(压轴题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测(含答案解析)

一、选择题

1．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为（ ） A．

4 9B．

4 27C．

19 27D．

48 1252．某学习小组有三名男生、三名女生共计六名同学，选出四人进行学业水平测试，这四人中所含女生人数记为，则的数学期望为（ ） A．1

B．

3 2C．2 D．3

3．已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为800元，则所需检测费的均值为（ ） A．2800元

B．2880元

C．3500元

D．3600元

4．已知XB9,，则EX、DX的值依次为（ ）. A．3，2

B．2，3

C．6，2

D．2，6

135．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙每次投篮命中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响.设投篮的轮数为X，若甲先投，则P(Xk)等于（ ） A．0.6k10.4

B．0.24k10.76

C．0.4k10.6

D．0.76k10.24

6．有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率是( ) A．0.72

B．0.8

C．

8 9D．0.9

27．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N0,3，从中随机取一件，

其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）

2（附：若随机变量ξ服从正态分布N, ，则P68.26% ，

P2295.44%．）

A．4.56%

8．已知随机变量XA．

B．13.59%

C．27.18%

D．31.74%

1B6,，则PX3（ ） 4B．

27 1024135 1024C．

215 1024D．

405 1024k9．设随机变量的概率分布列为P(k)a()，其中k0,1,2，那么a的值为（ ）

13A．

3 5B．

27 13C．

9 19D．

9 1310．口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为（ ）． A．

80 243B．

100 243C．

80 729D．

100 72911．已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(XB．0.68

C．0.36

D．0.

12．设样本x1,x2,…,x10数据的平均值和方差分别为3和5,若yi=xi+a(a为非零实数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的均值和方差分别为( ) A．3，5

B．3+a，5

C．3+a，5+a

D．3，5+a

二、填空题

13．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为_________． 14．在高三的一个班中，有

432，，，且5551的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么数414学成绩优秀的学生人数～B(5,)，则P(k)取最大值时k_______． 15．测量某一目标的距离时，所产生的随机误差X服从正态分布N20,10测量3次，至少一次测量误差在0,30内的概率是__________.

附参考数据：PX0.68，P2X20.95，

2，如果

P3X30.99，0.18520.03，0.18530.006，0.81520.66，0.81530.1.

16．2017年5月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试

2成绩X~ N100,.（试卷满分为150分）统计结果显示数学考试成绩在80分到120

分之间的人数约为总人数的__________.

3，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为417．为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，武汉大学团队带领湖北省大悟县新城镇熊湾村村民建立有机、健康、高端、绿色的蔬菜基地，并策划“生产、运输、销售”一体化的直销供应模式，据统计，当地村民两年时间成功脱贫.蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份10元的价格销售到生鲜超市，每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）.该生鲜超市统计

了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量（单位：份），制成如下表格（注：

x,yN*，且xy30）.若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，

该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，若购进17份比购进18份的利润的期望值大，则x的最小值是________. 前8小时内销售量 频数 15 10 16 x 17 16 18 16 19 15 20 13 21 y 18．中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正

2态分布N10000,10，且各个元件能否正常工作相互.现从这批仪器中随机抽取1000

台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为______台.

19．江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行.江先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟.公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间

2（单位：分钟）服从正态分布N33,4，下车后从公交站步行到单位要12分钟；乘坐地2铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N44,2，下地铁

后从地铁站步行到单位要5分钟.下列说法：①若8：00出门，则乘坐公交不会迟到；②若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大；③若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大；④若8：12出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到.从统计的角度认为以上说法中所有合理的序号是__________． 参考数据：若Z~N,2，则P(Z)0.6826，

P(2Z2)0.94，P(3Z3)0.9974.

