高考物理二轮复习专题复习篇专题1第4讲万有引力与航天学案

[建体系·知关联] 考情分析 素养呈[析考情·明策略] 近几年高考对本讲的考查多为开普勒定律及万有引力定律的应用。以分析计算卫星运行参量、中心天体质量(密度)为主、还涉及卫星变轨、能量及多星问题,题型一般为选择题。 1.万有引力定律 2.天体质量(密度) 3.卫星运行规律 现 4.卫星变轨分析 素养落实 1.掌握卫星的运行特点和规律 2.掌握计算天体质量(密度)的方法 3.掌握宇宙速度并推导第一宇宙速度 4.会应用动力学和能量观点分析卫星变轨问题 考点1| 万有引力定律的应用

1．开普勒第三定律

r3

(1)2＝k,其中k与中心天体有关,r是椭圆轨道的半长轴。 T(2)对同一中心天体的所有行星,该公式都成立。 2．估算中心天体的质量和密度的两条思路

MmgR2

(1)利用中心天体的半径和表面的重力加速度g计算。由G2＝mg求出M＝,进而求得

RGMM3gρ＝＝＝。

V434πGRπR3

23

Mm4π24πr(2)利用环绕天体的轨道半径r和周期T计算。由G2＝m2r,可得出M＝。若环

rTGT2

M3π

绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动,轨道半径r＝R,则ρ＝＝2。

43GTπR3

- 1 -

[典例1] (2020·安徽合肥调研检测)在国产科幻片《流浪地球》中,人类带着地球流浪至木星附近时,上演了地球的生死存亡之战。木星是太阳系内体积最大、自转最快的行星,早期伽利略用自制的望远镜发现了木星的四颗卫星,其中“木卫三”离木星表面的高度约为h,它绕木星做匀速圆周运动的周期约为T。已知木星的半径约为R,引力常量为G,则由上述数据可以估算出( )

A．木星的质量 C．“木卫三”的密度

B．“木卫三”的质量 D．“木卫三”的向心力

A [“木卫三”绕木星做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力有G2

4π

·(R＋h),解得M＝

2

MmR＋h2

＝m

2π

T

R＋hGT2

3

,故可以估算出木星的质量M,而“木卫三”的质量m无法确

定,故无法确定其密度和向心力,所以A项正确,B、C、D项错误。]

反思感悟：估算天体质量(密度)的两点注意 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时,求出的只是中心天体的质量,并非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径R和卫星轨道半径r,只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体43密度时,体积V＝πR只能用天体半径R。 3[题组训练] 1.(2020·7月浙江高考·T7)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动,火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2,则火星与地球绕太阳运动的( )

A．轨道周长之比为2∶3 B．线速度大小之比为3∶2 C．角速度大小之比为22∶33 D．向心加速度大小之比为9∶4

C [由周长公式可得C地＝2πr地,C火＝2πr火,则火星公转轨道与地球公转轨道周长之比

- 2 -

C火2πr火3Mmv2GM2为＝＝,A错误；由万有引力提供向心力,可得G2＝ma＝m＝mωr,则有a＝2,v＝C地2πr地2rrrGM,ω＝rGMa火r24v火r地2ω火r322地地

＝2＝,＝＝,＝3＝,B、D错误,C正确。故选C。] 3,即

ra地r火9v地r火3ω地r火33

2.(多选)宇航员抵达一半径为R的星球后,做了如下的实验：取一根细绳穿过光滑的细直管,细绳的一端拴一质量为m的砝码,另一端连接在一固定的拉力传感器上,手捏细直管抡动砝码,使它在竖直平面内做圆周运动。若该星球表面没有空气,不计阻力,停止抡动细直管,砝码可继续在同一竖直平面内做完整的圆周运动,如图所示,此时拉力传感器显示砝码运动到最低点与最高点两位置时读数差的绝对值为ΔF。已知引力常量为G,根据题中提供的条件和测量结果,可知( )

