2022年高一数学理月考试题含解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 林管部门在每年3月12日植树节前，为保证树苗的质量，都会对树苗进行检测，现从甲乙两种树苗中抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图，下列描述正确的是（ ）

A．甲树苗的平均高度大于乙树苗的平均高度，且甲树苗比乙树苗长的整齐. B．甲树苗的平均高度大于乙树苗的平均高度，但乙树苗比甲树苗长的整齐. C．乙树苗的平均高度大于甲树苗的平均高度，且乙树苗比甲树苗长的整齐. D．乙树苗的平均高度大于甲树苗的平均高度，但甲树苗比乙树苗长的整齐.

参：

D

由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为： 甲：19，20，21，23，25，29，31，32，33，37 乙：10，10，14，26，27，30，44，46，46，47 由已知易得：

甲的均值为 =\"(19+20+21+23+25+29+31+32+33+37)\"÷10 =27 乙的均值为 =\"(10+10+14+26+27+30+44+46+46+47)\" ÷10 =30 S甲2＜S乙2

故：乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度， 甲种树苗比乙种树苗长得整齐． 故选D

2. 按如下程序框图，若输出结果为

，则判断框内应补充的条件为 ( )

1 / 12

A．

B．

C．

D．

参：

D

3. 函数y =sin的单调增区间是（ ）

A.，k∈Z B. ，k∈Z

C.

，k∈Z D. ，k∈Z

参：

A

4. 设角的终边经过点P（-3，4），那么sin+2cos=（ ）

A． B． C． D．

参：

C 略

5. 函数的最小正周期是（ ）

A． B． C． ．

参： B 略

2 / 12

D

6. （5分）某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，在下图中纵轴表示离家的距离，横轴表示出发后的时间，则图中四个图形中较符合该学生走法的是 （）

A． B． C．

D．

参：

C

考点： 函数的图象．

专题： 常规题型；函数的性质及应用．

分析： 利用排除法解答，路程相对于时间一直在增加，故排除B，D，先跑后走，故先快后慢，从而得到． 解答： 由题意，

路程相对于时间一直在增加，故排除B，D， 先跑后走，故先快后慢， 故选C．

点评： 本题考查了实际问题的数学表示，属于基础题．

7. 已知m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1，则m、n、p的大小关系为( )

3 / 12

A．m＜n＜p B．n＜p＜m C．p＜m＜n D．p＜n＜m 参：

C 8. 将函数

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再

将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为 A. B. C. D.参：

D 略

9. 如果集合，，那么

A．

B．

D．

参：

B

略

10. 在等差数列中

，若

，则其前11项和

A.15 B.24 D.33

参：

D 略

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. 若log2（3a+4b）=log2a+log2b，则a+b的最小值是 ．

参：

4 / 12

（ ）

C．

）

C.30

（7+4

【考点】4H：对数的运算性质．

【分析】利用已知条件求出得到+=1，然后根据基本不等式即可求解表达式的最小值． 【解答】解：∵log2（3a+4b）=log2a+log2b=log2ab， ∴a＞0，b＞0，3a+4b=ab， ∴+=1，

∴a+b=（a+b）（+）=4+3+号， 故答案为：

+

≥7+4

，当且仅当a=4+2

，b=2

+3时取等

12. 若则目标函数 的最小值是 ▲ ．

参：

略

13. 一球的表面积与它的体积的数量相等，则球的半径为_____________.

参：

略 14. 方程

的解为

_______________.

参：

16 略

15. 若，，则a，b，c的大小关系为 .

参：

5 / 12

16. 设集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是 ．

参：

7

【考点】子集与真子集． 【专题】计算题．

【分析】若集合A中有n个元素，则集合A有2n﹣1个真子集，由此能求出集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数．

【解答】解：∵集合A={x|0≤x＜3且x∈N}={0，1，2}， ∴集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数为23﹣1=7， 故答案为：7．

【点评】本题考查集合的子集和真子集的个数的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 17. 函数

的值域是___________.

