上海大学2011-2012学年冬季学期《微积分A2》(A卷)答案

成 上海大学2011～2012学年 冬 季学期试卷 A卷 绩 微积分A（二）（课程号01014097）参考答案和评分标准 A、1(e1) B、e1 C、e D、e 得分 评卷人 应试人声明： 我保证遵守《上海大学学生手册》中的《上海大学考场规则》，如有考试违纪、作弊行为，愿意接受《上海大学学生考试违纪、作弊行为界定及处分规定》的纪律处分。 6、设向量a2ijk,bi2jk,ck, 则混合积[abc] 应试人 二. 填空题：（每小题3分，共 15 分） 3 ； 应试人学号 应试人所在院系 一 二 三 四 五 六 7、过点(1,5,3)且ni2j3k为法线向量的平面方程为 x2y3z0 ； ； 题号 得分 得分 15 15 24 24 16 6 2z(x2y2)(x1)2(y1)228、空间曲线在xOy面上的投影方程为xyz0z0tcosux1udu9、曲线在1t的一段弧长为 tsinu2ydu1u评卷人 ln2 ； 一. 单项选择题：（每小题3分，共15分） 1、已知a,b,c都是单位向量，且满足abc0，则abbcca （ B ） A、1 B、10、设f(x)是连续函数，且f(x)2x 10f(x)dx，则f(x)2x12. 33 C、1 D、 222、下列等式中，成立的是 （ D ） A、草 稿 区 fxdxfx B、dfxfx  C、dfxdxfx D、1fxdxfx 2x2sinxdx （ C ） 3、211x A、0 B、 C、 D、2 24、 下列广义积分收敛的是 （ C ） A、edxlnx1dxdx B、 D、 dx C、3eeexxlnxxlnxx(lnx)n1n121nn5、lim(1eenne) ( A )

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得分 评卷人 三.计算下列各题：（每小题6分，共24分） x14、已知f(e)sinxcosx，求f(x)。 11、(x1)(x1)6dx 解：令te，则f(t)sin(lnt)cos(lnt) 2分 x解：原式(x12)(x1)d(x1)(x1)d(x1)2(x1)d(x1) 2分 2分 676f(x)sin(lnx)dxcos(lnx)dxxsin(lnx)cos(lnx)dxcos(lnx)dx 1分 2分 xsin(lnx)C 1分 12(x1)8(x1)7C 2分 87 12、 x12x21dx 草 稿 区 解：令xsect，dxsecttantdt， 1分 1分 secttant原式dtcostdtsintCsec2ttant 13、x21C x 2分 1分 1分 cotx1sinxdx 11sinx1d(sinx)d(sinx)=lnC sinx(1sinx)1sinxsinx1sinx解：原式 2分 2分 2分 第 3 页 ( 共 5 页 )

得分 评卷人 四.计算下列各题：（每小题6分，共24分） 18、设fx2costdt，计算Ix2fxx20dx。 15、求过点A(1,2,3)的直线，使该直线与已知平面6x2y3z10平行并与已知直线x1y1z3相交。 325解：设与已知直线交于参数为t0的点B，即B坐标为(3t01,2t01,5t03) 1分 解：I20fxdx2fxx22xfxdx 00 1分 2分 AB(3t02,2t03,5t06)，已知平面的法向量n(6,2,3) 1分 1分 由假设ABn0，推得t00，所求直线方程 220xcosx2dxsinx21 2x01x1y1z3 236 2分 1分 1分 1分 1分 草 稿 区 1x,xe16、设f(x)x，给出F(x)f(t)dt的具体表达式。 11,xe解：当xe时，F(x)x11dtlnx， t 2分 1分 当xe时，F(x)x1dt1tedt1xe e 2分 1分 17、20sinxdx sinxcosxcostdt解：令xt，则I22sintcost020cosxdx sinxcosx 1分 2分 所以2I20sinxcosxdx，从而原式 sinxcosx24 2分 1分 第 4 页 ( 共 5 页 )

得分 评卷人 五.计算下列各题：（每小题8分，共16分） 2 草 稿 区 19、有一立体，其底位于平面曲线y1x和y0所界的平面区域上，且此立体垂直于x轴的任一截面的形状都是等边三角形，求该立体的体积V。 解：截面面积A(x)13(1x2)2sin(1x2)2 234 2分 1分 31442VA(x)dx(x2x1)dx3 120151 3分 1分 1分 20、求曲线ysinx(0x)与x轴所围平面图形的面积以及该平面图形绕y轴旋转所得旋转体的体积。 解：平面图形的面积 0sinxdx2 2分 1分 旋转体的体积20xsinxdx2xcosx0cosxdx22 0 3分 1分 1分 第 5 页 ( 共 5 页 )

得分 评卷人 六.证明题：（共6分） 草 稿 区 21、设f(x)在a,b上连续, 且严格单调减少，证明 (ab)f(x)dx2xf(x)dx. aabb证明：作辅助函数F(x)(ax)xxaf(t)dt2tf(t)dt， 2分 axaxF(x)f(t)dt(ax)f(x)2xf(x)f(t)dt(xa)f(x) a[f(t)f(x)]dt, 2分 ax 由f(x)严格单调减少知，f(t)f(x)0，t[a,x)， 故结合f(x)的连续性可推得 F(x)[f(t)f(x)]dt0,x(a,b], 1分 ax 所以F(x)在a,b上严格单调增加，从而F(b)F(a)0，即 1分 (ab)f(x)dx2xf(x)dx. aabb