解析几何初步(3)

圆的标准方程、圆的一般方程、求点的轨迹

一． 1.圆的标准方程：方程(xa)2(yb)2r2就是圆心为C(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

说明：求圆的方程一般用待定系数法。

课堂练习一：1. 写出圆心为A(2,3)半径长等于5的圆的方程。

2. (1)圆心在原点，半径是2的圆的标准方程为

(2)经过点P5,1，圆心在点C4,3的圆的标准方程为

3. (1)求以A(4,9)，B(6,3)为直径的圆的方程； (2) 求过三点A（2，2），B（5，3），C（3，-1）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标． (3)求经过A(2,0)，B(0,4)两点，圆心在直线yx上的圆的方程。

BACO2.重要结论： 圆内弦的垂直平分线过该圆的圆心。 练习4．过M(1,1)和N(1,3)，且圆心在x轴上的圆的方程是（ ）

A．x2(y2)210 B．(x2)2y210 C．x2(y2)210 D．(x2)2y210

3. 点M(x0,y0)与圆(xa)(yb)r的位置关系：

判断方法：（1）(x0a)2(y0b)2>r，点在圆外；（2）(x0a)2(y0b)2=r，点在圆上； （3）(x0a)2(y0b)2练习：5．点(2a,a1)在圆x(y1)5的内部，则a的取值范围是 A．－122222 222（ ） 11 D．－课堂练习一答案：

1.(x2)(y3)252. (1) xy4 (2) (x4)(y3)17 3.(1) (x5)(y6)10 (2) (x4)(y1)5 r(3) (x3)(y3)10 4.B 5. D 6. 14+65 二．1. 圆的一般方程：xyDxEyF0（*）(D2+E2－4F＞0)将（*）式配方得

222222222222225 圆心为（4，1）

EDD2E2D2E24F当D2+E2－4F＞0时，方程（*）表示圆心（，），半径(x)(y)222241

r=

1D2E24F 的圆。 2说明：①x2、y2项系数相等且不为零. ②没有xy项.③当D2+E2－4F=0时，方程（*）表示点（当D2+E2－4F<0时，方程（*）不表示任何图形.

课堂练习二：1．若方程x2y2xym0表示圆，则实数m的取值范围是（ ）

ED， ），

22111 B．m<10 C．m> D．m≤ 2222．若方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则a的取值范围是（ ）

222A．a2或a B．a0 C．2a0 D．2a

3333.圆的方程为x2y22x4y5m20的圆心为 半径为 . A．m<

4．方程xayb0表示的图形是（ ）

A．点a,b B．点a,b C．以a,b为圆心的圆 D．以a,b为圆心的圆 5. 已知圆

222xy2DxEyF0的圆心坐标为(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于（ ）

A．4，-6,3 B．-4,6,3 C．-4,6，-3 D．4，-6，-3

6. 求经过A(2,0)，B(0,4)两点，圆心在直线yx上的圆的方程。(提示：设一般方程)

课堂练习二答案：1.A 2.D 3.(-1,-2) rm 4.B 5.D 6. x2y22x2y80 三．求点的轨迹方程：

1.解题的一般步骤：①建系 ②设点 ③列式 ④化简 ⑤检验。 例1：在ABC中，已知|AB|4，C90，求顶点C的轨迹方程。

解：以AB所在直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立坐标系，则A(2,0),B(2,0)，设C点坐标为(x,y)

yy221，化简得xy4，由ABC为三角形，所以C点不能在直线ABx2x2上。故C的轨迹方程为x2y24（y0）。

由ACBC可得，2.直接将动点满足的条件翻译成等式，整理化简后得动点轨迹方程的方法，叫做直接法． 课堂练习三：1. 已知动点A与两个定点O(0,0)，M(3,0)的距离的比为

2．已知点P(2,0)与Q(8,0)，点M到点P的距离是它到点Q的距离的

例2. 已知点P是圆xy16上一个动点，点Q(12, 0)，当点P在圆上运动时，求线段PQ中点M的轨迹方程。

2

221,求动点A的轨迹方程. 21，求点的M轨迹方程。 5解：设M点坐标为(x,y)，P点坐标为(x0,y0)，因为M为线段PQ中点，由中点坐标公式可得

x012xx02x12222即可得 ① 因为P点在圆x2y216上，所以x0y016，代入①式y00y02yy222得(2x12)2(2y)216，化简得x6y4。

