高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面向量》基础测试题含答案

一、选择题

x2y21．已知点F1，F2分别是椭圆C:221(ab0)的左，右焦点，过原点O且倾斜

abuuuuruuuuruuuuruuuur角为60°的直线l与椭圆C的一个交点为M，且|MF1MF2||MF1MF2|，则椭圆C的离心率为（ ） A．31 【答案】A 【解析】 【分析】

B．23

C．

1 2D．

2 2uuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuurRtVMF1F2中，求出由|MF1MF2||MF1MF2|两边平方，得MF1MF20，在

a,c的关系，求出离心率可得选项. MF2，MF1，【详解】

uuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuur将|MF1MF2||MF1MF2|两边平方，得MF1MF20，即

MF1MF2，|OM|1F1F2c. 23cc，∴e又MOF60，∴MF2c，MF13c，∴2a故选:A. 【点睛】

c31. a考查了向量的数量积,椭圆的定义，离心率的求法,关键在于得出关于a,c的关系，属于中档题.

rvvvvvvvrvr2．已知向量a，b满足abab，且|a|3，|b|1，则向量b与ab的夹角为

（ ） A．

 3B．

2 3C．

 6D．

5 6【答案】B 【解析】 【分析】

vvvvvvvvvabab对两边平方，求得ab0，所以ab.画出图像，根据图像确定b与

vv的夹角，并根据它补角的正切值求得对应的角的大小.

ab【详解】

vvvvvvvvvvvvvvvv因为abab，所以a22abb2a22abb2，即ab0，所以ab.

如图，设ABa，ADb，则向量b与ab的夹角为BDE，因为

uuuvvuuuvvvvvtanBDA3，所以BDA3，BDE2.故选B. 3

【点睛】

本题考查平面向量的模以及夹角问题，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法.属于中档题.

3．已知点M在以C1(a,a2)为圆心，以1为半径的圆上，距离为23的两点P,Q在圆

uuuruuuurC2:xy8y120上，则MPMQ的最小值为（ ）

22A．18122 【答案】B 【解析】 【分析】

B．19122 C．18122 D．19122 uuuruuuuruuuruuuuruuuuruuuruuuruuuuruuuur2PQ设中点D，得到MPMDDP,MQMDDQ，求得MPMQMD3，再

uuuruuuur2利用圆与圆的位置关系，即可求解故MPMQ3223，得到答案.

【详解】

依题意，设PQ中点D，

uuuruuuuruuuruuuuruuuuruuuruuuruuuuruuuur2则MPMDDP,MQMDDQ，所以MPMQMD3，

2QC2DQC2(2PQ2)1，∴D在以1为半径，以C2为圆心的圆上， 2QC2C1a2[(a2)4]22(a3)21832，

MDminC1C2minC2DMC1

uuuruuuur2故MPMQ322319122.



【点睛】

本题主要考查了圆的方程，圆与圆的位置关系的应用，以及平面向量的数量积的应用，着重考查了推理论证能力以及数形结合思想，转化与化归思想.

4．下列说法中说法正确的有（ ）

rrrr①零向量与任一向量平行；②若a//b，则ab(R)；

rrruuuruuuruuurrrrrrrrr③(ab)ca(bc)④|a||b||ab|；⑤若ABBCCA0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A．①④ 【答案】A 【解析】 【分析】

直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】

对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；

B．①②④

C．①②⑤

D．③⑥

rrrrrr对于②：若a//b，则abR，必须有b0，故②错误；

rrrrrrrr对于③：abcabc，a与c不共线，故③错误；

rrrr对于④：abab，根据三角不等式的应用，故④正确；

uuuruuuruuurrr对于⑤：若ABBCCA0，则A,B,C为一个三角形的三个顶点，也可为0，故⑤

错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误. 综上：①④正确. 故选：A. 【点睛】

本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．

rrrrrrrrr5．已知向量a与向量b满足|a|2，|b|22，|ab||ab|45，则向量a与向r量b的夹角为( )

