概率论与数理统计（专升本）综合测试1

概率论与数理统计(专升本)综合测试1单选题

1. 设为三个事件，则中⾄少有⼀个不发⽣的事件是_______.(5分)

(A):

(B):

(C):

(D):

参考答案：C

2. 袋中有5个球（3个新球，2个旧球）每次取1个，⽆放回地取2次，则第⼆次取到新球的概率是_______ .(5分)

(A):

(B):

(C):

(D):

参考答案：A

3. 设随机变量的概率密度为，则_______ .(5分)

(A):

(B):(C): 2(D): 3参考答案：B

4. 已知随机变量服从⼆项分布, 则的标准差为_______ .(5分)(A): 3

(B): 9(C): 10(D): 100参考答案：A

5. 设总体～，其中已知，未知，是从中抽取的1个样本，则以下哪个不是统计量_______ .(5分)

(A):

(B):

(C):

(D):

参考答案：D填空题

6. 在某书店购买图书．令事件表⽰“选购的为中⽂书”，事件表⽰“选购的为数学书”，事件表

⽰“选购的为期刊”，则事件表⽰所购的图书为______ .(5分)(1). 参考答案: 外⽂数学期刊

7. 已知，且，则______ .(5分) (1). 参考答案: 108. 设服从泊松分布，，则= ______ .(5分)(1). 参考答案: 1问答题

9. 袋中装有5个⽩球，3个⿊球，从中任取两个.（1）求取到的两个球颜⾊不同的概率；（2）求取到的两个球中有⿊球的概率. (10分)参考答案：（1）颜⾊不同，即⿊⽩球各⼀：

；

（2）两个球中有⿊球，含⼀⿊或两⿊：

.

解题思路：

10. 设事件与互不相容，且，试证明：. (10分)参考答案：由条件概率公式：，由于与互不相容，所以有：

且，⼜，

从⽽有：.解题思路：

11. 设随机变量服从上的均匀分布，求和.(10分)

参考答案：的概率密度为

于是

.

解题思路：

12. 设⼆维随机变量的联合分布密度为试求：(1)

的边缘密度；(2)判断是否独⽴.(10分)

参考答案：(1) ，

；

(2) 因为，所以不独⽴.解题思路：

13. 论随机现象与概率

（1）概率论与数理统计是研究和揭⽰随机现象统计规律性的⼀门数学学科.请问在物理试验中，“同性相斥，异性相吸”是随机现象吗？为什么？

（2）表征随机事件在⼀次随机试验中发⽣的可能性⼤⼩的数叫概率.请问古典概型的概率计算公式是什么？它对样本空间有怎样的要求？(20分)参考答案：解答要点：

（1）“同性相斥，异性相吸”不是随机现象，是必然会发⽣的现象；（2）古典概型的概率计算公式是：

，

它对样本空间有两个要求：⼀是样本空间有限，⼆是每个样本点发⽣的可能性要相同.解题思路：

概率论与数理统计(专升本)综合测试2单选题

1. 设事件与相互独⽴，则_______ .(5分)

(A):

(B):

(C): 与互不相容

(D): 与互不相容参考答案：A

2. 某⼈射击，中靶的概率是，如果射击直到中靶为⽌，射击次数为3的概率是_______ .(5分)

(A):

(B):

(C):(D):

参考答案：C

3. 设服从正态分布，则= _______ .(5分)

(A):

(B):

(C):

(D):

参考答案：B

4. 已知随机变量服从⼆项分布, 则_______ .(5分)

(A):

(B):

(C):

(D):

参考答案：D

5. 若总体，其中已知，当样本容量保持不变时，如果置信度减⼩，则的置信区间_______ .(5分)(A): 长度变⼤(B): 长度变⼩(C): 长度不变(D): 长度不⼀定不变参考答案：B填空题

6. 若事件相互独⽴，，则______ .(5分)(1). 参考答案: 10

7. 设是连续型随机变量，则对于任意实数，______ .(5分)(1). 参考答案: 0

8. 设，是两个随机变量，且，则______ .(5分)(1). 参考答案: －5问答题

9. 10件产品中7件正品，3件次品，从中随机抽取2件，求

（1）两件都是次品的概率；（2）⾄少有⼀件是次品的概率.(10分)

参考答案：设事件：“两件都是次品”，“恰有⼀件是次品”，

“⾄少有⼀件是次品”，则通过古典概率计算可得：，，

.

