上海市2016年高三二模汇编——集合不等式函数

2016年高三二模汇编——集合、不等式、函数

一、填空题

1、（2016年长宁宝山青浦嘉定二模理文1）设集合A{x|x|2,xR}，

B{xx24x30,xR}，则AB_________．

【答案】(2,1]

2、（2016年长宁宝山青浦嘉定二模理文3）设a0且a1，若函数f(x)ax12的反函数的图像经过定

点P，则点P的坐标是___________． 【答案】(3,1)

3、（2016年长宁宝山青浦嘉定二模理7）设定义在R上的奇函数yf(x)，当x0时，f(x)2x4，则

不等式f(x)0的解集是__________________．

【答案】(,2][0,2]

x4、（2016年长宁宝山青浦嘉定二模文7）设定义在R上的偶函数yf(x)，当x0时，f(x)24，则

不等式f(x)0的解集是__________________．

【答案】[2,2]

a（x[1,2]）的图像的两个端点分x别为A、B，设M是函数f(x)图像上任意一点，过M作垂直于x轴的直线l，且l与线段AB交于点N，若|MN|1恒成立，则a的最大值是_________________．

5、（2016年长宁宝山青浦嘉定二模理14）已知a0，函数f(x)x【答案】642

6、（2016年长宁宝山青浦嘉定二模文14）对于函数f(x)ax2bx，其中b0，若f(x)的定义域与值

域相同，则非零实数a的值为_____________． 【答案】4

7、（2016年崇明二模文理1）已知全集UR，Ax|x22x0，Bx|x≥1，则

ACUB ． 【答案】(0,1)

8、（2016年崇明二模文8理6）已知x,yR，且满足【答案】3

x2a,x≥09、（2016年崇明二模文9理8）已知函数f(x)2，若f(x)的最小值是a，则

xax,x0a ．

xy1，则xy的最大值为 ． 34【答案】4

1

10、（2016年崇明二模文14）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意xR，都有f(x4)f(x)，

当x4,6的时候，f(x)2x1，f(x)在区间2,0上的反函数为f1(x)，则f1(19) ．

【答案】log289

12x3,1≤x211、（2016年崇明二模理14）已知函数f(x)是定义在1,上的函数，且f(x)11，则

fx,x≥222函数y2xf(x)3在区间(1,2016)上的零点个数为 ．

【答案】11

12、（2016年黄埔二模文理1）已知集合A{1,3,2m1}，集合B{3,m2}．若BA，则实数m ． 【答案】1

13、（2016年黄埔二模文理3）函数f(x)3x1的反函数f1(x) ． 【答案】(x1)3，xR

14、（2016年黄埔二模文理8）已知函数f(x)x3lg(x21x)，若f(x)的定义域中的a、b满足

f(-a)+f(-b)-3=f(a)+f(b)+3，则f(a)f(b) ． 【答案】3

15、（2016年黄埔二模文14理13）正整数a、b满足1ab，若关于x、y的方程组

y2x4033,有且只有一组解，则a的最大值为 ． y|x1||xa||xb|【答案】2016

16、（2016年徐汇金山松江二模文理2）若集合Ax3x10,Bxx12，则

AB=_______________． 1【答案】,3

317、（2016年徐汇金山松江二模文7）函数y【答案】x221x22的最小值=__________________．

32 218、（2016年徐汇金山松江二模文14理13）定义在R上的奇函数f(x),当x0时，

log1(x1),x0,1,f(x)2

1x3,x1,,则关于x的函数F(x)f(x)a(0a1)的所有零点之和为________________（结果用a表示）．

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2

【答案】12

a19、（2016年杨浦二模文理1）函数f(x)【答案】[2,1)(1,)

x2的定义域为 . x120、（2016年杨浦二模理13）若关于x的方程4x数m的取值范围为 .

545xm在(0,)内恰有三个相异实根，则实xx【答案】6,415 10544xm在(0,)内恰有四个相异实xx21、（2016年杨浦二模文13）若关于x的方程5x根，则实数m的取值范围为 .

【答案】(6,10)

22、（2016年奉贤二模文理2）函数y【答案】0,

23、（2016年奉贤二模文理10）已知函数fx2a2的反函数是fxx12x1的定义域是_______．(用区间表示)

x，f1x在定义域上是奇

函数，则正实数a_____． 【答案】a1

24、（2016年奉贤二模文11）已知x1,y0，集合

A{(x,y)|xy4},B{(x,y)|xyt0}，如果AB,则t的取值范围是_______．

【答案】4,2

225、（2016年虹口二模文理1）设集合Mxxx，Nxlog2x0，则MN__________.