325 B．或 C．或 D． 或

6633244【答案】A 【解析】 【分析】

rr2rr2rr设向量a，b的夹角为，则|ab|1282cos，|ab|1282cos，即可

A．

求出cos2，从而得到向量的夹角； 【详解】

rr2r2r2rrrr解：设向量a，b的夹角为，|ab||a||b|2|a||b|cos4882cos 1282cos，rr2r2r2rr|ab||a||b|2|a||b|cos4882cos1282cos，所以

rr2rr212|ab||ab|144128cos2(45)280，cos，因为[0,)，故

24或

3，故选：A. 4【点睛】

本题考查平面向量的数量积的运算律，及夹角的计算，属于中档题.

uuuv1uuuv2uuuvA．BDOAOC

63uuuv5uuuv1uuuvC．BDOAOC

63【答案】A 【解析】 【分析】

【详解】

6．延长线段AB到点C，使得AB2BC，OAB，2ODOA，则（ ）

uuuruuuruuuvuuuvuuuv5uuuv2uuuvB．BDOAOC

63uuuv1uuuv1uuuvD．BDOAOC

63利用向量的加法、减法的几何意义，即可得答案；

vuuuv2uuuvuuuv2uuuvuuuv1uuuv2uuuvuuuvuuuvuuuvuuuQBDODOB，OBOAACOAOCOAOAOC，

3333uuuv1uuuvODOA，

2uuuv1uuuv2uuuvBDOAOC，

63故选：A. 【点睛】

本题考查向量的线性运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.

rrrrrr7．若向量a(1,1)，b(1,3)，c(2,x)满足(3ab)c10，则x（ ）

A．1 【答案】A 【解析】 【分析】

B．2

C．3

D．4

rr根据向量的坐标运算，求得(3ab)(2,6)，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求

解，得到答案. 【详解】

rrra(1,1)由题意，向量，b(1,3)，c(2,x)，则向量

rr(3ab)3(1,1)(1,3)(2,6)，

rrr所以(3ab)c(2,6)(2,x)226x10，解得x1，故选A.

【点睛】

本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

8．已知A，B，C是抛物线y24x上不同的三点，且AB//y轴，ACB90，点C在AB边上的射影为D，则CD（ ） A．4 【答案】A 【解析】 【分析】

B．22

C．2

D．2

y12y12y22,y1,B,y1,C,y2，y1y2， 由ACB90可求画出图像，设A444y12y22yy216，结合CD即可求解 44212【详解】

y12y12y22A,y,B,y,C,y如图：设112，y1y2， 由ACB90可得444uuury2y2uuury2y2uuuruuur1212CA,yy,CB,yyCACB0，1212，

442222uuuruuury12y22yy2212y2y20 CACB0y1y20，即12416y12y22y12y224 解得yy216（0舍去），所以CD444212

故选：A 【点睛】

本题考查抛物线的几何性质与向量的综合应用，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题

π9．平面向量a与b的夹角为，a2,0，b1，则a2b（ ）

3A．23 【答案】D 【解析】 【分析】

B．6

C．0

D．2

根据向量的模的计算和向量的数量积的运算即可求出答案. 【详解】

Qa2,0，

|a|2

r2rrr2a2b(a2b)|a|4|b|4ab44421cos4，

3rr|a2b|2，

22故选：D 【点睛】

本题考查了向量的模的计算和向量的数量积的运算，属于中档题.

vvvv10．已知向量a(1,2)，b(3,4)，则a在b方向上的投影为

A．13 【答案】C 【解析】 【分析】

B．

2 2C．1 D．

65 5根据a在b方向上的投影定义求解. 【详解】

vvrrab(1,2)(3,4)38vv1， a在b方向上的投影为r(3,4)5b选C. 【点睛】

本题考查a在b方向上的投影定义，考查基本求解能力.

vv

11．在菱形ABCD中，AC4，BD2，E，F分别为AB，BC的中点，则

uuuruuurDEDF（ ）

13A．

4【答案】B 【解析】 【分析】

B．

5 4C．5 D．

15 4uuuruuur据题意以菱形对角线交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出DE,DF，再

根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果. 【详解】 坐标系，

设AC与BD交于点O，以O为原点，BD的方向为x轴，CA的方向为y轴，建立直角

uuuruuur

uuur3uuur311则E,1，F,1，D(1,0)，DE,1，DF,1，

2222uuuruuur95所以DEDF1.

