高三数学春季一模押题卷（全国版）1
一、单选题（共8题，共 40 分）
1. （5分）设集合𝑈=𝐑，𝐴={𝑥|0<𝑥<2}，𝐵={𝑥|𝑥<1}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. {𝑥|𝑥⩾1}
B. {𝑥|𝑥⩽1} C. {𝑥|0<𝑥⩽1}
1+𝑧𝑧
D. {𝑥|1⩽𝑥<2}
2. （5分）复数𝑧=−1+2i(i是虚数单位)，𝑧的共轭复数为𝑧，则A. 5+5i
4
2
=( )
B. −5+5i
42
C. 5−5i
42
D. −5−5i
42
3. （5分）设{𝑎𝑛}是等差数列，且公差不为零，其前𝑛项和为𝑆𝑛．则“∀𝑛∈𝐍∗，𝑆𝑛+1>𝑆𝑛”是“{𝑎𝑛}为递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件
4. （5分）已知𝛼∈(0,2)，sin(𝛼−)=√，则tan2𝛼=（ ）．
45A. 4
5. （5分）山西五台山佛光寺大殿是庑殿顶建筑的典型代表．庑殿顶四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，又叫五脊殿．《九章算术》把这种底面为矩形，顶部为一条棱的五面体叫做“刍甍”，并给出了其体积公式：6×（2× 下袤+上袤）×广× 高（广：东西方向长度；袤：南北方向长度）．已知一刍甍状庑殿顶，南北长18m，东西长8m，正脊长12m，斜脊长√34m，则其体积为（ ）．
1
3
𝜋
𝜋
5
B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
B. −4
3
C. 2
1
D. −2
1
A. 64√34m3
B. 192√2m3
C. 320m3 D. 192m3
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6. （5分）某学校有四个优秀的同学甲、乙、丙、丁获得了保送到哈尔滨工业大学、东北林业大学和哈尔滨医科大学3所大学的机会，若每所大学至少保送1人，且甲同学要求不去哈尔滨医科大学，则不同的保送方案共有（ ） A. 24种
7. （5分）已知椭圆𝐶:
𝑥2𝑎
2+
B. 36种
𝑦2𝑏2
C. 48种 D. 64种
=1（𝑎>𝑏>0），直线𝑙过坐标原点并交椭圆于𝑃，𝑄 两点（𝑃在第
一象限），点𝐴是𝑥轴正半轴上一点，其横坐标是点𝑃横坐标的2倍，直线𝑄𝐴交椭圆于点𝐵，若直线𝐵𝑃恰好是以𝑃𝑄为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）．
A. 2
1
B. √2
2
C. √3
3
D. √6
3
8. （5分）已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3−2sin𝑥，若𝜃∈(0,12)，𝑎=𝑓((cos𝜃)sin𝜃)，𝑏=𝑓((sin𝜃)sin𝜃)，𝑐=−𝑓(−)，则𝑎，𝑏，𝑐的大小关系为（ ）．
2
1
1𝜋
A. 𝑎>𝑏>𝑐 B. 𝑏>𝑎>𝑐 C. 𝑎>𝑐>𝑏 D. 𝑐>𝑎>𝑏
二、多选题（共4题，共 20 分）
9. （5分）若(𝑥−𝑎)的展开式中𝑥3的系数是−84，则下列结论正确的有（ ）．
𝑥9
A. 𝑎=1 数的和为1
B. 展开式中偶数项的二项式系数和为0 D. 展开式中所有二项式系数的和为512
C. 展开式中所有项系
(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴>0,𝜔>0,|𝜑|<)的部分图像如图所示，将𝑓(𝑥)的图10. （5分）已知函数𝑓(𝑥)=𝐴cos2
𝜋
像向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数𝑔(𝑥)的图像，则（ ）．
𝜋
A. 𝑓(𝑥)=2cos(2𝑥−3) C. 𝑔(𝑥)的图像关于点(6,0)对称
𝜋
𝜋
B. 𝑔(𝑥)=2cos(2𝑥−12)+1
D. 𝑔(𝑥)在[−12+𝑘𝜋,12+𝑘𝜋](𝑘∈𝐙)上单调递减
𝜋
5𝜋
𝜋
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11. （5分）如图，点𝑀是棱长为1的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中的侧面𝐴𝐷𝐷1𝐴1上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）．
A. 存在无数个点𝑀满足𝐶𝑀⊥𝐴𝐷1
B. 当点𝑀在棱𝐷𝐷1上运动时，|𝑀𝐴|+|𝑀𝐵1|的最小值为√3+1 C. 在线段𝐴𝐷1上存在点𝑀，使异面直线𝐵1𝑀与𝐶𝐷所成的角是D. 满足|𝑀𝐷|=2|𝑀𝐷1|的点𝑀的轨迹是一段圆弧
12. （5分）关于函数𝑓(𝑥)=e𝑥+𝑎sin𝑥，𝑥∈(−𝜋,+∞)，下列说法正确的是（ ）． A. 当𝑎=1时，𝑓(𝑥)在(0,𝑓(0))处的切线方程为2𝑥−𝑦+1=0 B. 当𝑎=1时，𝑓(𝑥)存在唯一极小值点𝑥0且−1<𝑓(𝑥0)<0 C. 对任意𝑎>0，𝑓(𝑥)在(−𝜋,+∞)上均存在零点
D. 存在𝑎<0，𝑓(𝑥)在(−𝜋,+∞)上有且只有一个零点
三、填空题（共4题，共 20 分）
→ →→ →
13. （5分）已知正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为2，𝑃为平面𝐴𝐵𝐶𝐷内一点，则(𝑃𝐴+𝑃𝐵)⋅(𝑃𝐶+𝑃𝐷)的最小
值为 ．
14. （5分）设抛物线𝐶:𝑦2=4𝑥的焦点为𝐹．过点𝐹的直线𝑙与𝐶相交于𝐴，𝐵，且|𝐴𝐹|−|𝐵𝐹|=2，则