【答案】0,1

26、（2016年虹口二模文理5）已知函数f(x)的对应关系如下表：

x f(x) 2 3 1 0 1 15 22 m 若函数f(x)不存在反函数，则实数m的取值集合为___________.

3

【答案】3,2,1,5

ax,x127、（2016年虹口二模文13）设函数f(x)(其中a0,a1),若不等式f(x)3的 2x2x,x1解集为,3,则实数a的取值范围为___________.

【答案】4

28、（2016年虹口二模理14） 已知对任意的x(,0)(0,),y1,1，不等式

x21682xy1y2a0恒成立，则实数a的取值范围为_________. 2xx【答案】,842

29、（2016年静安二模文1）已知全集UR，集合Ax(x1)(x4)0， 则集合A的补集CUA . 【答案】(,1)(4,)

30、（2016年静安二模文2）指数方程4x62x160的解是 . 【答案】x3

31、（2016年静安二模文7）设函数fx2x3，则不等式fx5的解集为 . 【答案】x1x4

32、（2016年静安二模文理8）关于 的函数f()cos析式为 .

22xcos1的最大值记为M(x)，则M(x)的解

【答案】M(x)2xx0

2xx033、（2016年静安二模文理14）设关于x的实系数不等式(ax3)(x2b)0对任意x[0,)恒成立，则a2b . 【答案】9

34、（2016年闵行二模文理1）函数ylog3(x1)的定义域是 . 【答案】1,

35、（2016年闵行二模文理2）集合Ax|x3x0，Bxx2，则AB等于 .

2www.1smart.org 中小学个性化辅导 4

【答案】2,3

log3x1136、（2016年闵行二模文理4）已知函数f(x)，则f(0) .

21【答案】9

37、（2016年闵行二模文理9）若m0，n0，mn1，且

t1（t0）的最小值为9，则mnt .

【答案】4

38、（2016年闵行二模理14）若两函数yxa与y12x2的图像有两个交点A、B，O是坐标原点，

△OAB是锐角三角形，则实数a的取值范围是 . 【答案】

6233,3 39、（2016年闵行二模文14）若两函数yxa与y12x2的图像有两个交点A、B，O是坐标原点，

当△OAB是直角三角形时，则满足条件的所有实数a的值的乘积为 .

【答案】

22 340、（2016年浦东二模文理1）已知全集UR,若集合Ax|【答案】0,1

x0，则CUA . x141、（2016年浦东二模文理5）方程log2(9x7)2log2(3x1)的解为 . 【答案】0,1

42、（2016年浦东二模文理6）已知函数f(x)=值为 .

3x11a的图像与它的反函数的图像重合，则实数a的

xa3【答案】a3

43、（2016年浦东二模理14）关于x的方程【答案】4031

5

11sinx在2016,2016上解的个数是 ．

2x11 44、（2016年普陀二模文14）关于x的方程【答案】11

11sinx在6,6上解的个数是 ． 2x1145、（2016年普陀二模文理1）若集合Ax|yx1,xR，Bx||x|1,xR，则

AB .

【答案】1

46、（2016年普陀二模文理2）若函数f(x)1为 .

1x0的反函数为f1(x)，则不等式f1(x)2的解集x【答案】1，

47、（2016年普陀二模文理4）. 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x2)f(x)，则

32f(2016) .

【答案】0

a2x,x048、（2016年普陀二模文理13）设函数f(x)，记g(x)f(x)x，若函数g(x)有且仅

f(x1),x0有两个零点，则实数a的取值范围是 .

【答案】a2

49、（2016年闸北二模文理1）设函数f(x)aaxx)a(且0a），1且f(13，则

f(0)f(1)f的值是( ．

【答案】12

50、（2016年闸北二模文理2）已知集合A{x||x2|a}，B{x|x22x30}，若BA，则实数a的取值范围是 ．

【答案】a3

x,|x|1cos251、（2016年闸北二模文9）已知函数f(x)，则关于x的方程f(x)3f(x)20的22x1,|x|1实根的个数是 个．

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6

【答案】5

52、（2016年闸北二模理10）设函数f(x)x21，对任意x,，

32xf4m2f(x)f(x1)4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是 ． m【答案】m33或m； 221,对任意x[1,)，f(mx)mf(x)0恒成立，x53、（2016年闸北二模文10）（文）设函数f(x)x则实数m的取值范围是 ．

