数学建模-基金投资

本科课程设计报告

项 目 名 称： 基金投资计划的数学模型 课 程 名 称： 数学建模 姓 名： 王诗琪 学 号： 2009052763 院 系 专 业： 09旅游管理（高尔夫） 指 导 教 师： 赵建新 教 师 单 位： 暨南大学深圳旅游学院

开 课 时 间：2010 ~ 2011 学年度第 二 学期

暨南大学教务处 2011 年 6 月 10 日

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基金投资计划的数学模型

王诗琪

暨南大学深圳旅游学院 09级旅游管理（高尔夫及休闲管理方向）

摘要：就基金投资决策建立了一个数学模型，在这个模型中，考虑了资金存入银行和购买国库券两种投资方法。希望解决在保证n年末仍能拥有原有基金额M万元和每年颁发大致相同数额奖金的情况下，使得每年的奖金达到最大值

在求解的过程中，根据银行现行存取款规定，采用单利计算年息并认为每年仅购买一次国库券，一旦有可利用资金就进行一次资金的分配。我们应用LINDO软件求出最优解，即发放奖金数额的最大值，并给出了具体的利用方案，还进行了验证。

模型的重要结论是：仅存款，最高奖金为109.8170；既存款又购买国库券，最高奖金为131.9256；第三年将奖金提高20%，最高奖金为128.50

关键词：基金投资；最优；数学建模

1. 问题重述

某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见下表。假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款参考银行的现行。

校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=5000万元，n=10年给出具体结果： 1． 1．只存款不购国库券； 2． 2．可存款也可购国库券。

3．学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%。 银行存款税后年利国库券年利率率（%） （%） 活期 0.792 半年1.6 期 一年1.800 期 二年1.944 2.55 期 三年2.160 2. 期 五年2.304 3.14 期

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2. 问题分析

2.1单利计算：银行现行一般采取单利计算法，即在计算利息时，不论期限长短，仅以本金计算利息，所产生的利息不再加入本金重复计算利息。计算公式为：

利息 = 本金 × 利率

N年后本息和 = 本金 ×（1 + 存款期限 × 利率）； 2.2 基金会每年用一部分本息奖励师生，即每年发放一次奖金，且每年的奖

金数额大致相等；

2.3 保证n年末仍保留基金数额M；

2.4 为简化问题，可以将存取款时间定为每年1月1日；

2.5 每次取出的钱用来（1）发放奖金 （2）存入银行或者购买国库券； 2.6 在问题一中，存取款在下一年年初，刚好为一年，要想获利最大，则活

期存款和半年期存款不予考虑；

2.7 在问题二中，要求同时购买国库券和银行存款，假设在定期存款和购买

国库券期间不取出本息，只在到期年的年初取出；

2.8 在问题三中，要求第三年发放的奖金额增加20%，考虑为由于投资收益

增加而使奖金数额增加，不考虑提取本金的情况；

3. 利用数学建模求解

3.1问题假设

（1）每年所发放的奖金金额大致相同，且一次性发放； （2）银行利率在n年保持不变；

（3）学校在每年年初发放奖励给优秀师生； （4）存取款均在年初（假设为每年1月1日）；

（5）利息、到期存款和国库券取出并发放奖金后马上再存入银行或者购买国库券，时间间隔不计；

（6）不考虑纳税金额，采取单利计算；

（7）假设在n年间国库券每年只发行一次，且每年都是在1月1日发行； （8）当符号下标小于或等于0的时候，该项为0，M0 = M除外； (9) 假设定期存款期间不取出本息 3.2 符号说明

Ai:表示第i年年初存入银行的活期基金数； Bi:表示第i年年初存入银行的半年期的基金数； Ci表示第i年年初存入银行的一年定期基金数； Di表示第i年年初存入银行的两年定期基金数； Ei：表示第i年年初存入银行的三年定期基金数； Fi表示第i年年初存入银行的五年定期基金数； Xi：表示第i年购买两年期国库券基金数； Yi：表示第i年购买三年期国库券基金数； Zi：表示第i年购买五年期国库券基金数； m：表示每年发放的奖金数额

