专题01 特殊平行四边形中的中点四边形问题
【典型例题】
1.(2020·山东河东初三一模)如图,任意四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,对于四边形EFGH的形状,某班学生在一次数学活动课中,通过动手实践,探索出如下结论,其中错误的是( )
A.当E,F,G,H是各边中点,且AC=BD时,四边形EFGH为菱形
B.当E,F,G,H是各边中点,且AC⊥BD时,四边形EFGH为矩形
C.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH可以为平行四边形
D.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH不可能为菱形
【解析】根据题意,可知,连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形,根据中点四边形的性质进行判断:
A.当E,F,G,H是各边中点,且AC=BD时,EF=FG=GH=HE,故四边形EFGH为菱形,故A正确;
B.当E,F,G,H是各边中点,且AC⊥BD时,∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°,故四边形EFGH为矩形,故B正确;
C.当E,F,G,H不是各边中点时,EF∥HG,EF=HG,故四边形EFGH为平行四边形,故C正确;
D.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH可能为菱形,故D错误;故选D.
2.(2019·湖北安陆)如图,连接四边形ABCD各边中点,得到四边形EFGH,对角线AC,BD满足________,才能使四边形EFGH是矩形.
【解析】解:∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点, ∴HG∥BD,EH∥AC,∴∠EHG=∠1,∠1=∠2, ∴∠2=∠EHG,
∵四边形EFGH是矩形, ∴∠EHG=90°, ∴∠2=90°, ∴AC⊥BD.故还要添加AC⊥BD,才能保证四边形EFGH是矩形.
【专题训练】
一、选择题
1.(2019·四川大英)已知:如图,在矩形ABCD中,E ,F ,G ,H分别为边AB, BC ,CD, DA的中点.若AB=2,AD=4,则图中阴影部分的面积为 ( )
A.5 B.4.5 C.4 D.3.5
【解析】连接AC,BD,FH,EG,
∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,
∵E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,∴HG=
1111AC,EF∥AC,EF=AC,EH=BD,GF=BD, 2222∴EH=HG =EF=GF,∴平行四边形EFGH是菱形,∴FH⊥EG,
∴阴影部分EFGH的面积是
11×HF×EG=×2×4=4,故选C. 222.(2020·全国)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,点E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点,则四边形EFGH是( )
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形
解:∵在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点,∴EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG,
同理:HE∥GF,∴四边形EFGH是平行四边形,∵E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点,∴GH=
11AD,GF=BC, 22∵AD=BC,∴GH=GF,∴平行四边形EFGH是菱形;故选B. 二、填空题
3(.2019·山东莱州)如图,在矩形ABCD中,E、F、G、H分别是四条边的中点,HF=2,EG=4,则四边形EFGH的面积为____________.
【解析】∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
∵E、F、G、H分别是四条边的中点,∴AE=DG=BE=CG,AH=DH=BF=CF,
∴△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF(SAS),∴EH=EF=FG=GH,∴四边形EFGH是菱形,
∵HF=2,EG=4,∴四边形EFGH的面积为
11HF·EG=×2×4=4. 22
4.(2019·广东揭阳初三期中)如图,四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.若四边形EFGH为菱形,则对角线AC、BD应满足条件_____.
【解析】添加的条件应为:AC=BD.证明:∵E,F,G,H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,
∴在△ADC中,HG为△ADC的中位线,所以HG∥AC且HG=
111AC;同理EF∥AC且EF=AC,同理可得EH=BD, 222则HG∥EF且HG=EF,∴四边形EFGH为平行四边形,又AC=BD,所以EF=EH,∴四边形EFGH为菱形.
5.(2019·全国初三课时练习)如图,点E,F,G,H分别为四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,当四边形EFGH满足条件_______时,四边形EFGH是菱形.(只需写出一个即可,图中不能再添加别的“点”和“线”)
【解析】解:在四边形ABCD中,∵E、F、G、H分别四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点 ∴HG=EF=
11AC,GF=HE=BD∴四边形EFGH是平行四边形 22若HG=GF∴平行四边形EFGH是菱形.故答案为HG=GF.
6.(2019·黑龙江省红光农场学校初三期中)如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点,要使四边形EFGH是菱形,四边形ABCD还应满足的一个条件是______.
【解析】解:条件是AD=BC.∵EH、GF分别是△ABC、△BCD的中位线,∴EH∥=BC,GF∥=BC,
∴EH∥=GF,∴四边形EFGH是平行四边形.
要使四边形EFGH是菱形,则要使AD=BC,这样,
GH=AD,∴GH=GF,
∴四边形EFGH是菱形.
7.(2020·全国)某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地(如图),各边的中点分别是E、F、G、H,用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40cm,则对角线AC=________.
【解析】连接BD∵四边形ABCD是等腰梯形∴AC=BD
∵各边的中点分别是E. F. G、H∴HG=
11AC=EF,EH=BD=FG∴HG=EH=EF=FG,∴四边形EFGH是菱形 22∵四边形EFGH场地的周长为40cm∴EF=10cm∴AC=20cm 三、解答题
8.(2019·山东邹城)已知:四边形ABCD,E,F,G,H是各边的中点.
(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;
(2)假如四边形ABCD是一个矩形,猜想四边形EFGH是什么图形?并证明你的猜想.
【答案】(1)∵E,F,G,H是各边的中点,∴EF∥AC∥HG,HE∥BD∥GF,∴四边形EFGH是平行四边形;
(2)四边形ABCD是一个矩形,四边形EFGH是菱形;∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,
∴EF=
11AC=BD=EH, 22∵四边形EFGH是平行四边形,
∴四边形EFGH是菱形.
