第３５卷第５期 系统工程与电子技术 Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ Ｖｏ１．３５ ＮＯ．５ Ｍａｖ ２Ｏ１３ ２０１３年５月 文章编号：１００１—５０６Ｘ（２０１３）０５ １０６４—０６ 网址：ｗｗｗ．ｓｙｓ—ｅｌｅ．ＣＯ１Ｔ１ 分数阶ＰＩＤ控制器参数的自适应设计 黄丽莲，周晓亮，项建弘 （哈尔滨工程大学信息与通信工程学院，黑龙江哈尔滨１５０００１） 摘 要：分数阶比例一积分一微分（ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ—ｉｎｔｅｇｒａｌ—ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ，ＰＩＤ）控制器是整数阶ＰＩＤ控制器在复数域 的推广，通过引入两个可调参数 和 使得控制器参数整定范围变大，但使得参数设计变得更加复杂。针对分数 阶ＰＩＤ控制器的特点，提出了一种参数自适应的改进型差分进化算法整定方法，在目标函数的选取上，针对传统 时间与绝对误差乘积准则对超调量控制不足，引入误差与控制信号加权，分别对整数阶和分数阶被控模型进行理 论分析和数值仿真，仿真结果证明了该控制器参数设计方法的有效性和准确性。 关键词：分数阶比例一积分一微分控制器；差分进化；参数整定；自适应 中图分类号：ＴＰ ２７３ 文献标志码：Ａ ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１—５０６Ｘ．２０１３．０５．２８ Ｓｅｌｆ－ａｄｊ ｕｓｔｉｎｇ ｄｅｓｉｇｎ ｏｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒ ＰＩＤ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ＨＵＡＮＧ Ｌｉ—ｌｉａｎ。ＺＨＯＵ Ｘｉａｏ—ｌｉａｎｇ，ＸＩＡＮＧ Ｊｉａｎ—ｈｏｎｇ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈａｒｂｉｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｒｂｉｎ ｊ ５０００１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ—ｉｎｔｅｇｒａｌ—ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ（ＰＩＤ）ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｉｓ ｔｈｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｌａｓ— ｓｉｃａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｒｄｅｒ ＰＩＤ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｉｎ ｃｏｍｐｌｅｘ ｄｏｍａｉｎ．Ｔｗｏ ｖａｒｉａｈｌｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ Ａ ａｎｄ“ａｒｅ ｂｒｏｕｇｈｔ ｔＯ ｅｘｐａｎｄ ｔｈｅ ｔｕｎｉｎｇ ｒａｎｇｅ，ｂｕｔ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｉｓ ｍａｄｅ ｍｏｒｅ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ．Ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒ ＰＩＤ，ａ ｍｏｄｉｆｉｅｄ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗｉｔｈ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｓｅｌｆ—ａｄｊｕｓｔｉｎｇ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｔＯ ｔｕｎｅ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌ— ｌｅｒ．