初中三角形总复习 中考几何题证明思路总结概要

【知识精读】

1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2. 三角形中的几条重要线段：

（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质

（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180°

（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。

4. 补充性质：在ABC中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则SABESCDESBDESCAE。 AEBDC 三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用。三角形又是多边形的一种，而且是最简单的多边形，在几何里，常常把多边形分割成若干个三角形，利用三角形的性质去研究多边形。实际上对于一些曲线，也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究它们。因此，学好本章知识，能为以后的学习打下坚实的基础。

5. 三角形边角关系、性质的应用 【分类解析】

- 1 -

例1. 锐角三角形ABC中，∠C＝2∠B，则∠B的范围是（ ） A. 10∠B20 C. 30∠B45 分析：

因为ABC为锐角三角形，所以0∠B90 又∠C＝2∠B，02∠B90 0∠B45

又∵∠A为锐角，∠A180∠B∠C为锐角 ∠B∠C90

3∠B90，即∠B30 30∠B45，故选择C。

例2. 选择题：已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形

B. 直角三角形

C. 钝角三角形

D. 无法确定

B. 20∠B30 D. 45∠B60

 分析：由于三角形的外角和等于360°，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。 解：∵三角形的一个外角等于160° ∴另两个外角的和等于200° 设这两个外角的度数为2x，3x 2x3x200 解得：x40 2x80，3x120 与80°相邻的内角为100° ∴这个三角形为钝角三角形 应选C

例3. 如图，已知：在ABC中，AB11AC，求证：∠C∠B。 22- 2 -

AEF 分析：欲证∠CBC 1∠B，可作∠ABC的平分线BE交AC于E，只要证∠C∠EBC21即可。为与题设ABAC联系，又作AF//BE交CB的延长线于F。 2 显然∠EBC＝∠F，只要证∠C∠F即可。由AF2ABAC可得证。 证明：作∠ABC的角平分线BE交AC于E，过点A作AF//BE交CB的延长线于F AF//BE，∠F∠EBC，∠FAB∠ABE 又∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE ∴∠F＝∠FAB，∴AB＝BF 又∵AB＋FB＞AF，即2AB＞AF

1AC，ACAF 21 ∠F∠C，又∵∠F∠ABC

21 ∠C∠B

2 又∵AB

例4. 已知：三角形的一边是另一边的两倍。求证：它的最小边在它的周长的

11与之间。 64 分析：首先应根据已知条件，运用边的不等关系，找出最小边，然后由周长与边的关系加以证明。 AcBabC 证明：如图，设ABC的三边为a、b、c，其中a2c， bac，a2c bc 因此，c是最小边，b3c - 3 -

因此，abc2c3cc，即c1(abc) 611(abc)c(abc) 6411 故最小边在周长的与之间。

64 中考点拨：

例1. 选择题：如图是一个任意的五角星，它的五个顶角的和是（ ） A. 50 B. 100 C. 180 AD. 200 BGFECD 分析：由于我们学习了三角形的内角、外角的知识，所以需要我们把问题转化为三角形角的问题。 解：∠C∠E∠AGF，∠B∠D∠AFG ∠A∠B∠C∠E∠D∠A∠AGF∠AFG180 所以选择C

例2. 选择题：已知三角形的两边分别为5和7，则第三边x的范围是（ ） A. 大于2

B. 小于12

C. 大于2小于12

D. 不能确定

分析：根据三角形三边关系应有75x75，即12x2 所以应选C 例3. 已知：P为边长为1的等边ABC内任一点。 求证：3PAPBPC2 2AEPBFC - 4 - 证明：过P点作EF//BC，分别交AB于E，交AC于F， 则∠AEP＝∠ABC＝60°

∠EAP∠EAF60∠APE60

在AEP中，

∠APE∠AEP，AEAP∠AFE∠ACB60，∠AEF60

AEF是等边三角形 AFEF

AEAPBEEPBPPFFCPCAEEBEPPEFCAPBPPC

ABEFFCAPBPPC

ABAFACAPBPPCPBPAPCABAC2PAPBABPBPCBCPCPAAC 2PAPBPCABBCAC3

2PAPBPC

题型展示：

例1. 已知：如图，在ABC中，D是BC上任意一点，E是AD上任意一点。求证： （1）∠BEC＞∠BAC； （2）AB＋AC＞BE＋EC。 32AFEBDC 分析：在（1）中，利用三角形内角和定理的推论即可证出在（2）中，添加一条辅助线，- 5 - 转化到另一个三角形中，利用边的关系定理即可证出。 证明：（1）∵∠BED是ABE的一个外角， ∠BED∠BAE 同理，∠DEC∠CAE

