第３２卷第５期 ２０１ １年 玉林师范学院学报（自然科学） Ｖｏ１．３２ Ｎｏ．５ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＹＵＬＩＮ ＮＯＲ ＭＡＬＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（——一阶微分方程积分因子存在性及应用 口罗志敏，莫照发 一■ （罗定职业技术学院教育系，广东，罗定５２７２００） ［摘 要］讨论了一阶微分方程积分因子的存在性问题。给出了一类一阶微分方程存在齐 次多项式积分因子的一组充分必要条件，并且给出具体例子说明了其应用，丰富了微分方程的解 法。 ［关键词】全微分方程；积分因子；通解；齐次多项式 【中图分类号］Ｏ１７５．１［文献标识码］Ａ［文章编号］ 阶微分方程 ｄｙ 八 ｒ， 、 ，），Ｊ 经过适当的变形后，可化为如下对称形式：Ｍ（ ，Ｙ） ＋Ｎ ，Ｙ）ｄｙ＝０， 其中肘 ，Ｙ），Ｎ ，Ｙ）∈Ｃ （Ｄ），Ｄ是Ｒ 上的单连通区域． 若方程（１）左端恰好是某一个二元函数Ｕ ，Ｙ）的全微分，即： Ｄｕ＝Ｍ（ｘ，Ｙ）ｄｘ－４－Ｎ（ｘ，Ｙ）ｄｙ， （１） ． 则方程（１）为恰当方程（也称全微分方程）【３】，且方程（１）的通解为： （Ｘ，Ｙ）＝Ｃ， 这里Ｃ为任意常数。 若方程（１）不是恰当方程，则可以通过寻求积分因子［３ 的方式，将积分因子同乘方程（１）两端，可 将方程（１）转化为恰当方程，然后可按其恰当方程求解的方法去求解。非恰当方程的积分因子一般不是 唯一的，为将非恰当方程转化为恰当方程，通常选用形式较为简单的积分因子。积分因子的寻求往往也 没有固定的方法，要结合方程的具体特征选择适当的方法。很多文献（参见文献［１］、［２］）总结了一阶 微分方程某些特殊积分因子的求法，本文主要是讨论了一类形如齐次多项式的积分因子存在的充分必要 条件，同时给出了积分因子的具体表达式，从而丰富了常微分方程的解法。 ２主要结论 引理 。 函数 ，），）是方程（１）的积分因子的充分必要条件是： Ｍ）ａ（ｔＮ）ａｑｚ／ ．．——ａｙ —ａｘ’ 即 ｉｆＮ一 ＝ ．ｔ１．ａ／ｖ — ［收稿日期］２０１１－０９—３０ ［基金项目］广东省教育科研“十一五”规划研究项目，项目号：２０１０ｔｉｋ３３７。 ［作者简介］罗志敏（１９７９￣），男，湖南桃源人，讲师，硕士学位，研究方向为微分方程。 ７ 』 ｉｉｉ ２０１１年 玉林师范学院学报 曩誓■■量 第５期 足理 方程具有形如 （ａｏＸ＂＋ａｌｘ＂－ ｙ＋ａｚｘｎ— ＋…＋口 一 １＋ａｎｙｎ）的积分因子的充分必要条件是 Ｉ．ｔＭ ／ｔＮ ∑【；：ｉ － ————－———————————— ！ ————— ；； —————————～＝＝，（∑ｎ ｃｚ ｃｎ— ）， ） ｋ）ａｋＮ一（七十１）讥 Ｍｉｘ．－ｋ－ｌｙｔ 一且积分因子为 （ｚ）＝ｅｘｐ［ ，（ｚ） ］， 其中，是ｚ 口 ｎ＋口ｌｘｎ一￣ｙ＋ａｚｘ＂一 。十…＋日 ｘｙ＂一 ＋口 的函数， ∈ （ｆ：０１，２，…， ），且 不全为ｏ． ，证明 （必要性）若 （ｚ）＝ｅｘｐ【 ，（ｚ） ］是方程的积分因子，其中ｚ＝口 ｎ＋ｎ 一 ＋口 一 ｚ＋…＋ｎ 一 一 ＋ 口 ，则有 ＝ ・妾：望ｄｚ［，ｚ Ｘ＂－ｌ＋ 一１）ａ，ｘ．