Ｔｏ ｃｈｏｏｓｅ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｔｈｅ ｗｅｉｇｈｔｅｄ ａｄｄｉｔｉｏｎ ｏｆ ｅｒｒｏｒ ａｎｄ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｉｇｎａｌ ａｓ ｔｈｅ ｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅ ｏｆ ｏｖｅｒｓｈｏｏｔ ｃｏｎｔｒｏｌ ｗｉｔｈ ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ ｔｉｍｅ ａｎｄ ａｂｓｏｌｕｔｅ ｅｒｒｏｒ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ ａｒｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｓｉ— ｍｕｌａｔｉｏｎ ａｒｅ ｃａｒｒｉｅｄ ｏｎ ｗｉｔｈ ｉｎｔｅｇｅｒ ｏｒｄｅｒ ｐｌａｎｔ ａｎｄ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒ ｐｌａｎｔ ｓｅｐａｒａｔｅｌｙ．Ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｌ— ｌｕｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ ａｎｄ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ—ｉｎｔｅｇｒａｌ—ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ（ＰＩＤ）ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ；ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ；ｐａｒａ— ｍｅｔｅｒ ｔｕｎｉｎｇ；ｓｅｌｆ－ａｄｊ ｕｓｔｉｎｇ ０ 引 言 近年来，随着科技的进步，计算机技术的飞速发展，以 及实际控制系统对精度的要求越来越高，分数阶系统在控 制领域被高度重视，在控制器设计方面取得了较大进展。 文献［１］提出了一类ＰＩ Ｄ 控制器，并验证了该类控制器对 不是整数，比传统的比例一积分一微分（ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ—ｉｎｔｒｇｒａｌ— ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ，ＰＩＤ）控制器多了两个可变参数，在提高参数精 确性的同时，也使得结构变得更加复杂。因此，针对分数阶 控制系统的参数整定方法已成为当前研究的热点。 差分进化算法（ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ，ＤＥ）是一种基于 生物遗传进化规律的连续空间内全局优化策略 。与普 于分数阶被控对象有效；文献［２］提出了基于预期交叉频率 和相位裕度的频域分析方法。文献［３］提出了一种基于复 平面上极点分布情况的设计方法；文献［４—６］在ＰＩ 的 数字实现方面均取得了很大的成就。在实际工程中，分数 阶控制系统已应用在超前校正器和滞后补偿器＿７］，具有时 延和丢包特性的网络控制系统 ］，高超速飞行器抗扰姿态 控制器 等。在ＰＩ 控制器中，微分和积分的阶次通常 通的遗传算法（ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ，ＧＡ）相比具有明显的优 势，采用浮点矢量编码方式和算术运算，降低了运算过程的 复杂度并提高了可靠性。ＤＥ经过不到２０年的发展及改 进，已广泛应用在实际问题中，如非线性化学过程优化 、 多目标优化问题 及圆阵天线的稀步优化 等。本文根 据ＤＥ算法可应用于多参数约束条件目标函数寻优，将 ＰＩ Ｄ 的５个参数作为变量进行编码，在Ｓｉｍｕｌｉｎｋ环境下 收稿日期：２０１２—０５—０４；修回日期：２０１２—１０—２５。 基金项目：国家自然科学基金（６１２０３０Ｏ４）；高校基本科研业务费专项资金（ＨＥｕｃＦＴ１２Ｏ３）；黑龙江省自然科学基金（Ｆ２ｏ１２２ ０）资助课题 第５期 黄丽莲等：分数阶ＰＩＤ控制器参数的自适应设计 似阶次分别为Ｐ和ｑ。除了Ｔｕｓｔｉｎ的ＣＦＥ方法外，还有Ｅｕｌ— ｅｒ算子的幂级数展开（ｐｏｗｅｒ ｓｅｒｉｅｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ，ＰＳＥ）及Ａｌ－ Ａ１ａｏｕｉ算子等直接近似化方法。间接近似化是把分数阶系 统转化为连续的整数阶系统，目前效果较好的是Ｏｕｓｔａｌｏｕｐ方 对控制系统建模，根据预期的系统性能指标确定目标函数， 从而得到控制器的最优参数。 １分数阶控制系统的数学基础 １．１分数阶微积分的定义 法，其缺点是在近似频率两端拟合不佳。文献［１４］针对该 方法的缺点，在原方法基础上引入了两个系数，来提高近似 频段两端的拟合精度，构造的改进Ｏｕｓｔａｌｏｕｐ法微积分算 子模型为 ，一 分数阶微积分的概念最早出现在三百多年以前，几乎 与牛顿一莱布尼茨传统微积分同时出现，但是直到近几十年 才从理论研究扩展到实际应用。分数阶微积分以研究分数 阶微积分算子为基本出发点，发展到现在形成了几种不同 形式的定义，如常用的Ｇｒｕｎｗａｌｄ—Ｌｅｔｎｉｋｏｖ（简称Ｇ－Ｌ）定 直 ㈤ 义，Ｒｉｅｍａｎｎ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ（简称Ｒ－Ｌ）定义和Ｃａｐｕｔｏ定义等。 通常定义的微积分算子可以表示为 Ｄｙ一 （１） 式中，ｑ为实数，表示微积分的阶次；ｔ为微积分变量；ａ为微 积分下限。则 Ｌ定义可表示为 ［Ｔｔ－ａ］ ｒ １ 。ＤＴｆ（ｔ）一 ｉ ｈ。 一∑（一１） ｌ ｌＪ Ｉ ｌｆ（ｔ—ｊｈ） （２） Ｌ Ｊ ｒ］ 式中，ｈ为计算步长；［ｚ］表示 的整数部分；Ｉ ｌ是关于 、Ｊ 的二项式展开。由于极限式在实际应用中受到，为了 计算方便，只考虑ｔ时刻附近的区间［￡一Ｌ， ］的计算，得到 短记忆算法描述的 Ｌ定义为 （ｔ－－Ｌ）Ｄ ，（￡）≈ｈ ∑Ｃｊｆ（ｔ一 ） （３） Ｃｏ一１，ｃ，一（１一 ）ｃ （４） 式中，Ｌ为记忆长度，且ｔ—Ｌ＞ａ；Ｎ（ｔ） Ｊ Ｉ｝，通过递推公式（４）即可得到其所有项的系数。 １．２ 分数阶微积分算子的实现及Ｐｒ 控制器 分数阶系统是一个复杂系统，从理论上讲分数阶系统 是无限维的，不能直接应用整数阶系统的分析方法对其研 究。可以用一个有限次的微分方程来描述分数阶系统，对 其进行有理化近似是研究分数阶系统的重要方法之一。 对于分数阶微积分算子Ｓ ，其离散化是数字实现的关 键步骤。且对于控制系统来说，得到的近似离散时间传递 函数应该保持稳定且满足最小相移。Ｔｕｓｔｉｎ提出的连续 分数展开（ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ，ＣＦＥ）方法可以 满足这样的性质，通过ＣＦＥ方法近似分数阶算子可以表 示为 （＼睾）Ｔ／ Ｅ ｆ。ｔ， 。 １ １ －４ｚ＜）Ｊ 坷）『 一＾ ㈤ 式中，Ｔ为采样时间；Ｐ 和Ｑ是关于ｚ 的互质多项式，近 式中，Ｋ一（ ） ；ｂ、ｄ分别为引入的调整系数，通过仿真 得到了满意的近似效果。 实际被控对象一般都是分数阶非线性系统，使用整数 阶系统对其建模分析往往会造成较大的误差。为了提高控 制精度，在传统的ＰＩＤ控制器基础上，将微分和积分阶次扩 展到实数域即可得到ＰＩ ，其传递函数可表示为 Ｇｃ（５）一Ｋ ＋Ｋ ５。＋Ｋｄｓ ， ， ∈Ｒ （７） 从式（７）可以看出，传统ＰＩＤ控制器即为 一 一１时的 一种特殊情况。ＰＩ 通过引人的两个变量使得控制器的 参数灵活，控制精度提高，但同时也带来了新的问题，即针 对传统ＰＩＤ控制器的设计方法不能直接应用到ＰＩ Ｄ 参数 整定上。必须要针对ＰＩ 的特点，重新设计整定参数的 方法。本文提出了基于一种改进的差分进化算法的ＰＩ 参数整定方法，其主要思想是将控制器的５个参数（Ｋ ， Ｋ ，Ｋ ， ， ）作为个体，根据系统单位阶跃响应指标设计目 标函数，通过ＤＥ算法的变异、交叉及选择等过程，得到满 足目标函数的最优个体，从而得到控制器的参数。 ２ 参数自适应ＤＥ算法 ２－１ 基本差分进化算法原理 差分进化算法由Ｋ．Ｐｒｉｃｅ和Ｒ．Ｓｔｏｒｎ于１９９５年提出， 并迅速成为一种成功的基于向量群的随机优化算法。ＤＥ 算法与其他遗传算法相似，都是用ＮＰ个Ｄ维参数向量来 初始化搜索空间，原始ＤＥ算法的种群初始化为 Ｐ 一 ．（ｘ ），ｘ 一（ｚ ， ， ） （８） 式中，ｉ一０，１，…，ＮＰ一１；ｇ一０，１，…，ｇ…；Ｊ一０，１，…，Ｄ一 １；ＮＰ代表种群规模；ｇ为迭代次数；Ｄ代表维数，即待优化 参数的个数。 种群中的个体通过式（９）进行初始化。 ．ｗ—ｒａｎｄｊ Ｅ０，１）（６Ｊ， 一 ，ｆ）４－ ｊ．』 （９） 式中， ， 和 川表示参数向量 的范围；ｒａｎｄｊ Ｅｏ，１）返回一 个服从均匀分布的随机数。 ＤＥ算法通过变异方式来产生新个体，记作ｖ ，具体的 变异操作需要３个基向量以及缩放因子Ｆ。 一 ， ， －４Ｆ（ｘ 一 ） （１Ｏ） 每产生～个新个体时，ｒｏ，ｒ 和ｒ２均需要在种群内随机选 择，且ｒｏ≠ｒ ≠ｒ２。在结束变异过程后，ＤＥ进行交叉操作， ・ １Ｏ６６ ・ 系统工程与电子技术 适应度 第３５卷 ＞ｅ且 ＜△时，才进行上述的变异过程，变异 通过交叉得到的试验向量” 。交叉使得种群的多样性增 强，交义的概率为ＣＲ，交叉过程表示为 后继续搜索以发现新的最优个体，直到满足 ＜ｅ且 ＜ ｌｇ ，，ｇ— ．