20．某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队.经过对本地养鱼场年利润率的调研，其结果是：年利润亏损10%的概率为0.2，年利润获利30%的概率为0.4，年利润获利50%的概率为0.4，对远洋捕捞队的调研结果是：年利润获利为60%的概率为0.7，持平的概率为0.2，年利润亏损20%的可能性为0.1. 为确保本地的鲜鱼供应，市要求该公司对远洋捕捞队的投资不得高于本地养鱼场的投资的2倍.根据调研数据，该公司如何分配投资金额，明年两个项目的利润之和最大值为_________千万.

三、解答题

21．2020年4月9日起，使用青岛地铁APP钱包支付扫码乘车可享受乘坐地铁阶梯折扣优惠、公交乘车优惠与换乘优惠，青岛地铁APP将在原有微信、支付宝、银联三种支付方式的基础上，新增钱包支付方式，乘车累计优惠最高到7折．根据相关优惠，同一

乘车码或同一NFC—HCE乘坐地铁，一个自然月内，从第一笔消费开始享受单程票价9折优惠；累计消费满100元及以上，每笔消费享受单程票价8折优惠；累计消费满200元及以上，每笔消费享受单程票价7折优惠；累计消费达到300元及以上，恢复9折优惠，月底清零，下一自然月重新累计．其中，补交超时费、更新及APP自助补出站等涉及的金额不参加累计．

（1）若甲乘客2020年3月份乘坐地铁上下班的总费用为200元，请估计2020年5月份甲乘客乘坐地铁上下班的总费用（结果精确到0.01）；

（2）乘坐青岛地铁的购票方式一般有三种方式，一是通过自动售票机购票，二是购买专用的乘车卡支付，三是使用青岛地铁APP钱包支付扫码．现随机调查了100名乘客，得到如下列联表：

青年人 中老年 使用青岛地铁APP乘车 40 30 使用自动售票机购票或购买专用的乘车卡支付 10 20 试判断能否有95%的把握认为乘坐青岛地铁的购票方式与年龄有关？ （3）在（2）的条件下，利用分层抽样的方法从青年人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这3人中使用青岛地铁APP乘车的人数为X，求X分布列和数学期望．

nadbc附：K，其中nabcd．

abcdacbd22PK2k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.8282 k 22．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，记正面朝上的次数为X． （1）求随机变量X的分布列；

（2）若随机变量Y2X1，求随机变量Y均值、方差．

23．某投资公司准备在2020年年初将两千万投资东营经济开发区的“示范区”新型物流，商旅文化两个项目中的一个之中．

项目一：新型物流仓是为企业提供仓储、运输、配送、货运信息等综合物流服务的平台．现准备投资建设10个新型物流仓，每个物流仓投资0.2千万元，假设每个物流仓盈利是相互的，据市场调研，到2022年底每个物流仓盈利的概率为p(0p1)，若盈利则盈利为投资额的40%，否则盈利额为0．

项目二：购物娱乐广场是一处融商业和娱乐于一体的现代化综合服务广场．据市场调研，投资到该项目上，到2022年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p和1p．

（1）若投资项目一，记X1为盈利的物流仓的个数，求EX1（用p表示）； （2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为X2千万元，求EX2（用p表示）； （3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由．

24．某班同学在假期进行社会实践活动，对25,55岁的人群随机抽取n人进行了一次当前投资生活方式——“房地产投资”的调查，得到如下统计和各年龄段人数频率分布直方．．．．．．．图：

（Ⅰ）求n，a，p的值；

50岁的“房地产投资”人群中采取分层抽样法抽取9人参加投资管理（Ⅱ）从年龄在40，50岁的人数为学习活动，其中选取3人作为代表发言，记选取的3名代表中年龄在40，X，求X的分布列和期望EX．

25．近期，某超市针对一款饮料推出刷脸支付活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用刷脸支付.该超市统计了活动刚推出一周内每一天使用刷脸支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用刷脸支付的人次，统计数据如下表所示：

x y 1 2 3 4 5 6 7 6 10 18 32 56 100 178 （1）在推广期内，yabx与ycdx（c,d均为大于零的常数）哪一个适宜作为刷脸支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）； （2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用刷脸支付的人次；

（3）已知一瓶该饮料的售价为2元，顾客的支付方式有三种：现金支付、扫码支付和刷脸支付，其中有10%使用现金支付，使用现金支付的顾客无优惠；有40%使用扫码支付，使用扫码支付享受8折优惠；有50%使用刷脸支付，根据统计结果得知，使用刷脸支付的顾客，享受7折优惠的概率为

111，享受8折优惠的概率为，享受9折优惠的概率为.根

263据所给数据估计购买一瓶该饮料的平均花费.