【答案】m1

二、选择题

|log3x|,0x3,1、（2016年长宁宝山青浦嘉定二模理18）已知函数f(x) 若存在实数x1，x2，

sin6x,3x15,x3，x4满足f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)，其中x1x2x3x4，则x1x2x3x4的取值范围是（ ）． （A）(60,96) （B）(45,72) （C）(30,48) （D）(15,24)

【答案】B

2、（2016年长宁宝山青浦嘉定二模文18）已知直线l：y2xb与函数y

1

的图像交于A、B两点，设x

O为坐标原点，记△OAB的面积为S，则函数Sf(b)是（ ）．

（A）奇函数且在(0,)上单调递增 （B）偶函数且在(0,)上单调递增 （A）奇函数且在(0,)上单调递减 （D）偶函数且在(0,)上单调递减

【答案】B

3、（2016年崇明二模文理15）“x12成立”是“x(x3)0成立”

的„„„„„„„„„„„„„„„„„（ ）

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不不充分也不必要条件

【答案】B

4、（2016年崇明二模文理18）函数yf(x)的图像如图所示，在区间a,b上可找到n(n≥2)个

不同的数x1,x2,,xn，使得

f(xn)f(x1)f(x2)，则n的取 x1x2xn

B．{2,3}

y 值范围是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（ ）

A．{3,4}

7

O a （第18题图） b x C．{3,4,5} D．{2,3,4}

【答案】D

25、（2016年徐汇金山松江二模文理15）已知非零向量a、b，“函数f(x)(axb)为偶函数”是“ab”的---（ ）

（A） 充分非必要条件

（B） 必要非充分条件 （D）既非充分也非必要条件

（C） 充要条件

【答案】C

6、（2016年徐汇金山松江二模文17理16）函数y=2x,x0,的反函数是---------------（ ） 2x,x0xx,x02x,x02x,x0,x0（A）y2（B）y2（C）y （D）y

x,x0x,x0x,x0x,x0【答案】B

7、（2016年杨浦二模文理15）下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,)上递增的是 （ ）.

A、

y2 B、ylnx C、yx D、yxx131 x【答案】C

8、（2016年杨浦二模文理17）设x,y,z是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是 （ ）. ．．．．

A、xC、|x211x B、x3x1x2x x2xy|12 D、|xy||xz||yz| xy【答案】C

9、（2016年杨浦二模理18）方程93b5bR两个负实数解,则b的取值范围为（ ）．

xx A．

3,5 B．5.25,5 C．5.25,5 D．前三个都不正确

【答案】B

xx10、（2016年杨浦二模文18）方程93b5bR有一个正实数解,则b的取值范围为（ ）．

A．

5,3 B．5.25,5 C．5,5 D．前三个都不正确

【答案】A

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8

11、（2016年静安二模理15）下列不等式一定成立的是 （ ）

A．lg(xC．x221)lgx(x0) 4B．sinx12(xk,kZ) sinx12|x|(xR)

D．

11(xR) 2x1【答案】C

12、（2016年静安二模文理17）若函数Fxfxx为奇函数，且g(x)= f(x)＋2，已知 f(1) =1，则g (－

21)的值为（ ）

A．－1 B．1 C．－2 D．2

【答案】A

13、（2016年闵行二模文理15）如果ab，那么下列不等式中正确的是（ ）.

(A)

11 (B) a2b2 (C) lga1lgb1 (D) 2a2b ab1x1”是“不等式x11成立”的（ ） 2【答案】D

14、（2016年浦东二模文理15）“

（A）充分非必要条件. （B）必要非充分条件. （C）充要条件. （D）既非充分亦非必要条件.

【答案】A

15、（2016年浦东二模文理18）已知平面直角坐标系中两个定点E(3,2),F(3,2)，如果对于常数，在函数

yx2x24,x[4,4]的图像上有且只有6个不同的点P，使得PEPF成立，那么的取值

范围是( ) （A）5,999,11,1 （B）（C） （D）5,11 555

【答案】C

16、（2016年普陀二模文理18）对于正实数，记M是满足下列条件的函数f(x)构成的集合：对于任意的

实数x1,x2R且x1（ ） （A）若

x2，都有x2x1f(x2)f(x1)x2x1成立.下列结论中正确的是

f(x)M1,g(x)M2，则f(x)g(x)M12

9

（B）若

f(x)M1,g(x)M2且g(x)0，则

f(x)M1 g(x)2（C）若（D）若

f(x)M1,g(x)M2，则f(x)g(x)M12

f(x)M1,g(x)M2且12，则f(x)g(x)M12

【答案】C

三、解答题

1、（2016年长宁宝山青浦嘉定二模理21）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小

题满分8分．

定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意xD，存在常数M0，都有是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．