参：

略

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18. 已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且圆心C在直线x＋y－1＝0上． (1)求圆C的方程；

(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．

参：

（1）【分析】

（1）由圆的性质知圆心在线段

的垂直平分线上，因此可求得线段

的垂直平分线的

（2）y＝－x＋4或y＝－x－3

6 / 12

方程，与方程（2）设的方程为

联立，可求得圆心坐标，再求得半径后可得圆标准方程；

．代入圆方程，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝m＋

1，x1x2＝－6．而以线段AB为直径的圆经过坐标原点，则有，由此可求得

，得直线方程．

，即

【详解】(1)∵P(4，－2)，Q(－1，3)，

∴线段PQ的中点M，斜率kPQ＝－1，

则PQ的垂直平分线方程为即

．

，

解方程组

得

．

．

．

．

∴圆心C(1，0)，半径故圆C的方程为

(2)由l∥PQ，设l的方程为代入圆C的方程，得设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝m＋1，x1x2＝－6．

故y1y2＝(m－x1)(m－x2)＝m2＋x1x2－m(x1＋x2)， 依题意知OA⊥OB，则

．

∴(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝0，

于是m2＋2x1x2－m(x1＋x2)＝0，即m2－m－12＝0． ∴m＝4或m＝－3，经检验，满足Δ>0．

7 / 12

故直线l的方程为y＝－x＋4或y＝－x－3．

【点睛】本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系．求圆的方程，可先确定圆心坐标，求得圆的半径，然后写出标准方程．本题直线与圆相交问题中采用设而不求法，即设交点坐标为

，由直线方程与圆方程联立方程组消元后可得

）求得参

（不直接求出交点坐标），代入A，B满足的其他条件（本题中就是数值．

19. 已知函数f（x）=x|x﹣2|． （1）写出f（x）的单调区间；

（2）设a＞0，求f（x）在上的最大值．

参：

考点： 二次函数在闭区间上的最值；带绝对值的函数；二次函数的性质． 专题： 计算题．

分析： （1）首先去掉函数的绝对值，写成分段函数，然后求出函数的单调增区间与单调减区间；

（2）设a＞0，对a进行讨论分0＜a＜1时，1≤a≤2、函数的单调区间分别求f（x）在上的最大值．

、

，借助

解答： 解：（1）f（x）=x|x﹣2|=∴f（x）的单调递增区间是（﹣∞，1]和． （2）①当0＜a＜1时，f（x）在上是增函数，

=

此时f（x）在上的最大值是f（a）=a（2﹣a）； ②当1≤a≤2时，f（x）在上是增函数，在上是减函数，

8 / 12

所以此时f（x）在上的最大值是f（1）=1 ③当而

时，f（x）在是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

，

所以此时f（x）在上的最大值是f（1）=1 ④当而

时，f（x）在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

，

所以此时f（x）在上的最大值是f（a）=a（a﹣2）

综上所述，f（x）max=．

点评： 本题是中档题，考查二次函数的最值的应用，考查分类讨论思想，计算能力． 20. （本小题满分12分）

已知函数=（），直线，是

图象的任意两条对称轴，且（Ⅰ）求

的表达式；

的最小值为．

（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长

的图象.若关于的方程

，在

为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数

区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围.

参：

9 / 12

解：（Ⅰ） f（x），---------------------------3分

由题意知，最小正周期，，所以，

∴. ----------------6分

（Ⅱ）将的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再将所得图

象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象.

所以分

-------------------------9

令，∵,∴，-----------------------10分

，在区间上有且只有一个实数解，即函数与在区间

上有且只有一个交点，-------------------------11分

由正弦函数的图像可知或，

∴或. ------------12分

21. 甲乙两位同学在“校园好声音”选拔赛中，5次得分情况如茎叶图所示， （1）求甲乙两位歌手这5次得分的平均分和中位数 （2）请分析甲乙两位歌手这5次得分中谁的成绩更稳定．

10 / 12

参：

（1）由茎叶图知，甲的得分情况为76，77，88，90，94； 乙的得分情况为75，86，88，88，93，

因此可知甲的平均分为 =×（77+76+88+90+94）=85 甲的中位数为88…3分

乙的平均分为=×（75+86+88+88+93）=86；乙的中位数为88…6分

（2）…7分

…8分

因为 ，所以乙比甲成绩稳定…10分

（如果考生根据茎叶图数据的分布情况可知， 乙的数据主要集中在86左右，甲的数据比较分散，乙比甲更为集中， 故乙比甲成绩稳定。也可视为正确。）

22. 已知函数f(x)＝x3－x2－10x，且集合A＝{x|f′(x)≤0}，集合B＝{x|p＋

1≤x≤2p－1}．若A∪B＝A，求p的取值范围． 参：

由f(x)＝x3－x2－10x， 得f′(x)＝x2－3x－10. 由f′(x)≤0，得－2≤x≤5. 由A∪B＝A，可知B?A，

11 / 12

故(1)当B≠?时，得 解得2≤p≤3.

(2)当B＝?时，得p＋1>2p－1，解得p<2. 由(1)(2)可得p≤3，所以p的取值范围是p≤3.

12 / 12