17参考数据：其中vi1gyi，vvi

7i1v 1.5 xv iii17100.5 49 3.2 参考公式：对于一组数据(x1,v1),(x2,v2),nii2iˆ的斜率和截,(xn,vn)，其回归直线vˆaˆbxˆ. ,aˆvbxˆ距的最小二乘估计公式分别为：bxvnxvi1nxi1nx226．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：

2附：参考数据与公式 6.922.63，若 X~N,，则①

P(X)0.6827；② P(2X2)0.95；③ P(3X3)0.9973.

（1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；

2（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 N,，其中

近似为年平均收入x,2 近似为样本方差s2 ，经计算得：s26.92，利用该正态分

布，求：

（i）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元?

（ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．A 解析：A 【分析】

根据题设分析知：芯片领域被选、不被选的概率分别为

12、，而3名学生选择互不影33响，则选择芯片领域的学生数X{0,1,2,3}，即X服从二项分布，则有

21P(Xn)C3n()3n()n即可求恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率.

33【详解】

由题意知，有3名学生且每位学生选择互不影响，从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项，5项成果均属于芯片领域，则： 芯片领域被选的概率为：

5112；不被选的概率为：1；而选择芯片领域的人数

3315313X{0,1,2,3}，

∴X服从二项分布X~B(3,)，P(Xn)C3()“芯片领域”的概率为P(X1)C3()()故选：A. 【点睛】

本题考查了二项分布，需要理解题设条件重复试验的含义，并明确哪个随机变量服从二项分布，结合二项分布公式求概率.

1n233n1()n，那么恰好有1名学生选择3232134. 92．C

解析：C 【分析】

根据题意可知随机变量的可能取值有1、2、3，计算出随机变量在不同取值下的概率，列出分布列，进而可求得的数学期望. 【详解】

由题意可知，随机变量的可能取值有1、2、3，

11C3C32C323C311P14，P2P3. ，44C65C65C65所以，随机变量的分布列如下表所示：

 1 2 3 P 1 53 51 5因此，随机变量的数学期望为E1故选：C. 【点睛】

131232. 555本题考查随机变量数学期望的计算，一般要列出随机变量的分布列，考查计算能力，属于中等题.

3．A

解析：A 【分析】

设检测机器所需检测费为X，则X的可能取值为2000，3000，4000，分别求出相应的概率，由此能求出所需检测费的均值. 【详解】

设检测机器所需检测费为X，则X的可能取值为1600，2400，3200，

211P(X1600)，

102313213213P(X2400)，

33310P(X3200)1则E(X)1600故选：A. 【点睛】

本题考查了事件概率的求法，离散型随机变量的数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式，是中档题.

133， 10105133240032002800. 1010．A

解析：A 【分析】

直接利用二项分布公式计算得到答案. 【详解】

1111XB9,，则EX93，DX912

3333故选：A 【点睛】

本题考查了二项分布，意在考查学生对于二项分布的理解.