（1）设f(x)f(x)M成立，则称f(x)x1，判断f(x)在,x12x1上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出f(x)的所有2上界M的集合；若不是，也请说明理由；

（2）若函数g(x)12（1）f(x)1即1f(x)a4x在x[0,2]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

1上是增函数，故221．（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

11，则f(x)在,x121ff(x)21f， 21， „„„„„„„„„„„„„„„„„（2分） 3故|f(x)|1，所以f(x)是有界函数． „„„„„„„„„„„„„„„„„（4分） 所以，上界M满足M1，所有上界M的集合是[1,)． „„„„„„„„（6分）

（2）因为函数g(x)在x[0,2]上是以3为上界的有界函数，故|g(x)|3在x[0,2]上恒成立，即

3g(x)3，所以，312xa4x3（x[0,2]）， „„（2分）

4121所以xxaxx（x[0,2]），

224411122令tx，则t,1，故4tta2tt在t,1上恒成立，

244122所以，(4tt)maxa(2tt)min（t,1）， „„„„„„„„„（5分）

41112令h(t)4tt，则h(t)在t,1时是减函数，所以h(t)maxg；（6分）

244www.1smart.org 中小学个性化辅导 10

111p(t)2t2t，则p(t)在t,1时是增函数，所以p(t)minh．„（7分）

84411所以，实数a的取值范围是,． „„„„„„„„„„„„„„（8分）

28令

2、（2016年长宁宝山青浦嘉定二模文21）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小

题满分8分．

定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意xD，存在常数M0，都有是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．

（1）设f(x)f(x)M成立，则称f(x)x1，判断f(x)在,x12xx1上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出f(x)的所有2上界M的集合；若不是，也请说明理由；

11（2）若函数g(x)1a在[0,)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

2421．（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1）f(x)1即1f(x)1111，则f(x)在,上是增函数，故ff(x)x12221f， 21， „„„„„„„„„„„„„„„„„（2分） 3故|f(x)|1，所以f(x)是有界函数． „„„„„„„„„„„„„„„„„（4分） 所以，上界M满足M1，所有上界M的集合是[1,)． „„„„„„„„（6分） （2）由题意，3g(x)3对x[0,)恒成立，

11即31a3， „„„„„„„„„„„„„„„„„（1分）

2412令t，则t(0,1]，原不等式变为4att2，

24t22t242a故， 故tat， „„„„„„„„（3分） tttmaxtmin因为y又yxxx44t在(0,1]上是增函数，故t5， „„„„„„„（5分） ttmax22t在t(0,1]上是减函数，故t1． „„„„„„„„„（7分） ttmin综上，实数a的取值范围是[5,1]． „„„„„„„„„（8分）

3、（2016年崇明二模文理20）（本题满分14分，本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）已知函数f(x)3x3x(R)

（文）（1）当4时，求解方程f(x)3；

（2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由． 20.（1）由f(x)3 ，得3x43x3

11

令t30 ，则原方程可化为t23t40 所以t4 或t1 （舍去）

所以xlog34 ..................................................6分 （2）函数f(x)3x3x的定义域为R

当=1时，f(x)3x3x，f(x)f(x)，函数为偶函数；..............9分 当=-1时，f(x)3x3x，f(x)f(x)，函数为奇函数；............11分 当||1时，f(1)3

（理）（1）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）若不等式f(x)≤6在x0,2上恒成立，求实数的取值范围． 20.（1）函数f(x)3x3x的定义域为R

当=1时，f(x)3x3x，f(x)f(x)，函数为偶函数；..............2分 当=-1时，f(x)3x3x，f(x)f(x)，函数为奇函数；............4分 当||1时，f(1)3x3,f(1)13 此时f(1)f(1)且f(1)f(1), 3所以函数为非奇非偶函数.........................................14分

1,f(1)3 此时f(1)f(1)且f(1)f(1), 33所以函数为非奇非偶函数.........................................6分

（2） 由于

令tfx6得3x3x6，即3x3x6，

3x[1,9]，................................................8分 原不等式等价于t6在t1,9上恒成立，

t2亦即t6t在t1,9上恒成立，.............................10分

令g(t)t26t,t1,9，

当t9时，g

t有最小值g927，所以27................14分

4、（2016年黄埔二模文理21）（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7

分．

x2，其中a1． x1 （1）证明：函数f(x)在(1,)上为增函数．

已知函数f(x)ax（2）证明：不存在负实数x0使得f(x0)0．

21．(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．

x[证明]（1）任取1x1x2，f(x1)f(x2)a1x12x2ax22 x11x21www.1smart.org 中小学个性化辅导 12

x2x223(x1x2)x1x2．（3分） (ax1ax2)1(aa)(x11)(x21)x11x21xx因为1x1x2，a1，所以a1a2，x110，x210，x1x20，

