备战中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优 易错 难题篇附答案解析(1)

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；

（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=点的坐标为 ：P1（P4（575时，四边形AOPE面积最大，最大值为.（3）P

82351+55+51+53+515，），P2（，），P3（，），

2222225515，）. 22【解析】

分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；

（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值； （3）存在四种情况：

如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．

详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，

由对称性得：D（3，0），

设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3）， 把A（0，3）代入得：3=3a， a=1，

∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3； （2）如图2，设P（m，m2-4m+3），

∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°， ∴∠AOE=45°，

∴△AOE是等腰直角三角形， ∴AE=OA=3， ∴E（3，3），

易得OE的解析式为：y=x， 过P作PG∥y轴，交OE于点G， ∴G（m，m），

∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3， ∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，

11×3×3+PG•AE， 2291=+×3×（-m2+5m-3）， 22315=-m2+m， 22=

=

5375（m-）2+，

8223＜0， 2∵-

∴当m=

575时，S有最大值是；

82（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，

∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF， 易得△OMP≌△PNF， ∴OM=PN，

∵P（m，m2-4m+3）， 则-m2+4m-3=2-m， 解得：m=5+555或，

225+51+55515，）或（，）；

2222∴P的坐标为（如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，

同理得△ONP≌△PMF， ∴PN=FM，

则-m2+4m-3=m-2， 解得：x=353+5或； 22351+53+515，）或（，）；

22225+51+555153+5，）或（，）或（，22222P的坐标为（综上所述，点P的坐标是：（

15351+5）或（，）． 222点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．

2．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G． （1）求抛物线和直线AC的解析式；

（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；

（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为【解析】 【分析】

（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．

（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三

或

或

．

角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．

（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t的值． 【详解】

（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），

, 解得：

，

∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3， 设直线AC解析式为y=kx+3， ∴-k+3=0，得：k=3， ∴直线AC解析式为：y=3x+3.

（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，

∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴G（1，4），GH=4， ∴S△CGO=OC•xG=×3×1=， ∴S△CGE=S△CGO=×=2， ①若点E在x轴正半轴上， 设直线CG：y=k1x+3， ∴k1+3=4 得：k1=1， ∴直线CG解析式：y=x+3， ∴F（-3，0）， ∵E（m，0）， ∴EF=m-（-3）=m+3，

∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•（GH-OC）=（m+3）•（4-3）=∴

=2，解得：m=1，

，

∴E的坐标为（1，0）.

②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，

即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离， ∴EF=-3-m=1-（-3）=4， 解得：m=-7 即E（-7，0），

综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.

（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形， 设M（e，3e+3），则yN=yM=3e+3，

①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，

∵MN∥x轴， ∴MQ=NR=3e+3，

∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL）， ∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°， ∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，

∴xN=xM+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3）， ∵N在抛物线上，

∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3， 解得：e1=-1（舍去），e2=−

，

∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ， ∴t-1-e=3e+3， ∴t=4e+4=

，

②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，

∴MN=PM=3e+3，

∴xN=xM+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3）， ∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3， 解得：e1=-1（舍去），e2=−∴t=AP=e-（-1）=−

+1＝

， ，

③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，

∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3）， 解得：e=−

，

，

或

或

．

∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=

综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为【点睛】

本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．

3．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． 设每个房间每天的定价增加x元．求：

（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式； （2）该宾馆每天的房间收费p（元）关于x（元）的函数关系式；

（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？

11x；（2）z=-x2+40x+12000；（3）w=-x2+42x+10800，当每个房

101010间的定价为每天410元时，w有最大值，且最大值是15210元． 【解析】

【答案】（1）y=60-试题分析：（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10；

（2）已知每天定价增加为x元，则每天要（200+x）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量；

xxx），则利润w=（200+x）（60﹣）﹣20×（60﹣），101010利用配方法化简可求最大值． 试题解析：解：（1）由题意得：

（3）支出费用为20×（60﹣y=60﹣

x 10（2）p=（200+x）（60﹣

x12x+40x+12000 ）=﹣

1010xx）﹣20×（60﹣） 1010（3）w=（200+x）（60﹣=﹣=﹣

12x+42x+10800 101（x﹣210）2+15210 10当x=210时，w有最大值．

此时，x+200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w有最大值，且最大值是15210元．

点睛：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．

4．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣

1x﹣1交于点C． 2（1）求抛物线解析式及对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为：y=点坐标为（1，﹣【解析】