， 一ｊ １ ｝…，２２ 其他 ，只１也 ｒａｎｄｊ［ｏ，１）≤ＣＲ （１１）△为止。如果理论最优解未知，则以ｅ连续多少次不变作 为设定值。ＤＥ算法在经过以上改进后，即可实现参数自适 应搜索到全局最优解。 通过交叉操作，使试验向量的参数通过随机概率分布 与置 和ｖ 来交换参数，在完成上述步骤后，ＤＥ进行最后 ３控制器设计及参数整定算法 一步选择操作。 选择的过程是通过判断适应值来确定将试验个体和目 标个体中哪一个保留在种群中进入下一代，即 一 Ｊ ，ｆ（ｕ ）≤ｆ（ｘ （１２） ，其他 如果新生成的试验向量得到更小的适应值，则会代替 目标向量进入下一代种群，经过选择操作，种群中的个体会 使适应值越来越小或者保持不变，而不会使适应值发散。 ２．２参数自适应ＤＥ 今文根据分数阶控制器参数的特点和实际问题，以及 ＤＥ算法的早熟收敛问题，提出厂一种参数自适应（ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｓｅｌ｛－ａｄｊｕｓｔｉｎｇ，ＰＳＡ）一ＤＥ算法。前面讨论ＤＥ算法的变异过 程中，缩放因子Ｆ控制进化的速率，文献［１Ｏ］讨论了其取值 范围应在（Ｏ，１＋），当Ｆ＞１时亦呵取到最优解，但相比Ｆ＜１情 况史加费时且不稳定。文献Ｅｌ５］通过研究发现，当Ｆ＜Ｏ．４时， 缩放因子的变化对种群的搜索无效，从而确定了Ｆ的下限。 为了定量分析群体的状态，引人群体适应度方差 的 定义。 设种群规模为ＮＰ，第ｇ代第ｉ个个体的适应度用ｌ厂 表 示，目前的平均适应度可用 表示，则群体的适应度方差 可表示为 ～Ｐ １ Ｉ Ｉ ２ （Ｐ ， ）一∑Ｊ ｌ （１３） 一０ ｉ ， １ 式中，ｌ厂是归一化因子，目的是控制 的大小，且ｌ厂可由 式（１４）。 、 Ｉｍａｘ｛／ 一 ｝，ｍａｘ｛ 一 ｝＞１ ｌ １，其他 （１４） 通过该定义可知，若存在实数△＞Ｏ表示群体收敛精度， ＜△时，说明群体中的个体都聚集在一定的范围内，搜索到 局部或者全局最优解； ＞△时，种群处于随机搜索阶段。 ＤＥ算法采用“贪婪”准则，可以增加收敛速率，但同样 会产生其他遗传算法不可避免的收敛早熟问题。为了防止 搜索进入甲熟收敛，本文采用了随机扰动以防止种群陷入 局部最优状态。 Ｆ 一Ｆ＋ｒａｎｄ（１一Ｆ） （１５） 则变异过程为 ｖ 一Ｆ Ｘ ｂ ＋Ｆ（ｘ ｇ ｘ ．ｇ） （１６） 式中，Ｘ 是第ｇ代最优个体，在确定其是全局最优还是 局部最优时，要引入个体适应度精度ｅ≥ｏ 只有当最优个体 在控制器设计时，一般是根据期望的幅值裕量、相位裕 量、上升时间和超调量等要求来设计分数阶控制器，使其满 足系统的性能。分数阶控制系统如图１所示。 图１ 控制器设计系统框图 被控对象Ｇ （ ）和控制器Ｇｃ（ｓ）应满足 一ａｒｇ［ （ｊ ）Ｇｐ（ｊ∞ ）］＋７ｃ （１７） １ 一 丽 且 满足ｆ Ｇ（ｊ∞ ）Ｇｏ（ｊ∞ ）１—１， 满足ａｒｇ［Ｇｃ（ｊ ） Ｇｐ（ｊ ）］一一Ⅱ。 通过推导可以得到关于控制器参数（Ｋ ，Ｋ ，Ｋ ， ， ） 的方程，但是由于未知变量共有７个，而无法唯一确定控制 器的参数。 在传统ＰＩＤ控制器参数设计时，通常使用绝对误差积 分（ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｆ ａｂｓｏｌｕｔｅ ｅｒｒｏｒ，ＩＡＥ）准则、平方误差积分（ｉｎ— ｔｅｇｒａｌ ｏｆ ｓｑｕａｒｅｄ ｅｒｒｏｒ，ＩＳＥ）准则或时间和绝对误差乘积 （ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ ｔｉｍｅ ａｎｄ ａｂｓｏｌｕｔｅ ｅｒｒｏｒ，ＩＴＡＥ）准则因为这些 性能指标便于在频域进行分析。本文在ＩＴＡＥ准则基础上 加以修改，将误差、控制信号与ＩＴＡＥ加权作为ＤＥ算法的 目标函数进行搜索，可用式（１９）表示。 ｒ Ｊ— 】Ｉｔ ｅ（￡） 出＋Ｗ２ ｅ（ｆ）Ｉ＋ｗ３ Ｉ“（￡）Ｉ（１９） Ｊ 式中，砌 ， ：和Ｗ。为加权系数，用来平衡目标函数中误差 累积、误差和控制信号的影响。根据系统框图，在Ｓｉｍｕｌｉｎｋ 环境下搭建的仿真模型如图２所示。 图２ Ｓｉｍｕｌｉｎｋ环境下搭建的控制系统模型 用改进ＤＥ算法进行控制器设计及参数整定的具体步 骤如下： 第５期 黄丽莲等：分数阶ＰＩＤ控制器参数的自适应设计 ・１Ｏ６７ ・ 步骤１根据分数阶控制器的传递函数式（７）构造参 数向量，即 一［Ｋ Ｋ Ｋ ］ （２ｏ） 估计各参数的取值范围，确定参数向量的上下限 和Ｘ 。 步骤２ 在给定的参数范围内初始化种群，并确定 ＰＳＡ－ＤＥ的各参数：Ｆ…ｇ 、ＮＰ和ＣＲ等。 步骤３根据式（１０）～式（１２）进行变异、交叉和选择 过程。 