点作平行于Ｙ轴的直线，则与这２条直线均相距Ｒ的 电粒孑在不同 轨迹就是以０ 为圆心、Ｒ为半径的圆上的圆弧ＭＮ， 形状最 。磁场 Ｍ点和Ｎ点应在所求圆形磁场区域的边界上． 在通过Ｍ、Ｎ ２点的不同圆周中，最小面积是以 ０ 点就是圆的圆心．如图２所示，质点在磁场区域中的 ＭＮ连线为直径的圆．圆形磁场区域的最小半径为 区域内的运动 １ ｂｒ一 ＭＮ一 ・ ．所以磁场区域的最小面积 ◇宁夏魏廷智权浩 近年来在高考试题中多次出现带电粒子在有界 匀强磁场区域的运动时，求磁场的最小面积问题，这 类问题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运 用能力要求较高．其难点在于带电粒子在有界匀强磁 场中运动的轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁 场后一般只运动一段圆弧后飞出磁场边界，运动过程 中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场 的边界点）难以确定．此类问题解决的关键是依据题 意分析带电粒子的运动过程和运动形式，抓住运动过 程中的临界点，应用几何知识，找出运动轨迹的圆心， 确定半径，画出带电粒子运动的部分轨迹，再利用题 目中规定形状的最小磁场覆盖粒子运动轨迹，然后利 用数学知识和相应的物理规律分析解出所求磁场的 最小面积．下面笔者以实例对此类问题进行分析． １ 带电粒子在圆形磁场区域内运动 ：；例１如图１，一带电质点质量为ｍ，电荷量为 Ｑ，以平行于Ｏｘ轴的速度 从Ｙ轴上的口点射入图 中第一象限所示的区域．为了 使该质点能从Ｘ轴上的ｂ点 ｎ 以垂直于Ｏｘ轴的速度 射 出，可在适当的地方加一个垂 直于ｘＯｙ平面、磁感应强度 分布在一个圆形区域内，试求 为Ｂ的匀强磁场．若此磁场仅 图１ 这圆形磁场区域的最小面积．重力忽略不计． 质点在磁场中做半 Ｙ 解析径为Ｒ的圆周运动， ａ 则有ＱｖＢ—ｉＶ ／Ｒ，解得Ｒ＝ ｍｙ／ＱＢ．根据题意，质点在磁 场区域中的轨道是半径等于 ｏ Ｒ的圆上的１／４圆周，这段圆 弧应与入射方向的速度、出射 图２ 方向的速度相切．过ａ点作平行于Ｘ轴的直线，过ｂ ｓ一２～丢・ｃ 春意 心必在两临界点速度方向垂线的交点上，并且圆心到 这２个临界点的距离相等，同时还需要明确所求最小 圆形磁场的直径等于粒子运动轨迹的弦长． ２带电粒子在矩形磁场区域内运动 例２ 如图３所示，直 角坐标系ｘＯｙ第一象限区 域内存在沿Ｙ轴正方向的匀 强电场．现有一质量为ｍ、电 Ｑ 荷量为ｅ的电子从第一象限 图３ 某点Ｐ（Ｌ，√３Ｌ１８）以初速度 。沿Ｘ轴负方向进入电场，经过ｚ轴上的点Ｑ（Ｌ／４， Ｏ）进入第四象限，先做匀速直线运动，然后进入垂直 纸面的匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与ｙ 轴、ｘ轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点０，并沿 ｙ轴正方向运动，不计电子的重力．求： （１）电子经过Ｑ点的速度 ； （２）该匀强磁场的磁感应强度Ｂ和磁场的最小 面积Ｓ． （１）电子从Ｐ点开始，在电场力作用下做类 ，＿解析平抛运动到Ｑ点． 竖直方向：Ｙ一√３Ｌ／８＝＝＝ａｔ。／２， 水平方向：Ｌ－－Ｌ／４—３Ｌ／４＝＝＝ 。ｔ． 解得ｎ＝＝＝４√３ ／９Ｌ，而 －＝ａｔ一√３ 。／３，所以电 子经过Ｑ点的速度： 一￣／ ｊ＋ ＝２√３ 。／３．设电子 经过Ｑ点的速度方向与ｚ轴负方向夹角为 ，则有 ｔａｎ 一 ／ｖｏ一√３／３，所以 一３０。． （２）如图４所示，电子以与Ｘ轴负方向成３０。