121xx1，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P841）；（3）N点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1） 2分析：（1）由待定系数法求解即可；

（2）将四边形周长最小转化为PC+PO最小即可；

（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N坐标，表示点M坐标代入抛物线解析式即可．

详解：（1）把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得

0＝4a2b1 0＝16a4b11a＝8 解得1b＝4∴抛物线解析式为：y=

121x−x−1 841b4＝1 ∴抛物线对称轴为直线x=-12a28（2）存在

使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小

∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P点．

设过点C′、O直线解析式为：y=kx

1 21∴y=-x

2∴k=-则P点坐标为（1，-

1） 2（3）当△AOC∽△MNC时，

如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E

∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90° ∴∠CDN=∠CAO 由相似，∠CAO=∠CMN ∴∠CDN=∠CMN ∵MN⊥AC

∴M、D关于AN对称，则N为DM中点 设点N坐标为（a，-由△EDN∽△OAC ∴ED=2a

∴点D坐标为（0，-∵N为DM中点 ∴点M坐标为（2a，把M代入y=a=4

则N点坐标为（4，-3）

当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM

∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N 由（2）N（2，-1）

∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）

点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．

1a-1） 25a−1） 23a−1） 2121x−x−1，解得 84

5．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围；

111（2）设x1，x2是方程两根，且，求k的值． x1x2k1【答案】（1）k≥﹣【解析】 【分析】

11+5；（2）k＝． 42（1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k的取值范围；（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k的值即可. 【详解】

解：（1）△＝（2k+1）2﹣4k2＝4k2+4k+1﹣4k2＝4k+1 ∵△≥0 ∴4k+1≥0 ∴k≥﹣

1； 4（2）∵x1，x2是方程两根， ∴x1+x2＝2k+1 x1x2＝k2， 又∵∴即

111， x1x2k1x1x21， x1x2k12k11 ， 2kk11515， ,k222解得：k1又∵k≥﹣即：k＝

1 ， 415． 2【点睛】

本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于bc ，两根之积等于”是解题的关键. aa

6．如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点A出发，以4cm/s的速度，沿A→B的路线向点B运动；过点P作PQ∥BD，与AC相交于点Q，设运动时间为t秒，0＜t＜5．

（1）设四边形PQCB的面积为S，求S与t的关系式；

（2）若点Q关于O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N，当t为何值时，点P、M、N在一直线上？

（3）直线PN与AC相交于H点，连接PM，NM，是否存在某一时刻t，使得直线PN平分四边形APMN的面积？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) S=﹣23t21003（0＜t＜5）； (2) 【解析】 【分析】

（1）如图1，根据S=S△ABC-S△APQ，代入可得S与t的关系式；

（2）设PM=x，则AM=2x，可得AP=3x=4t，计算x的值，根据直角三角形30度角的性质可得AM=2PM=30;(3)见解析. 78t，根据AM=AO+OM，列方程可得t的值； 3（3）存在，通过画图可知：N在CD上时，直线PN平分四边形APMN的面积，根据面积相等可得MG=AP，由AM=AO+OM，列式可得t的值． 【详解】

解：（1）如图1，∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABD=∠DBC=∴∠OAB=30°， ∵AB=20，

∴OB=10，AO=103， 由题意得：AP=4t， ∴PQ=2t，AQ=23t， ∴S=S△ABC﹣S△APQ， ==

1∠ABC=60°，AC⊥BD， 211AC·OBPQ·AQ， 2211102032t23t ， 22=﹣23t2+1003（0＜t＜5）； （2）如图2，在Rt△APM中，AP=4t，

∵点Q关于O的对称点为M， ∴OM=OQ， 设PM=x，则AM=2x， ∴AP=3x=4t， ∴x=4t， 38t， 3∴AM=2PM=∵AM=AO+OM，

8t∴=103+103﹣23t，

3t=

30； 730秒时，点P、M、N在一直线上； 7（3）存在，

如图3，∵直线PN平分四边形APMN的面积， ∴S△APN=S△PMN，

过M作MG⊥PN于G，

答：当t为

11PN·APPN·MG ， 22∴MG=AP，

易得△APH≌△MGH，

∴

8∴AH=HM=t，

3∵AM=AO+OM，

同理可知：OM=OQ=103﹣23t，

16t=103=103﹣23t， 3t=

30． 1130秒时，使得直线PN平分四边形APMN的面积． 11答：当t为

【点睛】

考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，三角形和四边形的面积，二次根式的化简等知识点，计算量大，解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.