步骤４根据式（１９）设计的适应度函数计算每个个体 的适应值，计算目前群体的适应度精度和收敛精度。 步骤５ 判断步骤４中的适应值和精度是否满足要 求，若不满足要求根据式（１５）对Ｆ进行随机扰动，并用 式（１６）替换步骤３中的变异方式；否则，进行下一步。 步骤６判断迭代次数是否达到最大。若达到最大， 算法结束；否则，ｇ—ｇ＋１转到步骤３继续执行。 ４ 仿真研究 首先选取一个二阶被控对象，传递函数为 Ｇ ｓ）一 丽（２１） 该系统的单位阶跃响应如图３（ａ）所示，设计控制器参 数要求系统超调量Ｍ ≤１Ｏ ，上升时间Ｔ ≤０．５ Ｓ，稳态误 差Ｅ≤５ 。利用本文提出的ＰＳＡ—ＤＥ算法，选择参数为 ＮＰ＝１５，Ｆｍ 一０．９，Ｆ…一０．４，ＣＲ一０．５，经过１００次迭代， 可分别得到的自适应参数ＤＥ算法整数阶ＰＩＤ控制器（记 为Ｃ （ｓ））和分数阶ＰＩＤ控制器（记为Ｃ，（ｓ））为 Ｃ，（ｓ）一１７５．９５９ １＋ ： ＋２５．９１１ ３５ （２２） Ｓ ｃＦ（ｓ）一２０１．６２５ ５一 ＋２６．９０２ ２５。６。８。（２３） 根据文献［１７］提出的第一ｚｉｅｇｌｅｒ＿Ｎｉｃｈｏｌｓ准则设计的两个 分数阶控制器分别为Ｃ。（ｓ）和Ｃ （ｓ） Ｃ１（ｓ）一０．０８８ ０＋ ＋２．５８８ １ｓ。・ｓ。ｓ （２４） Ｃ。（ｓ）一Ｃ ２（ｓ）一６ ９９２ ８＋ ． ８＋兰 ＿兰＋＋４．１０６ ６ｓ—ｓ． 。。ｓ （２５） 对模型进行降阶近似成一阶加时滞系统，并用传统Ｚｉｅｇｌｅｒ— Ｎｉｃｈｏｌｓ参数整定方法提出的整数阶ＰＩＤ控制器为Ｃ （ｓ） ＣｚＮ（ｓ）一１２０＋３ｏｏ＋１２ｓ （２６） ｊ 经过仿真得到 。上述几个控制器控制下的系统阶跃响应，以 及Ｂｏｄｅ曲线如图３（ｂ）～图３（ｄ）所示，系统的指标如表１所示。 表１ Ｇ １在不同控制器下系统指标对比 魁 馨 ｔ／ｓ （ａ） 。开环系统响应 罂 ｄｓ Ｇ开环响应；…．．：ＺＨ控制器；一：控制器Ｃ。；一－：控制器ｃ２。 （ｂ） 在常规方法控制器下单位阶跃响应 越 蛏 Ｇ开环响应；一：ＤＥ分数阶；一…：ＤＥ整数阶。 （ｃ） 在自适应参数控制器下的响应 频率／Ｉｔｚ Ｇ开环系统；一：ＤＥ分数阶；…＿＿＿ＤＥ整数阶。 （ｄ） ，在自适应参数控制器下的Ｂｏｄｅ图 图３ Ｇｐ１在不同控制器下的响应与Ｂｏｄｅ图 ・ １Ｏ６８ ・ 系统工程与电子技术 第３５卷 从仿真结果可以看出，基于本文所提方法设计的整数 阶ＰＩＤ控制器和分数阶ＰＩＤ控制器均能满足系统要求的各 项指标，相比于传统Ｚｉｅｇｌｅｒ—Ｎｉｃｈｏｌｓ方法以及文献［１７］中 所提方法设计的控制器，本所提方法控制的系统有更小的 超调量、更短的调整时间和更快的系统响应，从而达到了精 确控制的目的。 考虑一个分数阶被控对象模型，传递函数为 １ Ｇｐ２（ ）一 去 （２７） 该系统的单位阶跃响应曲线如图４（ａ）所示。文献［１］ 针对该系统设计了分数阶ＰＤ．控制器（记为Ｃ （ｓ）），传递 函数为 ＣＦＰＤ（５）一２０．５＋３．７３４ ３ｓ （２８） ｔ／ｓ （ａ）６ －开环系统响应 ｔ／ｓ 一：ＦＯＰＤ控制器；……：控制器ＣＦＩ。 （ｂ） ， 在常规方法控制器下单位阶跃响应 ｔ／ｓ （ｃ） 在自适应参数控制器下的响应 频率／Ｈｚ ……：Ｇ开环系统；一：ＤＥ分数阶控制器。 （ｄ） 在自适应参数控制器下的Ｂｏｄｅ图 图４ Ｇ。２在不『司控制器Ｆ的响应与Ｂｏｄｅ图 文献［１８］提出的方法设计的分数阶ＰＩＤ控制器Ｃ （ ） 的传递函数为 ＣＦ （ｓ）一１３８．１８１ ７＋ ＋１２．３８２ ０ｓ （２９） ５ 文献Ｅ１８］还指出对于分数阶受控对象，整数阶ＰＩＤ控 制器不能理想地控制该模型。对于系统Ｇ 。应用本文所提 方法，参数选取为ＮＰ一１５，Ｆ…一０．９，Ｆ…一０．４，ＣＲ一 ０．５，经过２００次迭代得到的分数阶ＰＩＤ控制器为 ＣＦ（ｓ）．．２４．１９３ ４＋ ＋２０．２１５ ７ （３ｏ） ５ Ｇ 。在不同控制器下系统指标对比如表２所示。 表２ Ｇ ２在不同控制器下系统指标对比 被控对象Ｇ 。在本文所提方法设计的控制器作用下的 单位阶跃响应曲线如图４（ｃ）所示，通过对比文献［１８］中使 用ＩＴＡＥ准则搜索的控制器以及Ｐｏｄｌｕｂｎｙ设计的ＰＤ．控 制器如图４（ｂ）所示，基于本文所提方法设计控制器具有良 好的控制效果，各项系统指标均满足设计要求。 ５ 结 论 本文提出了一种参数自适应的改进差分进化算法，对 分数阶ＰＩ 控制器参数进行智能调整，该方法可以在搜 索过程根据群体适应度来自适应改变变异规则，以防止搜 索过程陷入局部最优化，将该方法应用到分数阶Ｐ１ Ｄ｝Ｊ控 制器参数的整定中，通过对整数阶被控对象和分数阶被控 对象的仿真表明，本文所提方法设计的控制器相比于传统 设计方法，具有超调量小、上升时间快、稳定性好的优点，且 参数设计灵活整定范围大，具有广阔的工程应用前景。 