∠BED∠DEC∠BAE∠CAE 即∠BEC∠BAC （2）延长BE交AC于F点

ABAFBEEF 又EFFCEC

ABAFEFFCBEEFEC 即ABACBEEC

例2. 求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45°。

已知：如图，在ABC中，C90，EAB、ABD是ABC的外角，AF、BF分别平分∠EAB及∠ABD。 求证：∠AFB＝45° CAEFBD 分析：欲证∠AFB45，须证∠FAB∠FBA135 ∵AF、BF分别平分∠EAB及∠ABD ∴要转证∠EAB＋∠ABD＝270°

又∵∠C＝90°，三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和 ∴问题得证

证明：∵∠EAB＝∠ABC＋∠C ∠ABD＝∠CAB＋∠C

- 6 -

∠ABC＋∠C＋∠CAB＝180°，∠C＝90°

∠EAB∠ABD∠ABC∠C∠CAB∠C18090270 ∵AF、BF分别平分∠EAB及∠ABD ∠FAB∠FBA11∠EAB∠ABD270135 22 在ABF中，∠AFB180∠FAB∠FBA45

【实战模拟】

1. 已知：三角形的三边长为3，8，12x，求x的取值范围。

2. 已知：ABC中，ABBC，D点在BC的延长线上，使ADBC，BCA，CAD，求α和β间的关系为？ BACD 3. 如图，ABC中，ABC、ACB的平分线交于P点，BPC134，则BAC （ ） A. 68°

B. 80° C. 88° D. 46° APBC - 7 - 4. 已知：如图，AD是ABC的BC边上高，AE平分BAC。 求证：EAD1CB 2ABEDC

5. 求证：三角形的两个外角平分线所成的角等于第三个外角的一半。

- 8 -

【试题答案】

1.

分析：本题是三边关系的应用问题，只需用三边关系确定第三边的取值范围即可。 解：∵三边长分别为3，8，12x，由三边关系定理得： 512x11

42x102x5

2.

解：ABBC，BCABAC 又ADBC，ADAB

DB，又∵BCADB D，B 根据三角形内角和，得： 2180 3180 3.

解：BPC134 PBCPCB46 又∵BP、CP为∠B、∠C的平分线

11∠ABC，∠PCB∠ACB221∠PBC∠PCB∠ABC∠ACB

2∠ABC∠ACB24692∠PBC∠BAC180∠ABC∠ACB88 4.

证明：∠EAD∠EAC∠CAD ∵AE平分∠BAC，∠EAC1∠BAC 2- 9 -

又∵AD⊥BC，∠ADC90 ∠CAD90∠C

又∠BAC180∠B∠C

∠EAD

1∠BAC∠CAD21180∠B∠C90∠C 211∠C∠B221∠C∠B 2 ∠EAD 5.

证明：如图，设ABC的∠BAC和∠ABC的外角平分线交于点D DAEBCG

∠FAB∠ABC∠ACB∠EBA∠BAC∠ACB∠DAB∠DBA 1 ∠FAB∠EBA21∠ABC∠BAC∠ACB2 则∠ADB180∠DAB∠DBA

∠ABC∠ACB∠BAC

1∠ABC∠BAC∠ACB21∠ABC∠BAC211 又∠ACG∠ABC∠BAC

221 ∠ADB∠ACG。

2

- 10 -

9、等腰三角形

【知识精读】

（－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论

定理：等腰三角形有两边相等；

定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用

等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2. 定理及其推论的作用。

等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线

- 11 -

等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。

【分类解析】

例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。

B A D

分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证BD＝ED。因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝＝∠E，从而问题得证。

证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点 所以∠1＝

1 M C E 11∠ABC，而由CE＝CD，又可证∠E＝∠ACB，所以∠1221∠ABC 2 又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E 所以∠ACB＝2∠E 即∠1＝∠E

所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M

所以M是BE的中点 （等腰三角形三线合一定理）

例2. 如图，已知：ABC中，ABAC，D是BC上一点，且ADDB，DCCA，求BAC的度数。

- 12 -

B A D C

分析：题中所要求的BAC在ABC中，但仅靠ABAC是无法求出来的。因此需要考虑ADDB和DCCA在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。 解：因为ABAC，所以BC 因为ADDB，所以BDABC；