7．如图，抛物线yax2bx2交x轴于A(1,0)，B(4,0)两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点(x6)(x)8，点P是抛物线上一动点． （1）求抛物线解析式及点D的坐标；

（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；

（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为

2122Q．是否存在点P，使Q恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，

说明理由．

【答案】（1）y1232)； （2）P1(0,2)； P2(3+41,-xx2；点D坐标为(3，2222)；P3(341,-2) ; （3）满足条件的点P有两个，其坐标分别为：（13， 2-9+13-9-13），（13，）． 22【解析】 【分析】

1)用待定系数法可得出抛物线的解析式,令y=2可得出点D的坐标

(2)分两种情况进行讨论,①当AE为一边时,AE∥PD,②当AE为对角线时,根据平行四边形对

顶点到另一条对角线距离相等,求解点P坐标

(3)结合图形可判断出点P在直线CD下方,设点P的坐标为(a，123aa2),分情况讨22论,①当P点在y轴右侧时,②当P点在y轴左侧时,运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可 【详解】

20)两点， ，0)，B(4，解：（1）∵抛物线yaxbx2经过A(1∴ab2013，解得：a，b，

2216a4b20∴抛物线解析式为：y123xx2； 2213 当y2时，x2x22，解得：x13，x20（舍），即：点D坐标为

22(3，2)．

A，E两点都在x轴上，∴AE有两种可能：

①当AE为一边时，AE∥PD，此时点P与点C重合（如图1），∴P1(0,2)，

（2）∵

②当AE为对角线时，P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等， ∴P点的纵坐标为2（如图2），

把y2代入抛物线的解析式，得：解得：x1123xx22， 22341341，x2，

223+41341，2)，(，2)， 22∴P点的坐标为(3+41341，2)；P3(，2) ． 22（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方，设直线PQ交x轴于F，

综上所述：P1(0,2)； P2(点P的坐标为（a，123aa2）， 22①当P点在y轴右侧时（如图3），

CQxpa，

1313PQycyp2(a2a2)a2a，

2222又∵CQOFQP180CQP180PQC90， CQOOCQ90∴FQPOCQ,

又COQQFP90，∴∴

COQQFP，

Q'CQ'P， COQ'F123aa123∵QCCQa，CO2，QPPQaa，∴a22，222Q'F∴Q'Fa3，

∴OQOFQFa(a3)3，CQ＝CQ＝CO2OQ'2即a13，∴点p的坐标为（13，②当p点在y轴左侧时（如图4），

223213，

913）， 2

此时a0，123aa20，CQ＝xP＝a， 221313PQ＝2－（a2a2）＝a2a，

2222又∵CQOFQPCQPPQC90，CQOOCQ90，

∴FQPOCQ，又COQQFP90 ∴

COQQFP，∴

Q'CQ'P， COQ'F123aa， 22∵QCCQa，CO2，QPPQ123aa∴a22，∴Q'F3a， 2Q'F∴OQQFOF3a(a)3，

CQ＝CQ＝CO2OQ'2223213，

此时a13，点P的坐标为（13，913）． 2913），（13，2综上所述，满足条件的点P有两个，其坐标分别为：（13，913）． 2【点睛】

此题考查二次函数综合题，解题关键在于运用待定系数法的出解析式，难度较大

8．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式；

（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣（3）点P（4，6）． 【解析】

12

x+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；2【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；

（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，

12

t+2t+6），则N（t，﹣t+6），由2111S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN•AG+PN•BM=PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数

222的性质求解可得；

设P（t，﹣

（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．

【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0）， ∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2）， 将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6， 解得：a=﹣

1， 212（x﹣6）（x+2）=﹣

所以抛物线解析式为y=﹣

12

x+2x+6； 2（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，

设直线AB解析式为y=kx+b，

将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：

b6， 6kb0k1解得：，

b6则直线AB解析式为y=﹣x+6，

12

t+2t+6）其中0＜t＜6， 2则N（t，﹣t+6），

设P（t，﹣

1211t+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t， 222∴S△PAB=S△PAN+S△PBN 11=PN•AG+PN•BM 221=PN•（AG+BM） 2∴PN=PM﹣MN=﹣

