２０１２ ｇ－·７月· 学术·理论 现代衾案 例谈数学的和谐美和奇异美 孙小飞（江西省丰城市第三中学江西宜舂３３１ １００） 摘要：不少学生感觉数学只是做不完的题目，陷于题海不能自拔，体验不到无处不在的数学之美。而数学美的提出，，也引起过不少争 议．不承认数学美的人还大有人在，甚至包括一些美学家和数学家．本文举例就数学美的和谐性与奇异性作些论述，以激发人们享受数学和创 造数学的热情。 关键词：数学美和谐性奇异性 引例：杨辉三角，中国古代数学史上光辉的篇章，数与形的完美 如，运算、变换、函数分别是代数、几何、分析这三个数学分支中的 结合。 重要概念，在集合论中，便可统一于映射的概念。又如代数中的算术 １ 平均——几何平均定理、加权平均定理、幂平均定理、加权幂平均定 １ ｌ 理等著名不等式，都可以统一于一元凹、凸函数的琴森不等式。人造 １ ２ １ 卫星、行星、彗星等由于运动的速度的不同，它们的轨道可能是椭 ｌ ３ ３ １ 圆、双曲线或抛物线，但这几种曲线完全可看作不同的平面截圆锥面 １ ４ ６ ４ １ 所得到的截线，而且有统一的定义：到定点距离与它到定直线的距离 １ ５ １０ １Ｏ ５ ｌ 之比是常数ｅ（ｅ＞０）的点的轨迹。若将圆的圆心看成两重合的焦点， １ ６ １５ ２０ １５ ６ １ 抛物线的第二个焦点在对称轴上无穷远处，则所有圆锥曲线在光学性 １ ７ ２ｌ ３５ ３５ ２１ ７ １ 质上有惊人的一致：经过一个焦点的光线被圆锥曲线反射后，反射光 ｝ 线或其反向延长线经过曲线另一焦点。在数学方法上，同样渗透着统 我国著名数学家华罗庚教授说过：“就数学本身而言，是壮丽多 一性的美。例如，从结构上分析，解析法、三角法、复数法、向量法 彩、千姿百态、引人人胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了 和图解等具体方法，都可以统一于数：眵结合法。数学中的公理化方 数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美。” 法，使零散的数学知识用逻辑的链条串联起来，形成完整的知识体 数学中的美是千姿百态、丰富多彩的，如美的形式符号、美的公 系，在本质上体现了部分和整体之间的和谐统一。 式、美的曲线、美的曲面、美的证明、美的方法、美的理论等。从内 （２）数学理论的统一。在数学发现的历史过程中，一直存在着分 容来说，数学美可分为结构美、语言美与方法美；就形式而论，数学 化和整体化两种趋势。数学理论的统一陛主要表现在它的整体性趋 美可分为外在的形态美和内在的理性美。把内容和形式结合起来考 势。欧几里德的《几何原本》，把一些空间性质简化为点、线、面、 察，数学美的特征主要有两个：一个是和谐性，一个是奇异性。 体几个抽象概念和五条公设及五条公理，并由此导致出一套雅致的演 一、数学的和谐美 绎理论体系，显示出高度的统一性。布尔基学派的《数学原本》，用 和谐性是美的最基本、最普遍的一个特征，任何美的东西无一不 结构的思想和语言来重新整理各个数学分支，在本质上揭示数学的内 给人以和谐之感。和谐性的表现形式很多，就数学而言，其典型表现 在联系，使之成为一个有机整体，在数学的高度统一性上给人以美的 有以下几种形式。 启迪。 １．统一性 （３）数学和其它科学的统一。数学和其它科学的相互渗透，导致 统一性反映的是审美对象在形式或内容上的某种共同性、关联性 了科学数学化。正如马克思所说的，一门科学只有当它成功的运用数 或一致性，它能给人一种整体和谐的美感。