|𝐴𝐹||𝐵𝐹|
3
= ．
15. （5分）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，若直线𝑦=𝑘(𝑥−3√3)上存在一点𝑃，圆𝑥2+(𝑦−1)2=1上 →
存在一点𝑄，满足→𝑂𝑃=3𝑂𝑄，则实数𝑘的最小值为 ．
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16. （5分）如图所示，阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正三角形𝐴𝐵𝐶的边长为4，取正三角形𝐴𝐵𝐶各边的四等分点𝐷，𝐸，𝐹，作第2个正三角形𝐷𝐸𝐹，然后再取正三
角形𝐷𝐸𝐹各边的四等分点𝐺，𝐻，𝐼， 作第3个正三角形𝐺𝐻𝐼，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案 ．设三角形𝐴𝐷𝐹的面积为𝑆1，后续各阴影三角形面积依次为𝑆2，𝑆3，⋯，𝑆𝑛，⋯，则𝑆1= ，数列{𝑆𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛= ．
四、解答题（共6题，12小题；共 70 分）
17. 在△𝐴𝐵𝐶中，内角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐，已知𝑎cos𝐶+𝑐cos𝐴=√3，𝑎=√2𝑏，记△𝐴𝐵𝐶的面积为𝑆．
（1）（5分）求𝑎．
（2）（5分）请从下面的三个条件中任选一个，探究满足条件的△𝐴𝐵𝐶的个数，并说明理由．条件：①𝑆=√(𝑎2+𝑐2−𝑏2)，②𝑏cos𝐴+√𝑎=𝑐，③𝑏sin𝐴=𝑎cos(𝐵−6)．
122
32𝜋
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𝜋
18. 设函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+3)+2cos(𝜔𝑥−6)(0<𝜔<4)，将函数𝑓(𝑥)的图象向右平移6个单位长度后图象关于原点对称．
（1）（5分）求函数𝑓(𝑥)的单调递增区间；
（2）（7分）在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐，且𝑓(𝐴)=①若𝑎2=√3𝑏𝑐，求
𝑏2+𝑐2𝑎2
3√32
𝜋𝜋
，
的值；
→
②若𝑏=4，→𝐴𝐶⋅𝐶𝐵>0，求𝑐的取值范围．
19. 如图，在四棱锥𝑉−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷为矩形，𝐴𝐵=2𝐵𝐶=4，𝐸为𝐶𝐷的中点，且△𝑉𝐵𝐶为等边三角形．
（1）（5分）若𝑉𝐵⊥𝐴𝐸，求证：𝐴𝐸⊥𝑉𝐸．
（2）（7分）若二面角𝐴−𝐵𝐶−𝑉的大小为30∘，求直线𝐴𝑉与平面𝑉𝐶𝐷所成角的正弦值．
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20. 科研小组为提高某种水果的果径，设计了一套实验方案，并在两片果园中进行对比实验．其中实验园采用实验方案，对照园未采用实验方案．实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：[21,26)，[26,31)，[31,36)，[36,41)，[41,46]（单位：mm）．统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36mm及以上的为“大果”．
（1）（5分）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“大果”与“采用实验方案”有关．
附：𝜒2=(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)
𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2
（2）（7分）根据长期种植经验，可以认为对照园中的果径𝑋（单位：mm）服从正态分布𝑁(𝜇,𝜎2)，其中𝜇近似为样本平均数𝑥，𝜎≈5.5．请估计对照园中果径落在区间(39,50)内的概
率．（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
附：若𝑋服从正态分布𝑁(𝜇,𝜎2)，则𝑃(𝜇−𝜎<𝑋<𝜇+𝜎)≈0.683，𝑃(𝜇−2𝜎<𝑋<𝜇+2𝜎)≈0.954，𝑃(𝜇−3𝜎<𝑋<𝜇+3𝜎)≈0.997．
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𝑥2𝑎
𝑦2𝑏2
21. 已知双曲线𝐶:
2−
√
=1(𝑎>0，𝑏>0)的离心率为，点𝐴(6,4)在𝐶上．
2
6（1）（4分）求双曲线𝐶的方程．
（2）（8分）设过点𝐵(1,0)的直线𝑙与双曲线𝐶交于𝐷，𝐸两点，问在𝑥轴上是否存在定点𝑃，使得→ →
𝑃𝐷⋅𝑃𝐸为常数？若存在，求出点𝑃的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由．
22. 已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥+𝑥,𝑎∈𝐑．
（1）（4分）当𝑎=1时，求函数𝑓(𝑥)的单调递增区间． （2）（8分）设函数𝑔(𝑥)=
𝑓(𝑥)−1𝑥
𝑎
，若𝑔(𝑥)在[1,e2]上存在极值，求𝑎的取值范围．
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