5．B

解析：B 【分析】

由题意知甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，本题是一个相互事件同时发生的概率，甲投篮的次数为X，甲先投，则Xk表示甲第k次甲投中篮球，而乙前k1次没有投中，甲前k1次也没有投中或者甲第k次未投中，而乙第k次投中篮球，根据公式写出结果． 【详解】

甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，

本题是一个相互事件同时发生的概率，

每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，

甲投篮的次数为X，甲先投，则Xk表示甲第k次投中篮球，而甲与乙前k1次没有投中，或者甲第k次未投中，而乙第k次投中篮球． 根据相互事件同时发生的概率得到甲第k次投中的概率：0.4k10.6k10.40.24k10.4；

第k次甲不中的情况应是0.4k10.6k0.6，

故总的情况是0.24k10.40.24k10.60.60.24k10.76． 故选B． 【点睛】

本题考查相互事件同时发生的概率，是一个基础题，本题最大的障碍是理解Xk的意义，相互事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互事件同时发生的概率公式．

6．A

解析：A 【分析】

设一批种子的发芽率为事件A，则PA0.9，出芽后的幼苗成活率为事件B，则

PB|A0.8，根据条件概率公式计算即可，

【详解】

设一批种子的发芽率为事件A，则PA0.9， 出芽后的幼苗成活率为事件B，则PB|A0.8，

∴这粒种子能成长为幼苗的概率PPABPAPB|A0.90.80.72. 故选：A． 【点睛】

本题主要考查了条件概率的问题，关键是分清是在什么条件下发生的，属于基础题．

7．B

解析：B 【解析】 试题分析：由题意

1P（3＜＜3）68.26%，（P6＜＜6）95.44%，P（3＜＜6）（95.44%68.26%）13.59%．2

故选B． 考点：正态分布

8．B

解析：B 【解析】

分析：由题意结合二项分布的概率公式求解概率值即可，注意运算的准确性.

3312713513. 详解：由二项分布概率公式可得：PX3C20102444本题选择B选项.

36点睛：本题主要考查二项分布的概率公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

9．D

解析：D 【解析】

分析：根据离散型随机变量分布列的性质，变量取各个量对应的概率和等于1，建立关于

a的等量关系式，最后求得结果.

详解：根据分布列的性质可得，

111P0P1P2aaa1，

333解得a0129，故选D. 13点睛：解决该题的关键是明确离散型随机变量的分布列的性质，从而找到关于参数a所满足的等量关系式，最后求得结果.

10．A

解析：A 【解析】

1C120C52每次摸球中奖的概率为C9369，由于是有放回地摸球，

故3次摸球相当于3次重复实验，

5580所以3次摸球恰有1次中奖的概率PC1． 1399243故选A．

点睛:判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n次重复试验，在每次试验中事件A发生的概率是否均为p；②随机变量是否为在这n次重复试验中某

2kk事件发生的次数，且pXkCnp1pnk表示在重复试验中，事件A恰好发

生k次的概率．

11．C

解析：C 【解析】

如图，由正态曲线的对称性可得P(aX4a)12P(Xa)0.36.

故选C.

12．B

解析：B 【解析】

根据题意,样本x1,x2,…,x10数据的平均值和方差分别为3和5， 则有x=S2x=

1(x1+x2+…+x10)=3， 101[(x1-3)2+(x2-3)2+…+(x10-3)2]=5， 101(x1+a+x2+a+…+x10+a)=(x1+x2+…+x10+10a)=3+a， 10对于yi=xi+a； 则有y=S2y=

1[(y1-3-a)2+(y2-3-a)2+…+(y10-3-a)2]=5， 10本题选择B选项.

二、填空题

13．【分析】设事件表示该选手能正确回答第轮的问题选手被淘汰考虑对立事件代入的值可得结果；【详解】记该选手能正确回答第轮的问题为事件则该选手被淘汰的概率：故答案为：【点睛】求复杂互斥事件概率的两种方法：( 解析：

101 125【分析】

设事件Ai(i1,2,3)表示“该选手能正确回答第i轮的问题”，选手被淘汰，考虑对立事件，代入P(A1),P(A2),P(A3)的值，可得结果； 【详解】

记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i1,2,3)，则

PA1432,PA2,PA3. 555该选手被淘汰的概率：

PP(A1A1A2A1A2A3)P(A1)P(A1)(A2)P(A1)(A2)(A3)

142433101 555555125故答案为：【点睛】

101 125求复杂互斥事件概率的两种方法：

(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；

(2)间接法：先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)1－P(A)求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．