ΔFA．该星球表面的重力加速度为

2mΔFB．该星球表面的重力加速度为

6mΔFRC．该星球的质量为

6GmΔFRD．该星球的质量为

3GmBC [设砝码在最高点的速率为v1,受到的弹力为F1,在最低点的速率为v2,受到的弹力为

22

F2,则有

v2v212

F1＋mg＝m,F2－mg＝m

RR砝码由最高点到最低点,由机械能守恒定律得：

2

mg·2R＋mv21＝mv2

1

212

拉力传感器读数差为ΔF＝F2－F1＝6mg

ΔF故星球表面的重力加速度为g＝,A错误,B正确；

6m在星球表面附近有：

2

MmΔFRG2＝mg,则M＝,故C正确,D错误。] R6Gm3．假定太阳系一颗质量均匀、可看成球体的小行星,自转原来可以忽略。现若该星球自2

转加快,角速度为ω时,该星球表面的“赤道”上物体对星球的压力减为原来的。已知引力

3

- 3 -

常量G,则该星球密度ρ为( )

9ωω3ω9ωA. B. C. D. 8πG3πG2πG4πG2

2

2

2

MmMm2D [忽略该星球自转的影响时：G2＝mg；该星球自转加快,角速度为ω时：G2＝mgRR3

＋mωR,星球密度ρ＝

4πR3

2

M9ω,解得ρ＝,故D正确,A、B、C错误。]

4πG3

考点2| 天体的运行与变轨

2

天体运行参数

2

Mmv24π2

1．万有引力提供向心力,即G2＝ma＝m＝mω·r＝m2·r。

rrT2．天体对其表面物体的万有引力近似等于重力,即

2

GMm2

2＝mg或GM＝gR(R、g分别是天体R的半径、表面重力加速度),公式GM＝gR应用广泛,被称为“黄金代换式”。

[典例2] 如图所示,微信启动新界面,其画面视角从非洲上空(左)变成中国上空(右)。新照片由我国新一代静止轨道卫星“风云四号”拍摄,见证着科学家15年的辛苦和努力。下列说法正确的是( )

A．“风云四号”可能经过北京正上空

B．“风云四号”的向心加速度大于月球的向心加速度 C．与“风云四号”同轨道的卫星运动的动能都相等 D．“风云四号”的运行速度大于7.9 km/s

[题眼点拨] “静止轨道卫星”表明卫星“风云四号”是地球同步卫星,卫星的位置在赤道的正上方,周期等于地球自转周期。

B [由题可知,“风云四号”卫星是地球同步卫星,而同步卫星只能在赤道正上空,且高度保持不变,故A错误；根据

GMmGM2＝man,得an＝2,其中G为引力常量,M为地球质量,r为轨道半rr径,因“风云四号”卫星的轨道半径小于月球的轨道半径,故“风云四号”的向心加速度大于月球的向心加速度,故B正确；与“风云四号”同轨道的卫星都是同步卫星,故线速度大小一12

定相等,但不知道各个卫星的质量是否相等,根据Ek＝mv知动能不一定相等,故C错误；卫星

2围绕地球表面运行的最大线速度是7.9 km/s,此时它的轨道半径等于地球半径,而“风云四

- 4 -

号”的轨道半径大于地球半径,根据v＝

GM可知,其线速度小于7.9 km/s,故D错误。] r 地面赤道上物体与地球卫星的比较

(1)地面赤道上的物体随地球一起转动,具有相同的角速度,所受万有引力并非全部提供向心力。

(2)空中绕地球自转的卫星万有引力全部充当向心力,周期和半径有关。

(3)比较地面赤道上物体和空中卫星的运行参数,可借助同步卫星的“桥梁”作用。 [典例3] (多选)(2020·山东济南3月质检)有a、b、c、d四颗地球卫星,a还未发射,在赤道表面上随地球一起转动,b是近地轨道卫星,c是地球同步卫星,d是高空探测卫星,它们均做匀速圆周运动,各卫星排列位置如图所示,则( )

