教学设计(数乘向量)

一、教材分析：

向量具有丰富的实际背景和几何背景，向量既有大小，又有方向.引进向量运算后才使显得威力无穷.本章从第二节开始学习向量的加法、减法运算及其几何意义；本节接着学习向量的数乘运算及其几何意义.

向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分表达了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线

向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线l就可以用点A和某个向量a表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提

条件：向量a是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.

二、学情分析：

学生在已经学习了近一学期的高中课程内容后，在思想和思维模式上已经慢慢适应了高中的课程和高中的教学方式。只要教师创设情境合理，精心设计问题串，循序渐进层层深入，学生能很快地构建起新的数学知识，教师只要作必要的归纳，就会帮助学生上升到理性认识的层面。同时为了更熟练地掌握知识和应用知识，需加强学生的课堂练习。

三、教学目标：

1、知识与技能

掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；了解实数与向量积的运算律；会利用向量共线定理证明点共线或线平行。 2、过程与方法

通过师生互动理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判断两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行。 3、情感态度与价值观

通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法〔从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等〕；培养创新能力和积极进取精神；通过具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用。

四、教学重难点

教学重点：

1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义；

2．掌握向量共线定理，会判定或证明两向量共线。 教学难点：对向量共线的等价条件的理解以及运用。

五、教具选取

三角板、多媒体辅助教学。

六、教学过程 教学环节 复习教学内容 向量的加法、向量的减法 教师提问 学生答复 复习回忆，引发新知 教师活动 学生活动 设计意图 回忆 引入新课 已知非零向量a，作出a+a+a和〔a〕+〔a〕+〔a〕 问题1：它们的大小和方向与向量学生作图，观察并思考 认识和理解向量数乘的几何意义必须从几何直观入手，即通过让学生自己作图，以及观察、思考，让学生对向量的伸缩有一个初步的感性认识，进而为下一步对向量的数乘的定义及其几何意义的理性认识作好铺垫。 通过引出向量的数乘的定义，让学生体会从特殊到一般的思想方法 a比较有什么变化？ 新课讲解 1、实数与向量的积的定义： 一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下： 〔1〕|a||||a|； 〔2〕当0时，a的方向与a的方向相同； 当0时，a的方向与问题2：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？ 小组合作交流，学生单独作答 a的方向相反； 当 0 时，a0． 问题3：你能说明它的几何意义吗？ 小组合作交流，学生单独作答 从从直观入手，从具体开始，逐步抽象。通过师生互动，得到向量数乘的几何意义是把向量a沿a的方向或反方向伸长或缩短 倍。 2、实数与向量的积的运算律： 数的运算和运〔1〕(a)()a〔结合律〕； 算律是紧密相运算律可〔2〕()aaa〔第一连的，以有效地简化分配律〕； 类比数的（a+b）=ab〔第二分运算。〔3〕乘法的运算律，配律〕． 你能说出数乘 1、教师引导学生作答。 从心理学认为：概念一旦形成，必须及时稳固 的运算律吗？ 例1 计算： 〔1〕(3)4a； 〔2〕3(ab)2(ab)a； 〔3〕 综合认识向量线性运算。 2、学生练习 通过例1加深学生对数乘向量运算律的理解。 (2a3bc)(3a2bc)． 问题4：引入数乘对于向量a(a0)、b，如果向量后，你能发现数乘向量与原向量的位置关系吗？ 合作交流，作答. 师生共同活动引出向量共线的定理；引导学生理解向量共线只需看这两个向量的方向相同或是相反，在向量b有一个实数，使a，那么由向量数乘的定义知a与b共线，且向量b是向量a(a0)模的思考: 1) a为什么要是非零向量? 倍，而的正负由向量a(a0)、2) b可以是b的方向所决定. 零向量吗? 3) 怎样理解向量反过来，已知向量a与b共平行？与两直线平行有什么异线，a0，且向量b的长度是向同？ a(a0)的前提下，向量a(a0)、b共线，当且仅当有一个实数，使得ba；且实数b量a的长度的倍，即a，那么当a与b同方向时，有的唯一性是由向量a和b的模和方向同时决定. 通过学生合作交流，促进学生合作的集体意识；通过学生作答，提高学生分析问题、解决问题的能力. ba；当a与b反方向时，有ba. 从上述两方面可知 3、〔板书〕共线向量定理：向量a(a0)、b共线，当且仅当有一个实数，使得ba. 4、向量共线定理的应用 例2、如图，已知AD3AB，DE3BC.试判断AC与AE是否共线 练一练 教材P90练习题4题 学生单独作答 从心理学认为：概念一旦形成，必须及时稳固 变式一：如图，已知AD3AB，DE3BC.试判断A、C、E三点的位置关系。 引导学生思考 学生思考作答 共线向量定理的应用一：判断两向量是否共线 变式二：如图，已知AD3AB，AE3AC. 求证：BC//DE引导学生思考 学生思考作答 共线向量定理的应用二：判断三点共线 综合运用向量的加、减、数乘等向量的线性运算. 使学生明确：有了向量的线性运算，平面中的点、线段〔直线〕就可以得到向量表示，这是利用向量解决几何问题的重要步骤. 课堂小结 一、① a的定义及运算律； 节学习中用到的考作答 特殊到 ② 向量共线定理思想方法：一般，归纳，猜想，(a0)，ba 向量a与b共线. 类比，分类讨论，等价转化. 引导学生体会本学生思二、 定理的应用： 〔1〕 证明向量共线； 〔2〕 证明三点共线；ABBCA、B、C三点共线； 〔3〕 证明两直线平行： ABCD,AB与CD不在同一条直线上,直线AB∥直线CD. 三、你体会到了那些数学思想. 课后作业 分层布置作业，让每个学生都已知，AB2akb,BCa13b,2(2a8b)4(4a2b)得到发展。 若点A，B，C三点共线，6 设a,b是两个不共线的向量，全做 求k的值.2 已知两个非零向量a,b不共线，如果求1、2、3、题各层任选两题完成。 AB2a3b,BC6a23b,CD4a8b证：〔1〕AB与AD共线。 （2）A,B,D三点共线。 3如图，在ΔABC中，已知M、N分别是AB、AC的中点，1用向量方法证明：MN//BC 2七、板书设计

2.2.3向量数乘的运算及其几何意义 1. 向量数乘的定义； 例2、变式一、变式二 2.数乘向量的运算律； 3.共线向量定理； 课堂练习 例题讲解 课堂小结 例1．