3.点M的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标（x0，y0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点M轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法．

练习：3. 一条线段AB（|AB|=6）的两个端点A和B分别在x轴和y轴上移动，（1）求线段AB的中点M的轨迹方程。（2）若点C，D的坐标分别为(2,0)，(2,0)，求CMD的重心G的轨迹方程。

课堂练习三答案：1.(x1)2y24 2. (x)y227422257322或xyx03. (1)x2y29

2216(2) xy1且y0

课后作业6答案：1.B 2.B 3.D 4.B 5.(4,0) (1,1) 6. 因为所求直线l与已知直线平行，可设l的方程

mm1mm,0)，交y轴于B(0,) 由||||24，得34234m=±24，代入①得所求直线的方程为：3x+4y±24=0.7.B 8.B 9.C 10.D 11.(1,1) 12.D 13.A

|33449|3414. 1或2 15. (1,0) 16. 3x5y10 17. d 18. x3y50或22534x10. 19.x2y10 20.略 21.5

为3x+4y+m=0 ① ∵直线l交x轴于A(

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课后作业7

1．方程x2y22x4y60表示的图形是（ ）

，2)为圆心，11为半径的圆 Ｂ．以(1，Ａ．以(12)为圆心，11为半径的圆 ，2为圆心，)Ｃ．以(1，2)为圆心，11为半径的圆 Ｄ．以(111为半径的圆

2．点(11)，在圆(xa)2(ya)24的内部，则a的取值范围是（ ） Ａ．1a1

Ｂ．0a1 Ｃ．a1或a1

Ｄ．a1

3．若x2y2(1)x2y0表示圆，则的取值范围是（ ）

) Ａ．(0，∞

，∞)(∞， ) Ｄ．R Ｂ．，1 Ｃ．(1141．过点P(–8, –1), Q(5, 12), R(17, 4)三点的圆的圆心坐标是（ ） A．(5, 1) B．(4, –1) C．(5, –1) D．(–5, –1)

5．已知圆的方程是x2+y2–2x+6y+8=0，则通过圆心的一条直线方程是（ ） A．2x–y–1=0 B．2x+y+1=0 C．2x–y+1=0 D．2x+y–1=0

226．如果方程x2y2DxEyF0(DE4F0)所表示的曲线关于直线yx对称，那么必有

（ ） A．D=E B．D=F C．E=F D．D=E=F 7．若圆C与圆(x2)2(y1)21关于原点对称，则圆C的方程是（ ）

A．(x2)2(y1)21 B．(x2)2(y1)21 C．(x1)2(y2)21 D．(x1)2(y2)21 8．圆x2+y2=16上的点到直线x–y=3的距离的最大值是（ ） A．

322 B．4–

322 C．4+

322 D．0

9. 已知一圆经过点A（2，－3）和B（－2，－5），且圆心C在直线l：x2y30上，求此圆的方程．

10.已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半， 求：（1）动点M的轨迹方程；（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．

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后作业7答案：1. D 2.A 3.C 4. C 5. B 6. A 7. A 8. C 9. 解：因为A（2，－3），B（－2，－5），所以线段AB的中点D的坐标为 （0，－4）， 又 kAB5(3)1，所以线段AB的垂直分线的方程是

222yx-2y-3=0OAxx2y30x1，解得．所以，圆心坐标为 y2x4．联立方程组y2x4y2C（－1，－2），半径r|CA|(21)2(32)210，所以， 此圆的标准方程是(x1)2(y2)210．

10. 解：（1）设动点M（x，y）为轨迹上任意一点， 由两点距离公式，点M适合的条件可表示为

(x2)2y2B1(x8)2y2， 平方后再整理，得 2x2y216． 可以验证，这就是动点M的轨迹方程．

（2）设动点N的坐标为（x，y），M的坐标是（x1，y1）．由于A（2，0），且Ｎ为线段AM的中点，所以 x2x10y1， y．所以有x12x2，y12y ① 22由（1）题知，M是圆x2y216上的点，所以M坐标（x1，y1）满足：x12y1216②，将①

代入②整理，得(x1)2y24．所以N的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆．

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