14．1【分析】可得则且计算可得【详解】解：依题意可得则且解得又所以故答案为：1【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式组合数的计算公式考查了推理能力与计算能力属于中档题

解析：1 【分析】

141414~B(5,)，可得P(k)C5k()k(1)5k．则P(k)P(k1)且

P(k)P(k1)计算可得．

【详解】

1k15kk解：依题意，可得P(k)C5()(1)

44k则C5()34345k

1()4kk13()C5(k1)1()4k1，

k且C5()5k

1k135(k1)1k1()kC5()()， 444

解得

31k，又kN*，所以k1． 22故答案为：1 【点睛】

本题考查了二项分布列的概率计算公式、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

15．994【分析】根据正态分布的性质求出在一次测量中误差在内的概率再求出测量3次每次测量误差均不在内的概率根据对立事件的性质可得结果【详解】由题意可知在一次测量中误差在内满足其概率为测量3次每次测量误差

解析：994

【分析】

根据正态分布的性质求出在一次测量中误差在0,30内的概率，再求出测量3次，每次测量误差均不在0,30内的概率，根据对立事件的性质可得结果. 【详解】

由题意可知在一次测量中误差在0,30内满足2X， 其概率为

p111p2X2pX0.950.680.815， 22233测量3次，每次测量误差均不在0,30内的概率为：10.8150.1850.006，

∴测量3次，至少一次测量误差在0,30内的概率是10.0060.994， 故答案为：0.994. 【点睛】

本题主要考查正态分布概率的求法，n次重复试验的模型，利用对立事件解决问题是解题的关键，属于中档题.

16．【分析】根据正态分布对称性知计算得到答案【详解】根据正态分布对称性知：故此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为故答案为：【点睛】本题考查了正态分布意在考查学生对于正态分布性质的应用 解析：200

【分析】

根据正态分布对称性知pX120【详解】

根据正态分布对称性知：

1，计算得到答案. 8131pX120pX801.

2481200. 8故此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为1600故答案为：200. 【点睛】

本题考查了正态分布，意在考查学生对于正态分布性质的应用.

17．25【分析】先根据条件求出分布列和期望再根据购进17份比购进18份的利润的期望值大即可得出答案【详解】解：若该超市一天购进17份这种有机蔬菜表示当天的利润（单位：元）那么的分布列为 65 75 85

解析：25 【分析】

先根据条件求出分布列和期望，再根据“购进17份比购进18份的利润的期望值大”即可得出答案．

【详解】

解：若该超市一天购进17份这种有机蔬菜，Y1表示当天的利润（单位：元），那么Y1的分布列为

Y1 P 65 75 85 10 100x 10090x 100Y1的数学期望EY16510x90x830010x7585， 100100100100若该超市一天购进18份这种有机蔬菜，Y2表示当天的利润（单位：元），那么Y2的分布列为 Y2 60 70 80 90 P 10 100x 10016 10074x 100Y2的数学期望EY26010x1674x8020x7080+90， 100100100100100∵购进17份比购进18份的利润的期望值大， ∴

830010x8020x，且x30，

100100解得24x30，又xN*， ∴

x的最小值为25，

故答案为：25． 【点睛】

本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．

18．375【分析】先求得元件和并联电路正常工作的概率乘以元件正常工作的概率由此求得部件正常工作超过小时的概率利用二项分布均值计算计算公式计算出台仪器中该部件的使用寿命超过小时的平均值【详解】由正态分布可

解析：375 【分析】

先求得元件1和2并联电路正常工作的概率，乘以元件3正常工作的概率，由此求得部件正常工作超过10000小时的概率.利用二项分布均值计算计算公式，计算出1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值. 【详解】

由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为

1，则部件正常工作超过2121310000小时的概率为1，

228又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为1000故答案为：375 【点睛】

本小题主要考查相互事件概率计算，考查二项分布的识别和二项分布期望的计算，属于基础题.