3(x1x2)xx0，得f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)． 于是a1a20，

(x11)(x21)因此，函数f(x)在(1,)上为增函数．（6分）

x2（2）（反证法）若存在负实数x0（x01），使得f(x0)0，即方程ax0有负实数根．（8分）

x1x211x对于ax，当x00且x01时，因为a1，所以a00,,1，（10分）

x1aax231(,1)(2,)．（13分） 而0x01x01因此，不存在负实数x0使得ax

x2，得证． x15、（2016年徐汇金山松江二模文理21）（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）

已知函数

f(x)2xaa．

（1）若不等式f(x)6的解集为

1,3，求a的值；

f(x0)tf(x0)，求t的取值范围．

（2）在（1）的条件下，若存在x0R,使

21．（本题满分16分；第（1）小题6分，第（2）小题8分） 【解答】（1）

f(x)2xaa6,即2xa6a.

a6,6a0,即-----------------------------------------3分 a3x3,6a2xa6a,a6,a31,即a2.----------------------------------------------------------------------6分 33,（2）a2时，若存在x0R,使则tf(x)2x22.

f(x0)tf(x0),即tf(x0)f(x0),---------------------8分

f(x)f(x)min.-----------------------------------------------------------------10分

1,1时等号成立t8,即t8,.----------------------------------------14分

f(x)f(x)2x22x24(2x2)(2x2)48,

当x

6、（2016年杨浦二模理21）（本题满分14分，其中第一小题6分，第二小题8分）

已知函数

f(x)axlog2(2x1)，其中aR.

（1）根据a的不同取值，讨论f(x)的奇偶性，并说明理由；

13

（2）已知a0，函数f(x)的反函数为

f1(x)，若函数yf(x)f1(x)在区间[1,2]上的最小值为

1log23，求函数f(x)在区间[1,2]上的最大值.

21．解：（1）函数的定义域为R，关于原点对称， （1分）

3a1log23 2可得：f(1)f(1)12log230，f(1)f(1)2a1.

1当a时，f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，

2f(x)为非奇非偶函数； （3分）

1当a=时，

2由

f(1)alog23，f(1)alog2由

f(x)log2(21x22)f(x)，所以f(x)为偶函数. （2分）

1x2 （2）当a0时， 所以：

f(x)为增函数，其反函数f1(x)也为增函数.

yf(x)f1(x)在区间[1,2]上为增函数. （2分）

11 所以其最小值为f(1)f(1)1log23，由f(0)1，得：f(1)0（2分） 所以：alog231log23，所以a1， （2分） f(x)xlog2(2x1).

由f(x)在区间[1,2]为增函数，

可得函数f(x)在区间[1,2]上的最大值为2log25. （2分）

即：

7、（2016年杨浦二模文21）（本题满分14分，其中第一小题6分，第二小题8分）

f(x)axlog2(2x1)，其中aR. 1（1）当a，求证：函数f(x)是偶函数；

211（2）已知a0，函数f(x)的反函数为f(x)，若函数yf(x)f(x)在区间[1,2]上的最小值为

已知函数

1log23，求函数f(x)在区间[1,2]上的最大值.

21．解：（1）当a1时， 211xx1xf(x)xlog2(21)log2(2222), （2分）

2 定义域为R，关于原点对称， （1分）

f(x)log2(22)f(x)，

所以f(x)为偶函数. （3分）

1 （2）当a0时，f(x)为增函数，其反函数f(x)也为增函数.

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14

1x21x2

f(x)f1(x)在区间[1,2]上为增函数. （2分）

11 所以其最小值为f(1)f(1)1log23，由f(0)1，得：f(1)0,（2分） 所以：alog231log23，所以a1， （2分）

所以：yf(x)xlog2(2x1),

由f(x)在区间[1,2]为增函数，

可得函数f(x)在区间[1,2]上的最大值为2log25. （2分）

即：

8、（2016年奉贤二模文理22）（1）已知0x1x2，求证：

（2）已知fxlgx1x11x1； x21x21log3x,求证：fx在定义域内是单调递减函数； 2（3）在（2）的条件下，求集合M22、(1)解：任取0nfn2214n19980,nZ的子集个数.

