当a=50，则50﹣a=0，
故有两种购货方案，即购进甲49台，则购进乙1台， 购进甲50台，则购进乙0台．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，得出正确的不等关系是解题关键．
22．已知：在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE=∠DBM． （1）如图1，当∠ABC=45°时，求证AE=
MD；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为 ； （3）在（2）的条件下，延长BM到P，使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE=的值．
，求tan∠BCP
【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；解直角三角形． 【专题】探究型．
【分析】1）由题意知∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM故有△ABE∽△DBM⇒AE：DM=AB：BD，而∠ABC=45°⇒AB=
BD，则有AE=MD；
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（2）由于△ABE∽△DBM，相似比为2，故有EB=2BM，由题意知得△BEP为等边三角形，有EM⊥BP，∠BMD=∠AEB=90°，在Rt△AEB中求得AE、AB、tan∠EAB的值，由D为BC中点，M为BP中点，得DM∥PC，求得tan∠PCB的值，在Rt△ABD和Rt△NDC中，由锐角三角函数的定义求得AD、ND的值，进而求得tan∠ACP的值． 【解答】解（1）证明：如图1，连接AD． ∵AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC． 又∵∠ABC=45°，
∴BD=AB•cos∠ABC即AB=
BD．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM， ∴△ABE∽△DBM． ∴
=
=2， MD．
∴AE=
（2）如图2，连接AD，EP，过N作NH⊥AC，垂足为H，连接NH， ∵AB=AC，∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， 又∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC=AB， ∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM， ∴△ABE∽△DBM， ∴
=
=2，∠AEB=∠DMB，
∴EB=2BM， 又∵BM=MP， ∴EB=BP，
∵∠EBM=∠EBA+∠ABM=∠MBD+∠ABM=∠ABC=60°， ∴△BEP为等边三角形， ∴EM⊥BP， ∴∠BMD=90°， ∴∠AEB=90°，
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在Rt△AEB中，AE=2∴BE=∴tan∠EAB=
==，
，AB=7， ，
∵D为BC中点，M为BP中点， ∴DM∥PC， ∴∠MDB=∠PCB， ∴∠EAB=∠PCB， ∴tan∠PCB=
，
， ，
在Rt△ABD中，AD=AB•sin∠ABD=在Rt△NDC中，ND=DC•tan∠NCD=∴NA=AD﹣ND=
，
在Rt△ANH中，NH=AN=∴CH=AC﹣AH=∴tan∠ACP=
=
， ．
，AH=AN•cos∠NAH=，
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【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，以 及锐角三角函数的定义，通过作辅助线使线段与线段的关系得到明确．本题的计算量大，难度适中．
23．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
【考点】二次函数综合题． 【专题】综合题．
n的方程组，【分析】（1）直接把A点和C点坐标代入y=﹣x2+mx+n得m、然后解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式；
（2）先利用抛物线对称轴方程求出抛物线的对称轴为直线x=﹣，则D（，0），则利用勾股定理计算出CD=，然后分类讨论：如图1，当CP=CD时，利用等腰三角形的性质易得P1（，4）；当DP=DC时，易得P2（，），P3（，﹣）；
（3）先根据抛物线与x轴的交点问题求出B（4，0），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣x+2，利用一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征，设E（x，﹣ x+2）（0≤x≤4），则F（x，﹣ x2+x+2），则FE=﹣x2+2x，由于△BEF和△CEF共底边，高的和为
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4，则S△BCF=S△BEF+S△CEF=•4•EF=﹣x2+4x，加上S△BCD=，所以S四边形CDBF=S△BCF+S△BCD= ﹣x2+4x+（0≤x≤4），然后根据二次函数的性质求四边形CDBF的面积最大，并得到此时E点坐标．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣x2+mx+n得∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2； （2）存在．
，解得 ，
抛物线的对称轴为直线x=﹣=，
则D（，0）， ∴CD=
=
=，
如图1，当CP=CD时，则P1（，4）； 当DP=DC时，则P2（，），P3（，﹣），
综上所述，满足条件的P点坐标为（，4）或（，）或（，﹣）； （3）当y=0时，=﹣x2+x+2=0，解得x1=﹣1，x2=4，则B（4，0）， 设直线BC的解析式为y=kx+b， 把B（4，0），C（0，2）代入得
，解得
，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+2，
设E（x，﹣ x+2）（0≤x≤4），则F（x，﹣ x2+x+2）， ∴FE=﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，
∵S△BCF=S△BEF+S△CEF=•4•EF=2（﹣x2+2x）=﹣x2+4x， 而S△BCD=×2×（4﹣）=， ∴S四边形CDBF=S△BCF+S△BCD =﹣x2+4x+（0≤x≤4），
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=﹣（x﹣2）2+
，此时E点坐标为（2，1）．
当x=2时，S四边形CDBF有最大值，最大值为
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数的解析式；理解坐标与图形性质；灵活应用三角形的面积公式；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．
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