44故选：B. 【点睛】

本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中

的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.

x2y212．设双曲线221a0,b0的右焦点为F，过点F作x轴的垂线交两渐近线

ab于A,B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若

uuuvuuuvuuuv5OPOAOB,R，2+2=，则双曲线的离心率为（ ）

8A．

23 3B．35 5C．

32 2D．

9 8【答案】A 【解析】 【分析】

先根据已知求出,u，再代入+=225求出双曲线的离心率. 8【详解】

bbcbcb2由题得双曲线的渐近线方程为yx，设F(c,0)，则A(c,),B(c,),P(c,),

aaaauuuvuuuvuuuvb2bc因为OPOAOB,R，所以(c,)((u)c,(u)).

aa所以uc,u解之得2b, cbccb,u. 2c2c2因为+=故答案为A 【点睛】

5bc2cb25c22)(),3,e3. ，所以(82c2c8a33本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能

uuuvuuuvuuuv力.解答本题的关键是根据OPOAOB,R求出,u.

uuuvuuuv3uuuvAD的中点，AEABAC，则（ ）

413．如图，在VABC中，已知D是BC边延长线上一点，若BC2CD，点E为线段

uuuvuuuv

A．

1 4B．1 4C．

1 3D．

13【答案】B 【解析】 【分析】

uuur1uuuruuur3uuurruuuruuuruuuruuuruuuruuu由AEAD，ADBDBA，ACBCBA，BDBC，代入化简即可得出．

22【详解】 uuuv1uuuvuuuvuuuvuuuvuuuv3uuuvuuuvuuuvuuuvAEAD,ADBDBA,BDBC,BCACAB，带人可得

22uuuv13uuuvuuuvuuuvv3uuuv1uuu1AEACABABABAC，可得，

22444故选B. 【点睛】

本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

uuuv1uuuvuuuvuuuvuuuvuuuv14．在边长为2的等边三角形ABC中，若AEAC,BFFC，则BEAF（ ）

3A．2 3B．4 3C．

83D．2

【答案】D 【解析】 【分析】

运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值． 【详解】

uuur1uuur在边长为2的等边三角形ABC中，若AEAC，

3uuuruuuuuuruuurruuurv1uuu则BEAF（AEAB）•（ACAB）

2ruuurruuur1uuu1uuu＝（ACAB）•（ACAB）

32ruuuruuurr22uuu142111uuu2422（ACABAB•AC）2

2332233故选：D 【点睛】

本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．

（ ）

15．如图，AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，AE3EO，则EC•ED的值是

uuuvuuuvuuuvuuuv

A．4 5B．15 16C．1 4D．

58【答案】B 【解析】 【分析】

根据向量表示化简数量积，即得结果. 【详解】

uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvEC•EDEOOC•EOODEOOC•EOOC

uuuv2uuuv21215EOOC1,选B.

164【点睛】

本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.