进 进入第四象限后，先沿ＱＭ做匀速直线运动，然后进 入匀强磁场区域做匀速圆周运动，恰好以沿Ｙ轴正方 向的速度经过０点．可知圆周运动的圆心０ 一定在Ｘ 轴上，且０ 点到０点的距离与到直线ＱＭ上Ｍ点（Ｍ ．２９ 理化 点即为磁场的边界点）的垂直距离相等，找出０ 点，画 出其运动的部分轨迹为弧ＭＮＯ，这样磁场的右边界 和下边界就确定了． 圈４ 设偏转半径为Ｒ，由牛顿第二定律可知ｅｖＢ— ｍｙ。／Ｒ，由几何知识可知，０ Ｑ＝＝＝２Ｒ，则ＯＱ—Ｌ／４— ３Ｒ，解得Ｂ一８√３ｍ＇ｏ。／ｅＬ，方向垂直纸面向里．矩形磁 场的长度Ｌ０ｃ一３Ｒ／２一Ｌ／８，宽度ＬＤ＾一Ｒ—Ｌ／１２． 所以矩形磁场的最小面积Ｓ—ＬＯｃ・Ｌ０Ａ—Ｌ。／９６． 彝 蓍 薹 运动，竖直方向为初速度为０的匀加速直线运动．电子 在第四象限进入磁场中的运动，洛伦兹力提供向心 力，圆心、半径、临界点的确定是关键，另外要注意数 学知识在物理学中应用． ３带电粒子在三角形磁场区域内运动 例３如图５，一质量为ｍ、带电荷量为＋Ｑ的粒 子在ＢＣ边上的Ｍ点以速度 垂直于ＢＣ边飞人正 三角形ＡＢＣ．为了使该粒子能 在ＡＣ边上的Ｎ点（Ｃｊ 一 ＣＮ）垂直于ＡＣ边飞出三角 形ＡＢＣ，可在适当的位置加 一个垂直于纸面向里，磁感应 Ｃ 强度为Ｂ的匀强磁场．若此磁 场也分布在一个正三角形的 图５ 区域内，粒子的重力不计，求： （１）粒子在磁场中运动的半径和周期； （２）该粒子在磁场中运动的时间ｔ； （３）该正三角形磁场区域的最小边长． 析（１）根据牛顿第二定律有Ｑ Ｂ— Ｖ ２，解得 ｒ— ／ＱＢ；由匀速圆周运动周期公式Ｔ：＝＝一Ｅｎｒ，解得 ２ｎｒ ２ｒｉｍ ＱＢ。 （２）由题意可知，粒子刚进入磁场时应该先向左 偏转，不可能直接在磁场中由Ｍ点做圆周运动到达 Ｎ点，当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时，其速度方 向应该沿着轨迹的切线方向并垂直于半径，如图６所 化 示，粒子的运动轨迹为圆 弧ＧＤＥＦ，圆心为０，Ｇ 点为轨迹圆半径与初速度 方向的切点，在Ｆ点为轨 迹圆半径与出射方向的切 点．画出三角形ａｂｃ，与圆 。 Ｃ 弧在Ｄ、Ｅ ２点相切，并与 圆交于Ｆ、Ｇ ２点，此为符 图６ 合题意的最小磁场区域．由数学知识可知 ＦＯＧ一 ６Ｏ。，所以粒子在磁场中运动圆弧所对应圆心角为 ３００。，由于 ＝Ｏ／ｔ一２ｎ／Ｔ，所以该粒子在磁场中运动 的时间ｔ：：＝５Ｔ／６—５ｒｃｍ／３ＱＢ． （３）连接ａＯ并延长与６ｃ交于Ｈ点．由图６可知 ａＯ一２ｒ，０Ｈ一√３ｒ／２．所以 ’ ．ａＯ＋ＯＨｍｙ“ —一 一丽ｃＯｓ ３Ｏ。 ＣＯＳ ３０ 。 ＱＢ（、 ３＋１）． 。 ‘ 彝量毒芸 耄 参主 耋 速度的反向延长线相交后，根据运动半径已知的特 点，再由几何知识才能确定．另外，在计算最小边长时 一定要注意圆周运动轨迹并不是三角形磁场的内 切圆． ４带电粒子在树叶形磁场区域内运动 例４如图７所示，ＡＢＣＤ是边长为ａ的正方形． 质量为ｍ、电荷量为ｅ的电 子以大小为 。的初速度沿 纸面垂直于ＢＣ边射入正方 形区域．在正方形内适当区 域中有匀强磁场．电子从ＢＣ 边上的任意点入射，都只能 从Ａ点射出磁场．不计重 图７ 力，求： （１）此匀强磁场磁感应强度的方向和大小； （２）此匀强磁场区域的最小面积． （１）如图８所示，设匀强磁场的磁感应强度 析为Ｂ，令圆弧ＡＥＣ是自Ｃ点垂直于ＢＣ入 射的电子在磁场中的运行轨道．电子所受到的磁场的 作用力Ｆ—ｅ 。Ｂ，方向指向圆弧的圆心，根据左手定 则，磁场的方向应垂直于纸面向外．圆弧ＡＥＣ的圆心 在ＣＢ边或其延长线上．