3375台. 819．③④【分析】利用正态分布对每一个说法求解其发生的概率逐项分析选出正确的选项【详解】解：①若8：00出门江先生乘坐公交因为从家到车站要5分钟下车步行到公司要12分钟并且乘公交车所需时间服从正态分布故当

解析：③④ 【分析】

利用正态分布对每一个说法求解其发生的概率，逐项分析，选出正确的选项. 【详解】

解：①若8：00出门，江先生乘坐公交，

因为从家到车站要5分钟，下车步行到公司要12分钟，并且乘公交车所需时间服从正态分

2布N33,4，

故当满足P(Z45)1P(21Z45)10.99740.0013时，江先生

22仍旧有可能迟到，只不过发生的概率较小，故①错误； ②若8：02出门，江先生乘坐公交，

因为从家到车站要5分钟，下车步行到公司要12分钟，并且乘公交所需时间服从正态分布

N33,42，

故当满足P(Z41)先生乘公交不会迟到；

若8：02出门，江先生乘坐地铁，

因为从家到车站要5分钟，下地铁步行到公司要5分钟，并且乘地铁所需时间服从正态分

2布N44,2，

1P(25Z41)P(25Z41)0.9772时，江

2故当满足P(Z48)1P(40Z48)P(40Z48)0.9772时，

2江先生乘地铁不会迟到；

此时两种上班方式，江先生不迟到的概率相当，故②错误； ③若8：06出门，江先生乘坐公交上班；

因为从家到车站要5分钟，下车步行到公司要12分钟，并且乘公交所需时间服从正态分布

N33,42，

故当满足P(Z37)江先生乘地铁不会迟到； 若8：06出门，江先生乘坐地铁，

因为从家到车站要5分钟，下地铁步行到公司要5分钟，并且乘地铁所需时间服从正态分

2布N44,2，

1P(29Z37)P(29Z37)0.8413时，

2故当满足P(Z44)10.5时，江先生乘地铁不会迟到， 2此时两种上班方式，显然江先生公交上班不迟到的可能性更大，故③正确； ④若8：12出门，江先生乘坐地铁上班，

因为从家到车站要5分钟，下地铁步行到公司要5分钟，并且乘地铁所需时间服从正态分

2布N44,2，

故当满足P(Z38)到，

1P(38Z50)0.0013时，江先生乘地铁不会迟

2此时不迟到的可能性极小，故江先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，故④正确； 综上：③④正确. 【点睛】

本题考查了正态分布的实际应用，解题的关键是熟知正态曲线是关于x对称，在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1等正态密度曲线图象的特征.

20．2【解析】【分析】先求出本地养鱼场平均年利润远洋捕捞队平均平均年利润再利用线性规划求明年两个项目的利润之和最大值【详解】设本地养鱼场平均年利润远洋捕捞队平均平均年利润设本地养鱼场投千万元远洋捕捞队投

解析：2 【解析】 【分析】

先求出本地养鱼场平均年利润1，远洋捕捞队平均平均年利润2，再利用线性规划求明年两个项目的利润之和最大值. 【详解】

设本地养鱼场平均年利润1，远洋捕捞队平均平均年利润2

E10.10.20.30.40.50.40.3， E20.60.700.20.20.10.4

设本地养鱼场投x千万元，远洋捕捞队投y千万元，则利润之和z0.3x0.4y

xy6, y2xx0,y0

如图，当目标函数经过点B(2,4)时利润最大

z0.320.442.2千万元.

【点睛】

(1)本题主要考查线性规划和随机变量的期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，z就最小，要看函数的解析式，如：y2xz,直线的纵截距为z,所以纵截距z最小时，z最大.

三、解答题

21．（1）171.11元；（2）有95%的把握认为乘坐青岛地铁的购票方式与年龄有关；（3）分布列见解析，数学期望为【分析】

（1）根据分段函数求得甲乘客的总费用.

（2）先根据列联表求得K2，经比较表格得出结论.