因为CACD，所以CADCDA（等边对等角） 而 ADCBDAB 所以ADC2B，DAC2B 所以BAC3B

又因为BCBAC180

即BC3B180 所以B36 即求得BAC108

说明1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。

2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。

3. 此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。 例3. 已知：如图，ABC中，ABAC，CDAB于D。求证：BAC2DCB。

D B A 1 2  3 E C

分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，BAC是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与DCB的关系。

- 13 -

证明：过点A作AEBC于E，ABAC 所以121BAC（等腰三角形的三线合一性质） 2 因为1B90

 又CDAB，所以CDB90

所以3B90（直角三角形两锐角互余） 所以13（同角的余角相等） 即BAC2DCB 说明：

1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线；

2. 对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。因此，本题还可以有其它的证法，如构造出DCB的等角等。

4、中考题型：

1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个

E B A 36° F C D 

分析：由已知条件根据等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰三角形有8个，故选择C。

2.）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别是垂足。求证：AE＝AF。

- 14 -

E B A F C D

证明：因为ABAC，所以BC 又因为DEAB，DFAC 所以BEDCFD90 又D是BC的中点，所以DBDC 所以DEBCFD(AAS) 所以BECF，所以AEAF

说明：证法二：连结AD，通过AED AFD证明即可

5、题形展示：

例1. 如图，ABC中，ABAC，A100，BD平分ABC。

求证：ADBDBC。

1 B 2 A D C  E F

分析一：从要证明的结论出发，在BC上截取BFBD，只需证明CFAD，考虑到

12，想到在BC上截取BEBA，连结DE，易得，则有ADFD，只需证明

DECF，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出CFDFDE。

证明一：在BC上截取BEBA，BFBD，连结DE、DF 在ABD和EBD中，BABE，12，BDBD

ABDEBD(SAS)ADDE，BEDA100DEF80

又ABAC，A100 ABCC1(180100)40 2- 15 -

12 而BDBF

14020 2 BFDBDF11(1802)(18020)80 22DEFDFE80DEDFDFE80，C40 FDCDFEC804040

FDCCDFFCBCBFFCBDAD 即ADBDBC

ADDEDFFC分析二：如图，可以考虑延长BD到E，使DE＝AD，这样BD＋AD=BD+DE=BE，只需证明BE＝BC，由于220，只需证明EBCE80

1 B 2  A D E 3 6 4 5 F C

易证EDCADB1801002060，BDC120，故作BDC的

角平分线，则有ABDFBD，进而证明DECDFC，从而可证出E80。

证明二：延长BD到E，使DE＝AD，连结CE，作DF平分BDC交BC于F。 由证明一知：1220，A100

则有31801002060，6360，BDC18060120 DF平分BDC4560

 345660，在ABD和FBD中 12，BDBD，34

FBD(ASA) ABDDFDE ADFD，BFDA100，而ADDE， 在DEC和DFC中，DEDF，56，DCDC

DFC(SAS) DEC- 16 -

EDFC180BFD18010080 在BCE中，220，380 BCE 80，EBCEADBDBC BCBE， 说明：“一题多证”在几何证明中经常遇到，它是培养思维能力提高解题水平的有效途径，读者在以后的几何学习中要善于从不同角度去思考、去体会，进一步提高自身的解题能力。

【实战模拟】

1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（ ） A. 2cm

B. 8cm

C. 2cm或8cm

 D. 以上都不对

2. 如图，ABC是等边三角形，CBD90，BDBC，则1的度数是________。

A C 2 1 B 3 D

3. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.

 4. ABC中，ABAC，A120，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，

求证：DE1BC。 2- 17 -

B A E D O 1 2 C

- 18 -

【试题答案】

1. B

2. 分析：结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。 解：因为ABC是等边三角形

ABC60 所以ABBC， 因为BDBC，所以ABBD 所以32

在ABD中，因为CBD90，ABC60 所以ABD150，所以215 所以12ABC75

3. 分析：首先将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言。

已知：如图，在ABC中，ABAC，D、E分别为AC、AB边中点，BD、CE交于O点。求证：点O在BC的垂直平分线上。



分析：欲证本题结论，实际上就是证明OBOC。而OB、OC在ABC中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么问题就转化为证含有1、2的两个三角形全等。