依题意，Ａ、Ｃ是轨迹上的两 点，则圆心必在Ａ、Ｃ连线的中垂线上，所以Ｂ点即 为轨迹圆的圆心，圆半径为ａ，按照牛顿定律有Ｆ— ｍＹ） ／ａ，联立解得Ｂ—ｍｙ ０／Ｐｎ． （２）根据题意可知，自Ｃ 点垂直于ＢＣ入射的电子在 Ｅ／，’｝｛１． 。 Ａ点沿ＤＡ方向射出，一且白 ＢＣ边上其他点垂直于入射 的电子的运动轨道只能在 ＢＡＥＣ区域中．因而，圆弧 ．． ‘／ ＡＥＣ是所求的最小磁场区域 ＼ 的一个边界．为了确定该磁场 图８ 区域的另一边界，我们来考 查射中Ａ点的电子的速度方向与ＢＡ的延长线夹角 ０（不妨设ｏ≤０＜ ）的情况．如图８所示，图中圆弧 ＡＨ的圆心为０，该电子的运动轨迹是ＧＨＡ．ＧＨ垂 直于ＢＣ边，圆弧ＡＨ的半径仍为ａ，在以Ｄ为原点、 ＤＣ为３２轴，ＡＤ为 轴的坐标系中，由数学知识， Ａ０Ｈ一０，因此Ｈ点的坐标（ ，Ｙ）为： ＝ａ ｓｉｎ ， ＼Ｙ一一［ｎ一（ｎ－－ａｃｏｓ ｏ）１一－－ａ ＣＯＳ ０。 由Ｈ点的坐标可知，在范围０≤０＜÷内，Ｈ点 形成以Ｄ为圆心、ａ为半径的１／４圆周ＡＦＣ，它是电 子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区 域的另一边界．因此，所求的最小匀强磁场区域是分 别以Ｂ和Ｄ为圆心、ａ为半径的２个１／４圆周ＡＥＣ 和ＡＦＣ所围成的，形状类似于树叶形，其面积为２个 １／４扇形面积之和减去一个正方形的面积，即为 Ｓ一２×÷盘 一ａ 一 以 ． 彝妻 姜 耋 的应用、参数方程的建立，考查带电粒子在匀强磁场 中的匀速圆周运动、空间想象能力和应用数学知识解 决物理问题的能力．以电子从Ｃ点进入为突破口，即 可求解第（１）问，从其他位置进入，也一定是匀速圆周 运动，并且半径相同． 高考物理在考查知识的同时注重考查能力，并把 对能力的考查放在首要位置．其中应用数学知识处理 物理问题的能力是高考考查的５种能力之一，要求能 运用几何图形、函数图象进行表达、分析．带电粒子在 有界磁场中的运动，是应用数学知识处理物理问题的 典型模块，特别是求解磁场最小面积问题，能力要求 较高，是近几年高考命题的热点之一．希望上述实例 的分析解答对同学们的学习能起到潜移默化的效果． （作者单位：宁夏六盘山高级中学） ◇ 山东 南松伟 磁场是历年高考必考且分量很重的内容，一张试 卷几乎涵盖磁场所有知识点，特别是左手定则和带电 粒子在磁场中的运动几乎每年都会考查．对于这个“高 考大户”考生都比较头疼，因为本类题目往往以信息 量大、难度大、综合性强及对能力要求高的压轴题的 形式｝ｌＪ现． 认真梳理一下，其实磁场涉及的内容并不难掌 握，主要可概括为：１个物理模型——磁感线；２个物 理量——磁感应强度和磁通量；２个作用——磁场对 电流的作用和磁场对运动电荷的作用．只需要透彻掌 握这些知识，并能与力学、运动学和电学知识融合，就 能轻松应对． 下面，我们就以２ｏ１６年高考中出现的有关题目 为例，体会磁场考查的规律和解题思路． １ 磁感线 —■ 例１ （北京卷）中国宋代科学家沈括在《梦溪笔 谈》中最早记载了地磁偏角：“以磁石磨针锋，则能指 南，然常微偏东，不全南也．”进一步研究表明，地球周 围地磁场的磁感线分布示意如图１．结合上述材料，下 列说法不正确的是（ ）． Ａ 地理南、北极与 地轴 地磁场的南、北极不重合； Ｂ地球内部也存在 磁场，地磁南极在地理北 极附近； Ｃ地球表面任意位 向 置的地磁场方向都与地面 图１ 平行； Ｄ地磁场对射向地球赤道的带电宇宙射线粒子 有力的作用 ａ■－， 本题通过地磁场考查磁感线这一知识点，题 解析 目￣ｔ－￥ＮＮ，往年高考也有类似考查．解题时 要对地磁场有清晰的认识，难度不大． 根据题意可得，地理南北极与地磁场存在一个夹 角，为磁偏角，故二者不重合，选项Ａ说法正确；地磁 化