湖南师大附中2022-2021学年高一上学期期中考试 数学(必修1) Word版含答案

题 答 要 不 内 线 封 密 号位座____________ 号场考____________ 号 学____________ 名 姓____________ 级 班____________ 级 年 (这是边文，请据需要手工删加) 湖南师大附中2022－2021学年度高一第一学期期中考试 数 学

命题：高一数学备课组 审题：高一数学备课组 时量：120分钟 满分：150分 得分：____________

第Ⅰ卷(满分100分)

一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2}，则∁U(A∪B)＝

A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}

2．已知a＝0.67，b＝70.6，c＝log0.76，则a，b，c的大小关系是 A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a

3．下列各组函数中，f(x)与g(x)为相同函数的是 A．f(x)＝x，g(x)＝x2 B．f(x)＝x，g(x)＝(x)2

C．f(x)＝x2

，g(x)＝x3

x，x D．f(x)＝|x|，g(x)＝x≥0－x，x<0

4．已知函数f(x)＝x＋11

x，g(x)＝2x＋2

x，则下列结论正确的是

A．f(x)是奇函数，g(x)是偶函数 B．f(x)是偶函数，g(x)是奇函数 C．f(x)和g(x)都是偶函数 D．f(x)和g(x)都是奇函数

5．已知函数f(x)＝2x，x≤1

，e为自然对数的底数，则f[f(e)]＝



ln x，x>1A．0 B．1 C．2 D．eln 2

6．已知幂函数f(x)的图象经过点2，14，则f1

2

的值为 A．－14 B.1

4

C．－4 D．4

7．函数f(x)＝(2)x＋3x的零点所在的区间是

A．(－2，－1) B．(0，1) C．(－1，0) D．(1，2) 8．函数f(x)＝a－x2＋3x＋2(0A.－∞，323

 B. 2，＋∞

C.－∞，－32 D.－3

2，＋∞

9．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是

10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(－∞，0]

上单调递减，则不等式f(lg x)＞f(－2)的解集是

A.1

100，100 B．(100，＋∞)

C.1100，＋∞

D.0，1

100∪(100，＋∞) 11．已知投资x万元经销甲商品所获得的利润为P＝x4；投资x万元经销乙商品所获得的利润为Q＝a

2x(a

＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为

A.5 B．5 C.2 D．2 答题卡

题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 答 案 二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．已知100a＝5，10b＝2，则2a＋b＝__________．

13．函数f(x)＝1

1－2x

的定义域是__________．

14．若函数f(x)＝|2x－2|－m有两个不同的零点，则实数m的取值范围是__________．

三、解答题：本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分8分)

21

(1)计算：27－2log23×log2＋log23×log34；

38

11－

(2)已知0＜x＜1，且x＋x1＝3，求x－x－的值．

22

16.(本小题满分10分)

已知A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x－b＝0}，且A∩B＝{2}． (1)求a，b的值；

(2)设全集U＝A∪B，求(∁UA)∪(∁UB)．

17.(本小题满分12分) 已知函数f(x)＝b·ax(a＞0，且a≠1，b∈R)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)．

11

(1)设g(x)＝－，确定函数g(x)的奇偶性；

f（x）＋36

ax(2)若对任意x∈(－∞，1]，不等式b≥2m＋1恒成立，求实数m的取值范围．

第Ⅱ卷(满分50分)

一、本大题共2个小题，每小题6分，共12分．

18．设全部被4除余数为k(k＝0，1，2，3)的整数组成的集合为Ak, 即Ak＝{x|x＝4n＋k，n∈Z}，则下列结论中错误的是( ) ．．

A. 2022∈A0 B．－1∈A3

C. 若a∈Ak，b∈Ak，则a－b∈A0 D. a＋b∈A3，则a∈A1，b∈A2

19．若函数f(x)＝lg(ax－1)－lg(x－1)在区间[2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________． 二、本大题共3个大题，共38分．

20．(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.