A．a的向心加速度等于重力加速度g,c的向心加速度大于d的向心加速度 B．在相同时间内b转过的弧长最长,a、c转过的弧长对应的角度相等 ππ

C．c在4小时内转过的圆心角是,a在2小时内转过的圆心角是

36D．b的周期一定小于d的周期,d的周期一定小于24小时

[题眼点拨] ①“a还未发射”表明a运行的周期等于同步卫星的周期。 ②“b、c、d都是卫星”满足相同的运行规律。

BC [a在地球表面随地球一起转动,其万有引力等于重力与向心力之和,且重力远大于向心力,故a的向心加速度远小于重力加速度g,根据牛顿第二定律,万有引力提供向心力,G2＝

MmrGMman,解得向心加速度an＝2,由于卫星d的轨道半径大于卫星c的轨道半径,所以卫星c的向心

r加速度大于d的向心加速度,选项A错误；地球同步卫星c绕地球运动的角速度与地球自转角

GMmv2

速度相同,相同时间内a、c转过的弧长对应的角度相等,由2＝m可得v＝

rrGM,轨道半径r越小速度越大,则vb>vc>vd,又a与c角速度相等,且a的轨道半径小于c的轨道半径,故vc>va,即b的速度最大,所以在相同时间内b转过的弧长最长,选项B正确；a、c角速度相同,在4小2ππ2ππ

时内转过的圆心角都为＝,在2小时内转过的圆心角都为＝,选项C正确；c和b的

63126轨道半径都小于d的轨道半径,由开普勒第三定律可知,b的运动周期一定小于d的运动周期,d的运动周期一定大于c的运动周期(24小时),选项D错误。]

卫星变轨问题

- 5 -

(1)卫星变轨的运动模型是向心运动和离心运动。当由于某种原因卫星速度v突然增大时,

Mmv2

有G2rrMmv2

G2>m,卫星将做向心运动。 rr(2)在不同轨道的同一点,加速度相同、线速度不同、机械能不同。

[典例4] (2020·河南重点中学大联考)如图所示,设地球半径为R,假设某地球卫星在距地球表面高度为h的圆形轨道Ⅰ上做匀速圆周运动,运行周期为T,到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ,到达轨道的近地点B时,再次点火进入近地轨道Ⅲ绕地做匀速圆周运动,引力常量为G,不考虑其他星球的影响,则下列说法正确的是( )

4πRA．地球的质量可表示为2

23

GTB．该卫星在轨道Ⅲ上B点的速率大于在轨道Ⅱ上A点的速率

C．卫星在圆轨道Ⅰ和圆轨道Ⅲ上做圆周运动时,轨道Ⅰ上动能小,引力势能大,机械能小 D．卫星从远地点A向近地点B运动的过程中,加速度变小

[题眼点拨] ①“A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ”,表明卫星做向心运动,需瞬时减速。 ②“近地点B时,再次点火进入近地轨道Ⅲ”,卫星仍是向心运动,也需在B点减速。

MmB [卫星在轨道Ⅰ上的运动过程中,万有引力充当向心力,故有GR＋h4π

解得M＝

2

2

＝m4π

2

T2

(R＋h),

R＋hGT2

3

Mmv2Ⅰ

,A错误；卫星在轨道Ⅰ上过A点做匀速圆周运动,即G2＝m,卫星在

rrMmv2Ⅱ

轨道Ⅱ上过A点做近心运动,即G2>m,所以卫星在轨道Ⅰ上A点速率大于在轨道Ⅱ上A点的

rr速率,在轨道Ⅲ上B点的速率大于在轨道Ⅰ上A点的速率,B正确；从A运动到B的过程,地球引力对卫星做负功,引力势能减小,因卫星在轨道Ⅲ上的速度大于轨道Ⅰ上的速度,故此过程中卫星的动能增加,在Ⅰ轨道上A点点火减速,使卫星由高轨道进入低轨道,在Ⅱ轨道上B点点火,卫星减速并做向心运动,则卫星的机械能减小,C错误；根据公式G2＝ma可得a＝2,所以卫星距离地球越远,其向心加速度越小,故卫星从远地点到近地点运动过程中,加速度变大,D错误。]

[题组训练]