证明：因为在ABC中，ABAC 所以ABCACB（等边对等角）

又因为D、E分别为AC、AB的中点，所以DCEB（中线定义） 在BCD和 CBE中，

DCEB(已证)DCBEBC(已证) BCCB(公共边)所以BCDCBE(SAS)

所以12（全等三角形对应角相等）。

- 19 -

所以OBOC（等角对等边）。 即点O在BC的垂直平分线上。 说明：

（1）正确地理解题意，并正确地翻译成几何符号语言是非常重要的一步。特别是把“在 底边的垂直平分线上”正确地理解成“OB＝OC”是关键的一点。

（2）实际上，本题也可改成开放题：“△ABC中，AB＝AC，D、E分别为AC、AB上的中点，BD、CE交于O。连结AO后，试判断AO与BC的关系，并证明你的结论”其解决方法是和此题解法差不多的。

4. 分析：此题没有给出图形，那么依题意，应先画出图形。题目中是求线段的倍半关系，观察图形，考虑取BC的中点。

证明：过点A作BC边的垂线AF，垂足为F。

E B A 3 1 2 D F  C

在ABC中，ABAC，BAC120 所以BC30 所以1260，BF3

1BC（等腰三角形三线合一性质）。 21

所以360（邻补角定义）。 所以13

又因为ED垂直平分AB，所以E30（直角三角形两锐角互余）。

1AB（线段垂直平分线定义）。 21又因为AFAB（直角三角形中 角所对的边等于斜边的一半）。

2所以ADAF AD在RtABF和RtAED中，

- 20 -

13(已证) AFAD(已证)AFBADE90所以RtABFRtAED(ASA) 所以EDBF 即ED说明：

（1）根据题意，先准确地画出图形，是解几何题的一项基本功；

（2）直角三角形中30角的特殊关系，沟通了边之间的数量关系，为顺利证明打通了思路。

1BC。 26、全等三角形及其应用

【知识精读】

1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作 “△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等； 4. 寻找对应元素的方法 （1）根据对应顶点找

如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 （2）根据已知的对应元素寻找

全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

- 21 -

（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。

翻折

如图（1），BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的；

旋转

如图（2），COD≌BOA，COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的；

平移

如图（3），DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。

5. 判定三角形全等的方法：

（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理 （2） 推论：角角边定理

6. 注意问题：

（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；

（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。

- 22 -

【分类解析】全等三角形知识的应用

（1） 证明线段（或角）相等

例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC

分析：由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE，而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC中，因此先证明ΔACD≌ΔABE，再证明ΔDBF≌ΔECF，既可以得到BF=FC.

证明：在ΔACD和ΔABE中， AE=AD ∠A=∠A AB=AC.

∴ ΔACD≌ΔABE (SAS)

∴ ∠B=∠C（全等三角形对应角相等） 又 ∵ AD=AE,AB=AC. ∴ AB－AD=AC－AE 即 BD=CE

在ΔDBF和ΔECF中

∠B=∠C ∠BFD=∠CFE（对顶角相等） BD=CE

∴ ΔDBF≌ΔECF （AAS）

∴ BF=FC （全等三角形对应边相等）

（2）证明线段平行 例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CD

DEAFC 分析：要证AB∥CD，需证∠C＝∠A，而要证∠C＝∠A，又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ΔABF≌ΔCDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证∠C＝∠A,进一步证明AB∥CD. 证明：∵ DE⊥AC，BF⊥AC （已知） ∴ ∠DEC＝∠BFA=90° （垂直的定义） - 23 - B在ΔABF与ΔCDE中， AF=CE （已知） ∠DEC＝∠BFA （已证） DE=BF （已知）

∴ ΔABF≌ΔCDE（SAS）

∴ ∠C＝∠A (全等三角形对应角相等) ∴ AB∥CD （内错角相等，两直线平行）

（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等

例3：如图，在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE. 求证：CD=2CE

分析：

(ⅰ)折半法：取CD中点F，连接BF，再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD中位线这个条件。

证明：取CD中点F，连接BF

1

∴ BF= AC,且BF∥AC （三角形中位线定理）

2

∴ ∠ACB＝∠2 (两直线平行内错角相等) 又∵ AB=AC

∴ ∠ACB＝∠3 （等边对等角） ∴ ∠3＝∠2

在ΔCEB与ΔCFB中，

BF=BE ∠3＝∠2 CB=CB ∴ ΔCEB≌ΔCFB (SAS)

1

∴ CE=CF= CD （全等三角形对应边相等）

2即CD=2CE （ⅱ）加倍法

证明：延长CE到F，使EF=CE，连BF.

