专题01特殊平行四边形的中点四边形问题教师版

专题01 特殊平行四边形中的中点四边形问题

【典型例题】

1．（2020·山东河东初三一模）如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ）

A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形

B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形

C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形

D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形

【解析】根据题意，可知，连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断：

A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；

B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；

C．当E，F，G，H不是各边中点时，EF∥HG，EF=HG，故四边形EFGH为平行四边形，故C正确；

D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可能为菱形，故D错误；故选D．

2．（2019·湖北安陆）如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，对角线AC，BD满足________，才能使四边形EFGH是矩形．

【解析】解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点， ∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG=∠1，∠1=∠2， ∴∠2=∠EHG，

∵四边形EFGH是矩形， ∴∠EHG=90°， ∴∠2=90°， ∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．

【专题训练】

一、选择题

1．（2019·四川大英）已知：如图，在矩形ABCD中，E ,F ,G ,H分别为边AB, BC ,CD, DA的中点．若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为 ( )

A．5 B．4.5 C．4 D．3.5

【解析】连接AC，BD，FH，EG，

∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，

∵E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，∴HG=

1111AC,EF∥AC,EF=AC,EH=BD，GF=BD， 2222∴EH=HG =EF=GF，∴平行四边形EFGH是菱形，∴FH⊥EG，

∴阴影部分EFGH的面积是

11×HF×EG=×2×4=4，故选C. 222．（2020·全国）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH是（ ）

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形

解：∵在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，∴EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，

同理：HE∥GF，∴四边形EFGH是平行四边形，∵E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，∴GH＝

11AD，GF＝BC， 22∵AD＝BC，∴GH＝GF，∴平行四边形EFGH是菱形；故选B． 二、填空题

3（．2019·山东莱州）如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点，HF＝2，EG＝4，则四边形EFGH的面积为____________．

【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，

∵E、F、G、H分别是四条边的中点，∴AE＝DG＝BE＝CG，AH＝DH＝BF＝CF，

∴△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF(SAS)，∴EH＝EF＝FG＝GH，∴四边形EFGH是菱形，

∵HF＝2，EG＝4，∴四边形EFGH的面积为

11HF·EG＝×2×4＝4. 22

4．（2019·广东揭阳初三期中）如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件_____．

【解析】添加的条件应为：AC=BD．证明：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，

∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG=

111AC；同理EF∥AC且EF=AC，同理可得EH=BD， 222则HG∥EF且HG=EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又AC=BD，所以EF=EH，∴四边形EFGH为菱形．

5．（2019·全国初三课时练习）如图，点E,F,G,H分别为四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点，当四边形EFGH满足条件_______时，四边形EFGH是菱形．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）

【解析】解：在四边形ABCD中，∵E、F、G、H分别四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点 ∴HG=EF=

11AC，GF=HE=BD∴四边形EFGH是平行四边形 22若HG=GF∴平行四边形EFGH是菱形．故答案为HG=GF.

6．（2019·黑龙江省红光农场学校初三期中）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是______．

【解析】解：条件是AD=BC．∵EH、GF分别是△ABC、△BCD的中位线，∴EH∥=BC，GF∥=BC，

∴EH∥=GF，∴四边形EFGH是平行四边形．

要使四边形EFGH是菱形，则要使AD=BC，这样，

GH=AD，∴GH=GF，

∴四边形EFGH是菱形．

7．（2020·全国）某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地（如图），各边的中点分别是E、F、G、H，用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40cm，则对角线AC=________．

【解析】连接BD∵四边形ABCD是等腰梯形∴AC=BD

∵各边的中点分别是E. F. G、H∴HG=

11AC=EF，EH=BD=FG∴HG=EH=EF=FG，∴四边形EFGH是菱形 22∵四边形EFGH场地的周长为40cm∴EF=10cm∴AC=20cm 三、解答题

8．（2019·山东邹城）已知：四边形ABCD，E，F，G，H是各边的中点．

（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；

（2）假如四边形ABCD是一个矩形，猜想四边形EFGH是什么图形？并证明你的猜想．

【答案】（1）∵E，F，G，H是各边的中点，∴EF∥AC∥HG，HE∥BD∥GF，∴四边形EFGH是平行四边形；

（2）四边形ABCD是一个矩形，四边形EFGH是菱形；∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，

