解决小学奥数问题的方法：染色分类法

【摘要】：在现实生活中，有一些判断能与否的数学问题涉及到的知识点很少，

难以快速地找到解题思路。本文主要介绍一种解决这类数学问题的新方法：染色分类法。对研究对象进行染色，可以形象、直观地使某些隐蔽的条件显露，从而 获得简明的解答。

【关键字】：染色 分类 数学问题

一、 用染色解决图形覆盖问题：

在中学数学竞赛中，我们常常会碰到这样的题目：用多个几何图形去覆盖另一个几何图形，问能否实现。如果我们每一种情况都去试，不仅花时间，而且容易因考虑不全而出错。对于这一类问题，我们不妨对涉及到的几何对象进行染色，再来寻找解题思路。

问题一：能否用2个田字形和7个T字形恰好覆盖一个66网格？ 分析：这道题看似简单，但是如果要穷尽每种情况去试一试，却不太可行。考虑到网格中共有36个小方格，不妨通过染色把这36个小方格分成黑白两类，然后看用田字形能覆盖住多少个，T字形能覆盖住多少个，从而判断该题是否有解。 解：由于用黑白两种颜色对66 网格进行染色（如图），可以看到图中有18个黑格，18个白格。而用一个田字形，无论放在哪里，都能覆盖住一个黑格，一个白格；而T字形能覆盖住1个或3个白格。所以2个田字形和7个T字形总共覆盖住奇数个白格，而66 网格中总共有18（偶数）个白格，所以不能完全覆盖住。

问题二 ：要用40块方形瓷砖铺设如图2所示图形的地面，但当时商店只有长方形瓷砖，每块大小等于方形的两块，一人买了20块长方形瓷砖，结果弄来弄去始终无法完整铺设好，你能否用这20块瓷砖（不分割任何一块）帮他铺好地面？

图2 图3

分析：要得出这道题的答案并不难，但是如何从理论上证明却没那么简单。这里，如果我们仿照问题一采用染色方法，不仅能更快得出答案，更能较好地说明理由，让读者一目了然。

解：在图形上黑、白相间地染色，如图3。则共有19个白格和21个黑格。一块长方形瓷砖只可盖住一白一黑两格。为了把所有的白格都盖住，需要19块长方形瓷砖，但19块长方形瓷砖只能盖住19个黑格，还有两个黑格没有盖住。所以用这20块整砖（不分割任何一块）不能铺好地面。所以无论怎么铺设都是徒劳的。

综合上面两道例题，我们可以得出：巧妙地应用染色进行分类，可以快速找到图形覆盖问题的解决方法。

二、用染色方法判断参观路线是否合理

在生活中，有时候我们去参观展览，希望能尽量少走一点路程而走遍所有的展区。如何选择参观路线呢？采用染色的方法能巧妙解决这个问题。 问题三：某展会有46间展览室，如图4，每一间展览室与邻室之间都有门相通。有人希望从A入口进入，每个展览室都到，且只到一次，最后从B出口处退出，请问参观路线应如何选择? 图4

分析：这道题看起来并不复杂，但是你如果动手在图4中画一画，很难找出一条符合条件的参观路线，是否这样的参观路线不存在呢？这还需要证明。这时，国际象棋的黑白相间的旗盘给我们启迪。我们不妨把24间展室像国际象棋那样染成黑白两种颜色，再来寻找解题方法。

解：把24间展览室染成黑白两色（如图5），则参观者从A出口进入，无论他如何走法，第一格必是白格，第二格必是黑格…….如此继续：白—黑—白—黑.......共24格，所以最后一格必是黑格，而图中是白格，故可以判定，符合要求的参观路线不存在。

B A

图5

三、 用染色分类法处理调换座位问题

问题四：教室里有7排椅子，每排7张，每张椅子坐一个学生，如果一周后每个学生都必须和他相邻（前后左右）的某一同学对换座位，问能否换成，为什么？

分析：这道问题如果采用常规的思维方法进行思考，很难找到解题思路。因为如果“与相邻某一同学”调换位置，每一位同学换位置就有前、后、左、右四中选择，如果要穷尽所有的情况去试，那是很困难的。这时，我们不妨换一种思路，对位置进行染色，使得前后左右的位置的颜色与中间那个位置的颜色不同，从而寻找解题思路。 图6

解：如图6所示，我们把教室里所有的位置排列画成一个网格图，并涂成黑白相间的颜色。则坐在白色方格周围都是黑色方格，黑色方格周围都是白色方格。所以，如果某同学要换到与原位置相邻的位置上去，则新位置的颜色必与原位置的

颜色不相同，即黑色要换成白色，白色要换成黑色。由于一共有25个黑格，24个白格，黑格与白格的数目不相等，所以没有办法使得每一位同学都能按要求对换。

四、 方法总结

在实际生活中，有一些数学问题涉及到存在性、可行性的判定问题，只有我们先证明所期望事物的存在性和可行性，才能进一步做出决策。染色的方法在判断“能与不能”这一类数学问题中起到很大的作用。只要我们把需要解决的数学问题转化为图形，并按照一定的规律进行染色，就能够发现这些数学问题中隐蔽的条件，从而寻找矛盾，打开解题思路。

参考文献：《中学生数学竞赛之窗》2007年12月下期

《中小学数学》（初中版）2008年第1—2期