- 24 -

C41AE23BDF在ΔAEC与ΔBEF中， AE=BE ∠1＝∠2 （对顶角相等） CE=FE

∴ΔAEC≌ΔBEF (SAS)

∴ AC=BF, ∠4＝∠3 (全等三角形对应边、对应角相等) ∴ BF∥AC (内错角相等两直线平行) ∵ ∠ACB+∠CBF=180o,

∠ABC+∠CBD=180o, 又AB=AC ∴∠ACB=∠ABC

∴∠CBF=∠CBD （等角的补角相等） 在ΔCFB与ΔCDB中，

CB=CB ∠CBF=∠CBD BF=BD

∴ ΔCFB≌ΔCDB (SAS) ∴ CF=CD 即CD=2CE 说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F，连BF(如图)（B为AD中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF. (4)证明线段相互垂直 例4：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。 COEADB 分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。通过观察，可以猜测：AO=BC，AO⊥BC. 证明：延长AO交BC于E,在ΔADO和ΔCDB中 - 25 - AD=DC ∠ADO=∠CDB=90o OD=DB

∴ ΔADO≌ΔCDB (SAS)

∴ AO=BC, ∠OAD=∠BCD（全等三角形对应边、对应角相等） ∵ ∠AOD＝∠COE （对顶角相等） ∴ ∠COE+∠OCE=90o ∴ AO⊥BC 5、中考点拨：

例1．如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连结FC． 求证：∠F＝∠A．

分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中∠A、∠F不在全等的两个三角形中，但由已知可证得EF∥AC，因此把∠A通过同位角转到△BDE中的∠BED，只要证△EBD≌△FCD即可．

证明：∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠B， ∵EB＝ED， ∴∠ACB＝∠EDB． ∴ED∥AC． ∴∠BED＝∠A． ∵BE＝EA． ∴BD＝CD．

又DE＝DF，∠BDE＝∠CDF ∴△BDE≌△CDF， ∴∠BED＝∠F．

∴∠F＝∠A．

说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。

例2 如图，已知△ ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE、DE.求证：EC=ED

- 26 -

EFABCD 分析：把已知条件标注在图上，需构造和△AEC全等的三角形，因此过D点作DF∥AC交BE于F点，证明△AEC≌△FED即可。 证明：过D点作DF∥AC交BE于F点 ∵ △ ABC为等边三角形 ∴ △BFD为等边三角形 ∴ BF=BD=FD ∵ AE=BD ∴ AE=BF=FD

∴ AE－AF=BF－AF 即 EF=AB ∴ EF=AC

在△ ACE和△DFE中，

EF=AC（已证） ∠EAC＝∠EDF (两直线平行，同位角相等) AE=FD (已证)

∴ △AEC≌△FED（SAS）

∴ EC=ED（全等三角形对应边相等） 题型展示：

例1 如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．

分析：在AB上截取AE＝AC，构造全等三角形，△AED≌△ACD，得DE＝DC，只需证DE＝BE问题便可以解决．

证明：在AB上截取AE＝AC，连结DE．

∵ AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD， ∴ △AED≌△ACD， ∴ DE＝DC，∠AED＝∠C．

- 27 -

∵ ∠AED＝∠B＋∠EDB，∠C＝2∠B， ∴ 2∠B＝∠B＋∠EDB． 即 ∠B＝∠EDB． ∴ EB＝ED，即ED＝DC， ∴ AB＝AC＋DC．

剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段）；如作AE＝AC是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与另一条短线段相等），其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题，实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容．

【实战模拟】

1. 下列判断正确的是（ ）

（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 （B）有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等 （C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 （D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等

2. 已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．

3. 如图，已知C为线段AB上的一点，ACM和CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：CEF是等边三角形。

- 28 -

N M F 1 E C 2 A B

1

4.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．求证：AD< (AB+AC)

2

5. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，

BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．

求证：BD＝CG．

- 29 -

【试题答案】

1. D 2.证明：

∵ AO平分∠ODB，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CE交于点O， ∴ OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°, ∠BOD＝∠COE。 ∴ △BOD≌△COE（ASA）． ∴ OB＝OC

3. 分析 由ACM=BCN=60，知ECF=60，欲证CEF是等边三角形，只要证明CEF是等腰三角形。先证CAN≌MCB，得1=2.再证CFN≌CEB，即可推得CEF是等边三角形的结论。

证明：在CAN和MCB， ∵AC=MC，CN=CB， CAN=MCB=120，

∴ACN≌MCB中， ∴ FCB和CEB中，

∵FCN=ECB=60，1=2，CN=CB， ∴CFN≌CEB，∴CF=CE，

又∵ECF=60， ∴CEF是等边三角形.