(1)若函数y＝log2f(x)的最小值为2，求a的值；

(2)若对任意x∈R，都有f(x)≥0成立， 求函数g(a)＝2－a|a＋3|的值域.

21.(本小题满分13分)

今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严峻．市环保争辩所对近期每天的空气污染状况进行调查争辩后发觉，每一天中空气污染指数f(x)与时刻x(时)的函数关系为：f(x)＝|log25(x＋1)－a|＋2a＋1，x∈[0，24]，其中a为空气治理调整参数，且a∈(0，1)．

1

(1)若a＝，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；

2

(2)规定每天中f(x)的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调整参数a应把握在什么范围内？

22.(本小题满分13分)

已知函数f(x)＝x2＋9，g(x)＝ax－3.

(1)当a＝1时，确定函数h(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上的单调性；

(2)若对任意x∈[0，4]，总存在x0∈[－2，2]，使得g(x0)＝f(x)成立，求实数a的取值范围．

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第Ⅰ卷(满分100分)

一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分. 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答 案 B C D A C D C B B D A 11.A 【解析】设投资x万元经销甲商品，投资(20－x)万元经销乙商品，总利润为y，则

y＝P＋Q＝xa

4＋2·20－x，0≤x≤20.

令y≥5，则xax

4＋2·20－x≥5，即a20－x≥10－2，

即a≥1220－x对0≤x≤20恒成立．

而f(x)＝1

2

20－x的最大值为5，所以amin＝5，选A.

二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．1

13. (－∞，0)

14．(0，2) 【解析】令|2x－2|－m＝0，则|2x－2|＝m.据题意，函数y＝|2x－2|的图象与直线y＝m有两个不同的交点，得0＜m＜2.

三、解答题：本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

215．【解析】(1)原式＝(33)3

－3×log22－3＋log23×log322＝9－3×(－3)＋2＝20.(4分)

1

(2)由于x＋x－1＝3，则x2－x－122＝x＋x－1－2＝1.(6分) 由于0＜x＜1，则x12

－x－11x－1

2＝x－x＝x

<0，

所以x1

2－x－1

2

＝－1.(8分)

16．【解析】由于A∩B＝{2}，则2∈A，且2∈B.(3分)

所以8＋2a＋2＝0，且4＋6－b＝0，得a＝－5，b＝10. (5分)

(2)由于A＝{x|2x2－5x＋2＝0}＝1

2，2

，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{－5，2}．(7分)

则U＝－5，11

2，2，∁UA＝{－5}，∁UB＝2

，(9分)

所以(∁A)∪(∁＝

1UUB)－5，2

.(10分)

b＝6．【解析】(1)由已知，f(1)＝6，f(3)＝24，则a·

17b·

a3

＝24，(1分)

解得a＝2，b＝3，所以f(x)＝3·2x.(2分)

由题设，g(x)＝1112－111－2

x

3·2x＋3－6＝62x＋1＝6·2x＋1.(3分)

明显g(x)的定义域为R，又g(－x)＝11－2－x12x

－1

6·2－x＋1＝6·1＋2x

＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．(6分)

x)＝abx＝23x(2)设h(，

则当x∈(－∞，1]时，h(x)≥2m＋1恒成立， 所以h(x)min≥2m＋1. (8分)

由于h(x)在R上为减函数，则当x∈(－∞，1]时，hmin(x)＝h(1)＝2

3

.(10分)

由2m＋1≤23，得m≤－1

6

，

所以m的取值范围是－∞，－1

6.(12分) 第Ⅱ卷(满分50分)

一、本大题共2个小题，每小题6分，共12分． 18．D

19.12，1ax－1a－1a－1 【解析】由于f(x)＝lg x－1＝lga＋x－1

在[2，＋∞)上是增函数，则y＝a＋

x－1在[2，＋)上是增函数，所以a－1＜0，

即a＜1.又f(x)在[2，＋∞)上有意义，则当x∈[2，＋∞)时， ax－1＞0恒成立，即a>1x

恒成立，所以a>1xmax＝1

2. 故a∈12，1.