（3）先写出X的可能值，利用超几何分布分别求得其概率，列出分布列，利用期望公式求得其数学期望. 【详解】

解：（1）2020年5月份甲乘客乘坐地铁上下班的总费用估计为

12． 51001002000.8171.11元．

0.910040203010（2）由K24.7623.841，

50507030故有95%的把握认为乘坐青岛地铁的购票方式与年龄有关．

（3）这10人中使用青岛地铁APP乘车的青年人数为8人，使用自动售票机购票或购买专用的乘车卡支付的青年人数为2人，则X的取值为1，2，3

2213C1CCCC17782828PX1PX2PX3所以，，． 333C1015C1015C10152所以随机变量X的分布列为

X P 故EX1【点睛】

1 2 3 1 157 157 151771223． 1515155本题主要考查性检验及超几何分布及其数学期望，意在考查学生的数据分析的学科素养及数算的学科素养，属中档题.

22．（1）分布列见解析；（2）EY3，DY2 【分析】

（1）根据抛掷一枚质地均匀的硬币2次，则正面朝上的次数X可能取值为0，1，2，然后利用重复实验求出相应的概率列出分布列.

（2）根据（1）利用期望与方差公式求得随机变量X的期望与方差，然后由

EYE2X12EX1，DYD2X14DX求解.

【详解】

随机变量X的取值可以为0，1，2．

221111；

P(X0)；PX1C12422211P(X2)C；．

24222因此，随机变量X的分布列为：

X P 0 1 2 1 41 21 4（2）由（1）知1111111222EX0121．DX011121．

4244242∴EYE2X12EX13， ∴DYD2X14DX2. 【点睛】

本题主要考查离散型随机变量的分布列及期望与方差，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

23．（1）EX110p；（2）EX21.6p0.6；（3）分类讨论，见解析. 【分析】

（1）由题意结合二项分布的期望公式即可得解；

（2）由题意列出分布列，利用离散型随机变量期望公式即可得解；

（3）由题意分别计算出项目一、项目二的利润的期望与方差，分类比较即可得解. 【详解】

（1）由题意X1~B(10,p)，

则盈利的物流仓数的期望EX110p；

（2）若投资项目二，盈利的金额为20.51（千万元），亏损的金额为20.30.6（千万元）， 则X2的分布列为

X2 p 1 0.6 p 1p 所以盈利的期望EX2p0.6(1p)1.6p0.6； （3）若盈利，则每个物流仓盈利0.240%0.08（千万元），

若选择项目一，盈利的期望为E0.08X10.08EX10.0810p0.8p（千万元），

方差为D0.08X10.08DX10.0810p(1p)0.0p(1p)，

22若选择项目二，盈利的方差为：

DX2(11.6p0.6)2p(0.61.6p0.6)2(1p)2.56p(1p)，

①当E0.08X1EX2时，0.8p1.6p0.6，解得p而D0.08X1DX2，故选择项目一；

②当E0.08X1EX2时，0.8p1.6p0.6，解得0p③当E0.08X1EX2时，0.8p1.6p0.6，解得p【点睛】

本题考查了离散型随机变量期望与方差的求解和应用，考查了二项分布的应用与分类讨论思想，属于中档题.

24．（Ⅰ）n=1000；a=60；p=0.65；（Ⅱ）分布列见解析，EX2 【分析】

（Ⅰ）由表格中的第一组数据可得年龄在25,30的总人数为200,再根据频率分布直方图

3， 4

3，此时选择项目一； 43，此时选择项目二． 4（Ⅱ）先由分层抽样可得年龄在40,45之间6人,抽取年龄在45,50之间3人,则随机变

求得总人数n；由频率分布直方图求得40,45,30,35的人数,再根据表格求得a,p； 量X可能取到0,1,2,3,再由超几何分布的概率公式求得概率,即可得到分布列,并求得期望.