Mi：表示第i年年初可投资的基金数额；

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3.3模型的建立 根据以上的问题分析，建立数学满足以解决“每年发放最高奖金额”问题

问题一 只存款不购国库券 根据单利计算方法，第i年年初可利用的基金数额为（根据问题分析，活期存款和半年期存款不予考虑） Mi =Ci-1 (1+1.800%) + Di-2(1+2×1.944%) +Ei-3（1+3×2.160）+Fi-5（1+5×2.304%）- m （i=0,1,2,3…） 同时变量还要求以下关系： 原有基金一定：M1 = M 本年度年初可用基金即是投资到银行存款和购买国库券的资金总和：Mi = Ci +Di +Ei +Fi 要保留原基金额：Mi+1 + Di(1+0,792%) + Ei (1+0.792%) + Ei-1(1+2×

0.792%) + Fi(1+0.792%) + Fi-1(1+2×0.792%) + Fi-2(1+3×0.792%) + Fi-3(1+4×0.792%)>=M 问题二：可存款也可购买国库券 根据问题的假设可知购买国库券是在1月1日购买，购买以后和银行存款同时投资，时间间隔不计。 Mi=Ci-1(1+1.800%) + Di-2(1+2×1.944%) +Ei-3（1+3×2.160%）+Fi-5(1+5×2.160%) + Xi-2 (1+2×2.55%) + Yi-3(1+3×2.%)+ Zi-5 (1+5×3.14%) - m 变量满足一下关系： M1=M

Xi+Yi+Zi+Ci+Di+Ei+Fi=Mi

Mi+1 + Di(1+0,792%) + Ei (1+0.792%) + Ei-1(1+2×0.792%) + Fi(1+0.792%) + Fi-1(1+2×0.792%) + Fi-2(1+3×0.792%) + Fi-3(1+4×0.792%)+ Xi-1 (1+2.55%) + Yi-2(1+2×2.%)+Yi-1(1+2.%)+ Zi-5 (1+5×3.14%)+Zi-4 (1+4×3.14%)+Zi-3 (1+3×3.14%)+Zi-2 (1+2×3.14%)+Zi-1(1+3.14%)>=M

问题三：

学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%，即

M 3 = Ci-1(1+1.800%) + Di-2(1+2×1.944%) +Ei-3（1+3×2.160%）+Fi-5(1+5×2.160%) + Xi-2 (1+2×2.55%)+ Yi-3 (1+3×2.%)+ Zi-5(1+5×3.14%)-1.2 m 3.4模型的求解

问题一 用数学表达描述如下 目标函数 Max m 约束条件： M1=M

Mi= Ci-1 (1+1.800%) + Di-2(1+2×1.944%) +Ei-3（1+3×22.1160）+Fi-5（1+5×2.304%）- m

Ci +Di +Ei +Fi =Mi

Mi+1 + Di(1+0,792%) + Ei (1+0.792%) + Ei-1(1+2×0.792%) + Fi(1+0.792%) + Fi-1(1+2×0.792%) + Fi-2(1+3×0.792%) + Fi-3(1+4×0.792%)>=M

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Mi, Bi,Ci,Di,Ei,Fi >=0

当M=5000万元，i=10年，用LINDO软件求解，结果为：m=109.8170 验证情形1，考虑两种极端情况

（1）M万元每年用来存一年定期，择10年获利为：

5000×(1+1.8%)10-5000=976.5,所以平均每年的奖金额为97.65万元

（2）M万年每年用来存五年定期则，10年获利为

5000×（1+2.304%×5)2-5000=1218.84,所以每年的奖金额为121.84万元。

通过对比可知，加尔达结果介于两种计算情况之间，模型成立。 问题二 假设国库券是1月1日发行 目标函数 Max m 约束条件： M1=M Mi=Ci-1(1+1.800%) + Di-2(1+2×1.944%) +Ei-3（1+3×2.160%）+Fi-5(1+5×2.160%) + Xi-2 (1+2×2.55%) + Yi-3(1+3×2.%)+ Zi-5 (1+5×3.14%) - m