数学对象的统一性通常表 学时，才算达到了真正完善的地步。力学的数学化使牛顿建立了经典 现为数学概念、规律、方法的统一，数学理论的统一，数学和其它科 力学体系。科学的数学化使物理学与数学趋于统一。建立在相对论和 学的统一。 量子论两大基础理论上的物理学，其各个分支都离不开数学方法的应 （１）数学概念、规律、方法的统一。一切客观事物都是相互联系 用，它们的理论表述也采用了数学的形式。化学的数学化加速了化学 的，因而，作为反映客观事物的数学概念、数学定理、数学公式、数 这门实验性很强的学科向理论科学和精确科学过渡。生物数学化使生 学法则也是互相联系的，在一定条件下可处于一个统一体之中。例 物学日益摆脱对生命过程进行现象描述的阶段，从定性研究转向定量 下载，反正现在网络这么发达。要明确的告诉学生有这种思想是错误 认识这个世界起了很大的作用，人们都说“教师是塑造人类灵魂的工 的。在学校里学习是一个系统的、全面的了解知识的过程，以后你固 程师”，要注重学生情操和心灵的培养，一群优秀的教师能教育出一 然可以去网上去查资料，但是这种仅局限于你对某个问题的不理解， 批社会主义好的接班人，没有对学生的爱，也就不可能有真正成功的 而且网上的东西，正确错误都有，没有一定的知识基础，你都分辨不 教育，所以好老师首先要有爱心，热爱学生，要爱生如子，要言传身 出那是真确的和错误的答案。当你知识很匮乏的时候，有的时候你都 教，要把自己的生命、时间、知识都奉献出来，交给学生！既然选择 不知道从哪个方面开始查资料。话又说回来，不能什么知识都去网上 了教师行业，就是忠诚于教育事业，就不要计较自己的得失，用爱去 查，到了工作岗位，遇到问题了，你手边没有电脑怎么办？难道说没 关心、去理解、去帮助、去呵护每一个学生，这样一直坚持下去！ 有电脑，问题就不解决了吗？难道只能等着你找到电脑查完资料再回 参考文献： 来解决？把知识学到自己的脑子里，是长久的，是随时拿的出来的， ［１］黄涌．构建和谐师生关系的几点体会［Ｊ］．科教文汇（下 这也是毕业学生到工作岗位上的切身体会，为了让现在的在校的学 旬刊），２００７年０９期：５５～５５． 生，可以把已经毕业的学生请回来，给学弟上亲自讲讲到了工作岗位 ［２］于莹．浅谈当前大学生思想政治教育环境的新特点［Ｊ］． 上专业知识学习的重要性！ 成功（教育）２０１１年第Ｏ８期２３６～２３·５． 五、结语 ［３］马学民．有爱才会赢——浅谈热爱学生在教育中的作用［Ｊ］． 学生在校的大部分时间都是在课堂上度过的，老师的教育对他们 新课程（教研版），２００９年０９期：１９４—１９５． 现代企业教育 ＭＯＤＥＲＮ ＥＮＴＥＲＰＲｌＳＥ ＥＤＵＣＡＴＩＯＮ ８５ 坝代教胄 研究，把人类对生命世界的认识提高到一个崭新的水平。不仅自然科 学普遍数学化了，而且数学方法也进入了经济学、法学、人ＩＺｌ学、人 种学、史学、考古学、语言学等社会科学领域，日益显示出它的效 用。数学进入经济学领域最大的成就是本世纪出现的计量经济学。数 学进入语言学领域，使语言学研究经历了统计语言学、代数语言学和 算法语言学三个阶段。数学向文学的渗透，发现了数学的抽象推理和 符号运算同文学的形象思维之间有着奇妙的联系。 ２．对称性 对称性是和谐性的一种特殊的表现。它反映的是审美对象形态或 结构的均衡性、匀称性或变化的周期性、节律性。在现实世界中，形 式上和内容上的对称性，广泛地存在于客观事物之中，既有轴对称、 中心对称、平面对称等的空间对称，又有周期、节奏和旋律的时间对 称，还有与时空坐标无关的更为复杂的对称。