2015全国卷II(数学理)解析版

绝密★启用前

2015年普通高等学校招生全国统一考试课标II

理 科 数 学

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1） 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ）

（A）｛--1,0｝ （B）｛0,1｝ （C）｛-1,0,1｝ （D）｛,0,，1，2｝

【答案】A

【解析】由已知得Bx2x1，故AB1,0，故选A

（2）若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=（ ） （A）-1 （B）0 （C）1 （D）2 【答案】B

（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( )

（A） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B） 2007年我国治理二氧化硫排放显现

（C） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D

【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关． （4）等比数列｛an｝满足a1=3，a1a3a5 =21，则a3a5a7 ( )

（A）21 （B）42 （C）63 （D）84 【答案】B

1log2(2x),x1,（5）设函数f(x)x1,f(2)f(log212)( )

2,x1,（A）3 （B）6 （C）9 （D）12 【答案】C

【解析】由已知得f(2)1log243，又log2121，所以f(log212)2log21212log266，故

f(2)f(log212)9．

（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

（A）

1111 （B） （C） （D） 8765【答案】D

【解析】由三视图得，在正方体ABCDA1B1C1D1中，截去四面体AA1B1D1，如图所示，，设正方体棱长为a，则VAA1B1D11131315aa，故剩余几何体体积为a3a3a3，所以截去部分体积与剩余32666

部分体积的比值为

1． 5D1C1A1DB1CAB

（7）过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则MN=

（A）26 （B）8 （C）46 （D）10 【答案】C

（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a=

A.0 B.2 C.4 D.14 【答案】B

【解析】程序在执行过程中，a，b的值依次为a14，b18；b4；a10；a6；a2；b2，此时ab2程序结束，输出a的值为2，故选B．

（9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为

A．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C

【解析】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VOABCVCAOB1121RRR336，故R6，则球O的表面积为 326S4R2144，故选C．

COAB

10.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为

【答案】B

的运动过程

可以看出，轨迹关于直线x

2

对称，且f()f()，且轨迹非线型，故选B．

42（11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为

（A）√5 （B）2 （C）√3 （D）√2

【答案】D

（12）设函数f’(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f（-1）=0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得

'f(x)0成立的x的取值范围是

（A）

（B）

（C）【答案】A 【解析】

（D）

xf'(x)f(x)f(x)''记函数g(x)，则g(x)，因为当时，x0xf(x)f(x)0，故当x0时，2xxg'(x)0，所以g(x)在(0,)单调递减；又因为函数f(x)(xR)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，

所以g(x)在(,0)单调递减，且g(1)g(1)0．当0x1时，g(x)0，则f(x)0；当

x1时，g(x)0，则f(x)0，综上所述，使得f(x)0成立的x的取值范围是

(,1)(0,1)，故选A．

二、填空题

（13）设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_________． 【答案】

12 【解析】因为向量ab与a2b平行，所以abk（a2b），则k，k,所以121

2．

（14）若x，y满足约束条件xy10，x2y0,，则zxy的最大值为____________．

x2y20,【答案】

32

4321–4–3–2–1yBD1234O–1–2–3–44xC

（15）(ax)(1x)的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a__________． 【答案】3

【解析】由已知得(1x)14x6x4xx，故(ax)(1x)的展开式中x的奇数次幂项分别为

423444ax，4ax3，x，6x3，x5，其系数之和为4a4a1+6+1=32，解得a3．

（16）设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn________． 【答案】1 n【解析】由已知得an1Sn1SnSn1Sn，两边同时除以Sn1Sn，得

1111，故数列是Sn1SnSn以1为首项，1为公差的等差数列，则

111(n1)n，所以Sn．

nSn

三．解答题

（17）∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD是∆ADC面积的2倍。 (Ⅰ)求

sinB;

sinC2求BD和AC的长. 2(Ⅱ) 若AD=1，DC=

(18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：

满意度评分 满意度等级 低于70分 不满意 70分到89分 满意 不低于90分 非常满意 记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率

19．（本小题满分12分）

如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E = D1F = 4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF与平面α所成的角的正弦值。

A

B

D1

F

C1

A1 E

D

B1

C

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C：9x2y2m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。

（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

m（2）若l过点(,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时

3l的斜率；若不能，说明理由。

21．（本小题满分12分）

设函数f(x)emxx2mx。

（1）证明：f(x)在(,0)单调递减，在(0,)单调递增；

（2）若对于任意x1,x2[1,1]，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号 22．（本小题满分10分）

选修4 - 1：几何证明选讲

如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与ΔABC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，于E，F两点。

（1）证明：EF∥BC；

（2）若AG等于⊙O的半径，且AEMN23，求EBCF的面积。

B M E

O D

N

C

四

边

形

G

F

的底边BCAC分别相切

A

23．（本小题满分10分）

选修4 - 4：坐标系与参数方程

xtcos在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O为极点，x轴

ytsin正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin，C3：23cos。 （1）求C2与C3交点的直角坐标；

（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值。

24．（本小题满分10分）

选修4 - 5：不等式选讲

设a，b，c，d均为正数，且a + b = c + d，证明： （1）若ab > cd；则abcd；

（2）abcd是|ab||cd|的充要条件。

附：全部试题答案