4. 分析： 关于线段不等的问题，一般利用在同一个三角形中三边关系来讨论，由于AB、AC、AD不在同一个三角形，应设法将这三条线段转化在同一个三角形中，也就是将线段相等地转化，而转化的通常方法利用三角形全等来完成，注意AD是BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，即可得到△ACD≌△EBD．

证明：延长AD到E，使DE＝AD，连结BE

在ACD与EBD中

- 30 -

∴ ACD≌EBD（SAS）

∴ AC＝EB（全等三角形对应边相等）

在ABE中，AB＋EB＞AE（三角形两边之和大于第三边） ∴ AB＋AC＞2AD（等量代换）

说明：一般在有中点的条件时，考虑延长中线来构造全等三角形。

5.分析：由于BD与CG分别在两个三角形中，欲证BD与CG相等，设法证△CGE≌△BDF。由于全等条件不充分，可先证△AEC≌△CFB 证明：在Rt△AEC与Rt△CFB中，

∵AC＝CB，AE⊥CD于E，BF⊥C交CD的延长线于F ∴∠AEC＝∠CFB＝90° 又∠ACB＝90°

∴ ∠CAE＝90°－∠ACE＝∠BCF ∴ Rt△AEC≌Rt△CFB ∴CE＝BF

在Rt△BFD与Rt△CEG中，∠F＝∠GEC＝90°，CE＝BF， 由∠FBD＝90°－∠FDB＝90°－∠CDH＝∠ECG， ∴ Rt△BFD≌Rt△CEG ∴ BD＝CG

三角形总复习

- 31 -

【知识精读】

1. 三角形的内角和定理与三角形的外角和定理； 2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论； 3. 全等三角形的性质与判定；

4. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）； 5. 直角三角形的性质与判定。

三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位。从知识上来看，许多内容应用十分广泛，可以解决一些简单的实际问题；从证题方法来看，全等三角形的知识，为我们提供了一个及为方便的工具，通过证明全等，解决证明两条线段相等，两个角相等，从而解决平行、垂直等问题。因此，它揭示了研究封闭图形的一般方法，为以后的学习提供了研究的工具。因此，在学习中我们应该多总结，多归纳，使知识更加系统化，解题方法更加规范，从而提高我们的解题能力。 【分类解析】

1. 三角形内角和定理的应用 例1. 如图1，已知ABC中，BAC90，ADBC于D，E是AD上一点。 求证：BEDC AEBD图1 证明：由AD⊥BC于D，可得∠CAD＝∠ABC 又ABDABEEBD 则∠ABD∠EBD 可证∠CAD∠EBD 即∠BED∠C

说明：在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于180°间接求得。

C - 32 -

2. 三角形三边关系的应用

例2. 已知：如图2，在ABC中，ABAC，AM是BC边的中线。 求证：AM1ABAC 2ABMCD图2 证明：延长AM到D，使MD＝AM，连接BD 在CMA和BMD中，AMDM，∠AMC∠DMB，CMBM

CMABMD

BDAC 在ABD中，ABBDAD，而AD2AM

ABAC2AM 1AMABAC2 说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得2AMABAC，然后通过倍长中线的方法，相当于将AMC绕点旋转180°构成旋转型的全等三角形，把AC、AB、2AM转化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，达到解决问题的目的。很自然有

11ABACAMABAC。请同学们自己试着证明。 22

3. 角平分线定理的应用

例3. 如图3，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。 求证：AM平分DAB。

- 33 -

DGCMA图3B 证明：过M作MG⊥AD于G，∵DM平分∠ADC，MC⊥DC，MG⊥AD ∴MC＝MG（在角的平分线上的点到角的两边距离相等） ∵MC＝MB，∴MG＝MB 而MG⊥AD，MB⊥AB