数学的对称美，实质上 是自然物的和谐性在量和量的关系上最直观的表现。 ３．简单性 简单、明快才能给人以和谐之感，繁杂晦涩就谈不上和谐一致． 因此，简单性既是和谐性的一种表现，又是和谐性的基础。数学美的 断、函数的极值点、曲线的尖点等，都给人以突变之感。法国数学家 托姆创立的突变论，就是研究自然界和社会某些突变现象的一门数学 学科。他运用拓扑学、奇点理论和结构稳定性等数学工具，研究自然 界和社会一些事物的性态、结构突然变化的规律，所给出的拓扑模型 既形象又精确，给人一种特有的美感。圆锥曲线的离心率为ｅ，ｅ由 ０．９９９变为１、变为１．００ｌ，相差很小，形成的却是形状、性质迥异的 曲线。 ２．反常性。反常是对常态、常规的突破，它常常以矛盾冲突的形 式创造新的数学对象，丰富数学的内容，推动数学的发展，因而能给 人一种革旧立新、开拓进取的美感。数学对象的反常性主要表现为： 反常事实，如德国数学家魏尔斯特拉斯在１８５６年提出的一个处处连 续又处处不可导的函数，就与人们的传统认识“连续函数至少在某些 点处可导”相冲突；反常命题，如非欧几何的命题“三角形的内角和 小于二直角”，反常于欧氏几何的“三角形的内角和等于二直角”；反 常运算，如哈密尔顿四元数代数中“四元数乘法不可交换性”与传统 代数学的“乘法交换律”相背离；反常理论，如勒贝格积分反常于黎 曼积分、非欧几何反常于欧氏几何等；反常方法，如阿佩尔和哈肯借 简单性，并非指数学对象本身简单、浅显，而是指数学对象由尽可能 少的要素通过尽可能简捷、经济的方式组成，并且蕴含着丰富和深刻 的内容。数学的简单美，主要表现在数学的逻辑结构、数学的方法和 表达形式的简单性。 （１）数学结构的简单美。简单性是数学结构美的基本内容。就数 学理论的逻辑结构而论，它的简单性一般包括两个方面的内容：一是 理论前提的简单性，独立的概念简单明确，以最少的公理来建立理 论；二是理论表述的简单性，以最简单的方式抓住现象的本质，定理 和公式简单明晰。著名的皮亚诺算术公理系统，就是逻辑结构简单美 的一个典范。 （２）数学方法的简单美。简单性是数学方法美的重要标志。狄德 助计算机证明“四色定理”，超出了传统数学手工式证明的研究模式。 ３．无限性。无限历来使哲学家、数学家为其深奥而动情，它深 远、奥妙无穷、充满着美的魅力。１９２５年，在明斯特纪念魏尔斯特拉 斯的会议上，希尔伯特发表了题为“论无限”的著名演讲。在演讲中 他深有感触的说：“没有任何问题能象无限那样，从来就深深的触动 着人们的感情；没有任何观念能象无限那样，曾如此卓有成效的激励 着人们的智慧；也没有任何概念能象无限那样，是如此迫切的需要澄 清。”集合论中的无限性命题令人惊叹，诸如“无穷集合可以和它的 子集建立元素之间的一一对应关系”、“两个同心圆的圆周上的点存在 对应关系”等等。集合论创立者康托尔发现“直线上的点和整个 一一罗指出：“数学中所谓美的问题是指一个难于解决的问题，所谓美的 解答则是指一个困难、复杂问题的简单回答”。这就是说，一个美的 数学方法或数学证明，一般都包含着简单性的涵义。如希尔伯特解决 果尔丹问题的存在性证明方法就是数学方法简单荚的一个范例。正是 由于希尔伯特的方法简单而深刻，才使它能进一步应用到抽象代数中 去，并把群、环、域的抽象理论提高到显著的地位。 （３）数学形态的简单美。简单性也是数学形态美的主要特征。数 学形态美，是数学美的外部表现形态，是数学定理和数学公式（或表 达式）的外在结构中呈现出来的美。形态美的主要特征，在于它的简 单性。