数学培优竞赛新方法(九年级)-第24讲-三角形的四心

几何是数学中的这样一部分,其中视觉思维占主导地位， 几何直觉是增强数学理解力的有效途径，而且他可以使人增加 勇气，提高修养。

--————阿蒂亚

知识纵横

重心、外心、内心、垂心统称为三角形的“四心\"，由于三角形的四心处在特殊的位置上,因而它们是具有丰富而独特的性质，这些性质是解与四心相关问题的基础。 （1)重心

三角形的三条中线的交点叫三角形的重心. 如图，设G是ABC的重心，则

FGBDCAEGDGEGF1; 

GAGBGC2 SBGCSAGCSABG（2）外心

三角形三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心. 如图，设O是ABC的外心,则

1SABC. 3AI OAOBOC;

BC BOC2BAC,AOC2ABC, AOB2ACB. （2）内心

1

三角形三条角平分线的交点叫三角形的内心。 如图，设O是ABC的内心，则 I到三角形各边距离相等;

OBA11A,CIA90OB, 221AIB90OC. 2 BIC90OC（3）垂心

三角形三边的高所在直线的交点叫三角形的垂心。 如图，设H是ABC的垂心,则 AHBC,BHAC,CHAB;

A、F、H、E;B、D、H、F;C、E、H、D；B、C、E、F; C、A、F、D;A、B、D、E共六组四点共圆。

BFEHDCA例题求解

【例1】如图，ABC中，BCa,ACb,ABc．若AC、BC上的中线

CDO BE、AD垂直相交于点O，则C可用a、b的代数式表示为 。 AEB （第19届江苏省竞赛题）

思路点拨 设，ODx,OEy则由重心性质有；AO2x,BO2y建立x、y的方程组。

【例2】已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1、B1、C1分别是点I关于边BC、CA、AB的

2

对称点， 若点B在A1B1C1的外接圆上,则ABC等于．( )

A。36 B。45 C。60 D。90

(“CASIO杯\"全国初中数学竞赛题)

思路点拨 由IA1IB1IC12r（r为ABC的内切圆半径），得I同时是A1B1C1外接圆 的圆心。

【例3】已知ACECDE90，点B在CE上，CACBCD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）．求证：F为CDE的内心．

思路点拨 连CF、DF，即需证F为CDE角平分线的交点，充分利用与圆有关的角， 将问题转化为角相等问题的证明

O 3

【例4】如图所示,AB、BC、CD分别与圆相切于点E、F、G、ABBCCD，连结AC 与BD交于P，连结PF。求证：PFBC

（江苏省竞赛题）

思路点拨 设圆心为O，证明O是PBC的垂心，则POBC，由切线性质得;PO一定通 过切点F

ADPEGOBFC4

【例5】如图，已知RTABC中,CD是斜边AB上的高，O、O1、O2分别是 ABC、ACD、BCD的内心。 求证:（1)O1DCO2; （2)OCO102。

（武汉市竞赛题）

分析 在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等，故通过证交角等于90的方法证两线垂直，再用全等三角形证两线段相等. 欧拉线 【例6】求证:（1）三角形的一个顶点到垂心得距离,是外心到对边距离的2倍

（2）三角形的垂心、重心、外心在一条直线上,且垂心到重心的距离是外心到重 心的距离的2倍。

O 5

学习训练

基础夯实

1.如图，□ABCD中，E是AB的中点,AB10，AC9，DE12，则□ABCD的面积 为 .

2.如图,D是ABC的内心，E是ABD的内心,F是BDE的内心．若BFE的度数为 整数，则BFE的最小度数为 。 3。如图,从圆外一点P作⊙O的两条切线PA,PB，连AB,PO,设PO交⊙O于点C，则C点 是ABD的 心.

DAGEB

C （第1题） （第2题） （第3题） 4.如图，CD是RtABC的斜边AD上的高，I1、I2分别是ADC、BDC的内心,若 AB3，BC4,则I1I2= . 5.如图，锐角三ABC的垂心为H，三条高的垂足为D、E、F则H是DEF的（ ） A。垂心 B.重心 C.内心 D.外心

6.如图，设锐角ABCAD、BE、CF的三条高线相交于H，若BCa,ACb,ABc， 则AH•ADBH•BECH•CF的值为( ) A.

1122222(abbcac) B。（a2b2c2） C.（abbcca） D.（abc） 2233 6

A

FAFECHEC

BHDBD （第4题） （第5题） （第6题）

7.已知锐角ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径，则A的度数是（ ）. A.30 B.45 C。60 D.75

（全国初中数学竞联赛题) 8。如图，ABC内接于⊙O，ADBC于点D，BEAC于点E，

OO00AD、BE相交于点H．若BC6、AH4,则⊙O的半径为（ ） A。5 B.213 C.13 D。11 2 （2011年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）

9.如图，设AD是ABD的中线，ABD、ADC的外心分别为E、F，直线BE与 CF交于点G,若DG1BC，求证ADG2ACG. 2 （“我爱数学”夏令营竞赛题）

GAFEBDC

7

能力拓展

10.如图，设AD、BE、CF为三角形的三条高，若AB6，BC5，EF3，则

BE= 。

DBAIEC （第10题) （第11题)

11.如图，ABC中，AB7，BC8，CA9，ABC的内切圆圆心I作DE//BC， 分别与AB、AC相较于D、E，则DE= 。

（全国初中数学竞赛试题） 12.若锐角ABC的三边比是a:b:c，它的外心O到三边的距离分别为m,n,p，则m:n:p等于（ ）. A.

111:: B.a:b:c abc D。sinA:sinB:sinC

C。cosA:cosB:cosC

13.如果一个三角形的面积和周长都被同一条直线所平么该直线必通过这个三角形的 ( ）

A.内心 B。外心 C.重心 D.垂心

分，那

8

14。如图,ABC的三条中线AD、BE、CF的长分别是5,12,13，求ABC的面积。

15。如图,已知I是ABC的内心,AI、BI、CI的延长线分别交ABC的外接圆于 D、F,EF交AD于M求证：EFAD

（第22届加拿大奥林匹克试题) A EMF BICD

9

综合创新

16.锐角三ABC的外心为O,外接圆半径为R，延长AO、BO、CO，分别与对边BC、CA、AB交于D、E、F.证明：

1112。 ADBECFR

(江西竞赛题）

17.如图，在□ABCD中，A的平分线分别与BC及DC的延长线交于点E、F.点O,O1分 别为CEF、ABE的外心。 （1）求证：O、E、O1三点共线。 （2）求证：OBD(全

ADO11ABC 2国初中数赛题）

10

EOFCB

11