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MmrGMr1.(多选)北京时间2020年1月7日23时20分,我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭,成功将通信技术试验卫星五号发射升空,卫星顺利进入预定轨道绕地球做匀速圆周运动。如图所示,若a是通信技术试验卫星五号,b、c是另外两颗绕地球做匀速圆周运动的卫星,已知a、b轨道半径相等,则( )

A．卫星a的角速度小于c的角速度 B．卫星a的加速度大于b的加速度 C．卫星a的运行速度大于第一宇宙速度 D．卫星a的周期与卫星b的周期相等 AD [根据G2＝mωr可得ω＝

Mmr2

GM,运动半径越大,角速度越小,故卫星a的角速度小r3

GMr于c的角速度,A项正确；根据G2＝ma可得a＝2,所以a、b的向心加速度大小相等,B项错

MmrMmv2

误；第一宇宙速度是近地轨道卫星做圆周运动的环绕速度,根据G2＝m可得v＝

rrGM,运动rMm4π2

半径越大,线速度越小,所以卫星a的运行速度小于第一宇宙速度,C项错误；根据G2＝m2rrT可得T＝2π确。]

2.(2020·湖北八校联考)2019年11月5日01时43分,我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭,成功发射第49颗北斗导航卫星,标志着北斗三号系统3颗倾斜地球同步轨道卫星全部发射完毕。如图所示,倾斜地球同步轨道卫星的运行轨道面与地球赤道面有夹角,运行周期等于地球的自转周期。倾斜地球同步轨道卫星正常运行,则下列说法正确的是( )

r3

,故轨道半径相等,周期相等,所以卫星a的周期与卫星b的周期相等,D项正GM

A．此卫星相对地面静止

B．如果有人站在地球赤道的地面上,此人的向心加速度比此卫星的向心加速度大 C．此卫星的发射速度小于地球的第一宇宙速度

D．此卫星轨道正下方某处的人用望远镜观测,可能会一天看到两次此卫星

D [倾斜地球同步轨道卫星相对地面有运动,而地球同步轨道卫星相对于地球静止,选项

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A错误；赤道上的人的角速度与同步卫星的角速度相同,但运动半径较小,根据a＝ωr可知,赤道上的人的向心加速度小于此卫星的向心加速度,选项B错误；地球的第一宇宙速度是地球上发射卫星的最小速度,选项C错误；如题图所示,地球同步轨道与倾斜同步轨道有两个交点,交点位置正下方的人用望远镜观测,一天能看到两次此卫星,选项D正确。]

3.(多选)高分五号卫星在太原卫星发射中心成功发射,它填补了国产卫星无法有效探测区域大气污染气体的空白。如图是高分五号卫星发射的模拟示意图,先将高分五号卫星送入圆形近地轨道Ⅰ运动,在轨道A处点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ,在轨道B处再次点火进入圆形预定轨道Ⅲ绕地球做圆周运动,不考虑卫星的质量变化。下列叙述正确的是( )

2

A．高分五号卫星在轨道Ⅰ上运动的动能小于在轨道Ⅲ上的动能

B．高分五号卫星在三条轨道上的运行周期,在轨道Ⅰ上最小、在轨道Ⅲ上最大 C．高分五号卫星在轨道Ⅰ上的加速度大于在轨道Ⅲ上的加速度 D．高分五号卫星在A处变轨要加速,在B处变轨要减速

Mmv212

BC [卫星围绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,G2＝m,动能Ek＝mv,联立

rr2

解得Ek＝

GMm,由于高分五号卫星在轨道Ⅰ上的运行半径小于在轨道Ⅲ上的运行半径,所以高分2r五号卫星在轨道Ⅰ上运动的动能大于在轨道Ⅲ上运动的动能,选项A错误；由于轨道Ⅲ的半径大于轨道Ⅱ的半长轴,轨道Ⅱ的半长轴大于轨道Ⅰ的半径,根据开普勒第三定律可知,高分五号卫星在三条轨道上的运行周期,在轨道Ⅰ上最小,在轨道Ⅲ上最大,选项B正确；由G2＝ma,可知高分五号卫星在轨道Ⅰ上的加速度大于在轨道Ⅲ上的加速度,选项C正确；高分五号卫星在A处变轨要加速,在B处变轨也要加速,选项D错误。]