∴EF＝

11AC＝BD＝EH， 22∵四边形EFGH是平行四边形，

∴四边形EFGH是菱形．

9．（2019·全国）如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点．

(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；

(2)当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形．并证明你的结论．

【答案】解：（1）∵E、F分别是AD，BD的中点，G、H分别中BC，AC的中点，

∴EF∥AB，EF=

11AB；GH∥AB，GH=AB． ∴EF∥GH，EF=GH．∴四边形EFGH是平行四边形． 22（2）当AB=CD时，四边形EFGH是菱形．

理由：∵E、F分别是AD，BD的中点，H，G分别是AC，BC的中点，G、F分别是BC，BD的中点，E，H分别是AD，AC的中点，

∴EF=

1111AB，HG=AB，FG=CD，EH=CD， 2222又∵AB=CD，∴EF=FG=GH=EH．∴四边形EFGH是菱形．

10．（2019·全国初三课时练习）在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E1F1G1H1所得的四边形我们称之为中点四边形，如图．

（1）求证：四边形E1F1G1H1是菱形；

（2）设E1F1G1H1的中点四边形是E2F2G2H2，E2F2G2H2的中点四边形是E3F3G3H3…．En-1Fn-1Gn-1Hn-1的中点四边形是EnFnGnHn，那么这些中点四边形形状的变化有没有规律性？ （填“有”或“无”）若有，说出其中的规律性 ；

（3）进一步：如果我们规定：矩形=0，菱形=1，并将矩形ABCD的中点四边形用f(0)表示；菱形的中点四边形用f(1)表示，由题（1）知，f(0)=1，那么f(1)= ．

【答案】（1）证明：连接AC、BD，∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，

E1H11111，，BD，同理FGBDHGACEFAC， 1111112222E1H1FG11H1G1E1F1，四边形EFGH是菱形．

11

11

又

在矩形ABCD中，AC=BD，（2）解：有；矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形．

（3）解：∵矩形的中点四边形为菱形，即：f(0)=1，∴菱形的中点四边形为矩形可以表示为：f(1)=0．

11．（2020·广东龙岗?深大师范坂田学校）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．

（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；

（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；

（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）

【答案】

（1）证明：如图1中，连接BD．∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH=

12BD，

∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG=

1BD，∴EH∥FG，EH=GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形． 2（2）四边形EFGH是菱形．证明：如图2中，连接AC，BD．

∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，

∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD，∴△APC≌△BPD，∴AC=BD．

∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF=

11AC，FG=BD， 22∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．

（3）四边形EFGH是正方形．

证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．

∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，

∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．

12．（2020·河南潢川）如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．

（1）猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；

（2）当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；

（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．

【答案】（1）四边形EFGH是菱形． 连接AD，BC．

∵∠APC=∠BPD，∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD．即∠APD=∠CPB．

又∵PA=PC，PD=PB，∴△APD≌△CPB（SAS）∴AD=CB． ∵E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，

∴EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线．

∴EF=

1111BC，FG=AD，GH=BC，EH=AD．∴EF=FG=GH=EH．∴四边形EFGH是菱形． 2222（2）成立．理由：连接AD，BC．

∵∠APC=∠BPD，∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD．即∠APD=∠CPB．又∵PA=PC，PD=PB，∴△APD≌△CPB（SAS）∴AD=CB．

∵E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，∴EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线．

∴EF=

1111BC，FG=AD，GH=BC，EH=AD．∴EF=FG=GH=EH．∴四边形EFGH是菱形． 2222（3）补全图形，如答图．

判断四边形EFGH是正方形． 理由：连接AD，BC．∵（2）中已证△APD≌△CPB．∴∠PAD=∠PCB．∵∠APC=90°，

∴∠PAD+∠1=90°．又∵∠1=∠2．∴∠PCB+∠2=90°．∴∠3=90°．

∵（2）中已证GH，EH分别是△BCD，△ACD的中位线，∴GH∥BC，EH∥AD．

∴∠EHG=90°．又∵（2）中已证四边形EFGH是菱形，∴菱形EFGH是正方形．