解题思路：

10. 设随机变量的概率密度为, 试(1) 确定常数的值；(2)求.(10分)参考答案：由分布密度性质：（1）；（2）.解题思路：

11. 设随机变量的概率密度为：，求.(10分) 参考答案：；因为，所以.解题思路：

12. 随机变量的联合分布如表所⽰，012XY

00.10.250.1510.150.20.15

试求：(1)的边缘分布；(2) 的概率分布；(3) 是否相互独⽴？(10分)

参考答案：(1)的边缘分布为：，；

(2) 的概率分布为：，即：；

(3) 显然，所以不独⽴.解题思路：

13. 论随机变量与随机变量的数字特征

(1) 请阐述什么是随机变量，通常我们讨论的主要是哪两种基本类型的随机变量？(2) 设是离散型随机变量，则其概率分布律应满⾜什么性质？

(3) 随机变量的期望与⽅差有着怎样的含义？试指出下列常见分布的期望与⽅差：离散型的⼆项分布：～与连续型的正态分布～.(20分)

参考答案：(1) 定义：设随机试验的样本空间为，是定义在样本空间上的实值函数，称为随机变量.主要讨论离散型与连续型两种类型的随机变量.

(2) 离散型随机变量的概率分布律必须满⾜两条性质：1：；2：.

(3) 期望就是随机变量取值的加权平均值，⽽⽅差是随机变量取值的分散程度.

的期望是：，⽅差是：；

的期望是：，⽅差是：.解题思路：

概率论与数理统计(专升本)综合测试3单选题

1. 从装有3个红球和2个⽩球的袋中任取两个球，记“取到两个⽩球”，则_______ .(5分)(A): 取到两个红球(B): ⾄少取到⼀个⽩球(C): 没有取到⽩球(D): ⾄少取到⼀个红球参考答案：D

2. 设，，则下⾯结论正确的是_______ .(5分)(A): 事件与互相独⽴(B): 事件与互不相容

(C):

(D):

参考答案：A

3. 设服从均匀分布，，且已知，则_______ .(5分)(A): 1(B): 2(C): 3(D): 4参考答案：C

4. 对于任意两个随机变量与, 若, 则必有_______ .(5分)

(A): 与独⽴

(B):

(C): 与不独⽴(D):

参考答案：B

5. 设与都是总体未知参数的⽆偏估计量，若⽐更有效，则应满⾜_______ .(5分)

(A): (B):

(C): (D):参考答案：D填空题

6. 设事件互为对⽴事件，则______ ，______ .(5分)

(1). 参考答案: 1 (2). 参考答案: 0 7. 已知随机变量只能取0，1，2三个数值，其相应的概率依次为，则______ .(5分)

(1). 参考答案: 2 8. 设～, 若

，则参数的值______ ，______ .(5分)

(1). 参考答案: 6 (2). 参考答案: 0.4 问答题9. 设连续型随机变量的概率密度为，其中，

⼜已知. 求的值.(10分)

参考答案：由密度函数性质知：，由期望公式：

，

联⽴两⽅程，可得.Y X-11

0 0.07 0.18 0.15 10.08 0.32 0.20解题思路：

10. 设⼆维随机变量的联合分布律如表所⽰，试求：Y X -1 0 1 0 0.07 0.18 0.15 1 0.080.320.20(1)

的边缘分布；(2).(10分)

参考答案：（1）边缘分布为：，，

（2）期望：，

.

解题思路：

11. 已知总体的概率密度为其中未知参数, 为取⾃

总体的⼀个样本．

(1) 求的矩估计量；(2) 说明该估计量是⽆偏估计．(10分)

参考答案：(1)由求矩估计的⽅法，先求总体的⼀阶矩，即总体的期望，再求样本的⼀阶矩，即样本均值，最后⽤样本矩去替代总体矩．

因为,

，

所以⽤去替代，得：；

(2)由⽆偏估计的定义：，再由本题前⾯的计算结果可得：

，

所以该估计量是⽆偏估计.解题思路：

12. 随机从⼀批灯泡中抽查16个灯泡，测得其使⽤时数的平均值为=1500⼩时，样本⽅差⼩时, 设灯泡使⽤时数服从正态分布.试求均值的置信度为95%的置信区间．

( 附数据：，. )(10分)

参考答案：此题是在⽅差未知的情况下求均值的置信度为95%的置信区间．

故选⽤T统计量，其置信区间的公式为：.现在已知：=1500，，，

临界值可从所附数据得到，

将已知数据全部代⼊公式，即得的置信度为95%的置信区间为：

．解题思路：

13. 论⼤数定理与中⼼极限定理(1)什么是⼤数定理？有什么意义？(2)什么是切⽐雪夫不等式？有什么意义？

(3)在数理统计中，不论总体服从什么分布，只要样本容量充分⼤，我们总是利⽤标准正态分布讨论其含样本均值的统计量，这是依据什么原理？(20分)

参考答案：(1) ⼤数定理是指对于随机变量序列：，当充分⼤时，独⽴同分布的随机变量的平均值依概率收敛于它的数学期望；

(2) 切⽐雪夫不等式是：设随机变量具有期望，⽅差，则对于任意正数，总有：.

它的意义在于不论随机变量服从什么分布，只要具有期望，⽅差，就可以估计它在某区间上的概率；

(3) 利⽤标准正态分布讨论统计量的依据是中⼼极限定理.解题思路：