参考文献： ｒ１］Ｐｏｄ１ｕｂｎｙ Ｉ．Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ ＰＩ Ｄ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｓ［Ｊ］． 第５期 黄丽莲等：分数阶ＰＩＤ控制器参数的自适应设计 ・１Ｏ６９ ・ 』ＥＥＥ１’ｔａｎｓ．ｏｎＡｕｔｏｍａｔｉｃ Ｃｏｎｔｒｏｌ，ｌ９９９，４４（１）：２Ｏ８—２１４． ［２］Ｖｉｎａｇｒｅ Ｂ Ｍ，Ｐｏｄｌｕｂｎｙ Ｉ，Ｈｅｒｎａｎｄｅｚ Ａ，ｅｔ ａ１．Ｓｏｍｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａ— ｔｉｏｎｓ ｏｆ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｕｓｅｄ ｉｎ ｃｏｎｔｒｏｌ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ａｐ— ｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｃａｌｃｕｌｕｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｅｄ Ａｎａｌｙｓｉｓ，２０００， ３（３）：２３１—２４８． ［３］Ｐｅｔｒａｓ Ｉ．Ｔｈｅ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｓ：ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｔｈｅｉｒ ｓｙｎ— ｔｈｅｓｉｓ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， １９９９，５０（９一ｌ０）：２８４—２８８． ［４］Ｚｈａｏ Ｃ Ｎ，Ｘｕｅ Ｄ Ｙ，Ｃｈｅｎ Ｙ Ｑ．Ａ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒ ＰＩＤ ｔｕｎｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒ ｐｌａｎｔｓ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃ．ｏｙ ｔｈｅ ＩＥＥＥ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｍｅｃｈａｔｒｏｎｉｃｓ＆Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ， ２００５：２１６—２２１， ［５］Ｌｕｏ Ｙ，Ｃｈｅｎ Ｙ Ｑ，Ｐｉ Ｙ Ｇ．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒ— ｄｅｒ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ ｆｏｒ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒ— ｄｅｒ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｍｅｃｈａｔｒｏｎｉｃｓ，２０１１，２１（１）：２０４—２１４． ［６］Ｚｅｎｇ Ｑ Ｓ，Ｃａｏ Ｇ Ｙ，Ｗａｎｇ ｚ Ｂ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ｆｒａｃｔｉｏｎ— ａｌ—ｏｒｄｅｒ ＰＩ Ｄｒ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｙｓｔｅｍ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ， ２００４，１６（３）：４６５—４６９．（曾庆山，曹广益，王振滨．分数阶ＰＰ 控制器的仿真研究［Ｊ］．系统仿真学报，２００４，１６（３）：４６５— ４６９．） ［７］Ｃｅｌａｌｅｄｄｉｎ Ｙ，Ｎｕｓｒｅｔ Ｔ．Ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｄｅｓｉｇｎ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ ｆｏｒ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒ ｃａｓｅ［Ｊ］．