考点3| 天体运动中的多星模型

1．宇宙双星模型特点

(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供,即

MmrGm1m2Gm1m222

2＝m1ω1r1,2＝m2ω2r2。 LL(2)两颗星的周期及角速度都相同,即T1＝T2,ω1＝ω2。 (3)两颗星的运行半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。

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2．宇宙多星模型特点

(1)天体运动中,三星、四星等多星模型是指相互作用且围绕某一点做圆周运动的星体。 (2)星体做圆周运动所需向心力由其他星体对它的万有引力的合力提供(如图所示),在多星系统中各星体运行的角速度相等。

[典例5] 关于引力波,早在1916年爱因斯坦基于广义相对论预言了其存在。1974年拉塞尔赫尔斯和约瑟夫泰勒发现赫尔斯—泰勒脉冲双星,这双星系统在互相公转时,由于不断发射引力波而失去能量,逐渐相互靠近,此现象为引力波的存在提供了首个间接证据。科学家们猜测该双星系统中体积较小的星球能“吸食”另一颗体积较大的星球表面的物质,达到质量转移的目的,则关于赫尔斯—泰勒脉冲双星周期T随双星之间的距离L变化的关系图象正确的是( )

A B

C D

2π2Gm1m2B [双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供,2＝m1R1＝

LT2π21Gm1＋m21m2R2,由几何关系得：R1＋R2＝L,解得：2＝·3,已知此双星系统中体积较小2

T4πLT

的星球能“吸食”另一颗体积较大的星体表面的物质,达到质量转移的目的,每个星球的质量

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11

变化,但质量之和不变,所以2∝3,故B正确,A、C、D错误。]

TL反思感悟：多星模型的解题模板 [跟进训练] 1．(多选)中国科学院云南天文台研究人员在对密近双星半人马座V752进行观测和分析研究时,发现了一种特殊双星轨道变化的新模式,这种周期的突变有可能是受到了来自其伴星双星的动力学扰动,从而引起了两子星间的物质交流,周期开始持续增加。若小质量子星的物质被吸引而转移至大质量子星上(两子星质量和恒定),导致周期增大为原来的k倍,则下列说法正确的是( )

A．两子星间的万有引力增大

32

B．两子星的间距增大为原来的2k倍 C．两子星间的万有引力减小 32

D．两子星的间距增大为原来的k倍

22

m24πm14π

CD [m1R0T0R0T0

222

m1＋m24πm2＋Δm4πm1－Δm4π得G2＝R02,质量转移后有G＝r112 ④,G＝r212 ⑤,r11＋r21＝R

R0T0R2TR2Tm1＋m24π232

⑥,联立解得G2＝R2,又T＝kT0,解得R＝kR0,B项错误,D项正确；质量未转移时万有

RT引力为

Gm1m2

,质量转移后万有引力为R20

2

Gm2＋ΔmR2

m1－Δm＝

m1m2＋m1－m2Δm－ΔmGR2

,比较可得两子星间的万有引力减小了,A项错误,C项正确。]

2．(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用,三星质量相同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕星做圆周运动,如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行,如图乙所示。设两种系统中三个星

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体的质量均为m,且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出,引力常量为G,则( )

甲 乙

A．直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为B．直线三星系统中星体做圆周运动的周期为4π

Gm LL3

5GmL3

3GmL3Gm2

C．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为2D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为

BD [在直线三星系统中,星体做圆周运动的向心力由其他两星对它的万有引力的合力提

m2m2

供,根据万有引力定律和牛顿第二定律,有G2＋GL2Lvv21

2＝m,解得v＝

L2

5GmL,A项错误；由

2πr周期T＝知,直线三星系统中星体做圆周运动的周期为T＝4π

L3,B项正确；同理,对5Gm3Gmm2L2

三角形三星系统中做圆周运动的星体,有2G2cos 30°＝mω·,解得ω＝L2cos 30°m23Gm项错误；由2G2cos 30°＝ma,得a＝2,D项正确。]

LLL3

,C

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