第１期 韩庆文：从不同视角探求一道课本习题中“视角”的最值问题 ・Ｉ１・ （一∞，一譬】Ｕ【譬，＋。。）． 解 （２）要使厂（ ）＝ １ ＋ ＋似单调递 ２间接考二次问题 减，则 ２．１以二次为载体，实质考查非二次 厂 （ ）＝ ＋２ｍｘ＋ｎ＜０． 例４ 设－厂（ ）是定义Ｒ在上的奇函数，当 ≤ 又递减区间长度是正整数，故设厂 （ ）＝ ＋ ０时 ｌ（ ）＝２ｘ 一 ，贝０ １）＝ （ ） ２ｒｎｘ＋凡＝０的２个实数根为ａ，６（ｂ＞ａ），结合韦达 Ａ．一３ Ｂ．一１ Ｃ．１ Ｄ．３ 定理 （２０１１年安徽省数学高考理科试题） ｒ０＋ｂ＝一２ｍ； 本题主要以二次函数为载体，考查函数的奇偶 【ａｂ＝ｎ， 性，函数值的求法，易解．选Ａ． 从而区间长度为ｂ—ａ．又 ２．２ 以导数为载体，实质考查二次 ｂ一。＝ ＝、 ： 例５设 ）＝ 。＋ ＋眦． ２￣／ｒ＿凡 一凡， （１）女口果ｇ（ ）＝厂 （ ）一２ｘ一３在 ：一２处 其中ｍ，ｎ∈Ｎ＋，，ｎ＋ ＜１０，且ｂ—ａ为整数，因此 取得最小值为一５，求 ）的解析式； （２）如果ｍ＋ ＜１０（ｍ，ｎ∈Ｎ＋），ｆ（ ）的单调 ｛ｍ凡：＝３２或ｉｒｍ ：＝５３． 递减区间的长度是正整数，试求ｍ和ｎ的值（注： 点评求解此类问题的关键是抓住不等式与 区间（ａ，ｂ）的长度为ｂ—ａ）． 方程根的思想，满足整数所需条件该如何进行转 （２０１ １年江西省数学高考文科试题） 化，结合平时所学整数间的有关方法进行解答． 分析（１）略； 纵观这几年的高考试题，二次函数考查以方 （２）本题的关键是二次方程／ （ ）＝０的２个 程、不等式为主，３个二次往往渗透于其他知识中， 实数根的差为整数，但不等价于２个根为整数，故 体现背景公平，淡中见隽．猜想在深化课改后３个 求解中不能混淆． 二次函数的考查上会更灵活，更有深度． 从不同视角探求一道课本习题中“视角＂的最值问题 ●韩庆文 （滕州市第一中学山东滕州２７７５００） 普通高中课程标准实验教科书（人教Ａ版） 从平面几何的角度考虑，可以借助于圆的有关 《数学》必修５习题３．４中的Ｂ组第２题如下： 性质． 题目 如图１，树顶Ａ 视角１如图２，过点Ｃ垂直于 离地面ａ ｍ，树上另一点Ｂ ＡＢ的直线记为ＤＥ（Ｄ为垂足）．当 离地面ｂ １ＴＩ，在离地面Ｃ ｍ的 ＤＥ与过点Ａ，Ｂ的圆相切时，切点 Ｃ处看此树，离此树多远时 记为Ｃ，此时 Ａ衄＝厶 最大． 看 ， 的视角最大？ 事实上，观察图２，易得无论点 Ｃ Ｊ 分析 由于在Ｃ处看 图１ ｃ是前行还是后退到点Ｃ ，过点 ， Ａ，Ｂ的视角为／ＡＣＢ，对于这一问题我们既可以从 Ｂ，Ｃ 的圆必与直线ＤＥ相交，此时 图２ 几何的角度审视，也可以从代数的角度审视． ／＿ＡＣ Ｂ必小于圆内的 ０１．．当ＤＥ与过点Ａ，Ｂ，Ｃ的 ・ｌ２・ 中学教研（数学） ｓｉｎ ＣＡＢ＝ｓｉｎＺ＿ ＣＤ ・ 圆相切且切点为Ｃ时，由切割线定理得 ＣＤ＝、／／ ・ＤＢ＝√（ａ—ｃ）（ｂ—ｃ）， 即当ｃ离此树距离为、／／（ａ—ｃ）（ｂ—ｃ）时，看Ａ，Ｂ 的视角最大． 又ＡＢ＝ａ—ｂ，在ＡＡＢＣ中，由正弦定理得 ｓｉｎ ＬＡＣＢ＝ ＝ 从代数的角度考虑，由于在Ｃ处看 ，Ｂ的视 角为ＬＡＣＢ∈ｆ０，孚１．为了研究ＬＡＣＢ的最大值， 一一 只要研究ＬＡＣＢ的某一个三角函数的最大值（或 最小值），如可选ＬＡＣＢ的正弦、余弦或正切，并考 虑其最值问题． 视角２ （借助于两角差 的正切公式求ｔａｎＬＡＣＢ的最 大值） 如图３，过点ｃ作垂直于 ＡＢ的直线ＣＤ，交ＡＢ的延长 线于点Ｄ．设 ＢＣＤ＝ＯＬ， ＬＡＣＢ＝ ，ＣＤ＝ ．在ＡＢＣＤ 图３ ￣ｂ，ｔａｎａ＝ ｂ－ｃ；ＡＡＣＤ ｄ？，ｔａｎ（ ＋／３）＝ ａ－ｃ，则 ｔａｎ］３＝ｔａｎ（ ＋卢一 ）＝ ＝ ｎ—ｂ ｌ＋一ａ蠡－ｃ ｂ－ｃ ＋ ａ巫－ｂ ≤、 ａ． ｂ ２ ．（ 二！）（ ａ—ｂ ２ ，—（ａ—ｃ）（ｂ—Ｃ）————－———————————————————————————－一， 当且仅当 ： ，即 、 ＝ 寸，ｔａ 取得最大值，从而视角最 大． 视角３ （借助于正弦定理求ｓｉｎ／＿ＡＣＢ的最 大值） 由视角２可得 ＢＣ：、 ， ｃ＝、 ， 从而 、 ——二＝＝二二＝二二二二二二＝＝＝ ／＝ｚ＋ 兰 三＋［（。一。）ｚ＋（６一 ） 二＝二二二二二二二二二二 ］ ≤ 二 一 二 ｏ＋ｂ一２ｃ’ 、 当且仅当 ＝、 寸，ｓｉｎ ＬＡＣＢ取得最 大值，从而视角最大． 视角４（借助于余弦定理求ＣＯＳＬＡＣＢ的最 小值） 由视角２可得 ＢＣ＝、 ，ＡＣ＝、 又ＡＢ＝ａ—ｂ，在ＡＡＢＣ中，由余弦定理得 ｃ。ｓ ∞＝ＡＣ２ ＋Ｂ Ｃ２ ＿ＡＢ２—＝ ：±（ ＝曼）：± ：±（ 二竺）：二！ 二 ）：一 ２、Ｒ 一 ≥ ｉ 二１２ １ 二 ｎ＋ｂ一２ｃ ’ 当且仅当 ＝、 ＝ 时，ｃｏｓ ＬＡＣＢ取得最小 值，从而视角最大