例如，牛顿用Ｆ＝ｍａ概括了力、质量、加速度之间的定量关 系；爱因斯坦用Ｅ＝ｍｅ＂２揭示了自然界的质量和能量的转换关系；这 里Ｆ＝ｍａ、Ｅ＝ｍｃ＾２就外在形式而论，都是非常简洁的，不失为数学 形态美的范例。欧拉给出的公式：Ｖ—Ｅ＋Ｆ：２，堪称“简单美”的 典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数Ｖ、 棱数Ｅ、面数Ｆ，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式， 概括了无数种多面体的共同特性，令人惊叹！ 和谐的美，在数学中客观存在且多得不可胜数。如著名的黄金分 割比，即０．６１８０３３９８…。黄金分割比的发现，是数学美学认识史上的 大突破。在正五边形中，边长与对角线长的比是黄金分割比。建筑 物的窗口，宽与高度的比一般为黄金分割比。人们的膝盖骨是大腿与 ．ｎ维空间的点存在一一对应关系”，曾激动地说：“我看到了它，但我 简直不能相信它。” ４．奇巧性。奇巧的东西给人以奇异、巧妙之感，高度的奇巧更是 令人赏心悦目。数学中充满着奇巧的符号、公式、算式、图形和方 法。蒲丰投针求Ｐ值的方法、希尔伯特解决果尔丹问题的存在件证明 方法，都以其巧妙而赢得学术界的高度赞美。做一个实验，把厚纸卷 几次，做成一个圆筒。斜割这一圆筒成两部分。如果不拆开圆筒，那 么截面将是椭圆，如果拆开圆筒，切口形成的即是正弦曲线。这其中 的玄妙很奇异、很美。 ５．神秘性。神秘的东西都带有某种奇异色彩，使人产生幻想和揭 示其奥妙的欲望。某些数学对象的本质在没有充分暴露之前，往往会 使人产生神秘或不可思议感。比如，在历史上，虚数曾一度被看作是 “幻想中的数”、“介于存在和不存在之间的两栖物”；无穷小量ｄｘ曾 长期被蒙上神秘的面纱，被英国大主教贝克莱称为“消失了量的鬼 魂”；彭加勒把集合论比喻为“病态数学”，外尔则称康托尔关于基数 的等级是“雾上之雾”；非欧几何在长达半个世纪的时间内被人称为 “想象的几何”、“虚拟的几何”等等。当然，当人们认识到这些数学 对象的本质后，其神秘性也就自然消失了。 培根曾说：“没有一个极美的东西不是在匀称中有着某种奇异。” 和谐性和奇异性作为数学美的两个基本特征，它们既相互区别， 又相互依存、相互补充，数学对象就是在两者的对立统一中显现出美 的光辉的。 小腿的黄金分割点，人的肘关节是手臂的黄金分割点，肚脐是人身高 的黄金分割点；当气温为２３摄氏度时，人感到最舒服，此时２３：３７ （体温）约为０．６１８；名画的主题，大都画在画面的０．６１８处，弦乐器 的声码放在琴弦的０．６１８处，会使声音更甜美。建筑设计的精巧、人 体科学的奥秘、美术作品的高雅风格，音乐作品的优美节奏，交融于 数的对称美与和谐美之中。 二、数学的奇异美 １．突变性。突变是一种突发性变化，是事物从一种质态向另一种 质态的飞跃。它来之突然，变化剧烈，出人意料，因而能给人以新颖 奇特之感。在数学世界中，突变现象是很多的。诸如连续曲线的中 正如数学家徐利治教授指出：“数学园地处处开放着美丽花朵， 它是一片灿烂夺目的花果园，这片花果园正是按照美的追求开拓出 来的。” 参考文献： ［１］吴振奎，刘舒强．《数学中的美——数学美学初探》．天津 教育出版社１９９７年版． 【２］李铁木．《数学与美学》．地震出版社１９９９年版． ［３］徐利治．《科学文化与审美意识》．数学教育学报１９９７年版． ８６ 现代企业教育ＭＯＤＥＲＮ ＥＮＴＥＲＰＲＩＳＥ ＥＤＵＣＡＴＩＯＮ