－ｚ ＋．．．＋２ａ．－ｚｘｙ＂－２＋ａ．－，ｘｙ＂－＇］ ｔｌ－１＝ （ 一七） 一 ｙ ， ＝ ・ ＝ 【 ＋２螂 ｙ＋．．．＋（，ｚ一 一。 ｎ－２．｝＿ｎａｎｙ．－１］ ｎ －Ｉ： （ ＋１）ａｋ＋ＩＸｎ－ｋ－Ｉ）， ． 贝Ｕ由上弓Ｉ理知 ［ｎ－Ｉ Ｏｘ＝ ａｋｘ＂－ｋ－ｌｙｋＮ＿ （… Ｍ 、 故有 ｄＶ Ｏ ∑（ —ｋ）ａ￣ｘ．－ｋ－ｌｙ Ｎ一∑ ＋１） ＋，ｘｎ－ｋ－ＩＹ Ｍ 一 ａｖ ａ ＾一１ ＝上塑∑［（，ｚ—ｋ）ａ￣Ｎ－ ＋１） ＋ Ｍｉｘｎ－ｋ－ｌｙ ／ｚｄｚ＝ ｄｚ： ｄｚ【Ｉ．／，Ｊ＿ ）、 ¨ ～Ｉ— 、ｚ～ ） ｋ＝０ ＝ｆ（ａｏｘ ＋ｎｌ 一 Ｙ＋ａ２ｘ 一。Ｙ ＋…＋ａｎ－１ｘｙ 一 ＋口 Ｙ ）＝，（∑ ｋ＝０ 一 Ｙ ）． （充分性）如果有 ／ＺＭ，ＵＮ 再＿—— ∑【（，ｚ—ｋ）ａ￣Ｎ一（七十１） ＋－—一Ｍ］ｘｎ－ｋ－ｌｙ 。： ｚ．－Ｉ ）’ ， 则 一 ＝ 小 ． 令 ／．ｔ（ａｏｘ ＋口ｌ 一 Ｙ＋ 一 Ｙ ＋…＋ａ 一ｌｘｙ 一 ＋ａ．ｙ １ ＝ｅｘｐ【 ， Ｘｎ＋ａ￣ｘ＂－１），＋ ），。＋．．・＋ ・ｘｙ＂－ｌ＋ａ．ｙ ） ｄ（ｃａ ｘ＂＋ａ￣ｘｎ－），＋ａ２ｘ＂－２）， ＋．．・＋ 一 ｘｙ ＋ ）， ）】， （２） 罗志敏等 一阶微分方程积分因子存在性及应用 则有 ＝ ．ｆ（ａｏＸｎ＂１＂ａｌｘｎ－１），＋ａ２ｘｎ－２），ｚ＋．．．＋ 。ｘｙ ＋ ），ｎ） ［ｎａｏｘ ＋（，ｚ一１）ａ１ Ｙ＋…＋２ａ 一２ｘｙ 一 ＋ａ．－ｌｙ ］ ＾一１ ＝／．ｚ‘，（∑ａｆ＝０ ｘ 一Ｙ） ∑（ 一ｋ）ａ￣ｘ Ｙ ， ＝０ ＝ ・ｆ（ａｏｘ￣＋ａｔｘｎ－１ｙ＋ ），：＋…＋ 一 ＋ 【ａ，ｘ 一 ＋２ａ２Ｘ 一 Ｙ＋…＋（ｎ一１）ａｎ—ｉｘｙ 一 ＋ｎａ Ｙ 一 Ｊ ＝／．ｚ‘，（∑ａｋｘ…Ｙ ）。∑（七＋１） － 一一Ｙ． 将（２）式两边同时乘以 （ａｏｘ＂＋ａｌＸｎ１ｙ＋ａ２ｘ＂一２ｙ。＋…＋口 ＋口，１），，１），结合上面两个等式有 ［ 一 ］＝ ａｋｘ＂－ｋ－ｌｙ ｋＮ＿ｎ －Ｉ ｃ… ａｋ＋ｌＸ＂－ｋ－ｔｙｋＭ１ ｔ ｎ ＝ （∑ａｋｘ Ｙ ）∑（，ｚ—ｋ）ａ ｘ ｎ－ｋ－ＩＹ Ｎ一 （∑ａｋｘ Ｙ ）∑（足＋１）ａｋ＋ｔｘ．－ｋ－ｌｙ Ｍ ： ＪＶ一 口 ａｙ 一 Ｏｘ—＝ １ Ｉ２ ｆ ａ 一ａⅣ一 １ｖ ｌ．‘ 由引理可知，ｌａ（ａｏｘ＂＋ａ１Ｘｎ１ｙ＋ａ２ｘ＂一２ｙ。＋…＋口 ｘｙ ＋日，１）， ）是方程（１）的积分因子． 考虑ｎ＝２的情形，则有如下推论． 推论：方程有形如 （ａｏｘ。＋口。ｘｙ＋ａ２ｙ）的积分因子的充分必要条件是 ／ｚＭｔ，ｔＮ．．．————．ｄｙ ｏｘ ， ． ＿（ ＿ ｊ ＿＝ ＿乏 【以。 ＋口 ｘｙ＋口 ）＇ ）’ 其积分因子为 （ｚ）＝ｅｘｐ［ｆｆ（ｚ）ａｚ ｌ， 其中．厂是Ｚ＝口ｏｘｚ＋ １ｘｙ＋ａｅｙ 的函数，ａｉ∈ （ｆ＝０，１，２），且日 不全为０． 证明：在定理中取ｎ＝２￣１３可． ３应用举例 例 求方程的通解：（ ＋ｙ ＋２ ）ｄｘ＋２ｙｄｙ＝Ｏ 解：方程中Ｍ（ ，ｙ）＝ｘ２＋ｙ。＋２ ，Ｎ（ｘ，），）＝２ｙ， ／ｚＭ ＝２ｙ／ｔＮ，百＝０， 考虑ｎ＝２，且取ａ０＝ｌ； １＝０；ａｚ＝１． 则有 ，ＵＭ ／．