16．下列命题为真命题的个数是（ ） ①xxx是无理数}，x2是无理数； ②若ab0，则a0或b0；

③命题“若x2y20，xR，yR，则xy0”的逆否命题为真命题；

rrrrrrexex④函数fx是偶函数.

xA．1 【答案】B 【解析】

B．2

C．3

D．4

【分析】

利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】

对于①中，当x2时，x22为有理数，故①错误；

rrrrrrrr对于②中，若ab0，可以有ab，不一定要a0或b0，故②错误；

22对于③中，命题“若xy0，xR，yR，则xy0”为真命题，

其逆否命题为真命题，故③正确；

exexexex对于④中，fxfx，

xx且函数的定义域是(,0)U(0,)，定义域关于原点对称， exex所以函数fx是偶函数，故④正确.

x综上，真命题的个数是2. 故选：B. 【点睛】

本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.

rrrrrrrrrrrrrr17．已知平面向量a,b,c满足|a||b|2，ab，(ac)(bc)，则(a+b)c的取值

范围是( ) A．[0,2] 【答案】D 【解析】 【分析】

以点O为原点，OA，OB分别为x轴，y轴的正方向建立直角坐标系，根据ACBC，得到点C在圆(x1)(y1)2，再结合直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】

22B．[0,22]

C．[0,4] D．[0,8]

uuuruuur设OAa,OBb,OCc，

uuurruuurruuurruuuruuur以点O为原点，OA，OB分别为x轴，y轴的正方向建立直角坐标系，则

A(2,0),B(0,2)，

依题意，得ACBC，所以点C在以AB为直径的圆上运动，

rrr22C(x,y)设点，则(x1)(y1)2，(ab)c2x2y，

由圆心到直线2x2yt的距离d22t22222，可得t[0,8].

故选：D． 【点睛】

本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力．

uuur1uuur2uuuruuur18．已知A，B是圆O: xy4上的两个动点，|AB|2，OCOAOB，若

33uuuruuuurM是线段AB的中点，则OCOM的值为（ ）.

22A．3 【答案】D 【解析】 【分析】

B．23 C．2 D．3

uuuruuuruuuuruuuruuuur判断出OAB是等边三角形，以OA,OB为基底表示出OM，由此求得OCOM的值.

【详解】

uuur圆O圆心为0,0，半径为2，而|AB|2，所以OAB是等边三角形.由于M是线段

uuuur1uuur1uuurAB的中点，所以OMOAOB.所以

22r2uuur1uuur1uuur1uuur21uuuruuur1uuur2uuuruuuur1uuuOCOMOAOBOAOBOAOAOBOB322332621422cos60o3. 323故选：D

【点睛】

本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

rr19．已知向量a(sin,cos)，b(1,2)，则以下说法不正确的是（ ）

A．若a//b，则tanrr1 2rr1B．若ab，则tan

2rrrr1C．若f()ab取得最大值，则tan D．|ab|的最大值为51

2【答案】B 【解析】 【分析】

A选项利用向量平行的坐标表示来判断正确性.B选项利用向量垂直的坐标表示来判断正确性.C选项求得f的表达式，结合三角函数最值的求法，判断C选项的正确性.D选项利

用向量模的运算来判断正确性. 【详解】

A选项，若a//b，则2sincos，即tanrrrrB选项，若ab，则sin2cos0，则tan=-2，B不正确.

1，A正确. 2rrC选项，f()absin2cos5sin()，其中tan2.取得最大值时，

2k2，2k2，

11tantan2ktan2，则tan，则C正确.

222tanD选项，由向量减法、模的几何意义可知|ab|的最大值为51，此时arrrrra,b反向.故选项D正确.

故选：B 【点睛】

5rb，5本小题主要考查向量平行、垂直的坐标表示，考查向量数量积的运算，考查向量减法的模的几何意义，属于中档题.

vvvvvvvv20．已知向量a，b满足a2，|b|1，且ba2，则向量a与b的夹角的余弦值

为（ ） A．

2 2B．

2 3C．2 8D．

2 4【答案】D 【解析】 【分析】

rrrabrrr1cosa,babrr求得结果. 根据平方运算可求得，利用

ab2【详解】

rrrr2r2rr1rrr2由题意可知：bab2aba32ab4，解得：ab

2rrrab12rcosa,brr 4ab22本题正确选项：D 【点睛】

本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.