∴M在∠ADC的平分线上（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上） ∴DM平分∠ADC

说明：本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MG＝MB。同时要注意不必证明三角形全等，否则就是重复判定定理的证明过程。

4. 全等三角形的应用

（1）构造全等三角形解决问题

例4. 已知如图4，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角（∠BDC）为 120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，它的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN。求证：AMN的周长等于2。 AMNBD图4CM' 分析：欲证AMN的周长等于2，需证明它等于等边ABC的两边的长，只需证MNBMCN。采用旋转构造全等的方法来解决。

证明：以点D为旋转中心，将DBM顺时针旋转120°，点B落在点C的位置，点M落在M'点的位置。

- 34 -

得：∠MBD＝∠NCD＝90°

RtMBDRtM'CD∠DCM'∠DBM90

∴∠NCD与∠DCM'构成平角，且BM＝CM'，DM＝DM'，∠NDM'＝∠NDC＋∠CDM'＝∠NDC＋∠BDM＝120°－60°＝60° 在MDN和M'DN中，

DMDM'，∠MDN∠M'DN60，DNDN

MDNM'DN(SAS)MNM'N

M'NM'CCNBMCNMNBMCN AMN的周长AMANMNAMANBMCNABAC2 说明：通过旋转，使已知图形中的角、线段充分得到利用，促进了问题的解决。

（2）“全等三角形”在综合题中的应用

例5. 如图5，已知：点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F为垂足。点B在AE的延长线上，点D在AF上。若AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10。求AC的长。 FDCA图5EB 分析：要求AC的长，需在直角三角形ACE中知AE、CE的长，而AE、CE均不是已知长度的线段，这时需要通过证全等三角形，利用其性质，创设条件证出线段相等，进而求出AE、CE的长，使问题得以解决。 解：∵AC平分∠FAE，CF⊥AF，CE⊥AE ∴CF＝CE

- 35 -

CFCE∠F∠CEA90ACACACFACE(HL) AFAE

CFCECDBC∠F∠CEB90CDFCBE(HL) ∴BE＝DF

设BEDFx，则AEABBE21x，AFADDF9x AEAF，21xx9，x6 在RtBCE中，CE 在RtACE中，AC 答：AC的长为17。

5、中考点拨 例1.

如图，在ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 BC2BE2102628

AE2CE22168217

2ADBFEC 分析：初看此题，看到DE＝DF＋FE后，就想把DF和FE的长逐个求出后再相加得DE，但由于DF与FE的长都无法求出，于是就不知怎么办了？其实，若能注意到已知条件中的“BD＋CE＝9”，就应想一想，DF＋FE是否与BD＋CE相关？是否可以整体求出？若能想到这一点，就不难整体求出DF＋FE也就是DE的长了。 - 36 -

解：∵BF是∠B的平分线 ∴∠DBF＝∠CBF 又DE∥BC ∴∠DFB＝∠CBF ∴∠BDF＝∠DFB ∴DF＝BD 同理，FE＝CE

∴DF＋FE＝BD＋CE＝9 即DE＝9 故选A

6、题型展示

例1. 已知：如图6，ABC中，AB＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE垂直BD的延长线于E，AE1BD。 2 求证：BD平分∠ABC AEDC图6B F 分析：要证∠ABD＝∠CBD，可通过三角形全等来证明，但图中不存在可证全等的三角形，需设法进行构造。注意到已知条件的特点，采用补形构造全等的方法来解决。 简证：延长AE交BC的延长线于F 易证ACFBCD（ASA或AAS）

AFBD1 AEBD

21AEAFEF2 于是又不难证得BAEBFE(SAS)

- 37 -

∠ABD∠CBD ∴BD平分∠BAC

说明：通过补形构造全等，沟通了已知和未知，打开了解决问题的通道。

例2. 某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛。如图7，在正三角形ABC花坛外有满足条件PB＝AB的一棵树P，现要在花坛内装一喷水管D，点D的位置必须满足条件AD＝BD，∠DBP＝DBC，才能使花坛内全部位置及树P均能得到水管D的喷水，问∠BPD为多少度时，才能达到上述要求？ APDB图7C 分析：此题是一个实际问题，应先将实际问题转化成数学问题，转化后的数学问题是：如图7，D为正ABC内一点，P为正ABC外一点，PB＝AB，AD＝BD，∠DBP＝∠DBC，求∠BPD＝？在解此数学问题时，要用到全等三角形的知识。 解：连CD