9.(2019·全国)如图,四边形ABCD中,对角线相交于点O,E,F,G,H分别是AD,BD,BC,AC的中点.
(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;
(2)当四边形ABCD满足一个什么条件时,四边形EFGH是菱形.并证明你的结论.
【答案】解:(1)∵E、F分别是AD,BD的中点,G、H分别中BC,AC的中点,
∴EF∥AB,EF=
11AB;GH∥AB,GH=AB. ∴EF∥GH,EF=GH.∴四边形EFGH是平行四边形. 22(2)当AB=CD时,四边形EFGH是菱形.
理由:∵E、F分别是AD,BD的中点,H,G分别是AC,BC的中点,G、F分别是BC,BD的中点,E,H分别是AD,AC的中点,
∴EF=
1111AB,HG=AB,FG=CD,EH=CD, 2222又∵AB=CD,∴EF=FG=GH=EH.∴四边形EFGH是菱形.
10.(2019·全国初三课时练习)在矩形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,顺次连接E1F1G1H1所得的四边形我们称之为中点四边形,如图.
(1)求证:四边形E1F1G1H1是菱形;
(2)设E1F1G1H1的中点四边形是E2F2G2H2,E2F2G2H2的中点四边形是E3F3G3H3….En-1Fn-1Gn-1Hn-1的中点四边形是EnFnGnHn,那么这些中点四边形形状的变化有没有规律性? (填“有”或“无”)若有,说出其中的规律性 ;
(3)进一步:如果我们规定:矩形=0,菱形=1,并将矩形ABCD的中点四边形用f(0)表示;菱形的中点四边形用f(1)表示,由题(1)知,f(0)=1,那么f(1)= .
【答案】(1)证明:连接AC、BD,∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,
E1H11111,,BD,同理FGBDHGACEFAC, 1111112222E1H1FG11H1G1E1F1,四边形EFGH是菱形.
11
11
又
在矩形ABCD中,AC=BD,(2)解:有;矩形的中点四边形是菱形,菱形的中点四边形是矩形.
(3)解:∵矩形的中点四边形为菱形,即:f(0)=1,∴菱形的中点四边形为矩形可以表示为:f(1)=0.
11.(2020·广东龙岗?深大师范坂田学校)我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.
(1)如图1,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证:中点四边形EFGH是平行四边形;
(2)如图2,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想;
(3)若改变(2)中的条件,使∠APB=∠CPD=90°,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状.(不必证明)
【答案】
(1)证明:如图1中,连接BD.∵点E,H分别为边AB,DA的中点,∴EH∥BD,EH=
12BD,
∵点F,G分别为边BC,CD的中点,∴FG∥BD,FG=
1BD,∴EH∥FG,EH=GF,∴中点四边形EFGH是平行四边形. 2(2)四边形EFGH是菱形.证明:如图2中,连接AC,BD.
∵∠APB=∠CPD,∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD,即∠APC=∠BPD,在△APC和△BPD中,
∵AP=PB,∠APC=∠BPD,PC=PD,∴△APC≌△BPD,∴AC=BD.
∵点E,F,G分别为边AB,BC,CD的中点,∴EF=
11AC,FG=BD, 22∵四边形EFGH是平行四边形,∴四边形EFGH是菱形.
(3)四边形EFGH是正方形.
证明:如图2中,设AC与BD交于点O.AC与PD交于点M,AC与EH交于点N.
∵△APC≌△BPD,∴∠ACP=∠BDP,∵∠DMO=∠CMP,∴∠COD=∠CPD=90°,∵EH∥BD,AC∥HG,∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°,
∵四边形EFGH是菱形,∴四边形EFGH是正方形.
12.(2020·河南潢川)如图1,P是线段AB上的一点,在AB的同侧作△APC和△BPD,使PC=PA,PD=PB,∠APC=∠BPD,连接CD,点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点,顺次连接E、F、G、H.
(1)猜想四边形EFGH的形状,直接回答,不必说明理由;
(2)当点P在线段AB的上方时,如图2,在△APB的外部作△APC和△BPD,其他条件不变,(1)中的结论还成立吗?说明理由;
(3)如果(2)中,∠APC=∠BPD=90°,其他条件不变,先补全图3,再判断四边形EFGH的形状,并说明理由.
【答案】(1)四边形EFGH是菱形. 连接AD,BC.
∵∠APC=∠BPD,∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD.即∠APD=∠CPB.
又∵PA=PC,PD=PB,∴△APD≌△CPB(SAS)∴AD=CB. ∵E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点,
∴EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线.
∴EF=
1111BC,FG=AD,GH=BC,EH=AD.∴EF=FG=GH=EH.∴四边形EFGH是菱形. 2222(2)成立.理由:连接AD,BC.
∵∠APC=∠BPD,∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD.即∠APD=∠CPB.又∵PA=PC,PD=PB,∴△APD≌△CPB(SAS)∴AD=CB.
∵E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点,∴EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线.
∴EF=
1111BC,FG=AD,GH=BC,EH=AD.∴EF=FG=GH=EH.∴四边形EFGH是菱形. 2222(3)补全图形,如答图.
判断四边形EFGH是正方形. 理由:连接AD,BC.∵(2)中已证△APD≌△CPB.∴∠PAD=∠PCB.∵∠APC=90°,
∴∠PAD+∠1=90°.又∵∠1=∠2.∴∠PCB+∠2=90°.∴∠3=90°.
∵(2)中已证GH,EH分别是△BCD,△ACD的中位线,∴GH∥BC,EH∥AD.
∴∠EHG=90°.又∵(2)中已证四边形EFGH是菱形,∴菱形EFGH是正方形.
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