Ｔｈｅ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ ｏｆ Ａｕｔｏ— ｍａｔｉｏｎ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ，２０１１，５０（３）：４６１—４７２． ［８］Ｉｎｄｒａｎｉｌ Ｐ，Ｓａｐｔａｒｓｈｉ Ｄ，Ａｍｉｔａｖａ Ｇ．Ｈａｎｄｌｉｎｇ ｐａｃｋｅｔ ｄｒｏｐｏｕｔｓ ａｎｄ ｒａｎｄｏｍ ｄｅｌａｙｓ ｆｏｒ ｕｎｓｔａｂｌｅ ｄｅｌａｙｅｄ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｉｎ ＮＣＳ ｂｙ ｏｐｔｉｍａｌ ｔｕ— ｎｉｎｇ ｏｆ ＰＩ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｓ ｗｉｔｈ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ［Ｊ］．Ｔｈｅ Ｉｎｔｅｒ— ｎａｔｉｏｎａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ ｏｆ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ，２０１１，５０（４）：５５７ ５７２． ［９］Ｑｉｎ Ｃ Ｍ，Ｑｉ Ｎ Ｍ，Ｚｈｎ Ｋ．Ａｃｔｉｖｅ ｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅ ｒｅｊｅｃｔｉｏｎ ａｔｔｉｔｕｄｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｄｅｓｉｇｎ ｆｏｒ ｈｙｐｅｒｓｏｎｉｃ ｖｅｈｉｃｌｅ［Ｊ］．Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ，２０１１，３３（７）：１６０７—１６ｌ０．（秦昌茂，齐乃明， 朱凯．高超声速飞行器自抗扰姿态控制器设计［Ｊ］．系统工程与 电子技术，２０１１，３３（７）：１６０７—１６１０．） ［１０］Ｐｒｉｃｅ Ｋ Ｖ，Ｓｔｏｒｎ Ｒ Ｍ，Ｌａｍｐｉｎｅｎ Ｊ Ａ．Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ： ａ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｇｌｏｂａｌ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｍ］．Ｂｅｒｌｉｎ： Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ，２００５． ［１１］Ｂａｂｕ Ｂ Ｖ，Ｒａｋｅｓｈ Ａ．Ｍｏｄｉｆｉｅｄ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ（ＭＤＥ） ｆｏｒ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｎｏｎ—ｌｉｎｅａｒ ｃｈｅｍｉｃａｌ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕ－ ｔｅｒｓ ａｎｄ Ｃｈｅｍｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００６，３０（６／７）：９８９—１００２． ［１２］Ｂａｂｕ Ｂ Ｖ，Ｍａｔｈｅｗ Ｌ Ｊ．Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉ－ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃ．ｏｆ ｔｈｅ ＩＥＥＥ Ｃｏｎｇｒｅｓｓ ｏｎ Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２００３：２６９６—２７０３． ［１３Ｊ Ｂａｏ Ｚ Ｙ，Ｃｈｅｎ Ｋ Ｓ，Ｈｅ Ｚ Ｓ，ｅｔ ａ１．Ｓｐａｒｓｅ ｃｉｒｃｕｌａｒ ａｒｒａｙｓ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍｏｄｉｆｉｅｄ ＤＥ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ［Ｊ］．Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｅｎｇｉｎｅ ｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ，２００９，３１（３）：４９７—４９９．（包子阳，陈客 松，何子述，等．