1PN•OB 211=×（﹣t2+3t）×6 223=﹣t2+9t

2327=﹣（t﹣3）2+，

22=

∴当t=3时，△PAB的面积有最大值； （3）如图2，

∵PH⊥OB于H， ∴∠DHB=∠AOB=90°， ∴DH∥AO， ∵OA=OB=6， ∴∠BDH=∠BAO=45°， ∵PE∥x轴、PD⊥x轴， ∴∠DPE=90°，

若△PDE为等腰直角三角形， 则∠EDP=45°，

∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，

12

x+2x+6=6， 2解得：x=0（舍）或x=4， 即点P（4，6）．

则当y=6时，﹣

【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.

9． 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．

问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在

1(xm)2n经过B、C两点，顶点D在正方形内部． 4（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；

（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；

x轴和y轴上，抛物线y（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？

【答案】（1）x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）y1(x2)23；（3）抛物4线向下平移【解析】

92323或距离，其顶点落在OP上． 123试题分析：（1）根据特征线直接求出点D的特征线；

（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式； （2）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可．

试题解析：解：（1）∵点D（m，n），∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；

（2）点D有一条特征线是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1．∵抛物线解析式为

11y(xm)2n，∴y(xm)2m1，∵四边形OABC是正方形，且D点为正方

44形的对称轴，D（m，n），∴B（2m，2m），∴y入得到m=2，n=3；

∴D（2，3），∴抛物线解析式为y1(2mm)2n2m，将n=m+1带41(x2)23． 4（3）①如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时：

根据题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN=OM2323923==，∴抛物线需要向下平移的距离=3． 3333②如图，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，设A′（p，3），则OA′=OA=4，OE=3，EA′=4232=7，∴A′F=4﹣7，设P（4，c）（c＞0），，在Rt△A′FP中，（4﹣

7）2+（3﹣c）2=c2，∴c=

y=16471647，∴P（4，），∴直线OP解析式为3382747x，∴N（2，），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣33827127=． 33综上所述：抛物线向下平移923127或距离，其顶点落在OP上． 33

点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，解答本题的关键是用正方形的性质求出点D的坐标．

10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E． （1）当a=﹣1时，求抛物线顶点D的坐标，OE等于多少； （2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由； （3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；

（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．

【答案】（1）（﹣1，4），3；（2）结论：OE的长与a值无关．理由见解析；（3）﹣

3≤a≤﹣1；（4）n=﹣m﹣1（m＜1）．

【解析】 【分析】

(1)求出直线CD的解析式即可解决问题；

(2)利用参数a，求出直线CD的解析式求出点E坐标即可判断； (3)求出落在特殊情形下的a的值即可判断；

(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．两条全等三角形的性质即可解决问题. 【详解】

解：(1)当a=﹣1时，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3， ∴顶点D(﹣1，4)，C(0，3)， ∴直线CD的解析式为y=﹣x+3， ∴E（3，0）， ∴OE=3，

(2)结论：OE的长与a值无关． 理由：∵y=ax2+2ax﹣3a， ∴C(0，﹣3a)，D(﹣1，﹣4a)， ∴直线CD的解析式为y=ax﹣3a， 当y=0时，x=3， ∴E（3，0）， ∴OE=3，

∴OE的长与a值无关． (3)当β=45°时，OC=OE=3， ∴﹣3a=3， ∴a=﹣1，

当β=60°时，在Rt△OCE中，OC=3OE=33， ∴﹣3a=33， ∴a=﹣3，

∴45°≤β≤60°，a的取值范围为﹣3≤a≤﹣1． (4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．

∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°， ∴∠DPM=∠EPN， ∴△DPM≌△EPN， ∴PM=PN，PM=EN， ∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)， ∴EN=4+n=3﹣m， ∴n=﹣m﹣1，

当顶点D在x轴上时，P(1，﹣2)，此时m的值1， ∵抛物线的顶点在第二象限， ∴m＜1．

∴n=﹣m﹣1(m＜1)．

故答案为：(1)(﹣1，4)，3；(2)OE的长与a值无关；(3)﹣3≤a≤﹣1；(4)n=﹣m﹣1（m＜

1）． 【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质。