x1x2，则

xxx11x1x2x11x1x213分 21x2x21 x21x2x2x210x1x2，所以

∴

x2x14分0x2x21

x11x1 5分 x21x2

x11x1x1x,∴lg1lg1. 6分

x21x2x21x2(2)∵

1f(x1)f(x2)lg(x11)lg(x21)-(log3x1log3x2)2

=lgx111x-log317分

x2 x212x11xxx-log91log101log91

x2x2x2x21logt9logt1011

logt10logt9logt10logt9=lg0t1,log10tlog9tlogt90,logt100,logt9logt100,logt9logt100

0t∴

1,logt9logt10xx 8分 0log101log910x2x2logt10logt9

f(x1)f(x1)0∴f(x)为(0,)上的减函数 9分

15

(3)注意到f(9)0

∴当x9时，f(x)f(9)0，当0x9时，f(x)f(9)0，

∴f(x)0有且仅有一个根x9. 由

f(n2214n1998)0f(n2214n1998)f(9)

2n214n19989∴ 13分

2n214n19980

9n223 14分 n10713447,或n100713447 ∴n223或n9， 15分

∴M{9,223}

M的子集的个数是4. 16分

9、（2016年奉贤二模文理21）(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分.

已知函数

1axf(x)log1满足f(2)1，其中a为实常数.

3x1x（1）求a的值，并判定函数f(x)的奇偶性；

1（2）若不等式f(x)t在x2,3恒成立，求实数t的取值范围. 221．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分. 解：（1）由f(2)log112a12a11,得,解得 a1. „„3分 21333于是f(x)log1x1其定义域为

D(,1)(1,). „„4分 ，

3x1

对于任意的x(,1)(1,),有x1x1x1x1f(x)+f(x)log1loglog11log110,

x1x1x1x13333故f(x)为奇函数. „„7分

11 （2）由f(x)t，得tf(x)在2,3恒成立. 22由

xxx12在(,1)及(1,)上均递减，且g(u)log1u在(0,)上也递减， 1x1x13www.1smart.org 中小学个性化辅导 16

故函数f(x)在区间(,1)及(1,)均单调递增. „„10分

1由f(x)及y在区间2,3均单调递增，知

2x1(x)f(x)在2,3单调递增， „„12分

2故(x)minx51(2)f(2).

425). „„14分 42因此，实数t的取值范围为(,

10、（2016年静安二模文理22）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，

第3小题满分6分. 已知函数

yfx，若在区间I内有且只有一个实数c(cI)，使得f(c)0成立，则称函数yfx在区间I内具有唯一零点. （1）（文）判断函数

fxlog2x在定义域内是否具有唯一零点，并说明理由；

x21,0x1,（理）判断函数fx在区间(0,)内是否具有唯一零点，并说明理由；

logx,x1231（2）已知向量m(,)，n(sin2x,cos2x)，x(0,)，证明f(x)mn1在区间(0,)内具有

22唯一零点； （3）若函数

f(x)x22mx2m在区间(2,2)内具有唯一零点，求实数m的取值范围.

22．文：（1）函数

fxlog2x在定义域内不具有唯一零点, „„„2分 f10； „„„4分

因为当x1时,都有

x21,0x1在区间(0,)内具有唯一零点． …2分 理：（1）函数fxlog2x,x1理由：当x函数，有

1时，有f10，且当0x1时，有fxx210；当x1时,fxlog2x是增

fxlog2xlog210． …………4分

31(2) 因为mn1sin2xcos2x1sin(2x)1,所以f(x)sin(2x)1,……7分

622617

2fx0的解集为Axxk,kZ；因为AI,所以在区间(0,)内有且只有一个实

3322f()0数,使得成立,因此f(x)mn1在开区间(0,)内具有唯一零点；……10分 33(3) 函数

f(x)x22mx2m在开区间(2,2)内具有唯一零点，该二次函数的对称轴为xm．以下分

m与区间(2,2)的位置关系进行讨论．

1)当m2即m2时,

f(2)0,解得f(x)x22mx2m在开区间(2,2)是增函数,只需f(2)02时,若使函数在开区间(2,2)内具有唯一零点，2mm20，所以

m2； …………12分

2) 当2m2即2mm0。分三种情形讨论：当m0时,符合题意；当0m2时, 空集； 当2m0时, 只需

f(2)0,22m解得； …………14分 3f(2)03）当mf(2)0,2即m2时, f(x)x22mx2m在区间(2,2)是减函数,只需解得

f(2)02或m0或m2． …………16分 3m2；

综上讨论，实数m的取值范围是m11、（2016年闵行二模文理21）（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满