ＺＮ （—２ａｏｘ＋ａ￣ｙ）Ｎ－—（一百ａｔｘ＋２ａ２ ｙ）Ｍ １ ＝， ＋）， ）， 故积分因子为 ３９ ｆ ２０１１年 玉林师范学院学报 第５期 ＃＝ｅｘｐｌｆ一南 将 ＝ ÷ 同时乘以原方程两端，得 ＋曩 ■■置】＝南 南 一ｏ， ＝０． 化简整理有 ＋ Ｘ‘＋Ｖ‘ 故原方程通解为 ｘ＋ｌｎ（ｘ２ 。）＝Ｃ． ■ Ｔｈｅ Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｏｍｅ Ｓｐｅｃｉａｌ Ｉｎｔｅｇｅｒａｌ Ｆａｃｔｏｒ ａｂｏｕｔ Ｆｉｒｓｔ Ｏｒｄｅｒ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅ ｑｕａｔｉｏｎ ＬＵ０ Ｚｈｉ－ｍｉｎ．Ｍ０ Ｚｈａｏ－ｆａ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｌｕｏｄｉｎｇ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ，Ｌｕｏｄｉｎｇ，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ ５２７２００） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｅｎｃｅ ｏｆ ｉｎｔｅｇｅｒａｌ ｆａｃｅｏｒ ｆｏｒ ａ ｋｉｎｄ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｏｒｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ａ ｓｅｔ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｆｉｃｉｅｎｔ ｆａｎｄ ｎｅｃｅｓｓａｒｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｎｔｅｇｅｒａｌ ｆａｃｔｏｒｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ． Ｆｉｎａｌｌｙ，ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｓ ｇｉｖｅｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｆｕｌｌｙ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｉｎｔｅｇｅｒａｌ ｆａｃｔｏｒ；ｇｅｎｅｒａｌ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ；ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ 【参考文献】 ［１］李德新．两类特殊微分方程的积分因子解法［Ｊ］．高等数 ［３］王高雄等．常微分方程（第二版）［Ｍ］．北京：高等教 学研究，２００８，（３）：３３—３４． ［２］陈明玉．一阶常微分方程有形如积分因子的充要条件［Ｊ］． 大学数学，２００５，（１）：１３０—１３３． 育出版社，１９８３：３９—４９． 【责任编辑 谢文海】 ４Ｏ