二、本大题共3个大题，共38分．

20．【解析】(1)f(x)＝(x＋2a)2＋2a＋6－4a2.(1分) 据题意，f(x)的最小值为4，则2a＋6－4a2＝4，(3分) 即

2a2－a－1＝0，即(2a＋1)(a－1)＝0，所以

a＝1或－1

2

.(5分)

(2)由于f(x)≥0恒成立，则Δ＝16a2－4(2a＋6)≤0，(6分)

即2a2－a－3≤0，即(2a－3)(a＋1)≤0.所以－1≤a≤3

2.(7分)

g(a)＝2－a|a＋3|＝2－a(a＋3)＝－a2－3a＋2

＝－3a＋22＋174

.(9分)

由于g(a)在区间

－1， 3

2单调递减， 所以g(a)3max＝g(－1)＝4, g(a)min＝g2＝－19

4

.(11分) 所以函数g(a)的值域是－19

4，4.(12分) 21．【解析】(1)由于a＝11

2，则f(x)＝|log25(x＋1)－2

|＋2≥2.(2分)

当f(x)＝2时，log25(x＋1)－1

2＝0，得x＋1＝251

2＝5，即x＝4.(3分)

所以一天中晚上4点该市的空气污染指数最低．(4分) (2)设t＝log|25(x|

＋1)，则当0≤x≤24时，0≤t≤1.(6分) 设g(t)＝t－a＋2a＋1，t∈[0，1]，

则g(t)＝－t＋3a＋1，0≤t≤a



t＋a＋1，a≤t≤1.(7分)

明显g(t)在[0，a]上是减函数，在[a，1]上是增函数，

则f(x)max＝max{g(0)，g(1)}. (8分) 由于g(0)＝3a＋1，g(1)＝a＋2，

法一：由g(0)－g(1)＝2a－1>0，得a>1

2.

a＋2，01

所以f(x)2

max＝.(10分)



3a＋1，1

2

当02时，2当122.(12分) 故调整参数a应把握在0，2

3

内．(13分) g（0）≤3

法二：由题：g（1）≤3

a>0

3a＋1≤3即a＋3≤3 a>0

解得03

故调整参数a应把握在0，2

3内． 22．【解析】(1)当a＝1时，h(x)＝x2＋9－x＋3.

设x1＞x2＞0，则h(x1)－h(x2)＝x21＋9－x1

－x22＋9＋x2

＝x21＋9－

x22＋9－(x1－x2)

＝

x21－x22

x29＋x2－(x1－x2)

1＋2＋9

＝(x1－x2)

x1＋x2－

x21＋9＋x21. (2分) 2＋9



由于x21＋9>x2

1＝x1，

x22＋9>x2

2＝x2，

则x21＋9＋x22＋9>x1＋x2， 得

x1＋x2x1＋x2

x21＋9＋

x2<1，即

2＋9

x21

＋9＋x22＋9

－1<0.(4分)

又x1－x2＞0，则h(x1)－h(x2)<0，即h(x1)(2)当x∈[0，4]时，x2∈[0，16]，则x2＋9∈[9，25]， 所以f(x)的值域是[3，5]．(6分)

当x∈[－2，2]时，设函数g(x)的值域为M. 据题意，[3，5]

M.(8分)

①当a＝0时，g(x)＝－3，不合题意．(9分)

∞g（2）≥5

②当a＞0时，g(x)在[－2，2]上是增函数，则，

g（－2）≤3

2a－3≥5

即－2a－3≤3，解得a≥4. a>0

g（－2）≥5

③当a＜0时，g(x)在[－2，2]上是减函数，则，

g（2）≤3

－2a－3≥5

即2a－3≤3，解得a≤－4.(12分) a<0

综上，a的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．(13分)