分8分．

为了配合今年上海迪斯尼游园工作，某单位设计了统计人数的数学模型(nN*)：

200n2000,(1n8)n8以f(n)3603123000,(9n32)表示第n个时刻进入园区的人数；

32400720n,(33n45)0,(1n18)以g(n)500n9000,(19n32)表示第n个时刻离开园区的人数．

8800,(33n45)设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即n1；9点30分作为第2个计算单位，即n2；依次类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）．

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（1）试计算当天14点至15点这一小时内，进入园区的游客人数f(21)f(22)f(23)f(24)、离开园区的游客人数g(21)g(22)g(23)g(24)各为多少？

（2）（理科）从13点45分（即n19）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由．

（文科）假设当日园区游客总人数达到或超过8万时，园区将采取限流措施．该单位借助该数学模型知晓当天16点（即n28）时，园区总人数会达到最高，请问当日是否要采取限流措施？说明理由． 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分． 解：（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为f(21)f(22)f(23)f(24)

360[3333]3000417460（人） „„„„„„„3分

离开园区的人数g(21)g(22)g(23)g(24)=9000（人） „„„„„„6分 （2）（理）当f(n)g(n)0时，园内游客人数递增；当f(n)g(n)0时，

园内游客人数递减． „„„„„„7分 ①当19n32时，由

1312141215121612f(n)g(n)3603n812500n120000，可得：

当19n28时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；„9分 当29n32时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少； „„11分 （f(28)g(28)246.490；f(29)g(29)38.130）

②当33n45时，由f(n)g(n)720n23600递减，且其值恒为负数．

进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少． „„„„„„13分 综上，当天下午16点时（n28）园区内的游客人数最多，此时计算可知

园区大约共有77264人. „„„„„„14分 （文）当天下午16点（n28）时 进入园区人数为S28[f(1)f(2)f(8)][f(9)f(10)f(28)]

1122012[22008873603(31)200][]300020 12(3121)2320021563.560000104764（人） „„„10分

此时，离开园区的人数

T28g(19)9(20)g(28)50010此时，园区共有游客为S28T2810950027500人„„„12分 277264（人） „„„13分

因为7726480000，所以当天不会采取限流措施． „„„14分

19

12、（2016年浦东二模理23）（满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）

已知f(x)是定义在

a,b上的函数，如果存在常数M0，对区间a,b的任意划分：

ni1ax0x1Lxn1xnb，和式f(xi)f(xi1)M恒成立，则称f(x)为a,b上的“绝对差有界

函数”。注：

ai1nia1a2Lan。

,0上是“绝对差有界函数”。 2（1）证明函数f(x)sinxcosx在xcos,0x1,（2）证明函数f(x)不是0,1上的“绝对差有界函数”。 2x0,x0（3）记集合A集合

f(x)|存在常数k0，对任意的x1,x2a,b,有f(x1)f(x2)kx1x2成立}证明

A中的任意函数f(x)为“绝对差有界函数”，并判断g(x)2016sin2016x是否在集合A中，如果

在，请证明并求k的最小值；如果不在，请说明理由。

23.（理） 解：（1）因为所以当xi所以

fx=2sinx+在区间,0上为单调递增函数，„„„„（2分）

42xi1,i0,1,2L,n1时，有fxifxi1,i0,1,2L,n1，

f(xi)f(xi1)f0f2。

2i1nn从而对区间,0的任意划分：x0x1Lxn1xn0，存在M2，f(xi)f(xi1)222i1成立。

综上，函数f(x)sinxcosx在（2）取区间则有：

,0上是“绝对差有界函数”。„„„„（4分） 21111，„„„„„„„„（6分） 20,1的一个划分：02n2n1Lwww.1smart.org 中小学个性化辅导 20

i12nf(xi)f(xi1)|12n1(2n1)12ncos0||coscos|L2n22n122n2

n1211111111|coscos|1L++L++L222244184442444816i1i316144442444434个8个111=1++L++L222所以对任意常数M0，只要n足够大，就有区间0,1的一个划分：

n1110L1满足f(xi)f(xi1)M。„„„„„„„„（10分）

2n2n12i1（3）证明：任取f(x)A，存在常数k而对区间

0，对任意的x1,x2a,b,有f(x1)f(x2)kx1x2成立。从

xn1xnb，和式

a,b的任意划分：ax0x1Lni1i1nf(xi)f(xi1)kxixi1kba成立。取Mkba，所以集合A中的任意函数f(x)为

“绝对差有界函数”。„„„„（14分） 因为|sinx||x|，所以对任意的x1,x2a,b,有

|gx1gx2||2016sin2016x12016sin2016x2|20162sin1008x11008x2cos1008x11008x220162sin1008x11008x2， 20162x1x2所以k的最小值为2016。„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（18分）