【详解】

（Ⅰ）由题,年龄在25,30的总人数为根据频率分布直方图,总人数为

120200, 0.62001000,即n1000,

50.04年龄在40,45的人数为100050.03150, 所以a1500.460,

因为年龄在30,35的人数的频率为150.040.040.030.020.010.3, 所以年龄在30,35的人数为10000.3300, 所以p1950.65 300（Ⅱ）依题抽取年龄在40,45之间6人,抽取年龄在45,50之间3人, 所以随机变量X可能取到0,1,2,3,

312C3C6C3181PX03,PX1, 3C984C984213C6C345C620PX23,PX33,

C984C984则X的分布列为:

X P 所以EX0【点睛】

0 1 18 842 45 843 20 841 8411845201232 84848484本题考查频率分布直方图的应用,考查离散型随机变量的分布列和期望,考查分层抽样,考查数据处理能力.

25．（1）ycdx适宜（2）y3.2102320，活动推出第8天使用刷脸支付的人次为320（3）平均花费为【分析】

（1）直接根据统计数据表判断，ycdx适宜；

（2）把ycdx，两边同时取常用对数，1gy1gc1gdx，则lgy与x两者线性相关，根据已知条件求出lgy关与x的线性回归方程，进而转化为y关与x的线性回归方程；

（3）记购买一瓶该饮料的花费为Z（元），则Z的取值可能为：2,1.8,1.6,1.4，求出Z251（元） 150的分布，进而求出Z的期望. 【详解】

（1）直接根据统计数据表判断，

ycdx适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型；

（2）因为ycdx，两边同时取常用对数得：1gy1g(cdx)1gc1gdx， 设1gyv,所以v1gc1gdx， 因为x4,v1.5,7xi172i140，

所以lgdxv7xviii17xi27xi1249741.570.25， 21407428把样本中心点(4,1.5)代入v1gc1gdx，得：lgc0.5， 所以v0.50.25x，lgy0.50.25x，

所以y关于x的回归方程式：y100.50.25x100.5(100.25x)3.2100.25x， 把x8代入上式，y3.2102320， 所以活动推出第8天使用刷脸支付的人次为320；

（3）记购买一瓶该饮料的花费为Z（元），则Z的取值可能为：2,1.8,1.6,1.4，

P(Z2)1， 10111， 224P(Z1.8)1117P(Z1.6)0.4，

2330111P(Z1.4)，

2612分布列为：

Z P 2 1.8 1 41.6 17 301.4 1 101 12因为E(Z)2111712511.81.61.4， 1043012150251所以估计购买一瓶该饮料的平均花费为（元）.

150【点睛】

本题主要考查的是用样本估计总体和变量的相关性，散点图的应用，以及分布列和数学期

望的求解，考查学生的观察能力、分析能力、计算能力以及解决问题的能力，是中档题. 26．（1）17.4；（2）（i）14.77千元（ii）978位 【分析】

（1）用每个小矩形的面积乘以该组中点值，再求和即可得到平均数； （2）（i）根据正态分布可得：P(X)0.50.68270.8414即可得解；（ii）2根据正态分布求出每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，利用重复试验概率计算法则求得概率最大值的k的取值即可得解. 【详解】

（1）由频率分布直方图可得：

x120.04140.12160.28180.36200.1220.06240.0417.4；

0.68270.8414， （2）（i）由题X~N17.4,6.92，P(X)0.52所以17.42.6314.77满足题意，即最低年收入大约14.77千元；

（ii）P(X12.14)P(X2)0.50.950.9773， 2每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773， 记这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为X，X恰有k位农民中的年收入不少于12.14千元的概率

kPXkC10000.9973k10.99731000kB1000,0.9773

PXk1001k0.97731得k10010.9773978.2773，

PXk1k10.9773所以当0k978时，PXk1PXk，当979k1000时，

PXk1PXk，所以这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有

可能是978位. 【点睛】

此题考查频率分布直方图求平均数，利用正态分布估计概率，结合重复试验计算概率公式求解具体问题，综合性强.