BPABBC∠DBP∠DBCBDBD PBDCBD(SAS)

∠BPD∠BCDACBC 又ADBD

CDCD

ACDBCD(SSS)∠ACD∠BCD30

∠BPD30，即∠BPD30时，才能达到要求。

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【实战模拟】

1. 填空：等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm，则这个等腰三角形底边的长为____________。

2. 在锐角ABC中，高AD和BE交于H点，且BH＝AC，则∠ABC＝__________。 3. 如图所示，D是ABC的∠ACB的外角平分线与BA的延长线的交点。试比较∠BAC与∠B的大小关系。

DA12DCE 4. 如图所示，AB＝AC，∠BAC＝90°，M是AC中点，AE⊥BM。 求证：∠AMB＝∠CMD

AEBDMC 5. 设三个正数a、b、c满足abc某个三角形三边的长。

22222a4b4c4，求证：a、b、c一定是

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【试题答案】

1. 5cm 2. 45°

3. 分析：如图所示，∠BAC是ACD的外角，所以BAC1 因为∠1＝∠2，所以∠BAC＞∠2

又因为∠2是BCD的外角，所以∠2＞∠B，问题得证。 答：∠BAC＞∠B

∵∠CD平分∠ACE，∴∠1＝∠2 ∵∠BAC＞∠1，∴∠BAC＞∠2 ∵∠2＞∠B，∴∠BAC＞∠B 4. 证明一：过点C作CF⊥AC交AD的延长线于F A1EB2M34DFC

∠1∠BAE∠2∠BAE90∠1∠2 又∠BAC＝∠ACF＝90° AC＝AB

ABMCAFAMCF，∠F∠AMB

又AM＝MC，∴MC＝CF 又∠3＝∠4＝45°，CD＝CD CDMCDF

∠F∠CMD∠AMB∠CMD

证明二：过点A作AN平分∠BAC交BM于N

- 40 -

A123MECBND

∠2∠BAE∠3∠BAE90∠2∠3 又AN平分∠BAC ∠1∠C45 又AB＝AC

ABNCAD

ANCD 又∠NAM∠C45 AM＝CM

NAMDCM∠AMB∠CMD

说明：若图中所证的两个角或两条线段没有在全等三角形中，可以把求证的角或线段用和它相等的量代换。若没有相等的量代换，可设法作辅助线构造全等三角形。 5. 证明：由已知得：

abc2ab2bc2ca2a2b2c 即abc2ab2bc2ca0

444222222444222222444a4b42a2b22c2a22b2c2c44a2b20a2b222cab2222c44ab022

a2b2c22ab02a2b2c22aba2b2c22ab0

222abcabc20 abcabcabcabc0abc0abcabcabc0abcbcacab0- 41 -

a、b、c是某一三角形三边的长。

中考几何题证明思路总结

几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力，能通过严密的\"因为\"、\"所以\"逻辑将条件一步步转化为所要证明的结论。这类题目出法相当灵活，不像代数计算类题目容易总结出固定题型的固定解法，而更看重的是对重要模型的总结、常见思路的总结。所以本文对中考中最常出现的若干结论做了一个较为全面的思路总结。

一、证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。

二、证明两角相等

1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 8.相似三角形的对应角相等。

9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等

三、证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。 5.梯形的中位线平行于两底。

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6.平行于同一直线的两直线平行。

7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。

四、证明两直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。 3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。 6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的对角线互相垂直。

10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。 11.利用半圆上的圆周角是直角。

五、证明线段的和、差、倍、分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。 3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。 4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。

六、证明角的和、差、倍、分

1.作两个角的和，证明与第三角相等。

2.作两个角的差，证明余下部分等于第三角。 3.利用角平分线的定义。

4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

七、证明两线段不等

1.同一三角形中，大角对大边。 2.垂线段最短。

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。 5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。 6.全量大于它的任何一部分。

八、证明两角不等

1.同一三角形中，大边对大角。

2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。

3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。

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4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。 5.全量大于它的任何一部分。

九、证明比例式或等积式

1.利用相似三角形对应线段成比例。 2.利用内外角平分线定理。 3.平行线截线段成比例。

4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。

5.与圆有关的比例定理--相交弦定理、切割线定理及其推论。 6.利用比利式或等积式化得。

以上九项是中考几何证明题中最常出现的内容，只要掌握了对应的方法，再根据题目中的条件进行合理选择，攻克难题不再是梦想！

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