213、（2016年浦东二模文23）（满分18分，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分）

已知f(x)是定义在

a,b上的函数，如果存在常数M0，对区间a,b的任意划分：

ni1ax0x1Lxn1xnb，和式f(xi)f(xi1)M恒成立，则称f(x)为a,b上的“绝对差有界

函数”。注：

ai1nia1a2Lan。

21

（1） 证明函数f(x)sinxcosx在（2） 记集合

,0上是“绝对差有界函数”。 2Af(x)|存在常数k0，对任意的x1,x2a,b,有f(x1)f(x2)kx1x2成立}证明集合A中的

任意函数f(x)为“绝对差有界函数”。当

a,b1,2时，判断g(x)x是否在集合A中，如果在，请证明

并求k的最小值；如果不在，请说明理由。

xcos,0x1,（3） 证明函数f(x)不是0,1上的“绝对差有界函数”。 2x0,x023.（文） 解：（1）因为所以当xi所以

fx=2sinx+在区间,0上为单调递增函数，„„„„（2分）

42xi1,i0,1,2L,n1时，有fxifxi1,i0,1,2L,n1，

f(xi)f(xi1)f0f2。

2i1nn从而对区间,0的任意划分：x0x1Lxn1xn0，存在M2，f(xi)f(xi1)222i1成立。

综上，函数f(x)sinxcosx在,0上是“绝对差有界函数”。„„„„（4分） 2（2）证明：任取f(x)A，存在常数k而对区间

0，对任意的x1,x2a,b,有f(x1)f(x2)kx1x2成立。从

xn1xnb，和式

a,b的任意划分：ax0x1Lni1i1nf(xi)f(xi1)kxixi1kba成立。取Mkba，所以集合A中的任意函数f(x)为

“绝对差有界函数”。„„（8分） 对于任意的x1,x21,2，

gx1gx2x1x2x1x21x1x2。

x1x22所以k的最小值为

1。„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（12分） 2（3）取区间

0,1的一个划分：02n2n1L1111，„„„„„„„„（14分） 222

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则有：

i12nf(xi)f(xi1)|12n1(2n1)12ncos0||coscos|L2n22n122n2

n1211111111|coscos|1L++L++L222244184442444816i1i316144442444434个8个111=1++L++L222所以对任意常数M0，只要n足够大，就有区间0,1的一个划分：

n1110L1满足f(xi)f(xi1)M。

2n2n12i1xcos,0x1,所以函数f(x)不是0,1的“绝对差有界函数”。„„„„„（18分） 2x0,x0

14、（2016年普陀二模文理21）（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8

分，

某企业参加A项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A项目中调出x人参与B项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润10a人每年创造利润需要提高0.2x%

（1）若要保证A项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出 多少人参加B项目从事售后服务工作？

（2）在（1）的条件下，当从A项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a的取值范围.

21.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分， 【解】（1）根据题意可得，1000x10100.2x%100010……3分 展开并整理得，x500x0……5分

解得0x500，最多调出的人数为500人……6分

（2）23x万元（a0），A项目余下的工人每5000x500，解得0x400……7分

x100040%23

3x10ax1000x10100.2x%，对于任意的x0,400恒成立……9分

5003x210001020x10x2x2% 即10ax50x2x1000对于任意的x0,400恒成立……10分 即ax250 当x0时，不等式显然成立；

当0x400时，ax100012500001x1……11分 250x250x 令函数f(x)x250000，可知函数f(x)在区间0,400上是单调递减函数……12分 xx100015.1……13分 250x故

f(x)minf4001025，故

故0a5.1，所以实数a的取值范围是0a5.1……14分

15、（2016年闸北二模文理15）（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分） 某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足Px2(其中40xa，a为正常数)．已知生产该批产品还需投入成本6(P定为(41)万元(不含促销费用)，产品的销售价格P20)元／件． P（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数； （2）当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？

15、（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）

解：（1）由题意知， y(4201)px6(p) pp 将Px2243x （0xa）. „„„„„6分 代入化简得： y194x22（2）y3161622(x2)223(x2)10，

2x2x216x2,即x2时，取等号。 „„„„„„„„„4分 x224

上式当且仅当

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当a2时, 促销费用投入2万元时，厂家的利润最大;

当a2时,易证

y在x0,a上单调递增, 所以xa时,函数有最大值。

综上：当a2时, 促销费用投入2万元，厂家的利润最大;

当0a2时促销费用投入a万元，厂家的利润最大„„„„„„„„„4分

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