基于改进差分进化算法的圆阵稀布方法［Ｊ］． 系统工程与电子技术，２００９，３１（３）：４９７—４９９．） Ｌ１４］Ｘｕｅ Ｄ Ｙ，Ｚｈａｏ Ｃ Ｎ，Ｃｈｅｎ Ｙ Ｑ．Ａ ｍｏｄｉｆｉｅｄ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒ ｓｙｓｔｅｍ［ｃ］／／Ｐｒｏｃ．ｏｆ ｔｈｅ ＩＥＥＥ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｍｅｃｈａｔｒｏｎｉｃｓ ａｎｄ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ，２００６：１０４３—１０４８． ［１ ５］Ｇａｍｐｅｒｌｅ Ｇ，Ｍｕｅｌｌｅｒ Ｓ Ｄ，Ｋｏｕｍｏｕｔｓａｋｏｓ Ｐ．Ａ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｓｔｕｄｙ ｆｏｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ＂ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃ．ｏｆ ｔｈｅ Ｗｏｒｌｄ Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ａｃａｄｅｍｙ ａｎｄ Ｓｏｃｉｅｔｙ（ＷＳＥＡＳ）Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎ ｆｅｒｅｎｅｅ ｏｎ Ａｄｖａｎｃｅｓ ｉｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ，Ｆｕｚｚｙ Ｓｙｓｔｅｍｓ，Ｅｖｏｌｕ— ｔｉｏｎａｒｙ Ｏ￣ｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２００２：２９３—２９８． Ｌ１６］Ｌｎ ｚ Ｓ，Ｈｏｎ Ｚ Ｒ．Ｐａｒｔｉｃｌｅ ｓｗａｒｍ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ａｄａｐｔｉｖｅ ｍｕｔａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ａｅｔａ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃａ Ｓｉｎｉｃａ，２００４。３２（３）：４１６—４２０． （吕振肃，侯志荣．自适应变异的粒子群优化算法［Ｊ］．电子学 报，２００４，３２（３）：４１６—４２Ｏ．） ［１７３ Ｄｕａｒｔｅ Ｖ，Ｃｏｓｔａ Ｊ Ｓ．Ｔｕｎｉｎｇ ｏｆ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ＰＩＤ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｓ ｗｉｔｈ Ｚｉｅｇｌｅｒ－Ｎｉｃｈｏｌｓ—ｔｙｐｅ ｒｕｌｅｓ［Ｊ］．Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００６，８６ （１０）：２７７１—２７８４． Ｌ１８Ｊ Ｘｕｅ Ｄ Ｙ，Ｚｈａｏ Ｃ Ｎ．Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒ ＰＩＤ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｄｅｓｉｇｎ ｆｏｒ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒ ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｔｈｅｏｒｙ＆Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００７， ２４（５）：７７１～７７６．（薛定宇，赵春娜．分数阶系统的分数阶ＰＩＤ控 制器设计［Ｊ］．控制理论与应用，２００７，２４（５）：７７１—７７６．） 作者简介： 黄丽莲（１９７２一），女，教授，博士，主要研究方向为分数阶控制系统、 混沌系统同步、复杂动态网络等。 Ｅ ｍａｉｌ：ｌｉｌｉａｎｈｕａｎｇ＠ｌ ６３．ｃｏｒｎ 周晓亮（１９８７一），男，硕士研究生，主要研究方向为分数阶控制系统、 遗传算法。 Ｅ—ｍａｉｌ：ｈｅｌｌｏｚｘｌｉａｎｇ＠ｓｉｎａ．ｃｏｒｎ 项建弘（１９７７一），男，副教授，博士，主要研究方向为自适应信号处 理、宽带通信信号处理、相控阵天线等。 Ｅ ｍａｉｌ：ｘｉｈ＿２００１＠ｓｏｈｕ．ｃｏｒｎ