Xi+Yi+Zi+Ci+Di+Ei+Fi=Mi

Mi+1 + Di(1+0,792%) + Ei (1+0.792%) + Ei-1(1+2×0.792%) +

Fi(1+0.792%) + Fi-1(1+2×0.792%) + Fi-2(1+3×0.792%) + Fi-3(1+4×0.792%)+ Xi-1 (1+2.55%) + Yi-2(1+2×2.%)+Yi-1(1+2.%)+ Zi-5 (1+5×3.14%)+Zi-4 (1+4×3.14%)+Zi-3 (1+3×3.14%)+Zi-2 (1+2×3.14%)+Zi-1(1+3.14%)>=M

Mi,Ci,Di,Ei,Fi,,Xi,Yi,Zi >=0 当M=5000，i=10年，计算。此模型求解是一个线性规划问题，用LINDO软件求解得，m=131.9256

问题三 学校在基金到位后的第三年要举行百年校庆，这一年的奖金比其他年多20%，用数学表达描述

目标函数：Max m 约束条件 M1=M Mi=Ci-1(1+1.800%) + Di-2(1+2×1.944%) +Ei-3（1+3×2.160%）+Fi-5(1+5×2.160%) + Xi-2 (1+2×2.55%) + Yi-3(1+3×2.%)+ Zi-5 (1+5×3.14%) - m Xi+Yi+Zi+Ci+Di+Ei+Fi=Mi

Mi+1 + Di(1+0,792%) + Ei (1+0.792%) + Ei-1(1+2×0.792%) + Fi(1+0.792%) + Fi-1(1+2×0.792%) + Fi-2(1+3×0.792%) + Fi-3(1+4×0.792%)+ Xi-1 (1+2.55%) + Yi-2(1+2×2.%)+Yi-1(1+2.%)+ Zi-5 (1+5×3.14%)+Zi-4 (1+4×3.14%)+Zi-3 (1+3×3.14%)+Zi-2 (1+2×3.14%)+Zi-1(1+3.14%)>=M M 3 = Ci-1(1+1.800%) + Di-2(1+2×1.944%) +Ei-3（1+3×2.160%）+Fi-5(1+5×2.160%) + Xi-2 (1+2×2.55%)+ Yi-3 (1+3×2.%)+ Zi-5(1+5×3.14%)-1.2 m Mi,Ci,Di,Ei,Fi,,Xi,Yi,Zi >=0

当M=5000万元，i=10年，进行具体分析，现在可用LINDO软件求解，其结果为：m=128.50

4. 模型的改进

4.1 题中假设n年的银行利率不变，实际情况是，银行利率会有变动，要根

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据银行利率的变动而即使的改动题中表达式的系数

4.2 题中假设学校存取款均为年初，实际情况并非如此，所以在发放奖金的时候，我们就应该改变存取款的日期以满足问题一的模型

4.3 题中假设了国库券之发行一次，实际情况是国库券可能多次，发行，要在每次购买国库券以后根据购买国库券的次数和时间进一步改进模型 4.3 题中假未将应交税费纳入，实际情况是要扣除应交税费才是所得利息

5. 模型的评价与推广

5.1 模型的评价

5.1.1建立了一个解决基金投资获得最高利润的模型，避免了投资的盲目性 5.1.2模型建立的过程中考虑了各种可以取得利润的情况，经过计算得出一个能取得最大利润的方案

5.1.3模型运用了LINDO软件进行计算，计算较为准确 5.2模型的推广 5.2.1模型的建立给日常的资金投资提供了一种利润较高的方案 5.2.2本文对一个来那个徐投资的动态规划的讨论，建立了一个简明请ichude数学规划模型，通过用LINGO数学软件求解检验。这种方案可以推广到n年的情况计算n年时最优的基金使用计划。

6. 参考文献

[1]姜启源，谢金星，叶俊：数学建模[M].北京：高等教育出版社，2003 [2]全国大学生数学建模竞赛组委会，全国大学省数学建模竞赛优秀论文汇编[M].北京：中国物件出版社，2003

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